专题01 三角形的证明及其应用5大考点（期末真题汇编，贵州专用）八年级数学下学期新教材北师大版

**基本信息** 汇集贵州多地22-25学年八年级下期末真题，聚焦三角形内角和、等腰三角形、直角三角形、线段垂直平分线与角平分线等核心考点，融合生活情境与分层设计，适配期末复习需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择|约15题|三角形内角和、等腰三角形性质、勾股定理|正五边形与正方形拼接求角度，结合几何直观| |填空|约8题|多边形内角和、线段垂直平分线性质|折叠问题求边长，考查空间观念| |解答|约12题|直角三角形应用、尺规作图、综合证明|乡村振兴修路最短路径设计，融合实践与推理；“数学风车”外围周长计算，体现文化传承|

专题01 整式的乘除 高频考点概览 考点01三角形内角和定理 考点02 等腰三角形 考点03 直角三角形 考点04 线段的垂直平分线和角平分线 考点05 问题解决与策略：反思 ( 考点01 三角形内角和定理 ) 1．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）如图，在正五边形中，连接，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·贵州贵阳·期末）如图，一个正方形纸片，剪去一个角后得到一个五边形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级下·贵州贵阳·期末）如果边长相等的正五边形和正方形的一边重合，那么∠1的度数是(   ) A．30° B．15° C．18° D．20° 4．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）如图是某超市的购物车装满物品时，抽象成的几何示意图，已知五边形，F，E，A三点在同一条直线上，连接，．若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·贵州六盘水·期末）若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______． 6．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）如图，小明从点A出发，前进后向右转，再前进后又向右转，…，如此反复下去，直到他第一次回到出发点A，他所走的路径恰好构成了一个正多边形． (1)小明一共走了多少米? (2)求这个正多边形的内角和． 7．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）【问题背景】生活中，我们经常可以看到由各种形状的地砖铺成的地面，在这些地面上，相邻的地砖平整地贴合在一起，整个地面没有一点空隙．从数学角度来看，当一个顶点周围围绕的各个多边形的内角恰好拼成一个周角时，就能形成一个既不留空隙又不互相重叠的平面图案，我们把这类问题叫做多边形平面镶嵌问题．如图1是由若干正方形镶嵌而成的图案，图2是由若干正三角形、正方形和正六边形镶嵌的图案． 【探究发现】 （1）填写下表： 正多边形的边数 3 4 5 6 8 正多边形每个外角的度数 ___________ ___________ ___________ （2）若只用一种正多边形镶嵌整个平面图案，则这样的正多边形有___________（填序号） ①正三角形；②正五边形；③正六边形；④正七边形；⑤正八边形 【拓展应用】 （3）如图3，由六个全等的正五边形和五个全等的等腰三角形镶嵌组成了一个大五边形．求的度数． 正多边形的边数 3 4 5 6 8 正多边形每个外角的度数 ( 考点02 等腰三角形 ) 1．（23-24八年级下·贵州六盘水·期末）已知等腰三角形的一边长为8，另一边长为5，则它的周长是（    ） A．18 B．21 C．18或21 D．26 2．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）如图，为了让杆垂直插于地面，工程人员从杆上一点往地面拉两条长度相等的固定绳与，然后将杆插在的中点处（点在同一直线上），这种操作方法的依据是（　　） A．等边对等角 B．等角对等边 C．等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合 D．直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 3．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）为了测量无法直接测量的池塘两端，的距离，小王同学设计了一个测量，距离的方案．如图，先确定直线，过点作直线，在直线上找可以直接到达点的一点，连接，作，交直线于点，最后测量的长即得．根据的原理是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·贵州安顺·期末）在中，用尺规作图作等腰，下列作图正确的是（    ） ①                ②               ③                   ④ A．①② B．①③ C．③④ D．②④ 5．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）将一副直角三角尺和一把宽度为的直尺按如图所示的方式摆放：先把和角的顶点及它们的一条直角边重合，再将此直角边垂直于直尺的上沿，重合的顶点落在直尺下沿，这两个三角尺的斜边分别交直尺上沿于A，B两点，则的长是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）如图，为等边三角形，D为平面内一点，连接，将绕点D顺时针旋转 ，得到线段，连接，．当，时，的长为___________． 7．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）如图，在正六边形内部作等边三角形，连接．已知，则点P到的距离为______． 8．（22-23八年级下·贵州·期末）已知一个正多边形的边数为n． (1)若这个正多边形的内角和的比外角和多，求n的值． (2)若这个正多边形的一个内角为，求n的值． 9．（24-25八年级下·贵州铜仁·期末）如图，在等边三角形中，，点D是的中点，过点D作于点F，过点F作于点E，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 10．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）如图，在等边中，为线段上一点（不与端点重合），平分，交于点，与的延长线交于点，连接，且，以下结论：；②；③是等腰三角形；④连接．其中结论正确的是（　　） A．①③ B．①②④ C．①③④ D．①④ 11．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）如图，在 中， 的平分线与交于点D，点E为上任意一点，过点E作 交于点F，作交于点G．求证： 是等腰三角形． 12．（24-25八年级下·贵州贵阳·期末）如图，在中，，是边上的高． 【问题解决】 （1）如图①，______度，与的数量关系是______； 【问题探究】 （2）如图②，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，若，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图③，点P是线段上的一动点（P不与点A，D重合），将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接线段．试判断与的位置关系，并说明理由． ( 考点03 直角三角形 ) 1．（24-25八年级下·贵州黔南·期末）下列各数中，能与6，8组成一组勾股数的是    （    ） A．10 B．11 C．13 D．15 2．（23-24八年级下·贵州安顺·期末）已知a，b，c是的三条边，则下列条件不能判定是直角三角形的是（） A．，， B． C． D． 3．（24-25八年级下·贵州贵阳·期末）如图，有一块三角形空地，它的三条边线分别长和，已知长的边线为南北向，则长的边线方向为（    ） A．东西向 B．东北向 C．东南向 D．西北向 4．（24-25八年级下·贵州黔西南·期末）如图中，，则的长是（   ） A．7 B．3 C．1 D．2 5．（24-25八年级下·贵州铜仁·期末）下列各组数据中，能构成直角三角形的是（    ） A．，， B．6，7，8 C．2，3，4 D．3，3， 6．（24-25八年级下·贵州黔南·期末）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形拼接而成．若，，则正方形的边长是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 7．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）贵州植被具有明显的亚热带性质，组成种类繁多，区系成分复杂，吸引了不少对植被有研究的学者去贵州考察．如图，有学者在考察时发现一棵树在距离地面处折断了，倒下的部分与地面形成了的夹角，这棵树原来的高度是（　　） A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·贵州铜仁·期末）已知：如图，在和中，，相交于点，，，且，求证：． 9．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）如图，数学活动实践课上，小浩在旗杆 与某栋楼之间选定一点 (点B，，D在同一水平线上)，于点D，于点B，他在点处用智能测量仪测得，，求楼的高度． 10．（24-25八年级下·贵州遵义·期末）在如图1的网格中，每个小正方形的边长均为1．的顶点均在格点上．小雨同学利用勾股定理求出． (1)填空：______，_____； (2)在如图2的长方形网格中，每个小长方形的长均为2，宽为1．格点上的点，如图，点在格点上，满足，．请在网格中画出，并求的面积． 11．（24-25八年级下·贵州遵义·期末）我国汉末三国时期赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示的正方形，这个图称为“弦图”，并用它证明了勾股定理． (1)如图1，在中，，设，，．利用该“弦图”证明：； (2)小雨同学通过学习发现：对“弦图”进行一定的变化可制作出如图2所示的“数学风车”．将图1中四个直角三角形的直角边分别向外延长，使，连接，，，，得到如图3所示的“数学风车”平面图．若，，，求“数学风车”外围轮廓（图3中实线部分）的总长． 12．（23-24八年级下·贵州毕节·期末）如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E． （1）已知CD=4cm，求AC的长； （2）求证：AB=AC+CD． 13．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）如图，在中，为延长线上一点，点在上，且 (1)求证：； (2)若，求的度数． 14．（24-25八年级下·贵州铜仁·期末）伟大的“乡村振兴”战略思想为广大的农村地区带来了福音，各项惠农政策极大的促进了农村产业高速发展，某地政府为了加快农产品快速输出，计划整修公路缩短运输路程，如图C地是当地蔬菜种植基地，原先C地的蔬菜运往A城市必须先经过B地中转然后才能到达A市（即沿路线），现在政府计划打通一条隧道（大概位置为图中粗墨色线条），然后再到达A市，即沿路线． (1)为了使得隧道最短，请你利用尺规作图准确作出D点位置（保留作图痕迹） (2)已知，，，请你利用所学知识计算打通隧道后由C地到A城市的路程缩短了多少． 15．（24-25八年级下·贵州黔西南·期末）在春天来临之际，八（1）班和八（2）班的同学计划在学校劳动实践基地种植蔬菜；如图，点C是自来水管的位置，点A和点B分别表示八（1）班和八（2）班实践基地的位置，两处相距3米，两处相距4米，两处相距5米；为了更好的使用自来水灌溉，八（1）班和八（2）班在图纸上设计了两种水管铺设方案：    八（1）班方案：沿线段铺设2段水管； 八（2）班方案：过点C作于点D，沿线段铺设3段水管； (1)求证：； (2)从节约水管的角度考虑，你会选择哪个班的铺设方案？为什么？ ( 考点04 线段的垂直平分线和角平分线 ) 1．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）如图，为内部一点，且点到的距离与点到的距离相等，连接，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交于点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级下·贵州·期末）如图，在中，，I为各内角平分线的交点，过点I作的垂线，垂足为H，则的长为（    ）    A．1 B． C．2 D． 4．（22-23八年级下·贵州贵阳·期末）如图，在中，，，，平分交于点D，于点E，则的长是（   ） A． B． C． D．不能确定 5．（24-25八年级下·贵州贵阳·期末）如图，在中，，垂直平分．则的周长为______． 6．（24-25八年级下·贵州黔西南·期末）如图所示，在直角中，，，，边上的垂直平分线交边于点E，交边于点D，连接，则的周长为______． 7．（24-25八年级下·贵州铜仁·期末）如图，三角形纸片中，，，．D是边上一点，连接，把沿翻折，点B恰好落在延长线上的点处，则的长为_____． 8．（23-24八年级下·贵州毕节·期末）如图，在中，分别以A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于F，G两点，作直线分别交，于点M，D；再分别以A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于H，I两点，作直线分别交，于点N，E；若，，，则的长为_____． 9．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点D，M，的垂直平分线分别交，于点E，N，连接，，则的度数为______． 10．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）如图，在四边形中，，，，相交于点E．若，则的长为（   ） A．3 B．4 C．6 D．12 11．（22-23八年级下·贵州毕节·期末）如图，在中，，点为斜边上一点，且，过点作的垂线交于点．求证：点在的角平分线上． 12．（23-24八年级下·贵州贵阳·期末）如图，在中，．小星、小红两人想在上取一点P，连接，使得，其作法如下： 请选择一种作法将图形补全，并判断正误，说明理由． 13．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）如图，在中，． (1)请用无刻度的直尺和圆规在边上作一点P，使点P到点B、点C的距离相等（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，当点P到直线的距离也相等时，则的度数为______． 14．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）如图，在中，是上一点，且，，平分，求证：垂直平分． 15．（24-25八年级下·贵州贵阳·期末）如图，在四边形中，，平分，，垂足为点E，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． ( 考点05 问题解决与策略：反思 ) 1．如图，在∠AOB的两边OA，OB上分别取OM＝ON，OD＝OE，DN和EM相交于点C.求证：点C在∠AOB的平分线上． 2．已知∠AOB＝90°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与点C重合，它的两条直角边分别与OA，OB相交于点D，E. (1)如图①，若CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E.求证：CD＝CE； (2)当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图②这种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出你的猜想，不需证明． 3．如图25，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，若∠A=40º. （1）求∠NMB的度数； （2）如果将（1）中∠A的度数改为70º，其余条件不变， 再求∠NMB的度数； （3）你发现有什么样的规律性，试证明之； （4）若将（1）中的∠A改为钝角，你对这个规律性的认识是否需要加以修改？ 43 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 整式的乘除 高频考点概览 考点01三角形内角和定理 考点02 等腰三角形 考点03 直角三角形 考点04 线段的垂直平分线和角平分线 考点05 问题解决与策略：反思 ( 考点01 三角形内角和定理 ) 1．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）如图，在正五边形中，连接，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查的是正五边形的性质，熟记正五边形性质是解题的关键． 根据正五边形的性质可得，再利用等腰三角形的性质求出，进而可求出的度数． 【详解】解：∵五边形是正五边形， ， ， ， 故选：B． 2．（24-25八年级下·贵州贵阳·期末）如图，一个正方形纸片，剪去一个角后得到一个五边形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的内角和，正方形的性质，根据正方形的性质求出，根据多边形的内角和公式求出五边形的内角和为，即可求解． 【详解】解∶如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∵五边形的内角和为， ∴， 故选∶C． 3．（22-23八年级下·贵州贵阳·期末）如果边长相等的正五边形和正方形的一边重合，那么∠1的度数是(   ) A．30° B．15° C．18° D．20° 【答案】C 【分析】∠1的度数是正五边形的内角与正方形的内角的度数的差，根据多边形的内角和定理求得角的度数，进而求解． 【详解】∵正五边形的内角的度数是×（5-2）×180°=108°，正方形的内角是90°， ∴∠1=108°-90°=18°．故选C 4．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）如图是某超市的购物车装满物品时，抽象成的几何示意图，已知五边形，F，E，A三点在同一条直线上，连接，．若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 根据两直线平行、同旁内角互补得出，根据等边对等角得出，再根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 5．（23-24八年级下·贵州六盘水·期末）若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______． 【答案】8 【分析】根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于（n﹣2）•180°，外角和等于360°，然后列方程求解即可． 【详解】解：设边数为n，由题意得， 180（n－2）=3603， 解得n=8． 所以这个多边形的边数是8． 故答案为：8． 6．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）如图，小明从点A出发，前进后向右转，再前进后又向右转，…，如此反复下去，直到他第一次回到出发点A，他所走的路径恰好构成了一个正多边形． (1)小明一共走了多少米? (2)求这个正多边形的内角和． 【答案】(1)小明一共走了 (2) 【分析】本题考查了正多边形的外角的计算以及多边形的内角和． （1）第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个外角是度的正多边形，求得边数，即可求解； （2）根据多边形的内角和公式即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意，得这个正多边形的外角为， 该正多边形的边数为， ． 答：小明一共走了． （2）解：由（1）知这个正多边形的边数为9边形，则这个正多边形的内角和为． 7．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）【问题背景】生活中，我们经常可以看到由各种形状的地砖铺成的地面，在这些地面上，相邻的地砖平整地贴合在一起，整个地面没有一点空隙．从数学角度来看，当一个顶点周围围绕的各个多边形的内角恰好拼成一个周角时，就能形成一个既不留空隙又不互相重叠的平面图案，我们把这类问题叫做多边形平面镶嵌问题．如图1是由若干正方形镶嵌而成的图案，图2是由若干正三角形、正方形和正六边形镶嵌的图案． 【探究发现】 （1）填写下表： 正多边形的边数 3 4 5 6 8 正多边形每个外角的度数 ___________ ___________ ___________ （2）若只用一种正多边形镶嵌整个平面图案，则这样的正多边形有___________（填序号） ①正三角形；②正五边形；③正六边形；④正七边形；⑤正八边形 【拓展应用】 （3）如图3，由六个全等的正五边形和五个全等的等腰三角形镶嵌组成了一个大五边形．求的度数． 【答案】（1）；；；（2）①③；（3） 【分析】该题主要考查了正n边形内角和定理以及平面镶嵌，解题的关键是掌握正n边形内角和定理以及平面镶嵌的相关知识． （1）用再除以n即可求解； （2）根据正n边形的每一个内角度数与相邻外角的度数之各为进行求解即可； （3）根据正五边形每一个内角的度数结合周角进行求解即可． 【详解】（1）解：正五边形每个外角的度数为， 正六边形每个外角的度数为， 正八边形每个外角的度数为， 正多边形的边数 3 4 5 6 8 正多边形每个外角的度数 （2）解：正三角形每个内角的度数为， 正五边形每个内角的度数为， 正六边形每个内角的度数为， 正七边形每个内角的度数为， 正八边形每个内角的度数为， ∵，，， ∴只用一种正多边形镶嵌，那么能镶嵌成一个平面图案的正多边形有①③， 故答案为：①③． （3）解：∵正五边形的内角为， ∴． ( 考点02 等腰三角形 ) 1．（23-24八年级下·贵州六盘水·期末）已知等腰三角形的一边长为8，另一边长为5，则它的周长是（    ） A．18 B．21 C．18或21 D．26 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的定义和三角形的三边关系．分类讨论另一边可能的情况，再利用三角形的三边关系检验能否构成三角形，最后算出周长即可． 【详解】解：若等腰三角形的腰长为5，此时三边分别为5，5，8， 因为，能构成三角形； 三角形周长为：； 若等腰三角形的腰长为8，此时三边分别为5，8，8， 因为，能构成三角形， 三角形周长为：； 综上，它的周长是18或21； 故选：C． 2．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）如图，为了让杆垂直插于地面，工程人员从杆上一点往地面拉两条长度相等的固定绳与，然后将杆插在的中点处（点在同一直线上），这种操作方法的依据是（　　） A．等边对等角 B．等角对等边 C．等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合 D．直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．利用等腰三角形 “三线合一”的性质，即等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合，即可判断， 【详解】解：∵， ∴， ∴工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合， 故选：C． 3．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）为了测量无法直接测量的池塘两端，的距离，小王同学设计了一个测量，距离的方案．如图，先确定直线，过点作直线，在直线上找可以直接到达点的一点，连接，作，交直线于点，最后测量的长即得．根据的原理是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的实际应用，根据全等三角形的判定方法，进行判断即可． 【详解】解：由题意，可知：，， 又∵， ∴； ∴； 故选A． 4．（23-24八年级下·贵州安顺·期末）在中，用尺规作图作等腰，下列作图正确的是（    ） ①                ②               ③                   ④ A．①② B．①③ C．③④ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查了作图，解决本题的关键是熟悉几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，也考查了等腰三角形的判定和平行四边形的性质． 直接利用作图痕迹可直接判断①②④；结合平行四边形的性质以及角平分线的定义可判断②． 【详解】解：①由作图可知，，因此是等腰三角形，故本项符合题意； ②由作图可知，，因此得不出是等腰三角形，故本项不符合题意； ③由作图可知，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 故本项符合题意； ④由作图可知，，因此得不出是等腰三角形，故本项不符合题意； 故选：B． 5．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）将一副直角三角尺和一把宽度为的直尺按如图所示的方式摆放：先把和角的顶点及它们的一条直角边重合，再将此直角边垂直于直尺的上沿，重合的顶点落在直尺下沿，这两个三角尺的斜边分别交直尺上沿于A，B两点，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理、直角三角形的性质等知识点，掌握角的直角边是斜边的一半成为解题的关键． 根据等腰直角三角形的性质求出，根据含角的直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，进而求出的长即可． 【详解】解：如图：在中，，则， 在中，，则， 由勾股定理得， ∴． 故选：A． 6．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）如图，为等边三角形，D为平面内一点，连接，将绕点D顺时针旋转 ，得到线段，连接，．当，时，的长为___________． 【答案】或 【分析】分两种情况：当在的左侧时；当在的右侧时；分别计算即可得解． 【详解】解：如图，当在的左侧时， ∵是等边三角形， ∴， 由旋转的性质可得：， ∴为等边三角形， 延长交于， ， ， ， ， 由勾股定理可得：， ， 为等边三角形，， ， ； 如图：当在的右侧时， 由旋转的性质可得：， ∴为等边三角形， ， 此时， ； 综上所述，或， 故答案为：或． 7．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）如图，在正六边形内部作等边三角形，连接．已知，则点P到的距离为______． 【答案】4 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，等边三角形的性质与判定，含度角的直角三角形的性质，连接，过点P作于点B，根据多边形内角和定理得到，由等边三角形的性质推出，，则可证明是等边三角形，求出，根据角的直角三角形的性质解答即可． 【详解】解：如图，连接，过点P作于点B， ∵是正六边形， ∴，， ∴， ∵是等边三角形， 又∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 即点P到的距离为， 故答案为：． 8．（22-23八年级下·贵州·期末）已知一个正多边形的边数为n． (1)若这个正多边形的内角和的比外角和多，求n的值． (2)若这个正多边形的一个内角为，求n的值． 【答案】(1)n的值为12； (2)n的值为5． 【分析】（1）根据多边形内角和公式列式计算即可解答； （2）先求得这个正多边形的每个外角为，根据多边形外角和定理解答即可． 【详解】（1）解：依题意，得， 解得，即n的值为12； （2）解：∵正多边形的一个内角为， ∴这个正多边形的外角为． ∵多边形的外角和为， ∴，即n的值为5． 9．（24-25八年级下·贵州铜仁·期末）如图，在等边三角形中，，点D是的中点，过点D作于点F，过点F作于点E，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，含角的直角三角形，由等边三角形性质得到，，根据含角的直角三角形求出，求出，再根据含角的直角三角形求出，即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 10．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）如图，在等边中，为线段上一点（不与端点重合），平分，交于点，与的延长线交于点，连接，且，以下结论：；②；③是等腰三角形；④连接．其中结论正确的是（　　） A．①③ B．①②④ C．①③④ D．①④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质和判定，三角形全等的性质和判定，三角形的内角和与外角的性质，解题的关键是熟练掌握相关知识并灵活运用，通过三角形的全等得出对应角相等，对应边相等． 通过证明，即可判断①；根据等边三角形的性质可得，，则，即可判断②；根据可得，再根据等边三角形的性质可得，即可判断③；设，则，根据等腰三角形的性质可得，根据三角形外角定理可得，求出x，即可判断④． 【详解】解：①∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故①正确； ②∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴和不全等， 故②不正确； ③由①可得， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； 故③正确； ④连接，设，则， 由③可得是等腰三角形； ∴， ∵， ∴，则， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故④正确； 综上，正确的有：①③④， 故选：C． 11．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）如图，在 中， 的平分线与交于点D，点E为上任意一点，过点E作 交于点F，作交于点G．求证： 是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查等腰三角形的判定，角平分线的定义，平行线的性质等知识．根据角平分线的定义得，再根据平行线的性质可得，可得，根据等角的余角相等可得，即可得证． 【详解】证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 12．（24-25八年级下·贵州贵阳·期末）如图，在中，，是边上的高． 【问题解决】 （1）如图①，______度，与的数量关系是______； 【问题探究】 （2）如图②，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，若，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图③，点P是线段上的一动点（P不与点A，D重合），将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接线段．试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）  30  ，；（2）；（3），理由见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和内角和定理得到，再根据含角的直角三角形的性质即可得到结论； （2）求出，，根据勾股定理得到，得到，证明是等边三角形，得到，，即可得到，根据勾股定理即可求出答案； （3）连接，求出，得到，得到，则，即，即可证明结论成立． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵是边上的高． ∴， ∴ 故答案为：， （2）∵， ∴，， ∵是边上的高． ∴， ∴ ∵是边上的高． ∴ ∵将线段绕点D逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴ （3），理由如下： 如图，连接， ∵，是边上的高． ∴垂直平分， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴ ∵线段绕点P逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴ ( 考点03 直角三角形 ) 1．（24-25八年级下·贵州黔南·期末）下列各数中，能与6，8组成一组勾股数的是    （    ） A．10 B．11 C．13 D．15 【答案】A 【分析】本题考查了勾股数，三个正整数若满足两个较小的数的平方和等于最大的数的平方，那么这三个正整数叫做勾股数，据此逐项判断即可求解，掌握勾股数的定义是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴是一组勾股数，该选项符合题意； 、∵， ∴不是一组勾股数，该选项不合题意； 、∵， ∴不是一组勾股数，该选项不合题意； 、∵， ∴不是一组勾股数，该选项不符合题意； 故选：A． 2．（23-24八年级下·贵州安顺·期末）已知a，b，c是的三条边，则下列条件不能判定是直角三角形的是（） A．，， B． C． D． 【答案】D 【分析】依据勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理进行计算和判断，即可得出结论． 【详解】解：A.由，，可得a2+b2=c2，能判定△ABC是直角三角形，不合题意； B.由∠A+∠B=∠C及∠A+∠B+∠C=180°可得∠C=90°，能判定△ABC是直角三角形，不合题意； C.由(a+b)2+(a-b)2=2c2可得a2+b2=c2，能判定△ABC是直角三角形，不合题意； D.由可得∠A=40°，∠B=60°，∠C=80°，能判定△ABC不是直角三角形，符合题意； 故选：D． 3．（24-25八年级下·贵州贵阳·期末）如图，有一块三角形空地，它的三条边线分别长和，已知长的边线为南北向，则长的边线方向为（    ） A．东西向 B．东北向 C．东南向 D．西北向 【答案】A 【分析】本题考查方向角，勾股定理逆定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．利用勾股定理逆定理判断即可． 【详解】解∶如图，，， ∴，， ∴， ∴， ∵长的边线为南北向， ∴长的边线方向为东西方向， 故选∶A． 4．（24-25八年级下·贵州黔西南·期末）如图中，，则的长是（   ） A．7 B．3 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么．根据勾股定理求解即可． 【详解】解；∵， ∴． 故选C． 5．（24-25八年级下·贵州铜仁·期末）下列各组数据中，能构成直角三角形的是（    ） A．，， B．6，7，8 C．2，3，4 D．3，3， 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理逆定理，比较两条较短线段的平方和与较长线段的平方之间的关系，进行判断即可． 【详解】解：A、，不能组成直角三角形； B、，不能组成直角三角形； C、，不能组成直角三角形； D、，能组成直角三角形； 故选：D． 6．（24-25八年级下·贵州黔南·期末）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形拼接而成．若，，则正方形的边长是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股弦图、全等三角形的性质，勾股定理的知识点．根据三角形全等性质得出，，再根据勾股定理求出，然后线段的和差即可解答． 【详解】解：∵正方形为四个全等的直角三角形拼接而成， ∴，， 在中，由勾股定理， ∴，即正方形的边长是7． 故选：C． 7．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）贵州植被具有明显的亚热带性质，组成种类繁多，区系成分复杂，吸引了不少对植被有研究的学者去贵州考察．如图，有学者在考察时发现一棵树在距离地面处折断了，倒下的部分与地面形成了的夹角，这棵树原来的高度是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了直角三角形中的角所对的直角边是斜边的一半，如图，由于倒下部分与地面成夹角，所以，由此得到，而离地面米处折断倒下，即米，所以得到米，然后即可求出这棵大树在折断前的高度． 【详解】解：如图， ∵， ∴，而米， ∴米， ∴这棵大树在折断前的高度为米． 故选：B． 8．（24-25八年级下·贵州铜仁·期末）已知：如图，在和中，，相交于点，，，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是得到． 根据，即可证明，即可得出结论． 【详解】解：在和中， ， ， ． 9．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）如图，数学活动实践课上，小浩在旗杆 与某栋楼之间选定一点 (点B，，D在同一水平线上)，于点D，于点B，他在点处用智能测量仪测得，，求楼的高度． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的应用，理解题意，熟练掌握利用全等三角形的性质测高是解答的关键．证明 得到，进而求解即可． 【详解】解：∵， ， 在和中， ， ， ， ， ， 答：楼的高度为． 10．（24-25八年级下·贵州遵义·期末）在如图1的网格中，每个小正方形的边长均为1．的顶点均在格点上．小雨同学利用勾股定理求出． (1)填空：______，_____； (2)在如图2的长方形网格中，每个小长方形的长均为2，宽为1．格点上的点，如图，点在格点上，满足，．请在网格中画出，并求的面积． 【答案】(1)； (2)图见解析，5 【分析】题目主要考查网格与勾股定理，理解题意熟练掌握勾股定理是解题关键． （1）利用网格及勾股定理求解即可； （2）根据题意画出三角形，然后再由勾股定理逆定理确定为直角三角形，求面积即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 故答案为：； （2）如图所示，即为所求； 其中，， ∴， ∴为直角三角形， ∴的面积为：． 11．（24-25八年级下·贵州遵义·期末）我国汉末三国时期赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示的正方形，这个图称为“弦图”，并用它证明了勾股定理． (1)如图1，在中，，设，，．利用该“弦图”证明：； (2)小雨同学通过学习发现：对“弦图”进行一定的变化可制作出如图2所示的“数学风车”．将图1中四个直角三角形的直角边分别向外延长，使，连接，，，，得到如图3所示的“数学风车”平面图．若，，，求“数学风车”外围轮廓（图3中实线部分）的总长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理的验证和运用，理解勾股定理是解决问题的关键． （1）依据题意得， ，再结合，，正方形边长为，即可解题； （2）依据题意，结合图形，利用勾股定理得出即可求解． 【详解】（1）证明：由图可知， ∵，，正方形边长为， ∴， 即． （2）解：∵，，，， ∴， ∴， ∴， ∴“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为． 12．（23-24八年级下·贵州毕节·期末）如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E． （1）已知CD=4cm，求AC的长； （2）求证：AB=AC+CD． 【答案】（1）；（2）证明见试题解析． 解：（1）∵AD是△ABC的角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB， ∴DE=CD=4cm， 又∵AC=BC， ∴∠B=∠BAC， 又∵∠C=90°， ∴∠B=∠BDE=45°， ∴BE=DE=4cm． 在等腰直角三角形BDE中，由勾股定理得，BD=cm， ∴AC=BC=CD+BD=（cm）． （2） ∵AD是△ABC的角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB， ∴∠ADE=∠ADC， ∴AC=AE， 又∵BE=DE=CD， ∴AB=AE+BE=AC+CD． 13．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）如图，在中，为延长线上一点，点在上，且 (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质的应用，以及等腰直角三角形的性质和应用，要熟练掌握． （1）根据得到即可； （2）首先根据，可得，然后根据，，求出的度数，即可求出的度数． 【详解】（1）证明：在与中， ， ∴； （2）解：∵， ∴； ∵，， ∴， ∴． 14．（24-25八年级下·贵州铜仁·期末）伟大的“乡村振兴”战略思想为广大的农村地区带来了福音，各项惠农政策极大的促进了农村产业高速发展，某地政府为了加快农产品快速输出，计划整修公路缩短运输路程，如图C地是当地蔬菜种植基地，原先C地的蔬菜运往A城市必须先经过B地中转然后才能到达A市（即沿路线），现在政府计划打通一条隧道（大概位置为图中粗墨色线条），然后再到达A市，即沿路线． (1)为了使得隧道最短，请你利用尺规作图准确作出D点位置（保留作图痕迹） (2)已知，，，请你利用所学知识计算打通隧道后由C地到A城市的路程缩短了多少． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了尺规作图，勾股定理． （1）利用尺规作图作出边上的高即可； （2）利用勾股定理求得的长，再利用等积法求得的长，利用勾股定理求得的长，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：如图，D点位置即为所作， ； （2）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 打通隧道前，由C地到A城市的路程为， 打通隧道后，由C地到A城市的路程为， 打通隧道后由C地到A城市的路程缩短了． 15．（24-25八年级下·贵州黔西南·期末）在春天来临之际，八（1）班和八（2）班的同学计划在学校劳动实践基地种植蔬菜；如图，点C是自来水管的位置，点A和点B分别表示八（1）班和八（2）班实践基地的位置，两处相距3米，两处相距4米，两处相距5米；为了更好的使用自来水灌溉，八（1）班和八（2）班在图纸上设计了两种水管铺设方案：    八（1）班方案：沿线段铺设2段水管； 八（2）班方案：过点C作于点D，沿线段铺设3段水管； (1)求证：； (2)从节约水管的角度考虑，你会选择哪个班的铺设方案？为什么？ 【答案】(1)见解析 (2)选用八（1）班方案，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，等面积法求线段的长度等内容，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理判定直角三角形． （1）利用勾股定理的逆定理进行判定即可； （2）利用等面积法求出线段的长度，分别将两个方案所需水管长度求出，然后进行比较选择即可． 【详解】（1）证明：,， ∴， ∴为直角三角形， ∴； （2）解：选用八（1）班方案，理由如下： 方案一所需水管长度为：（米）； 方案二所需水管长度如下： 由（1）得，且，由等面积法可得， （米）， （米）； ∵， ∴方案一所用的水管少， 故选用八（1）班方案． ( 考点04 线段的垂直平分线和角平分线 ) 1．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）如图，为内部一点，且点到的距离与点到的距离相等，连接，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的判定，熟练掌握角平分线的判定方法：到角两边距离相等的点在角的角平分线上是解题的关键，利用角平分线的判定方法判定平分，即可求解． 【详解】解：∵为内部一点，且点到的距离与点到的距离相等， ∴平分， ∵， ∴， 故选：D． 2．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交于点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．由作图过程可得，直线为线段的垂直平分线，则，可得．由题意得，，再根据可得答案． 【详解】解：由作图过程可得，直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∴， ∴． 故选：C． 3．（22-23八年级下·贵州·期末）如图，在中，，I为各内角平分线的交点，过点I作的垂线，垂足为H，则的长为（    ）    A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】过点I作，垂足为E，过点I作，垂足为D，连接，，，先利用角平分线的性质可得，再利用勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，从而可得，然后利用面积法进行计算，即可解答． 【详解】解：过点I作，垂足为E，过点I作，垂足为D，连接，，，    ∵I为各内角平分线的交点，，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵的面积的面积的面积的面积， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故选：A． 4．（22-23八年级下·贵州贵阳·期末）如图，在中，，，，平分交于点D，于点E，则的长是（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质，由角平分线的性质定理可得，再证明得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵平分交于点D，于点E，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 5．（24-25八年级下·贵州贵阳·期末）如图，在中，，垂直平分．则的周长为______． 【答案】10 【分析】本题考查垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质得到，再由三角形的周长即可求解． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴． 故答案为：10 6．（24-25八年级下·贵州黔西南·期末）如图所示，在直角中，，，，边上的垂直平分线交边于点E，交边于点D，连接，则的周长为______． 【答案】17 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质．利用勾股定理求出，然后根据线段垂直平分线的性质得到，最后根据三角形的周长公式计算可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴的周长为 ， ∴的周长为17． 故答案为：17． 7．（24-25八年级下·贵州铜仁·期末）如图，三角形纸片中，，，．D是边上一点，连接，把沿翻折，点B恰好落在延长线上的点处，则的长为_____． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，角平分线的性质，由翻折可得为的角平分线，则，利用勾股定理求出，由求解即可． 【详解】解：由翻折可得为的角平分线， 作于点，则， 在中，由勾股定理得， ，， ， 又， ， ． 故答案为：． 8．（23-24八年级下·贵州毕节·期末）如图，在中，分别以A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于F，G两点，作直线分别交，于点M，D；再分别以A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于H，I两点，作直线分别交，于点N，E；若，，，则的长为_____． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）和勾股定理的逆定理、勾股定理，解题的关键是根据尺规作图判断出垂直平分线，得到相等线段，再通过边长关系验证直角三角形，进而求出的长． 先根据尺规作图特征，确定是的垂直平分线、是的垂直平分线，得、；计算的长度；再通过、、的边长关系，用勾股定理的逆定理判断为直角三角形，得出；最后在中，用勾股定理求出． 【详解】解：由尺规作图可知，垂直平分垂直平分， ∴（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等）， （线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等）． ∴ 在中，， ∵，即， ∴为直角三角形，且，即． 在中，由勾股定理得：． 故答案为：． 9．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点D，M，的垂直平分线分别交，于点E，N，连接，，则的度数为______． 【答案】/48度 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到，计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵垂直平分垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）如图，在四边形中，，，，相交于点E．若，则的长为（   ） A．3 B．4 C．6 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的判定、等边三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由，可得垂直平分，推出，通过证明是等边三角形，得到，再利用三线合一性质即可求出的长． 【详解】解：∵，， ∴垂直平分， ∴，即， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 11．（22-23八年级下·贵州毕节·期末）如图，在中，，点为斜边上一点，且，过点作的垂线交于点．求证：点在的角平分线上． 【答案】见解析 【分析】连接，可通过证明从而得到结论． 【详解】证明：连接， ， ． 在和中 ， ． ． 点在的角平分线上． 12．（23-24八年级下·贵州贵阳·期末）如图，在中，．小星、小红两人想在上取一点P，连接，使得，其作法如下： 请选择一种作法将图形补全，并判断正误，说明理由． 【答案】见详解 【分析】本题考查作图-复杂作图，解题的关键是理解题意，正确作出图形． 根据题意作出图形判断即可． 【详解】解：小星的作法如图所示，方法正确． 理由：∵点在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴； 小红的作法如图所示，方法错误． 理由：∵， 又∵， ∴， ∴． 13．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）如图，在中，． (1)请用无刻度的直尺和圆规在边上作一点P，使点P到点B、点C的距离相等（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，当点P到直线的距离也相等时，则的度数为______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图-基本作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质． （1）作线段的垂直平分线交于点P，点P即为所求； （2）证明，再根据，求出即可． 【详解】（1）解：如图，线段的垂直平分线交于点P， ∴点P到点B、点C的距离相等， ∴点P即为所求； （2）解：由作图可知， ∴， ∵点P到直线、的距离也相等， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：30． 14．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）如图，在中，是上一点，且，，平分，求证：垂直平分． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边，由平行线的性质和角平分线的定义可证明，进而得到，再由，即可证明垂直平分． 【详解】证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴垂直平分． 15．（24-25八年级下·贵州贵阳·期末）如图，在四边形中，，平分，，垂足为点E，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质． （1）由平分，可知，可证，即可得到； （2）求出，证明，得到，由得到，进而可求四边形的面积． 【详解】（1）证明：平分，． ． ， ． ； （2）解：， ． ， 且， ． ． ， ． ， ∴． ( 考点05 问题解决与策略：反思 ) 1.如图，在∠AOB的两边OA，OB上分别取OM＝ON，OD＝OE，DN和EM相交于点C.求证：点C在∠AOB的平分线上． 解析： 证明：过点C作CG⊥OA于点G，CF⊥OB于点F，如图， 在△MOE和△NOD中，OM＝ON，∠MOE＝∠NOD，OE＝OD，∴△MOE≌△NOD(SAS)， ∴S△MOE＝S△NOD， ∴S△MOE－S四边形ODCE＝S△NOD－S四边形ODCE， ∴S△MDC＝S△NEC. ∵OM＝ON，OD＝OE，∴MD＝NE. ∴CG＝CF.又 ∵CG⊥OA，CF⊥OB， ∴点C在∠AOB的平分线上 2.已知∠AOB＝90°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与点C重合，它的两条直角边分别与OA，OB相交于点D，E. (1)如图①，若CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E.求证：CD＝CE； (2)当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图②这种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出你的猜想，不需证明． 解：(1)根据ASA证明△DOC≌△EOC即可得出CD＝CE　 (2)成立．如图，过点C作CH⊥AO于点H，CG⊥OB于点G， ∵OM平分∠AOB，∴CG＝CH. ∵∠AOG＝90°，∴∠HCG＝90°， ∴∠HCD＋∠DCG＝90°,∠DCG＋∠GCE＝90°， ∴∠HCD＝∠GCE. 又∵∠CHD＝∠CGE＝90°， ∴△CHD≌△CGE(ASA)， ∴CD＝CE 3.如图25，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，若∠A=40º. （1）求∠NMB的度数； （2）如果将（1）中∠A的度数改为70º，其余条件不变， 再求∠NMB的度数； （3）你发现有什么样的规律性，试证明之； （4）若将（1）中的∠A改为钝角，你对这个规律性的认识是否需要加以修改？ 解析：（1）∵AB=AC， ∴∠B=∠ACB， ∴∠B＝（180°-∠A）=70°， ∴∠NMB=90°-∠B=90°-70°=20°. （2）∵AB=AC， ∴∠B=∠ACB， ∴∠B＝ （180°-∠A）=55°, ∴∠NMB=90°-∠B=90°-55°=35°. （3）规律：∠NMB的度数等于顶角∠A度数的一半， 证明：∵AB=AC， ∴∠B=∠ACB， ∴∠B= （180°-∠A）， ∵∠BNM=90°， ∴∠NMB=90°-∠B=90 °- （180°-∠A）=∠A 即∠NMB的度数等于顶角∠A度数的一半. (4):将（1）中的∠A改为钝角，这个规律不需要修改，仍有等腰三角形一腰的垂直平分线与底边或底边的延长线相交所成的锐角等于顶角的一半． 43 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $