冲刺十二《三元一次方程组的解法》—2025-2026学年七年级下册数学期末重难点练习（人教版）

**基本信息** 聚焦三元一次方程组解法，通过概念辨析、方法选择、实际应用构建从基础到综合的训练体系，渗透抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|单选1-2题|三元一次方程组定义判断、消元策略选择|从三元一次方程组定义出发，建立与二元一次方程组的联系| |方法应用|单选3-4+填空9|解的直接求解、参数值计算|通过代入/加减消元将三元转化为二元，体现转化思想| |实际建模|单选5-8+填空10-13+解答14-18|古代问题、行程、经济等情境化问题|从数学问题到实际情境，培养多变量问题的数学表达与模型意识|

冲刺十二《三元一次方程组的解法》 2026年七年级下册数学期末重难点练习（新人教版）解析版 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列方程组中，是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三元一次方程组，根据三元一次方程组的定义：含有3个未知数，且未知数的最高次数为1次的整式方程组叫做三元一次方程组，逐一判断是解题关键． 【详解】解：对于A选项，第二个方程中未知数x的次数是2， 故A选项中方程组不是三元一次方程组； 对于B选项，第一个方程中分母含有未知数， 故B选项中方程组不是三元一次方程组； 对于C选项，第二个方程中每个未知数的次数都是1，但对于整个方程而言，次数是3， 故C选项中的方程组不是三元一次方程组； 对于D选项，方程组中含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是一次， 故D选项中的方程组是三元一次方程组． 故选：D． 2．解方程组，最简便的消元方法是（    ） A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．先消去常数项 【答案】B 【解析】略 3．方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解三元一次方程组，能选择适当的方法正确消元是解此题的关键． 得出，、、，即可求出z、y、x的值． 【详解】解：， 得：， ， 得：， 得：， 得：， 所以原方程组的解为：． 故选：D． 4．已知是三元一次方程组的解，那么的值为（    ） A． B．6 C．9 D．18 【答案】A 【分析】本题考查了三元一次方程组的解，将代入方程组，然后相加求解即可． 【详解】解：∵是三元一次方程组的解， ∴， 三式相加，得， 解得． 故选：A． 5．我国古代数学家张丘建在《张丘建算经》里，提出了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题．用个钱买只鸡，公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只．问公鸡，小鸡各买了多少只？在这个问题中，公鸡的只数不可能是（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】D 【分析】设公鸡有x只，母鸡有y只，小鸡有z只，根据条件建立三元一次不定方程组，解方程组即可求解． 【详解】解：设公鸡有x只，母鸡有y只，小鸡有z只，根据题意得， ， 整理得： ， ，，且都是自然数， ， ，是7的倍数， ，7，14，21， ，18，11，4； 共有4种情况： ①公鸡4只，母鸡18只，小鸡78只； ②公鸡8只，母鸡11只，小鸡81只； ③公鸡12只，母鸡4只，小鸡84只； ④公鸡0只，母鸡25只，小鸡75只． 故小鸡的只数不可能是 故选： 【点睛】本题考查列三元一次不定方程解古代数学问题的运用，不定方程组的解法的运用，解答时根据条件建立方程是关键． 6．一个三位数，百位上的数与十位上的数之差是2，如果交换十位数字与个位数字的位置，那么所得的数就比原来小36，则百位上的数与个位上的数之差为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】设这个三位数的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，然后根据交换后所得的数就比原来小36，百位上的数与十位上的数之差是2，列出方程组求解即可 【详解】解：设这个三位数的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c， ∴这个三位数为100a+10b+c，交换后的三位数为100a+10c+b， ∵交换后所得的数就比原来小36，百位上的数与十位上的数之差是2， ∴ ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了三元一次方程组的应用，正确理解题意列出方程组求解是解题的关键． 7．如图，“●、■、▲”分别表示三种不同的物体，已知前两架天平保持平衡，要使第三架也保持平衡，如果在“？”处只放“■”，那么应放“■”（    ）    A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】可设●、■、▲分别为x，y，z，由（1）（2）的等量关系可列出方程，用y分别表示出x和z即可得出结论． 【详解】解：设●、■、▲分别为x，y，z，由（1）（2）可知： ， 解得：， ∴， 即■的个数为5个． 故选：A． 【点睛】本题主要考查方程组的应用，根据题意列出符合条件的方程组是解题的关键． 8．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行，每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方，图（2）是一个未完成的幻方，则与的和是(    ) A．13 B．12 C．11 D．10 【答案】B 【分析】根据题意设出相应未知数，然后列出方程组求解即可． 【详解】解：设如图表所示： 根据题意可得：， 整理得：， 又根据题意可得：，， 整理得：，， 联立方程组得： 解得： ∴， 故选：B． 【点睛】题目主要考查三元一次方程组的应用，理解题意，列出相应方程组并求解是解题关键． 二、填空题 9．三元一次方程组的解为________． 【答案】 【分析】利用代入消元法和加减消元法求解即可． 【详解】， 把代入，得：， ，得：， ， 把代入得：， 把代入得：， ∴原方程组的解是． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了三元一次方程组的解法，解题的基本思路是消元，通过加减消元和代入消元将三元一次方程组转化为二元一次方程组来求解． 10．“六一儿童节”当天，商场推出铅笔，练习本、圆珠笔三种特价学习用品，若购铅笔2支，练习本1本、圆珠笔3支共需6元；若购铅笔3支、练习本4本、圆珠笔2支共需9元．现购铅笔1支，练习本1本，圆珠笔1支，共需___________元． 【答案】 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用；设一支铅笔、一本练习本和一支圆珠笔的单价分别为、和元，根据购铅笔支，练习本本，圆珠笔支共需元；购铅笔支，练习本本，圆珠笔支共需元建立三元一次方程组，然后将两个方程联立，即可求得的值． 【详解】解：设一支铅笔、一本练习本和一支圆珠笔的单价分别为、和元， 根据题意得：， ②①得：③， 购铅笔支，练习本本，圆珠笔支，共需元， 故答案为：． 11．从A地到B地骑车要走上坡、下坡、平路三个路段，全程．某人上坡每小时行，下坡每小时行，平路每小时行．如图，他从地到地用了，从地到地用了，则从A地到B地上坡、下坡、平路的路程分别是_______． 【答案】、、 【分析】本题考查三元一次方程组的应用，设地到地，上坡、下坡、平路分别是千米，千米，千米，根据“全程，地到地用了，从地到地用了”分别列出方程，组成方程组，再求解即可．解题的关键是找出题目中的等量关系，列出方程组，用代入消元法或加减消元法求出方程组的解． 【详解】解：设地到地，上坡、下坡、平路分别是千米，千米，千米，根据题意得： 解得：， 答：从A地到B地上坡、下坡、平路的路程分别是、、． 故答案为：、、． 12．甲、乙、丙三人各有糖若干块，甲从乙处取来一些糖，使原有糖的块数增加一倍，乙从丙处取来一些糖，使留下的块数增加一倍，丙再从甲处取来一些糖，也使留下的块数增加一倍．这时三人的糖块一样多．开始时，丙有32块糖，则乙原来有____块糖． 【答案】40 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用．根据题意列出方程组，解答即可． 【详解】解：设甲、乙二人原来分别有糖块、块糖，乙从丙处取来块糖． 则根据题意知，甲、乙、丙分别有糖块、、． 乙处糖的转换过程得知，， 由三处糖块一样多可得，， 把①代入③，得④； 由得，． 故乙原来有40块糖块． 故答案为：40． 13．某班级组织活动购买小奖品，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，则购买支铅笔、块橡皮、本日记本共需__________元 【答案】30 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的实际应用，设每支铅笔x元，每块橡皮y元，每本日记本z元，根据题意可得方程组，利用加减消元法可得，据此可得答案． 【详解】解：设每支铅笔x元，每块橡皮y元，每本日记本z元， 由题意得， 得：， ∴， ∴购买支铅笔、块橡皮、本日记本共需30元， 故答案为：30． 三、解答题 14．解方程组： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解方程组，熟练掌握解方程组的一般步骤，是解题的关键． （1）利用加减消元法求出二元一次方程组的解即可； （2）先得，，再分别代入求解即可． 【详解】（1）解：， ①3得，③， 得，， ∴， 将代入方程①，解得， ∴原方程组的解为； （2）解：， 得，， 将代入方程②，解得：， 将代入方程①，解得：， ∴原方程组的解为：． 15．（1）解方程组； （2） （3）解三元一次方程组． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了解方程组，解题的关键是熟练掌握解方程组的方法，准确计算． （1）将原方程组进行变形，然后用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）将原方程组进行变形，然后用加减消元法解二元一次方程组即可； （3）得：，把代入得：，即，把代入③得：，即，解关于a、c的方程组即可． 【详解】解：（1） 原方程组可变为：， 得：， 解得： 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为：； （2）， 原方程组可变为：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：； （3）， 得：， 把代入得：，即， 把代入③得：，即， 得：，解得：， 把代入④得：，解得：， ∴方程组的解为：． 16．春节期间，为迎接“新春大庙会”的到来，重庆某商家推出了两款具有重庆特色的伴手礼盒，分别是重庆坝坝茶和千年非遗荣昌陶．其中，坝坝茶的售价为元一盒，荣昌陶的售价为元一盒．已知在月份商家技售价销售两款商品共件，且销售额不低于元． (1)求1月份至多卖出坝坝茶多少盒？ (2)随着春节即将结束，月份商家推出了促销活动．在月份的售价基础上，每盒坝坝茶的售价降低，每盒荣昌陶进行九折促销活动．现已知月份坝坝茶的销售额为元．荣昌陶的销售额为元，而两款伴手礼盒的总销量相较月份增长了倍，求的值． 【答案】(1)1月份至多卖出坝坝茶盒 (2) 【分析】本题考查了一元一次不等式以及三元一次方程组的应用； （1）设1月份卖出坝坝茶盒，荣昌陶盒，根据题意1月份总销售额至少为元，列出一元一次不等式，解不等式，即可求解； （2）2月份的促销中，坝坝茶每盒售价变为元，荣昌陶每盒售价变为元，设2月份卖出坝坝茶盒，荣昌陶盒，根据题意可得，解方程组，即可求解． 【详解】（1）解：设1月份卖出坝坝茶盒，荣昌陶盒． 根据题目描述，1月份总销售额至少为元，即． 化简得到， 即， 解得：． 答：1月份至多卖出坝坝茶盒． （2）2月份的促销中，坝坝茶每盒售价变为元，荣昌陶每盒售价变为元． 设2月份卖出坝坝茶盒，荣昌陶盒，根据2月份总销量相较1月份增长了1倍，即． 根据2月份的销售数据，可建立方程组 由②可得． 由于，得到． 将代入方程①中解出的值：， 即． 解得． 17．合肥市某中学学生张强到某服装商场进行社会调查，了解到该商场为了激励营业员的工作积极性，实行月总收入＝基本工资计件奖金的方法（即营业员月总收入由基本工资和计件金两部分构成），并获得如下信息： 营业员：月销售件数件，月总收入元； 营业员：月销售件数件，月总收入元． 假设营业员的月基本工资为元，销售每件服装奖励元． (1)求、的值； (2)商场为了多销售服装，对顾客推荐一种购买方式：如果购买甲服装件，乙服装件，丙服装件共需元；如果购买甲服装件，乙服装件，丙服装件共需元．某顾客想购买甲、乙、丙服装各一件，共需多少元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】（1）设营业员的月基本工资为元，销售每件服装奖励元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设购买一件甲服装需要元，购买一件乙服装需要元，购买一件丙服装需要元，根据题意列出三元一次方程组，得出，即可求解． 【详解】（1）解：设营业员的月基本工资为元，销售每件服装奖励元， 根据题意得：， ， （2）解：设购买一件甲服装需要元，购买一件乙服装需要元，购买一件丙服装需要元， 根据题意得：， ，得：． 答：购买甲、乙、丙服装各一件共需元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，三元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键． 18．某水果基地计划装运甲、乙、丙三种水果到外地销售（规定每辆汽车满载，并且只装一种水果）．下表为装运甲、乙、丙三种水果的重量及利润． 甲 乙 丙 每辆汽车能装的数量（吨） 每吨水果可获利润（万元） (1)用辆汽车装运乙、丙两种水果共吨到地销售，问装运乙、丙两种水果的汽车各多少辆？ (2)水果基地计划用辆汽车装运甲、乙、丙三种水果共吨到地销售（每种水果不少于一车），假设装运甲水果的汽车为辆，则装运乙、丙两种水果的汽车各多少辆（结果用含的式子表示）？ (3)在（2）问的基础上，如何安排装运可使水果基地获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)装运乙种水果的汽车有辆、丙种水果的汽车有辆 (2)装运乙种水果的汽车是辆，丙种水果的汽车是辆 (3)安排运甲水果的车辆，运乙水果的车辆，运丙水果的车辆，可使水果基地获得最大利润，最大利润为万元 【分析】本题考查二元一次方程组，代数式表示式子，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键； （1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题； （2）根据题意和表格中的数据可以用关于的代数式表示出装运乙、丙两种水果的汽车数量； （3）根据题意可以写出利润关于的关系式，再根据的取值范围即可解答本题． 【详解】（1）解：设装运乙、丙水果的汽车分别为辆，辆， 由题意得， 解得 答：装运乙种水果的汽车有辆、丙种水果的汽车有辆． （2）设装运乙、丙水果的汽车分别为a辆，b辆， 由题意得 解得 答：装运乙种水果的汽车是辆，丙种水果的汽车是辆． （3）设总利润为万元， 则． ． 又为正整数， ，，． 将，，依次代入中， 可得当时，最大，此时． 答：安排运甲水果的车辆，运乙水果的车辆，运丙水果的车辆，可使水果基地获得最大利润，最大利润为万元． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 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12．甲、乙、丙三人各有糖若干块，甲从乙处取来一些糖，使原有糖的块数增加一倍，乙从丙处取来一些糖，使留下的块数增加一倍，丙再从甲处取来一些糖，也使留下的块数增加一倍．这时三人的糖块一样多．开始时，丙有32块糖，则乙原来有____块糖． 13．某班级组织活动购买小奖品，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，则购买支铅笔、块橡皮、本日记本共需__________元 三、解答题 14．解方程组： (1) (2)． 15．（1）解方程组； （2）（3）解三元一次方程组． 16．春节期间，为迎接“新春大庙会”的到来，重庆某商家推出了两款具有重庆特色的伴手礼盒，分别是重庆坝坝茶和千年非遗荣昌陶．其中，坝坝茶的售价为元一盒，荣昌陶的售价为元一盒．已知在月份商家技售价销售两款商品共件，且销售额不低于元． (1)求1月份至多卖出坝坝茶多少盒？ (2)随着春节即将结束，月份商家推出了促销活动．在月份的售价基础上，每盒坝坝茶的售价降低，每盒荣昌陶进行九折促销活动．现已知月份坝坝茶的销售额为元．荣昌陶的销售额为元，而两款伴手礼盒的总销量相较月份增长了倍，求的值． 17．合肥市某中学学生张强到某服装商场进行社会调查，了解到该商场为了激励营业员的工作积极性，实行月总收入＝基本工资计件奖金的方法（即营业员月总收入由基本工资和计件金两部分构成），并获得如下信息： 营业员：月销售件数件，月总收入元； 营业员：月销售件数件，月总收入元． 假设营业员的月基本工资为元，销售每件服装奖励元． (1)求、的值； (2)商场为了多销售服装，对顾客推荐一种购买方式：如果购买甲服装件，乙服装件，丙服装件共需元；如果购买甲服装件，乙服装件，丙服装件共需元．某顾客想购买甲、乙、丙服装各一件，共需多少元？ 18．某水果基地计划装运甲、乙、丙三种水果到外地销售（规定每辆汽车满载，并且只装一种水果）．下表为装运甲、乙、丙三种水果的重量及利润． 甲 乙 丙 每辆汽车能装的数量（吨） 每吨水果可获利润（万元） (1)用辆汽车装运乙、丙两种水果共吨到地销售，问装运乙、丙两种水果的汽车各多少辆？ (2)水果基地计划用辆汽车装运甲、乙、丙三种水果共吨到地销售（每种水果不少于一车），假设装运甲水果的汽车为辆，则装运乙、丙两种水果的汽车各多少辆（结果用含的式子表示）？ (3)在（2）问的基础上，如何安排装运可使水果基地获得最大利润？最大利润是多少？ 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $