第03讲 平面直角坐标系14题型5重难（暑假培优讲义）新八年级数学新教材人教版

第03讲 平面直角坐标系（培优讲义） 析知识·讲要点((7大知识点) 2 剖题型·讲技巧 4 题型1 确定象限内点的坐标 4 题型3 坐标轴上点的坐标 7 题型4与坐标轴平行线上的点的坐标 9 题型5 坐标系角平分线上点的坐标 10 题型6 点的坐标与点到坐标轴的距离 11 题型7 已知点所在的象限求参数 14 题型8实际问题中用坐标表示位置 15 题型9用方向角和距离表示物体的位置 18 题型10 根据方位描述确定物体的位置 21 题型11 求平移后点的坐标 24 题型12 已知平移前后点的坐标确定平移的方式 25 题型13 已知图形的平移求点的坐标 27 题型14 坐标系中的平移作图 29 释疑惑·重难拓展 32 题型1 利用坐标求图形的面积 32 题型2 利用图形额面积求图形的坐标 35 题型3 平面直角坐标系中的规律探究问题 38 题型5 平面直角坐标系与动点问题 44 知中考·真题探源 50 练好题·提分培优 55 课标要点 1.理解有序数对的意义，能用有序数对表示物体的位置。 2. 理解平面直角坐标系的有关概念，能画出平面直角坐标系；在给定的坐标系中，能根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标。 3.掌握各象限内及坐标轴上点的坐标特征。 4.能建立适当的平面直角坐标系，描述物体的位置。 5.掌握点沿坐标轴方向平移后坐标的变化规律，会用坐标表示平移。 析知识·讲要点 知识点01 平面直角坐标系及有关概念 ★在平面内，两条互相垂直、原点重合的数轴组成平面直角坐标系．水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向；两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点． ★平面直角坐标系中两坐标轴的特征： ①互相垂直；②原点重合；③通常取向上、向右为正方向；④单位长度一般取相同的，在有些实际问题中，两坐标轴上的单位长度可以不同. 知识点02 点的坐标 ★1、有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一个有序数对来表示，这个有序数对就是这个点的坐标． ★2、写一个点的坐标时，一定要让横坐标在前，纵坐标在后，中间用逗号隔开． ★3、求一个点的坐标的方法：先由这点向x轴画垂线，垂足在x轴上的坐标是这点横坐标；后由这点向y轴画垂线，垂足在y轴上的坐标是这点的纵坐标.原点O的坐标是（0,0），x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0. ★4、已知点A（a,b）,描这个点的方法是： (1)先在坐标轴上找到表示横坐标a与纵坐标的b点； (2)然后过这两点分别作x轴与y轴的垂线； (3)垂线的交点就是该坐标对应的点. ★5、对于坐标平面内任意一点M，都要唯一的有序数对（x,y）（即点M的坐标）和它对应；反过来，对于任意一对有序数对（x,y）在坐标平面内都有唯一的一点M （即坐标为（x,y）的点）和它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序数对是一一对应的. ★6、点的坐标的几何意义：点P（a,b）到x轴的距离是,到y轴的距离是． 知识点03 平面直角坐标系内点的坐标特征 ●坐标平面的划分: 建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限． ◆1、各区域点的坐标特征 点的位置 横坐标符号 纵坐标符号 简记 在第一象限 正号 正号 （+，+） 在第二象限 负号 正号 （-，+） 在第三象限 负号 负号 （-，-） 在第四象限 正号 负号 （+，-） 在x轴上 正半轴 正号 0 （+，0） 负半轴 负号 0 （-，0） 在y轴上 正半轴 0 正号 （0，+） 负半轴 0 正号 （0，-） 原点 0 0 （0，0） ◆2、坐标轴上的点不属于任何象限；坐标平面内的任何一个点，不在四个象限内就在坐标轴上. 知识点04 用坐标表示地理位置 ★利用平面直角坐标系表示地理位置的方法： ①建立坐标系，选择一个合适的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向. ②根据实际问题确定适当的单位长度，并在坐标轴上标出单位长度. ③在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称. 知识点05 用“方向角+距离”表示平面内点的位置 ★在航海和测绘中，经常用方向角和距离来刻画平面内两个物体的相对位置，通常以北偏东（西）或南偏东（西）确定方向角. 知识点06 用坐标表示点的平移 ★平面直角坐标系中的点的坐标平移的变化规律：将点左右平移纵坐标不变，上下平移横坐标不变. （1）向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y） （2）向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y） （3）向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b） （4）向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y﹣b） 知识点07 用坐标表示图形的平移 ●图形在坐标平面内的平移：是指在坐标系中，在保持坐标轴不动的情况下，图形的整体移动；在平面直角坐标系中，对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反过来，从图形上的点的坐标变化，也可以得出这个图形进行了怎样的平移. ★1、图形在坐标平面内平移变换的实质：①图形的位置及表示位置的坐标发生变化；②图形的形状、大小不变. ★2、图形的平移坐标变化规律： 在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．） ★3、图形沿“斜方向”进行平移： 把沿“斜方向”平移分解成水平和竖直两种方向的平移，如图形从右上方直接平移到左下方，可以分解成图形先水平向左平移，再竖直向下平移，也可以分解成先竖直向下平移，再水平向左平移. 剖题型·讲技巧 题型1 确定象限内点的坐标 方法技巧 1. 一 (+,+)、二 (-,+)、三 (-,-)、四 (+,-)；2. 按符号直接写坐标；3. 坐标轴上点不在任何象限。 1．（25-26七年级下·宁夏吴忠·期中）点P在y轴左方、x轴上方，距x轴、y轴分别为1个和2个单位长度，则点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据点的位置判断横纵坐标的符号，再根据点到坐标轴的距离计算得到点的具体坐标 【详解】解：∵点在轴左方，轴上方， ∴点位于第二象限，点的横坐标为负，纵坐标为正，可排除A，C选项； ∵平面直角坐标系中，点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值， 已知点距轴个单位长度，距轴个单位长度， ∴，， ∴，， ∴点的坐标是 2．（25-26七年级下·重庆开州·期中）如下图，在长方形中，，，点A的坐标为，平行于轴，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出，再结合题意可得，平行于轴，从而即可得出结果． 【详解】解：∵点A的坐标为，平行于轴，， ∴，即， 由题意可得：，平行于轴， ∴，即． 3．（2026·贵州安顺·二模）在如图所示的正方形网格中，若建立平面直角坐标系，使“少”“年”的坐标分别为，，则“强”的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据“少”“年”的坐标建立直角坐标系如下， 则“强”的坐标为． 题型2 由点的坐标确定点所在的象限 方法技巧 1. 看横、纵坐标正负；2. (+,+) 一、(-,+) 二、(-,-) 三、(+,-) 四；3. x 轴：(a,0)，y 轴：(0,b)。 1．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】先利用平方的非负性判断点P横坐标的正负，再结合纵坐标的正负，根据平面直角坐标系各象限的坐标特征，即可判断点所在的象限． 【详解】解：∵对于任意实数，都有， ∴， 又∵点的纵坐标为， 平面直角坐标系中，横坐标为正，纵坐标为负的点在第四象限， ∴点所在的象限是第四象限． 2．（25-26七年级下·贵州遵义·期中）已知，则在平面直角坐标系中，所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】解：∵ ， ∴点的横坐标，纵坐标，符合第四象限的坐标符号特征， ∴ 点所在的象限是第四象限． 3．（25-26七年级下·山东临沂·期中）在平面直角坐标系中，平行于坐标轴的线段，若点P坐标是，则点Q一定不在第___象限． 【答案】四 【分析】本题考查了点的坐标，根据线段平行于坐标轴的坐标特点，分平行于轴和平行于轴两种情况，求出点所有可能的坐标，判断其所在象限即可得到结论． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当轴时，点的纵坐标与点相同，即， 设点坐标为， 由得， 解得或， 即在第一象限，在第二象限； ②当轴时，点的横坐标与点相同，即， 设点坐标为 ， 由得 ， 解得或， 即在第二象限， 在第三象限. 综上，点可能在第一、二、三象限，一定不在第四象限． 题型3 坐标轴上点的坐标 方法技巧 1. x 轴上：纵坐标 = 0，形式 (x,0)；2. y 轴上：横坐标 = 0，形式 (0,y)；3. 原点：(0,0)。 1．（25-26七年级下·吉林松原·期中）在平面直角坐标系中，若点在轴上，则的值为（   ） A． B．1 C．4 D．0 【答案】B 【分析】利用轴上点的纵坐标为0的性质列方程求解即可． 【详解】由题意， 解得． 2．（25-26七年级下·云南楚雄·期中）在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，则的值为（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【分析】利用x轴上点的纵坐标为0，y轴上点的横坐标为0，求出的值，再计算即可得到结果． 【详解】解：点在轴上， 点的纵坐标为，即， 解得； 又点在轴上， 点的横坐标为，即， 解得； ． 3．（25-26七年级下·山东德州·期中）若点在轴上，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】先根据y轴上点的坐标特征求出n的值，再计算出点B的横纵坐标，最后根据象限内点的坐标符号特征判断点B所在象限. 【详解】解：∵点在轴上，轴上所有点的横坐标为， ∴， 解得， 将代入点， 得点的横坐标为，纵坐标为，即， ∵第一象限内点的横纵坐标都为正， ∴点B在第一象限， 题型4与坐标轴平行线上的点的坐标 方法技巧 1. 平行 x 轴：纵坐标相同，(x₁,y)、(x₂,y)；2. 平行 y 轴：横坐标相同，(x,y₁)、(x,y₂)。 1．（25-26七年级下·山西大同·期中）在平面直角坐标系中，点，点，且直线轴，则点位于(    ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据点、的坐标和直线轴得 ，求出的值并代入坐标，再由平面直角坐标系中点的坐标的特征判断所在的象限即可． 【详解】解：点，点，且直线轴， ， ， ， 点位于第一象限． 2．（24-25七年级下·北京·期中）已知点B的坐标为，轴，且，则点A的坐标为______． 【答案】或 【分析】本题考查坐标与图形，根据平行于轴的点的纵坐标相同，两点间的距离为横坐标的差值的绝对值，进行求解即可． 【详解】解：∵点B的坐标为，轴，且， ∴或， ∴或； 故答案为：或． 3．（24-25八年级上·贵州黔东南·期中）已知点，解答下列各题． (1)点Q的坐标为，直线轴，求出点P的坐标； (2)若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求的值． 【答案】(1)点P的坐标为； (2)2023 【分析】本题主要考查坐标与图形性质， （1）根据与轴平行的直线上的点横坐标相等求解即可； （2）根据在第二象限的点的坐标特征和点到轴、轴的距离相等列出方程，解出的值，再代入所求式子计算即可． 【详解】（1）解：点的坐标为，直线轴， ， 解得：， ， 点的坐标为； （2）解：点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等， ， 解得：， ． 题型5 坐标系角平分线上点的坐标 方法技巧 1. 一、三象限角平分线：横 = 纵，(a,a)；2. 二、四象限角平分线：横 + 纵 = 0，(a,-a)。 1．（25-26八年级下·湖南岳阳·期中）已知点，当点P在第一三象限的角平分线上时，则________． 【答案】1 【分析】根据一、三象限角平分线上的点的横纵坐标相等，列出方程，即可解出． 【详解】解：根据题意可知，在一、三象限上的点的横纵坐标相等， ∴ 解得：. 2．已知点P（a，2a+3）点在第二、四象限的角平分线上，则a=_____． 【答案】-1 【详解】由点P（a，2a+3）点在第二、四象限的角平分线上，得 a+2a+3=0， 解得a=-1 故答案为-1 考点：点的坐标． 3．（25-26八年级下·湖南岳阳·期中）已知点，分别根据下列条件求出点的坐标． (1)点在轴上； (2)点在第三象限，且为整数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据x轴上的点的坐标特点为纵坐标都为0，求出a的值，再代入计算即可； （2）根据第三象限的点的特征列出不等式组，求解即可． 【详解】（1）解：点在x轴上， ， ， ， 点M的坐标为； （2）解： 点M在第三象限， ， ， 又a为整数， ， ， 点M的坐标为． 题型6 点的坐标与点到坐标轴的距离 方法技巧 平面直角坐标系内任意一点P（a,b）到x轴的距离是,到y轴的距离是. 1．（25-26七年级下·山东临沂·期中）在平面直角坐标系中，若点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，且点P在y轴的右侧，则点P的坐标是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】利用点到坐标轴的距离的意义，结合点的位置确定横纵坐标，即可得到点P的坐标．用到性质：点到轴的距离为，到轴的距离为，轴右侧的点横坐标为正． 【详解】解：∵点到轴的距离是，到轴的距离是 ∴，， ∴， ∵点在轴右侧 ∴点的横坐标为正，即 ∴点的坐标为或． 2．（25-26八年级下·上海闵行·阶段检测）平面直角坐标系第三象限内有一点，它到轴的距离为，到轴的距离为，则点的坐标为__________． 【答案】 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征以及点到坐标轴的距离的意义，解题的关键是根据点所在象限确定横纵坐标的符号，结合点到坐标轴的距离得到点的坐标；先根据点到坐标轴的距离得到横纵坐标的绝对值，再根据第三象限内点的横纵坐标均为负，推导出点的坐标． 【详解】解：∵ 点到轴的距离为，到轴的距离为， ∴ 点纵坐标的绝对值为，横坐标的绝对值为； 又∵ 点在平面直角坐标系第三象限，第三象限内点的横，纵坐标均为负数， ∴ 点的横坐标为，纵坐标为， ∴ 点的坐标为． 3．（25-26八年级下·湖南株洲·期中）在平面直角坐标系中，有一点． (1)若点在轴上，求的值． (2)若点在第四象限，且到两坐标轴的距离之和为3，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据轴上的点的横坐标为0，进行求解即可； （2）根据点到坐标轴的距离为横，纵坐标的绝对值，结合第四象限的点的符号特征，进行求解即可. 【详解】（1）解：由题意，，解得； （2）解：由题意，， ， 解得， ∴， ∴. 4．（25-26七年级下·河南漯河·期中）已知平面直角坐标系中有一点． (1)若点在轴上，求点的坐标； (2)点，且轴时，求点的坐标； (3)若点到轴的距离为时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据x轴上点的坐标特征进行计算即可； （2）根据平行于轴的直线上点的坐标特征进行计算即可； （3）根据题意，得出关于的方程，据此进行计算即可． 【详解】（1）解：∵点在轴上， ∴，解得， 则， ∴点的坐标为． （2）解：∵点且轴， ∴，解得， 则， ∴点的坐标为． （3）解：∵点到轴的距离为， ∴， ∴或， 解得或， 当时，， ∴点的坐标为； 当时，， ∴点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 题型7 已知点所在的象限求参数 方法技巧 1. 由象限定横、纵坐标符号；2. 根据点的所处的位置，得出坐标的特征，然后列方程或不等式，计算即可求解. 1．（24-25七年级下·北京西城·期中）在平面直角坐标系中，点，若直线与x轴垂直，则m的值为（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】本题考查直角坐标系内点坐标的性质，由题意转化为点A，点B到y轴的距离相等，且在y轴同侧，也就是其横坐标相等，解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴ 故选：D． 2．（2025·江苏宿迁·中考真题）点在第一象限，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题考查已知点所在象限求参数，根据第一象限内的点的纵坐标为正数列不等式，解不等式即可． 【详解】解：点在第一象限， ， 解得， 故答案为： 3．（25-26七年级下·山西吕梁·期中）已知平面直角坐标系内有一点． (1)若点的横、纵坐标之和为，请通过计算确定点所在的象限． (2)点的坐标为，若轴，求的长． 【答案】(1)第四象限 (2) 【分析】（1）根据已知条件求解出的值，得到点的坐标，由此判断象限即可． （2）根据垂直关系得到点与点的横坐标相同，从而求解点的坐标，由此求解的长即可． 【详解】（1）解：由题意，得，解得， 点的坐标为， 点在第四象限． （2）解：轴， 点与点的横坐标相同， ，解得， ， 点的坐标为， ． 题型8实际问题中用坐标表示位置 方法技巧 1. 选原点、定 x/y 轴正方向；2. 定单位长度；3. 描点、写坐标、标名称。 1．（25-26八年级上·河南郑州·期末）如图，在平面直角坐标系中，以二七纪念塔的位置为坐标原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，每个单位长度代表实际距离．观察图中位置，郑州博物馆对应的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系的应用，熟练掌握坐标定义是解题的关键． 直接根据平面直角坐标系写出各点的坐标即可． 【详解】解：由图上平面直角坐标系可得，郑州博物馆的坐标为． 故选：B． 2．（25-26八年级上·山西太原·期末）太原古县城是中国国家历史文化街区，下图是古县城内景点分布示意图．若隆恩寺的位置是，城隍庙的位置是，则县衙的位置是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据隆恩寺 和城隍庙 的坐标确定平面直角坐标系的原点和坐标轴方向，再根据坐标系确定县衙的坐标． 【详解】解：以隆恩寺 和城隍庙 为参考， 设水平向右为 轴正方向，竖直向上为 轴正方向，由两点坐标可确定原点位置， 建立平面直角坐标系如下： 进而得到县衙的位置是 ． 3．（25-26七年级下·北京·期中）2024年7月27日，“北京中轴线——中国理想都城秩序的杰作”被正式列入《世界遗产名录》．北京中轴线是一组自南向北贯穿北京老城，由一系列建筑与空间构成的宏大建筑群．从南至北由15处核心遗产点构成，呈严格对称，居中纵贯的网格分布．五一小长假，某班组织中轴线北线的探秘之旅，在出发前，每位同学拿到了如下图所示的用坐标表示中轴线几处核心遗产点的示意图，已知人民大会堂的坐标是，端门的坐标是． (1)请根据题意在图上建立平面直角坐标系； (2)在（1）的条件下，写出太庙的坐标为___________； (3)甲同学给在人民大会堂的乙同学发消息说：“我在人民英雄纪念碑，就是你的东南方向．”甲同学又告诉在国家博物馆的丙同学：“我在你的西南方向．”请你根据这些信息： ①用点在图上表示人民英雄纪念碑的位置； ②在（1）的条件下，点坐标为___________． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①见解析；②． 【分析】（1）根据人民大会堂的坐标是，可知天安门为原点，进而建立平面直角坐标系即可； （2）根据坐标系求解即可； （3）①根据方向角的定义即可找到A点位置；②根据A点位置求解即可． 【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如图， （2）解：太庙的坐标为； （3）解：①A点如图所示， ②点坐标为． 题型9用方向角和距离表示物体的位置 方法技巧 1. 方向角：北偏东 / 西、南偏东 / 西；2. 距离：线段长度；3. 先定方向、再量距离。 1．（25-26八年级下·河北秦皇岛·期中）如图，在一次活动中，位于A处的佳佳准备前往相距的B处与琪琪会合．请你用方向和距离描述佳佳相对于琪琪的位置，其中描述正确的是（    ） A．佳佳在琪琪的北偏东，处 B．佳佳在琪琪的北偏东，处 C．佳佳在琪琪的南偏西，处 D．佳佳在琪琪的南偏西，处 【答案】B 【详解】解：由题意可知：佳佳在琪琪的北偏东，处． 2．（25-26七年级下·云南·期中）在“探索与发现展厅”有一个雷达探测器，如图，雷达探测器测得六个目标点，，，，，按照规定的目标表示方法，目标点，的位置分别表示为，，按照此方法目标点的位置表示为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意得，目标点的位置表示为． 3．（25-26七年级下·广东广州·期中）如图，表示的是图书馆、保龙仓、中国银行和餐馆的位置关系： (1)一般地，可以用表示方向的角和距离描述各地点相对于图书馆的位置，如“保龙仓在图书馆西偏南方向上，且距离图书馆”，请以图书馆为参照物，用方向角和图中所标的距离分别表示中国银行和餐馆的位置； (2)火车站在图书馆的南偏东的方向上，并且火车站距图书馆的距离与中国银行距图书馆的距离相等，请在图中画出火车站的位置． 【答案】(1)中国银行在图书馆北偏东方向上，且距离图书馆；餐馆在图书馆北偏西方向上，且距离图书馆； (2)见解析 【分析】（1）结合图象利用各方位角以及所标距离求出答案； （2）利用火车站在图书馆的南偏东的方向上，并且火车站距图书馆的距离与中国银行距图书馆的距离相等，进而得出答案． 【详解】（1）解：由图形得： 中国银行在图书馆北偏东方向上，且距离图书馆； 餐馆在图书馆北偏西方向上，且距离图书馆； （2）解：如图所示： ． 题型10 根据方位描述确定物体的位置 方法技巧 1. 画方向线（北南西东）；2. 按角度画射线；3. 按距离截取线段，定点。 1．（25-26八年级上·河南郑州·期末）奇奇发给来访的朋友小明一张旅游简图，并告知大学城的坐标是，黄河风景区的坐标是，自己在河南博物院等待与他会合，河南博物院的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由大学城的坐标是，黄河风景区的坐标是，建立直角坐标系如图， 由图可知河南博物院的坐标为． 2．（25-26九年级上·四川攀枝花·月考）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，已知火车站的坐标为，文化馆的坐标为． (1)请你根据题目条件，在图中建立适当的平面直角坐标系； (2)直接写出体育场，市场，超市的坐标； (3)已知游乐场A，图书馆B的坐标分别为，，请在图中标出A，B的位置． 【答案】(1)图见解析 (2)体育场坐标，市场，超市坐标 (3)图见解析 【分析】本题考查平面直角坐标系的建立与点的坐标表示，解题的关键是根据已知点的坐标确定平面直角坐标系的原点、坐标轴方向和单位长度． （1）根据已知点的坐标确定原点的坐标，确定出平面直角坐标系； （2）根据（1）的图形写出两个点的坐标； （3）根据坐标系分别标A，B的位置，即可． 【详解】（1）解：平面直角坐标系如图所示： （2）解：根据坐标系可得：体育场坐标，市场，超市坐标． （3）解：如图所示，点A，B即为所求． 3．（25-26七年级下·河南新乡·期中）2026年春节期间，开封清明上河园接待游客万人次，旅游收入亿元，位列河南省春节景区接待量第1名．为进一步体会宋代的历史文化，某班来到清明上河园分组开展研学活动，其中A组在文房博物馆体验“大宋科举”，B组在九龙桥观看“东京保卫战”，C组在虹桥西侧观看“火神冲浪”，最后一起到大宋校场集合观看经典节目“岳飞枪挑小梁王”．为了描述集合地点，同学们想出了不同的方法． (1)小明同学想到用平面直角坐标系，如图1，网格中小方格都是边长为1个单位长度的正方形，若文房博物馆的坐标为，九龙桥的坐标为． ①请在图1中建立合适的平面直角坐标系； ②大宋校场的坐标为_____，虹桥的坐标为_____； (2)小华同学想到用方位角和距离，如图2，以文房博物馆为基准点，大宋校场在文房博物馆的北偏东方向，距离处，则大宋校场的位置记为（北偏东），若九龙桥与文房博物馆的距离和大宋校场与文房博物馆的距离相等，文房博物馆在九龙桥的北偏西方向，那么以文房博物馆为基准点，九龙桥的位置应记为_____． 【答案】(1)①见详解；②； (2)(南偏东) 【分析】（1）根据已知两点坐标确定坐标系原点位置，再根据网格读出大宋校场和虹桥的坐标； （2） 利用方位角和距离的互逆性：若 在 的某方位，则 在 的相反方向；结合已知距离条件确定九龙桥的方位和距离． 【详解】（1）解：①如图，建立平面直角坐标系： ②大宋校场坐标为，虹桥坐标为； （2）解：∵文房博物馆在九龙桥的北偏西方向， 以文房博物馆为基准点，九龙桥在文房博物馆的南偏东方向， 又九龙桥与文房博物馆的距离=大宋校场与文房博物馆的距离， 以文房博物馆为基准点，九龙桥的位置应记为(南偏东)． 题型11 求平移后点的坐标 方法技巧 1. 右 +、左−（变 x）；2. 上 +、下−（变 y）；3. P(x,y)→(x±a,y)、(x,y±b)。 1．（25-26八年级下·江西九江·阶段检测）在平面直角坐标系中，将点A先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后得点，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用坐标平移规则：横坐标左减右加，纵坐标上加下减，列等式求解即可． 【详解】解：设点的坐标为， ∵点向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到点， ∴横坐标：，解得， 纵坐标：，解得， ∴点的坐标为． 2．（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）在平面直角坐标系中，点A先向左移动2个单位长度，再向上移动4个单位长度后的坐标为，则点A的坐标是_____________． 【答案】 【分析】平移规律为横坐标左移减，右移加，纵坐标上移加，下移减，根据题意可知点先向右移动2个单位长度，再向下移动4个单位长度后的坐标即为点A的坐标． 【详解】∵点A先向左移动2个单位长度，再向上移动4个单位长度后的坐标为， ∴点先向右移动2个单位长度，再向下移动4个单位长度后的坐标即为点A的坐标， ∴，即． 故答案为：． 3．（2026·新疆喀什·一模）在平面直角坐标系中，将点先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到点B，则点B的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了点在坐标系下的平移；掌握好点平移的计算方式是解题的关键． 根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加计算即可． 【详解】解：将点先向左平移4个单位长度后为，再向上平移2个单位长度，得到点B的坐标是． 题型12 已知平移前后点的坐标确定平移的方式 方法技巧 1. 画方向线（北南西东）；2. 按角度画射线；3. 按距离截取线段，定点。 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，将点平移到点处，则下列方法正确的是（    ） A．向右平移6个单位长度 B．向右平移4个单位长度 C．向左平移6个单位长度 D．向左平移4个单位长度 【答案】C 【分析】根据 “左减右加、上加下减”的平移规律，结合平移前后点的坐标变化确定平移方向与距离． 【详解】解：∵平移前点P的坐标为，平移后点的坐标为， ∴纵坐标保持不变，横坐标的变化量为， ∴根据“左减右加”的平移规律，点P需向左平移6个单位长度． 2．（24-25八年级下·全国·期中）将点通过平移得到点，以下方式正确的是（　　） A．沿x轴向右平移3个单位长度，再沿y轴向上平移4个单位长度 B．沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向下平移4个单位长度 C．沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移4个单位长度 D．沿x轴向左平移4个单位长度，再沿y轴向上平移3个单位长度 【答案】C 【分析】本题考查了点的坐标平移，根据点的坐标平移法则：左减右加，上加下减，即可得解，熟练掌握点的坐标平移法则是解此题的关键． 【详解】解：将点通过平移得到点，平移方式可为沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移4个单位长度， 故选：C． 3．（24-25七年级下·北京西城·期中）如图，每个小方格都是边长为1个单位长度，在建立平面直角坐标系后，线段的两个端点坐标分别为，．现将线段平移，使平移后线段的两个端点均在坐标轴上，则以下平移正确的是（   ） ①先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度； ②先向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度； ③先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度． A．①② B．①③ C．③ D．② 【答案】B 【分析】本题考查了坐标系，点的平移，根据题意将线段平移，使平移后线段的两个端点均在坐标轴上，即平移后得到线段或，进而确定平移方式，即可求解． 【详解】解：如图所示， 将线段平移，使平移后线段的两个端点均在坐标轴上，即平移后得到线段或， 由图可得， ∵点A的坐标是，， ∴线段先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到， 由图可得， 同理得：线段先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到， 故选：B． 题型13 已知图形的平移求点的坐标 方法技巧 1. 图形平移 = 所有点同平移；2. 用一个点确定平移向量；3. 所有点按同一规则变坐标。 1．三个顶点的坐标分别为，，，将平移到了，其中，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据A点平移前后的坐标确定整个三角形的平移规律，再计算点的坐标即可求解． 【详解】解：∵平移前坐标为，平移后坐标为， ∴平移规律为先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度， ∵点坐标为， ∴点的坐标为，即． 2．（25-26九年级下·陕西榆林·期中）如图，点的坐标分别为，若将线段平移至的位置，则的值是(     ) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据平移前后对应点的坐标可知平移方式为向右平移2个单位长度，向上平移1个单位长度，再由“上加下减，左减右加”的平移规律求解即可． 【详解】解：∵，，，，， ∴将线段平移至时的平移方式为向右平移2个单位长度，向上平移1个单位长度， ， ． 3．（25-26七年级下·广西南宁·期中）如图，已知A，B两点的坐标分别为，，将线段平移得到线段．若点A的对应点是，则点B的对应点D的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合点A和点的坐标可知，线段平移的方式为向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度，再根据点B的坐标即可求解点D的坐标． 【详解】解：∵点平移后的对应点是， ∴线段平移的方式为向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度， ∵点， ∴点B的对应点D的坐标是，即． 题型14 坐标系中的平移作图 方法技巧 1. 找关键点（顶点、端点）；2. 各点按规则平移；3. 顺次连新点，画图形。 1．（25-26七年级下·吉林白山·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知三角形的三个顶点坐标分别是，，． (1)在图中作出三角形； (2)把三角形先向下平移5个单位长度，再向左平移2个单位长度，作出三角形平移后的三角形（点、、的对应点分别为点、、），并写出点的坐标． 【答案】(1)解：如图，三角形即为所作． (2)解：如图，三角形即为所作． 点的坐标为． 【分析】（1）先画出点，再顺次连接即可； （2）先根据平移的性质画出点，再顺次连接即可得三角形，然后根据点坐标的平移变换规律可得点的坐标． 【详解】（1）解：略． （2）解：由点坐标的平移变换规律可知，点的坐标为，即为． 2．（25-26七年级下·吉林·阶段检测）在平面直角坐标系中，三角形经过平移得到三角形，位置如图所示． (1)点A的坐标为______，点的坐标为______； (2)请说明三角形是由三角形经过怎样的平移得到的； (3)若点是三角形内部一点，则平移后对应点的坐标为，求m和n的值． 【答案】(1)，； (2)三角形是由三角形向左平移5个单位，向上平移4个单位得到； (3)． 【分析】（1）根据已知图形可得答案； （2）由的对应点得平移规律，即可得到答案； （3）由（2）平移规律得出m、n的方程． 【详解】（1）解：由图知，； （2）解：的对应点得：A向左平移5个单位，向上平移4个单位得到， 则三角形是由三角形向左平移5个单位，向上平移4个单位得到． （3）解：内平移后对应点的坐标为， ∵的坐标为， ∴， ∴． 3．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点都在格点上，其中点坐标为． (1)点的坐标是____________，点的坐标是____________． (2)将三角形平移得到三角形，且点的坐标为，请画出平移后三角形． (3)在平移过程中，直接写出线段扫过的面积． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)8 【分析】（1）根据点的坐标的表示方法写出A、B点的坐标； （2）由的坐标确定平移方式，然后利用点平移的坐标变换规律写出、的坐标，然后描点即可得到三角形； （3）根据平行四边形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：，； （2）解：∵平移后对应点的坐标为， ∴图形向左平移5个单位，再向上平移2个单位， ∴点A的对应点为，点的对应点为， 如图，即为所求， ； （3）解：如图， 线段扫过的面积为． 释疑惑·重难拓展 题型1 利用坐标求图形的面积 1．（2026八年级下·河北·专题练习）在平面直角坐标系中，已知，，，则三角形的面积为______． 【答案】10 【分析】本题考查了坐标与图形，将各点描在平面直角坐标系中，得出，，利用三角形面积公式计算即可，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：在平面直角坐标系中，已知，，， ∴如图所示：，， ， ∴三角形的面积为， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·广西贺州·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别是，，，，则四边形的面积为____________________． 【答案】9 【分析】本题考查了坐标与图形，过A作于M，过B作于N，根据A、B、C的坐标可求出，，，，，然后根据求解即可． 【详解】解∶过A作于M，过B作于N， ∵，，，， ∴，，，， ∴，， ∴四边形的面积为 ， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，已知点，若三角形是由三角形ABC平移后得到的，且三角形ABC中任意一点经过平移后的对应点为． (1)在图中画出三角形； (2)写出点的坐标______； (3)求三角形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查坐标与图形变化－平移，坐标与图形的性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． （1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点，然后将这三点顺次连接起来即可； （2）根据点的位置写出坐标即可； （3）利用网格，即可求出三角形面积． 【详解】（1）解：∵点经过平移后的对应点为 ∴把三角形先向左平移4个单位，再向上平移2个单位得三角形． 如图， （2）解：点的坐标为 ． 故答案为：； （3）解：三角形的面积= ． 题型2 利用图形额面积求图形的坐标 1．（23-24七年级下·河南漯河·期中），两点的坐标分别为，，点是轴上一点，且三角形的面积为，则点的坐标为_____． 【答案】 或， 【分析】本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积公式，设点坐标为，则根据三角形面积公式得到 ，然后去绝对值求出的值，再写出点坐标，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设点坐标为， 根据题意得：， 解得或， ∴点坐标为 或， 故答案为： 或． 2．（24-25七年级下·江西赣州·期末）在平面直角坐标系中，点，点，若在坐标轴上有一点（不与点重合），使三角形和三角形面积相等，则点的坐标为___________． 【答案】、或 【分析】先根据三角形的面积公式求出，再分当点P在x轴上时，当点P在y轴上时，分别进行计算即可得到答案． 本题主要考查了坐标与图形，三角形面积的计算，解题的关键是采用分类讨论的思想解决问题． 【详解】解：根据题意得， 当点P在x轴上时，， ， 解得， ∴，或； 当点P在y轴上时，， ， 解得， ∴（舍去），或． 综上，点的坐标为或或， 故答案为：、或． 3．（24-25七年级下·重庆·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知，将线段平移至，点D在x轴正半轴上，，且．连接，，，． (1)直接写出点C的坐标为_______；点B的坐标为_______； (2)当三角形的面积是三角形的面积的4倍时，求点D的坐标； 【答案】(1)； (2)或 【分析】本题考查的是平移变换的性质，非负数的性质，掌握算术平方根和绝对值的非负性，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． （1）根据非负数的性质求出a，b，得到点的坐标，根据平移的性质求出点B的坐标； （2）分点在线段上，点在线段的延长线上两种情况，根据三角形的面积公式计算，得到答案； 【详解】（1）解： 解得，， ∴点的坐标为， ∵点的坐标为， ，， ∴点的坐标为， 故答案为：；； （2）设点的坐标为， ∵的面积是的面积的4倍，即 ①当点在线段上时， 则 解得，， ∴点的坐标为； ②当点在线段延长线上时， 则 解得，， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 题型3 平面直角坐标系中的规律探究问题 1．（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一动点从点出发，其顺序按图中“→”方向排列，依次为：，根据这个规律，第2026个点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察图形中点的坐标变化规律，发现每4个点为一个循环组，且每组的最后一个点都在轴上．通过计算确定第2026个点所在的组数及位置，结合偶数组结束点的纵坐标规律及奇数组的起始移动规律进行推导． 【详解】解：观察图形可知，点的运动每4个为一组，且每组的最后一个点（即第个点）都在轴上． 第4个点坐标为， 第8个点坐标为， 第12个点坐标为， 第16个点坐标为， 归纳可得第个点的坐标规律：当为奇数时，坐标为；当为偶数时，坐标为． ， 第2026个点位于第507组的第2个位置． 先求第506组结束时的点（即第2024个点），此时为偶数， 第2024个点的坐标为， 即． 观察图形可知，偶数编号组结束后，下一组（奇数编号组）的起始点（第个点）是向下平移1个单位， 第2025个点的坐标为． 又奇数编号组（第1，3，组）的第2个点是由起始点向右平移组号数个单位（第1组右移1，第3组右移3，）， 第507组的第2个点（即第2026个点）是由第2025个点向右平移507个单位， 第2026个点的横坐标为，纵坐标为， 即坐标为． 2．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）对于正整数，规定函数．在平面直角坐标系中，将点中的分别按照上述规定，同步进行运算得到新的点的横、纵坐标（其中，均为正整数）．例如，点经过第次运算得到点．经过第次运算得到点，经过第次运算得到点，经过有限次运算后，必进入循环圈，按上述规定，将点经过第2026次运算后得到点是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数字类规律探究，点的坐标规律，求函数值．通过计算点每次运算后的结果，发现其变化呈现周期性循环，周期为3次．利用周期性规律，确定第2026次运算后的结果． 【详解】解：初始点：（第0次运算）． 第1次：横坐标为偶数，； 纵坐标为奇数，； 得到点； 第2次： 横坐标为奇数，； 纵坐标为偶数，； 得到点； 第3次：横坐标为偶数，；纵坐标为偶数，；得到点，与初始点相同， 即三次一循环， ， ∴第次运算后对应点与第1次运算后的点相同，即． 故选：A． 3．（25-26八年级上·江西九江·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点、、、，动点从点出发，以每秒3个单位的速度按逆时针方向沿四边形的边做环绕运动；另一动点从点出发，以每秒2个单位的速度按顺时针方向沿四边形的边做环绕运动，则第2025次相遇点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查点坐标规律探索、行程问题中的相遇问题，通过计算找到坐标变化规律是解答的关键． 根据坐标与图形可得四边形的各边长，结合点P、Q的速度求得两点相遇点的坐标，找出坐标变化规律即可求解． 【详解】解：∵点，，，， ∴，， ∴四边形的周长为， 由题意得，经过1秒时，两点在边的点处相遇，随后，两点走的路程和是10的倍数时，两点相遇，相邻两次相遇间隔时间为（秒）， ∴第二次相遇点是边上的点； 第三次相遇点是点； 第四次相遇点为点； 第五次相遇点为点， 第六次相遇点为点， ……， 由此发现，每五次相遇点重合一次， ∵， ∴第2025次相遇点与第五次相遇点重合，即， 故选：C． 题型4 平面直角坐标系与新定义问题 1．（25-26八年级下·贵州铜仁·期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“完美点”．如：点的“长距”为2，点称为“完美点”． (1)若点是“完美点”，求的值； (2)若点的长距为4，且点在第四象限内，点的坐标为，试说明点是“完美点”． 【答案】(1)或 (2)见解析 【分析】（1）根据完美点的定义可得，求出答案； （2）先根据“长距”是4求出b，进而得出点D的坐标，然后根据“完美点”的定义判断即可． 【详解】（1）解：∵点是“完美点”， ∴， 或， 解得或； （2）解：∵点的长距为4，， ∴． 又∵点C在第四象限内， ∴， ， 解得， ， ∴点D的坐标为， ∴点D到x轴、y轴的距离都是5， ∴D是“完美点”． 2．（25-26七年级下·吉林·期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“角平分线点”． (1)点的“长距”为___________； (2)若点是“角平分线点”，求的值； (3)若点的长距为，且点在第二象限内，点的坐标为，请判断点是否为“角平分线点”，并说明理由． 【答案】(1)； (2)或； (3)点是“角平分线点”，理由见解析． 【分析】（1）直接计算点到坐标轴距离的较大值； （2）根据“角平分线点”定义列方程求解； （3）先由点的长距和所在象限求出的值，再判断点的坐标是否满足“角平分线点”条件即可． 【详解】（1）解：∵点到轴的距离为，到轴的距离为， ∴较大值为， ∴点的“长距”为； （2）解：∵点是“角平分线点”， ∴， 即， ∴或 ， 解得或； （3）解：点是“角平分线点”，理由如下， ∵点的长距为，且点在第二象限内， ∴点的横坐标，纵坐标， 到轴的距离为，到轴的距离为， ∵点的长距为， ∴， 解得， ∴点的坐标为， ∴点到轴的距离为，到轴的距离为， 即点到轴和轴的距离相等， ∴点是“角平分线点”． 3．（24-25七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，其中为常数，则称点是点的“级派生点”．如：点的“3级关联点”为，即． (1)已知点的“级派生点”是点，求点的坐标； (2)已知点的“级派生点”是点，求点的坐标； (3)已知点的“级派生点”是点，点位于坐标轴上，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查点的坐标，解二元一次方程组，“关联点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据关联点的定义，结合点的坐标即可得出结论． （2）根据关联点的定义，结合点的坐标即可得出求解． （3）根据关联点的定义和点的“级关联点” 位于或轴上，即可求出的坐标． 【详解】（1）解：点的“级派生点”是点， 点的横坐标为：； 点的纵坐标为：； 故点的坐标为：； （2）解：设点的坐标为， 则， 解得：； 故点的坐标为； （3）根据题意可得：， ， 当在轴上时，则， 即， 解得：， 故， 故为； 当在轴上，则， 即， 解得：， 此时， 故点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或 题型5 平面直角坐标系与动点问题 1．（25-26七年级下·山东德州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标为和．将线段先向右平移个单位，再向上平移个单位得到线段，连接，． (1)点C的坐标为 ，点D的坐标为 ． (2)如果．且上有一动点，的最小值为 ． (3)点M，N分别是线段，的动点，点M从点A出发向点B运动，每秒2个单位，到点B即停；点N从点C出发向点D运动，每秒3个单位，到点D即停．如果两点同时出发，几秒后？并写出点M，N的坐标． 【答案】(1)；； (2) (3)秒后； ； 【分析】（1）根据平移方式确定点的坐标即可； （2）由垂线段最短可知，当时，有最小值，再根据三角形面积公式求解即可； （3）设运动时间为秒，进而表示出点、的坐标，由可知，当时，，此时两点横坐标相同，列方程求解即可． 【详解】（1）解：将线段先向右平移3个单位，再向上平移4个单位得到线段， ∵点、的坐标为和， ∴点的坐标为，即；点的坐标为，即； （2）解：∵点、的坐标为、， ，， 由垂线段最短可知，当时，有最小值， 此时， ∴，即的最小值为； （3）解：设运动时间为秒， 由题意可知，，， ∵点A、的坐标分别为、， ∴点、的坐标分别为、， ∵， ∴当时，，此时两点横坐标相同， ， 解得：， 即秒后， ∴， ∴点，的坐标分别为、． 2．（25-26七年级下·福建莆田·期中）如图①，在平面直角坐标系中，三角形的顶点A在x轴负半轴上，点B在x轴正半轴上，点C的坐标为，点A到y轴的距离等于点C到x轴的距离，． (1)求三角形的面积； (2)如图②，过点B作的平行线交y轴于点M，作和的平分线相交于点N，求的度数． (3)若点是第二象限内一点，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据点C的坐标为，以及题意，求得的坐标，再利用三角形面积求解即可； （2）过点N作，利用平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，，即可求解； （3）连接，根据题意可得，用表示出的面积，化简即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴点B的坐标为， ∵点A到y轴的距离等于点C到x轴的距离， ∴点A的坐标为， ∴， ∴； （2）解：如图②，过点N作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，分别平分，， ∴，， ∴， ∴， （3）解：如图③，连接， ， ∵点是第二象限内一点，， ∴， ∴，化简可得． 3．（25-26七年级下·天津和平·期中）在平面直角坐标系中，点，，，且满足，过点C作轴，D是上一动点． (1)求的面积； (2)如图1，若点C向左平移3个单位得到D点，则D点的坐标为_____，三角形与三角形的面积大小有什么关系_____（填“大于”，“小于”，“相等”或“不相等”）； (3)如图2，若，P是上的点，Q是射线上的点，射线平分，射线平分，，请你补全图形，并求的值． 【答案】(1)9 (2)；相等 (3)补全图形见解析；的值为或 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标、非负数的性质、平移的性质、平行线的性质、角平分线的定义及三角形面积计算； （1）利用绝对值、算术平方根的非负性求出、、的值，得到点、、的坐标，再以为底、为高，即可求出的面积； （2）根据平移的性质求出点的坐标，再结合轴，判断与等底等高，从而得出面积关系； （3）先补全图形，设，利用平行线的性质和角平分线的定义表示出相关角的度数，再结合，通过角度的和差关系求出，当点在上方时，，当点在下方时，，最后计算的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴，，， ∴，，， ∴，， 又∵， ∴． （2）解： 点向左平移个单位，横坐标减，纵坐标不变， ∴ ， 轴，点在直线上， 点C，D到的距离相等， ∴． （3）解：补全图形如下： 设，过点作轴， ∵轴， ∴，， ∴， 射线平分，射线平分， ，， ， ， 如图1所示，当射线与射线在直线同侧时， ， ∵轴， ∴， ， 如图2所示，当射线与射线在直线异侧时， ， ， 综上：的值为或． 知中考·真题探源 1．（2025·四川乐山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点位置的确定，能够熟练掌握点的横纵坐标的确定方法是解题关键． 根据点所在的象限，结合点到轴、轴的距离即可求解． 【详解】解：由坐标系可得点在第一象限，且横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标是， 故选：C． 2．（2025·贵州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中有A，B，C，D四点，根据图中各点位置判断，哪一个点在第四象限（  ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题考查判断点所在的象限，根据象限的划分方法，轴下方，轴右侧的区域为第四象限，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，点在第四象限； 故选D． 3．（2025·四川成都·中考真题）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查判断点所在的象限，根据点的符号特点，判断点所在的象限即可，熟练掌握各象限的点的符号特点，是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴点在第二象限； 故选B． 4．（2025·辽宁·中考真题）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，将线段平移得到线段，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形变换—平移，根据平移的性质，由点A平移后的对应点C的坐标确定平移规则，再应用于点B即可得到点D的坐标． 【详解】解：由题意，点向上平移5个单位得到点， ∴点向上平移5个单位得到点， ∴点的坐标为，即； 故选B． 5．（2025·海南·中考真题）在如图所示的正方形网格中，若建立平面直角坐标系，使“少”“年”的坐标分别为、，则“强”的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面直角坐标系，根据“少”“年”的坐标确定直角坐标系，读出点的坐标即可． 【详解】解：∵“少”“年”的坐标分别为、， ∴建立直角坐标系如下： ， ∴“强”的坐标为， 故选：B 6．（2025·山东威海·中考真题）某广场计划用如图①所示的A，B两种瓷砖铺成如图②所示的图案．第一行第一列瓷砖的位置记为，其右边瓷砖的位置记为，其上面瓷砖的位置记为，按照这样的规律，下列说法正确的是（　　） A．位置是B种瓷砖 B．位置是B种瓷砖 C．位置是A种瓷砖 D．位置是B种瓷砖 【答案】B 【分析】本题考查了点的坐标规律探索，找到规律是关键； 根据题意可得：A种瓷砖的坐标规律为（单数，双数)，(双数，单数)；B种瓷砖的坐标规律为（单数，单数)，(双数，双数），再逐项判断即可. 【详解】解：A种瓷砖的位置：， ， B种瓷砖的位置：， ， 由此可得：A种瓷砖的坐标规律为（单数，双数)，(双数，单数)；B种瓷砖的坐标规律为（单数，单数)，(双数，双数）； ∴位置是A种瓷砖，故A选项不符合题意； 位置是B种瓷砖，故B选项符合题意； 位置是B种瓷砖，故C选项不符合题意； 位置是A种瓷砖，故D选项不符合题意； 故选：B. 7．（2025·四川广安·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，且a，b满足，则点A在第__________象限． 【答案】四 【分析】本题考查非负性，判断点所在的象限，根据非负性求出的值，根据的符号，判断出点A所在的象限即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴点A的坐标为，在第四象限； 故答案为：四． 8．（2025·山东·中考真题）在平面直角坐标系中，将点向下平移2个单位长度，得到的对应点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的平移，掌握平移规律“左减右加，上加下减”是解题的关键． 直接运用平移规律“上加下减”即可解答． 【详解】解：将点向下平移2个单位长度，得到的对应点的坐标是，即， 故答案为：． 9．（2025·广东深圳·中考真题）如图，将无人机沿着轴向右平移3个单位，若无人机上一点的坐标为，则平移后点的坐标为__________． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形平移变换，解题关键在于掌握左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加． 根据点的平移规律即可求解． 【详解】解：由题意得：将点沿着轴向右平移3个单位， ∴平移后点的坐标为，即， 故答案为：． 10．（2025·四川德阳·中考真题）在平面直角坐标系中，已知，，如果的面积为，那么点的坐标可以是______．（只需写出一个即可） 【答案】（答案不唯一，纵坐标绝对值为即可） 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的位置，三角形面积公式，由，，得，又的面积为，可得，所以，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标可以是， 故答案为：．（答案不唯一，纵坐标绝对值为即可） 练好题·提分培优 1．（25-26九年级上·贵州毕节·期末）如图，在平面直角坐标系中有，，，四点，其中位于第三象限的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【详解】解：A．点A在第一象限，故此选项不符合题意； B．点B在x轴上，故此选项不符合题意； C．点C在第三象限，故此选项符合题意； D．点D在第四象限，故此选项不符合题意． 2．（25-26八年级上·河南平顶山·期末）点不可能在哪个象限（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是判断点所在的象限，解题关键是熟练掌握平面直角坐标系中各象限点的特点． 通过分析点与的关系，判断点可能出现的象限． 【详解】解：若，则，， 时，，此时点在第一象限； 时，，此时点在第四象限； 若，则，，， 此时点在第二象限； 综上，点不可能在第三象限． 故选：． 3．（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为和，连接．若轴，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵轴， ∴点与点的横坐标相等， ∴， 解得， 将代入点的坐标，得． 4．（25-26七年级下·河南许昌·期中）如图，已知希望书店在学校北偏西方向处，则符合希望书店的位置的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【详解】解：由图可得，， 甲位于最外围，到中心距离为， ∴学校北偏西方向处是甲． 5．（2026·辽宁铁岭·二模）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，将线段平移得到线段，其中点A的对应点C的坐标为，则点B的对应点D的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据点A和其对应点C确定平移规律，再按规律计算点D的坐标即可． 【详解】解：∵点平移后得到对应点， ∴平移规律为横坐标增加，纵坐标增加，即线段向右平移个单位，纵坐标不变， ∵点的坐标为， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为． 6．（25-26八年级上·河南平顶山·期末）下列结论正确的是（   ） A．点在第四象限 B．点在第一象限，它到轴，轴的距离分别为4，3，则点的坐标为 C．平面直角坐标系中，点位于坐标轴上，那么 D．已知点，则直线轴 【答案】C 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标相关性质，涵盖象限内点的坐标符号规律、点到坐标轴的距离与坐标的对应关系、坐标轴上点的坐标特征、平行于坐标轴的直线上点的坐标特征． 【详解】解：∵点的横坐标为负，纵坐标为正， ∴该点在第二象限，故A错误； ∵点在第一象限，到轴的距离为4，到轴的距离为3， ∴点的坐标为，故B错误； ∵点位于坐标轴上， ∴或， ∴，故C正确； ∵点与的纵坐标相同、横坐标不同， ∴直线轴，故D错误； 故选：C． 7．（2026·湖南衡阳·一模）如图，在单位为1的方格纸上，，是斜边在轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，则依图中所示规律，的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题是对点的坐标变化规律的考查，根据2025是奇数，求出点的下标是奇数时的变化规律进行求解． 【详解】解：观察点的坐标变化发现：在轴正半轴上的点横坐标每次增加2，在轴负半轴上的点横坐标每次减少2， 根据点旋转的度数，可看作循环，循环周期为4， ∵，由图可知，为循环周期， ∴的坐标为，即为． 8．（25-26七年级下·天津·期中）已知点的坐标为，且点在轴上，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】先根据轴上点的纵坐标等于求出的值，再代入计算得到点的横坐标，即可得到点的坐标． 【详解】解：∵点的坐标为，且点在轴上， ∴， 解得：， 将代入横坐标得， ∴点的坐标为． 9．（25-26七年级下·山东德州·阶段检测）已知点，点，且轴，则m的值为_____． 【答案】 【分析】根据平行于轴的直线上的点的横坐标相等，列出关于的方程求解，验证后即可得到结果. 【详解】解：点，点，且轴， 点与点的横坐标相等，即， 解得， 验证：当时，，点，两点横坐标相等，纵坐标不相等，即两点不重合，符合题意. 10．（25-26七年级下·重庆·期中）在平面直角坐标系中，第四象限内有一点，到两坐标轴的距离相等，则的值为___________． 【答案】 【分析】根据点到两坐标轴的距离相等列出方程，再结合第四象限内的点横坐标为正，纵坐标为负，求解即可． 【详解】解：∵点到两坐标轴的距离相等， ∴， ∵点在第四象限， ∴， ∴， 解得． 11．（2026·湖南娄底·二模）象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久．如图，这是中国象棋棋盘一部分的示意图，建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点，“马”位于点，则棋子“兵”的位置应记为_____． 【答案】 【分析】根据“帅”位于点，“马”位于点，建立平面直角坐标系，然后判断棋子“兵”的位置即可． 【详解】解：由题意知，建立平面直角坐标系如下， ∴棋子“兵”的位置应记为． 12．（25-26八年级下·陕西汉中·期中）如图，点A、C的坐标分别为、，将沿x轴向右平移，得到，点O的对应点D在线段上，若，则点A的对应点B的坐标为 ________． 【答案】 【分析】由题意可得，从而得出，即，进而得出平移方式，由此即可得出结果． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴， ∵点O的对应点D在线段上，且， ∴， ∴， ∴将沿x轴向右平移个单位长度，得到， ∵点A的坐标为， ∴点B的坐标为，即． 13．（25-26七年级下·湖南长沙·期中）已知点，解答下列各题： (1)若点在轴上，求出点的坐标； (2)若点的坐标为，直线轴，求出点的坐标； (3)若点到轴、轴的距离相等，求出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或． 【分析】（1）根据轴上的点横坐标为0，即可求解； （2）由直线轴，可得点和点的纵坐标相等，即可求解； （3）根据点到轴、轴的距离相等，可知点的横、纵坐标的绝对值相等，据此列绝对值方程求解即可． 【详解】（1）解：若点在轴上，则点的横坐标为0， 点在轴上， ， 解得：， ， 点的坐标为； （2）解：直线轴， 点和点的纵坐标相等， 点，， ， 解得：， ， 点的坐标为； （3）解：点到轴、轴的距离相等， ， 解得：或， 当时，，， 当时，，， 点的坐标为或． 14．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格的边长为1个单位长度，三角形的顶点A，B的坐标分别为，． (1)直接写出点C的坐标为________； (2)平移三角形，将点C移动到点，其中点A的对应点为D，点B的对应点为E，在平面直角坐标系中画出三角形； (3)连接，，直接写出三角形的面积． 【答案】(1) (2)见详解 (3)5 【分析】（1）在平面直角坐标系结合图形即可求解； （2）根据点的平移的性质得出平移方式，再画图即可； （3）利用割补法求解面积即可． 【详解】（1）解：根据图可得，; （2）解：∵点，移动到点， ∴点到点的平移方式是：向右平移4个单位长度，向下平移4个单位， 则点,, 则如图所示： （3）解：根据题意可得 三角形的面积为：． 15．（25-26七年级下·重庆永川·期中）小明从A处出发向北偏东走了，到达B处；小刚也从A处出发、向南偏东走了，到达C处． (1)用表示，画图表示A、B、C三处的位置； (2)用表示方向的角和距离表示A处相对于C处的位置； (3)在图上量出B处和C处之间的距离、求出小明和小刚两人实际相距多少米． 【答案】(1)见解析 (2)A在C处北偏西方向，距离 (3)50米 【分析】（1）根据比例画图即可； （2）根据方位角的表示方法求解即可； （3）由图上测得距离约为，根据表示求解即可． 【详解】（1）解：如图，点A、B、C即为所求； （2）解：∵小刚从A处出发、向南偏东走了，到达C处 ∴A在C处北偏西方向，距离； （3）解：由图上测得距离约为， ∵图上表示， ∴实际BC． 答：B、C实际相距约50米． 16．（25-26七年级下·山东临沂·期中）在平面直角坐标系中，对于，我们把点叫做“系联动点”，其中为常数，且．例如：点的“系联动点”的坐标为，即． (1)已知点的“系联动点”是点，求点的坐标； (2)已知点的“系联动点”在轴上，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为 【分析】（1）由题中“系联动点”定义直接求解即可； （2）先由题中“系联动点”定义求出点的坐标，再由点在轴上，列方程求出参数即可得到答案． 【详解】（1）解：点的“系联动点”是点， 由“系联动点”定义可知，点的坐标为， 即； （2）解：点的“系联动点”是点， 由“系联动点”定义可知，点的坐标为， 即， ∵点在轴上， ， ∴， 则， ∴点的坐标为． 17．（23-24七年级下·广西南宁·期中）如图在直角坐标系中，已知，，三点，若，，满足关系式： (1)求的值； (2)求四边形的面积； (3)是否存在点，使的面积为四边形的面积的两倍？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)12 (3)存在．点P的坐标为或． 【分析】本题考查坐标与图形，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）利用非负性进行求解即可； （2）利用梯形的面积公式进行求解即可； （3）根据三角形的面积公式列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ， ． （2）解：由（1）得， ∴轴， ∴四边形为直角梯形，且， ∴四边形的面积． （3）解：存在．∵三角形的面积， ， ， ∴点P的坐标为或． 18．（25-26七年级下·吉林·期中）如图①，点的坐标为，点在轴上，将三角形沿轴正方向平移，平移后的图形为三角形，点的坐标为，且． (1)________，________，与关系为________，四边形的面积为________； (2)如图②，点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线向终点运动，设点的运动时间为秒，回答下列问题： ①当点在上运动时，若点的横坐标与纵坐标相等，则________秒； ②当点在上运动时，点的坐标为________；（用含的式子表示） ③当时，请写出，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，，，； (2) ； ； ，理由见解析． 【分析】（）由非负数的性质得出，，故，，所以，，由平移性质可知，，，然后通过面积公式即可求解； （）由点在上运动，，则的纵坐标为，根据点的横坐标与纵坐标相等，得出，求出的值即可； 当点在上运动，则点的横坐标为，由（）得，，最后列代数式即可； 当时，点在上运动，则过作，则有，然后根据平行线的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， 由平移性质可知，，，，，， ∴四边形的面积为 ； （2）解：∵点在上运动，， ∴点的纵坐标为， ∵点的横坐标与纵坐标相等， ∴， 解得：； 由平移性质可知，， ∵点在上运动， ∴点的横坐标为， 由（）得，，， ∴，即点的纵坐标为， ∴点的坐标为； ，理由如下： 当时，点在上运动，则过作，如图， ∵， ∴， ∴，， ∴． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 平面直角坐标系（培优讲义） 析知识·讲要点((7大知识点） 2 剖题型·讲技巧 5 题型1 确定象限内点的坐标 5 题型3 坐标轴上点的坐标 6 题型4与坐标轴平行线上的点的坐标 6 题型5 坐标系角平分线上点的坐标 7 题型6 点的坐标与点到坐标轴的距离 7 题型7 已知点所在的象限求参数 8 题型8实际问题中用坐标表示位置 9 题型9用方向角和距离表示物体的位置 11 题型10 根据方位描述确定物体的位置 12 题型11 求平移后点的坐标 14 题型12 已知平移前后点的坐标确定平移的方式 15 题型13 已知图形的平移求点的坐标 16 题型14 坐标系中的平移作图 16 释疑惑·重难拓展 19 题型1 利用坐标求图形的面积 19 题型2 利用图形额面积求图形的坐标 20 题型3 平面直角坐标系中的规律探究问题 21 题型5 平面直角坐标系与动点问题 23 知中考·真题探源 25 练好题·提分培优 27 课标要点 1.理解有序数对的意义，能用有序数对表示物体的位置。 2. 理解平面直角坐标系的有关概念，能画出平面直角坐标系；在给定的坐标系中，能根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标。 3.掌握各象限内及坐标轴上点的坐标特征。 4.能建立适当的平面直角坐标系，描述物体的位置。 5.掌握点沿坐标轴方向平移后坐标的变化规律，会用坐标表示平移。 析知识·讲要点 知识点01 平面直角坐标系及有关概念 ★在平面内，两条互相垂直、原点重合的数轴组成平面直角坐标系．水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向；两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点． ★平面直角坐标系中两坐标轴的特征： ①互相垂直；②原点重合；③通常取向上、向右为正方向；④单位长度一般取相同的，在有些实际问题中，两坐标轴上的单位长度可以不同. 知识点02 点的坐标 ★1、有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一个有序数对来表示，这个有序数对就是这个点的坐标． ★2、写一个点的坐标时，一定要让横坐标在前，纵坐标在后，中间用逗号隔开． ★3、求一个点的坐标的方法：先由这点向x轴画垂线，垂足在x轴上的坐标是这点横坐标；后由这点向y轴画垂线，垂足在y轴上的坐标是这点的纵坐标.原点O的坐标是（0,0），x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0. ★4、已知点A（a,b）,描这个点的方法是： (1)先在坐标轴上找到表示横坐标a与纵坐标的b点； (2)然后过这两点分别作x轴与y轴的垂线； (3)垂线的交点就是该坐标对应的点. ★5、对于坐标平面内任意一点M，都要唯一的有序数对（x,y）（即点M的坐标）和它对应；反过来，对于任意一对有序数对（x,y）在坐标平面内都有唯一的一点M （即坐标为（x,y）的点）和它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序数对是一一对应的. ★6、点的坐标的几何意义：点P（a,b）到x轴的距离是,到y轴的距离是． 知识点03 平面直角坐标系内点的坐标特征 ●坐标平面的划分: 建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限． ◆1、各区域点的坐标特征 点的位置 横坐标符号 纵坐标符号 简记 在第一象限 正号 正号 （+，+） 在第二象限 负号 正号 （-，+） 在第三象限 负号 负号 （-，-） 在第四象限 正号 负号 （+，-） 在x轴上 正半轴 正号 0 （+，0） 负半轴 负号 0 （-，0） 在y轴上 正半轴 0 正号 （0，+） 负半轴 0 正号 （0，-） 原点 0 0 （0，0） ◆2、坐标轴上的点不属于任何象限；坐标平面内的任何一个点，不在四个象限内就在坐标轴上. 知识点04 用坐标表示地理位置 ★利用平面直角坐标系表示地理位置的方法： ①建立坐标系，选择一个合适的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向. ②根据实际问题确定适当的单位长度，并在坐标轴上标出单位长度. ③在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称. 知识点05 用“方向角+距离”表示平面内点的位置 ★在航海和测绘中，经常用方向角和距离来刻画平面内两个物体的相对位置，通常以北偏东（西）或南偏东（西）确定方向角. 知识点06 用坐标表示点的平移 ★平面直角坐标系中的点的坐标平移的变化规律：将点左右平移纵坐标不变，上下平移横坐标不变. （1）向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y） （2）向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y） （3）向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b） （4）向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y﹣b） 知识点07 用坐标表示图形的平移 ●图形在坐标平面内的平移：是指在坐标系中，在保持坐标轴不动的情况下，图形的整体移动；在平面直角坐标系中，对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反过来，从图形上的点的坐标变化，也可以得出这个图形进行了怎样的平移. ★1、图形在坐标平面内平移变换的实质：①图形的位置及表示位置的坐标发生变化；②图形的形状、大小不变. ★2、图形的平移坐标变化规律： 在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．） ★3、图形沿“斜方向”进行平移： 把沿“斜方向”平移分解成水平和竖直两种方向的平移，如图形从右上方直接平移到左下方，可以分解成图形先水平向左平移，再竖直向下平移，也可以分解成先竖直向下平移，再水平向左平移. 剖题型·讲技巧 题型1 确定象限内点的坐标 方法技巧 1. 一 (+,+)、二 (-,+)、三 (-,-)、四 (+,-)；2. 按符号直接写坐标；3. 坐标轴上点不在任何象限。 1．（25-26七年级下·宁夏吴忠·期中）点P在y轴左方、x轴上方，距x轴、y轴分别为1个和2个单位长度，则点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·重庆开州·期中）如下图，在长方形中，，，点A的坐标为，平行于轴，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·贵州安顺·二模）在如图所示的正方形网格中，若建立平面直角坐标系，使“少”“年”的坐标分别为，，则“强”的坐标为（     ） A． B． C． D． 题型2 由点的坐标确定点所在的象限 方法技巧 1. 看横、纵坐标正负；2. (+,+) 一、(-,+) 二、(-,-) 三、(+,-) 四；3. x 轴：(a,0)，y 轴：(0,b)。 1．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（25-26七年级下·贵州遵义·期中）已知，则在平面直角坐标系中，所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（25-26七年级下·山东临沂·期中）在平面直角坐标系中，平行于坐标轴的线段，若点P坐标是，则点Q一定不在第___象限． 题型3 坐标轴上点的坐标 方法技巧 1. x 轴上：纵坐标 = 0，形式 (x,0)；2. y 轴上：横坐标 = 0，形式 (0,y)；3. 原点：(0,0)。 1．（25-26七年级下·吉林松原·期中）在平面直角坐标系中，若点在轴上，则的值为（   ） A． B．1 C．4 D．0 2．（25-26七年级下·云南楚雄·期中）在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，则的值为（    ） A． B． C．1 D．3 3．（25-26七年级下·山东德州·期中）若点在轴上，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型4与坐标轴平行线上的点的坐标 方法技巧 1. 平行 x 轴：纵坐标相同，(x₁,y)、(x₂,y)；2. 平行 y 轴：横坐标相同，(x,y₁)、(x,y₂)。 1．（25-26七年级下·山西大同·期中）在平面直角坐标系中，点，点，且直线轴，则点位于(    ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（24-25七年级下·北京·期中）已知点B的坐标为，轴，且，则点A的坐标为______． 3．（24-25八年级上·贵州黔东南·期中）已知点，解答下列各题． (1)点Q的坐标为，直线轴，求出点P的坐标； (2)若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求的值． 题型5 坐标系角平分线上点的坐标 方法技巧 1. 一、三象限角平分线：横 = 纵，(a,a)；2. 二、四象限角平分线：横 + 纵 = 0，(a,-a)。 1．（25-26八年级下·湖南岳阳·期中）已知点，当点P在第一三象限的角平分线上时，则________． 2．已知点P（a，2a+3）点在第二、四象限的角平分线上，则a=_____． 3．（25-26八年级下·湖南岳阳·期中）已知点，分别根据下列条件求出点的坐标． (1)点在轴上； (2)点在第三象限，且为整数． 题型6 点的坐标与点到坐标轴的距离 方法技巧 平面直角坐标系内任意一点P（a,b）到x轴的距离是,到y轴的距离是. 1．（25-26七年级下·山东临沂·期中）在平面直角坐标系中，若点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，且点P在y轴的右侧，则点P的坐标是（    ） A． B．或 C． D．或 2．（25-26八年级下·上海闵行·阶段检测）平面直角坐标系第三象限内有一点，它到轴的距离为，到轴的距离为，则点的坐标为__________． 3．（25-26八年级下·湖南株洲·期中）在平面直角坐标系中，有一点． (1)若点在轴上，求的值． (2)若点在第四象限，且到两坐标轴的距离之和为3，求点的坐标． 4．（25-26七年级下·河南漯河·期中）已知平面直角坐标系中有一点． (1)若点在轴上，求点的坐标； (2)点，且轴时，求点的坐标； (3)若点到轴的距离为时，求点的坐标． 题型7 已知点所在的象限求参数 方法技巧 1. 由象限定横、纵坐标符号；2. 根据点的所处的位置，得出坐标的特征，然后列方程或不等式，计算即可求解. 1．（24-25七年级下·北京西城·期中）在平面直角坐标系中，点，若直线与x轴垂直，则m的值为（   ） A． B． C．0 D．1 2．（2025·江苏宿迁·中考真题）点在第一象限，则实数的取值范围是___________． 3．（25-26七年级下·山西吕梁·期中）已知平面直角坐标系内有一点． (1)若点的横、纵坐标之和为，请通过计算确定点所在的象限． (2)点的坐标为，若轴，求的长． 题型8实际问题中用坐标表示位置 方法技巧 1. 选原点、定 x/y 轴正方向；2. 定单位长度；3. 描点、写坐标、标名称。 1．（25-26八年级上·河南郑州·期末）如图，在平面直角坐标系中，以二七纪念塔的位置为坐标原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，每个单位长度代表实际距离．观察图中位置，郑州博物馆对应的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·山西太原·期末）太原古县城是中国国家历史文化街区，下图是古县城内景点分布示意图．若隆恩寺的位置是，城隍庙的位置是，则县衙的位置是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·北京·期中）2024年7月27日，“北京中轴线——中国理想都城秩序的杰作”被正式列入《世界遗产名录》．北京中轴线是一组自南向北贯穿北京老城，由一系列建筑与空间构成的宏大建筑群．从南至北由15处核心遗产点构成，呈严格对称，居中纵贯的网格分布．五一小长假，某班组织中轴线北线的探秘之旅，在出发前，每位同学拿到了如下图所示的用坐标表示中轴线几处核心遗产点的示意图，已知人民大会堂的坐标是，端门的坐标是． (1)请根据题意在图上建立平面直角坐标系； (2)在（1）的条件下，写出太庙的坐标为___________； (3)甲同学给在人民大会堂的乙同学发消息说：“我在人民英雄纪念碑，就是你的东南方向．”甲同学又告诉在国家博物馆的丙同学：“我在你的西南方向．”请你根据这些信息： ①用点在图上表示人民英雄纪念碑的位置； ②在（1）的条件下，点坐标为___________． 题型9用方向角和距离表示物体的位置 方法技巧 1. 方向角：北偏东 / 西、南偏东 / 西；2. 距离：线段长度；3. 先定方向、再量距离。 1．（25-26八年级下·河北秦皇岛·期中）如图，在一次活动中，位于A处的佳佳准备前往相距的B处与琪琪会合．请你用方向和距离描述佳佳相对于琪琪的位置，其中描述正确的是（    ） A．佳佳在琪琪的北偏东，处 B．佳佳在琪琪的北偏东，处 C．佳佳在琪琪的南偏西，处 D．佳佳在琪琪的南偏西，处 2．（25-26七年级下·云南·期中）在“探索与发现展厅”有一个雷达探测器，如图，雷达探测器测得六个目标点，，，，，按照规定的目标表示方法，目标点，的位置分别表示为，，按照此方法目标点的位置表示为（   ）    A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·广东广州·期中）如图，表示的是图书馆、保龙仓、中国银行和餐馆的位置关系： (1)一般地，可以用表示方向的角和距离描述各地点相对于图书馆的位置，如“保龙仓在图书馆西偏南方向上，且距离图书馆”，请以图书馆为参照物，用方向角和图中所标的距离分别表示中国银行和餐馆的位置； (2)火车站在图书馆的南偏东的方向上，并且火车站距图书馆的距离与中国银行距图书馆的距离相等，请在图中画出火车站的位置． 题型10 根据方位描述确定物体的位置 方法技巧 1. 画方向线（北南西东）；2. 按角度画射线；3. 按距离截取线段，定点。 1．（25-26八年级上·河南郑州·期末）奇奇发给来访的朋友小明一张旅游简图，并告知大学城的坐标是，黄河风景区的坐标是，自己在河南博物院等待与他会合，河南博物院的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·四川攀枝花·月考）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，已知火车站的坐标为，文化馆的坐标为． (1)请你根据题目条件，在图中建立适当的平面直角坐标系； (2)直接写出体育场，市场，超市的坐标； (3)已知游乐场A，图书馆B的坐标分别为，，请在图中标出A，B的位置． 3．（25-26七年级下·河南新乡·期中）2026年春节期间，开封清明上河园接待游客万人次，旅游收入亿元，位列河南省春节景区接待量第1名．为进一步体会宋代的历史文化，某班来到清明上河园分组开展研学活动，其中A组在文房博物馆体验“大宋科举”，B组在九龙桥观看“东京保卫战”，C组在虹桥西侧观看“火神冲浪”，最后一起到大宋校场集合观看经典节目“岳飞枪挑小梁王”．为了描述集合地点，同学们想出了不同的方法． (1)小明同学想到用平面直角坐标系，如图1，网格中小方格都是边长为1个单位长度的正方形，若文房博物馆的坐标为，九龙桥的坐标为． ①请在图1中建立合适的平面直角坐标系； ②大宋校场的坐标为_____，虹桥的坐标为_____； (2)小华同学想到用方位角和距离，如图2，以文房博物馆为基准点，大宋校场在文房博物馆的北偏东方向，距离处，则大宋校场的位置记为（北偏东），若九龙桥与文房博物馆的距离和大宋校场与文房博物馆的距离相等，文房博物馆在九龙桥的北偏西方向，那么以文房博物馆为基准点，九龙桥的位置应记为_____． 题型11 求平移后点的坐标 方法技巧 1. 右 +、左−（变 x）；2. 上 +、下−（变 y）；3. P(x,y)→(x±a,y)、(x,y±b)。 1．（25-26八年级下·江西九江·阶段检测）在平面直角坐标系中，将点A先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后得点，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）在平面直角坐标系中，点A先向左移动2个单位长度，再向上移动4个单位长度后的坐标为，则点A的坐标是_____________． 3．（2026·新疆喀什·一模）在平面直角坐标系中，将点先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到点B，则点B的坐标是______． 题型12 已知平移前后点的坐标确定平移的方式 方法技巧 1. 画方向线（北南西东）；2. 按角度画射线；3. 按距离截取线段，定点。 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，将点平移到点处，则下列方法正确的是（    ） A．向右平移6个单位长度 B．向右平移4个单位长度 C．向左平移6个单位长度 D．向左平移4个单位长度 2．（24-25八年级下·全国·期中）将点通过平移得到点，以下方式正确的是（　　） A．沿x轴向右平移3个单位长度，再沿y轴向上平移4个单位长度 B．沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向下平移4个单位长度 C．沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移4个单位长度 D．沿x轴向左平移4个单位长度，再沿y轴向上平移3个单位长度 3．（24-25七年级下·北京西城·期中）如图，每个小方格都是边长为1个单位长度，在建立平面直角坐标系后，线段的两个端点坐标分别为，．现将线段平移，使平移后线段的两个端点均在坐标轴上，则以下平移正确的是（   ） ①先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度； ②先向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度； ③先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度． A．①② B．①③ C．③ D．② 题型13 已知图形的平移求点的坐标 方法技巧 1. 图形平移 = 所有点同平移；2. 用一个点确定平移向量；3. 所有点按同一规则变坐标。 1．三个顶点的坐标分别为，，，将平移到了，其中，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·陕西榆林·期中）如图，点的坐标分别为，若将线段平移至的位置，则的值是(     ) A．2 B．3 C．4 D．5 3．（25-26七年级下·广西南宁·期中）如图，已知A，B两点的坐标分别为，，将线段平移得到线段．若点A的对应点是，则点B的对应点D的坐标是（    ） A． B． C． D． B． 题型14 坐标系中的平移作图 方法技巧 1. 找关键点（顶点、端点）；2. 各点按规则平移；3. 顺次连新点，画图形。 1．（25-26七年级下·吉林白山·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知三角形的三个顶点坐标分别是，，． (1)在图中作出三角形； (2)把三角形先向下平移5个单位长度，再向左平移2个单位长度，作出三角形平移后的三角形（点、、的对应点分别为点、、），并写出点的坐标． 2．（25-26七年级下·吉林·阶段检测）在平面直角坐标系中，三角形经过平移得到三角形，位置如图所示． (1)点A的坐标为______，点的坐标为______； (2)请说明三角形是由三角形经过怎样的平移得到的； (3)若点是三角形内部一点，则平移后对应点的坐标为，求m和n的值． 3．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点都在格点上，其中点坐标为． (1)点的坐标是____________，点的坐标是____________． (2)将三角形平移得到三角形，且点的坐标为，请画出平移后三角形． (3)在平移过程中，直接写出线段扫过的面积． 释疑惑·重难拓展 题型1 利用坐标求图形的面积 1．（2026八年级下·河北·专题练习）在平面直角坐标系中，已知，，，则三角形的面积为______． 2．（24-25八年级上·广西贺州·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别是，，，，则四边形的面积为____________________． 3．（24-25七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，已知点，若三角形是由三角形ABC平移后得到的，且三角形ABC中任意一点经过平移后的对应点为． (1)在图中画出三角形； (2)写出点的坐标______； (3)求三角形的面积． 题型2 利用图形额面积求图形的坐标 1．（23-24七年级下·河南漯河·期中），两点的坐标分别为，，点是轴上一点，且三角形的面积为，则点的坐标为_____． 2．（24-25七年级下·江西赣州·期末）在平面直角坐标系中，点，点，若在坐标轴上有一点（不与点重合），使三角形和三角形面积相等，则点的坐标为___________． 3．（24-25七年级下·重庆·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知，将线段平移至，点D在x轴正半轴上，，且．连接，，，． (1)直接写出点C的坐标为_______；点B的坐标为_______； (2)当三角形的面积是三角形的面积的4倍时，求点D的坐标； 题型3 平面直角坐标系中的规律探究问题 1．（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一动点从点出发，其顺序按图中“→”方向排列，依次为：，根据这个规律，第2026个点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）对于正整数，规定函数．在平面直角坐标系中，将点中的分别按照上述规定，同步进行运算得到新的点的横、纵坐标（其中，均为正整数）．例如，点经过第次运算得到点．经过第次运算得到点，经过第次运算得到点，经过有限次运算后，必进入循环圈，按上述规定，将点经过第2026次运算后得到点是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·江西九江·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点、、、，动点从点出发，以每秒3个单位的速度按逆时针方向沿四边形的边做环绕运动；另一动点从点出发，以每秒2个单位的速度按顺时针方向沿四边形的边做环绕运动，则第2025次相遇点的坐标是（   ） A． B． C． D． 题型4 平面直角坐标系与新定义问题 1．（25-26八年级下·贵州铜仁·期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“完美点”．如：点的“长距”为2，点称为“完美点”． (1)若点是“完美点”，求的值； (2)若点的长距为4，且点在第四象限内，点的坐标为，试说明点是“完美点”． 2．（25-26七年级下·吉林·期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“角平分线点”． (1)点的“长距”为___________； (2)若点是“角平分线点”，求的值； (3)若点的长距为，且点在第二象限内，点的坐标为，请判断点是否为“角平分线点”，并说明理由． 3．（24-25七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，其中为常数，则称点是点的“级派生点”．如：点的“3级关联点”为，即． (1)已知点的“级派生点”是点，求点的坐标； (2)已知点的“级派生点”是点，求点的坐标； (3)已知点的“级派生点”是点，点位于坐标轴上，求点的坐标． 题型5 平面直角坐标系与动点问题 1．（25-26七年级下·山东德州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标为和．将线段先向右平移个单位，再向上平移个单位得到线段，连接，． (1)点C的坐标为 ，点D的坐标为 ． (2)如果．且上有一动点，的最小值为 ． (3)点M，N分别是线段，的动点，点M从点A出发向点B运动，每秒2个单位，到点B即停；点N从点C出发向点D运动，每秒3个单位，到点D即停．如果两点同时出发，几秒后？并写出点M，N的坐标． 2．（25-26七年级下·福建莆田·期中）如图①，在平面直角坐标系中，三角形的顶点A在x轴负半轴上，点B在x轴正半轴上，点C的坐标为，点A到y轴的距离等于点C到x轴的距离，． (1)求三角形的面积； (2)如图②，过点B作的平行线交y轴于点M，作和的平分线相交于点N，求的度数． (3)若点是第二象限内一点，，求的值． 3．（25-26七年级下·天津和平·期中）在平面直角坐标系中，点，，，且满足，过点C作轴，D是上一动点． (1)求的面积； (2)如图1，若点C向左平移3个单位得到D点，则D点的坐标为_____，三角形与三角形的面积大小有什么关系_____（填“大于”，“小于”，“相等”或“不相等”）； (3)如图2，若，P是上的点，Q是射线上的点，射线平分，射线平分，，请你补全图形，并求的值． 知中考·真题探源 1．（2025·四川乐山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·贵州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中有A，B，C，D四点，根据图中各点位置判断，哪一个点在第四象限（  ） A．点 B．点 C．点 D．点 3．（2025·四川成都·中考真题）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（2025·辽宁·中考真题）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，将线段平移得到线段，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 5．（2025·海南·中考真题）在如图所示的正方形网格中，若建立平面直角坐标系，使“少”“年”的坐标分别为、，则“强”的坐标为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·山东威海·中考真题）某广场计划用如图①所示的A，B两种瓷砖铺成如图②所示的图案．第一行第一列瓷砖的位置记为，其右边瓷砖的位置记为，其上面瓷砖的位置记为，按照这样的规律，下列说法正确的是（　　） A．位置是B种瓷砖 B．位置是B种瓷砖 C．位置是A种瓷砖 D．位置是B种瓷砖 7．（2025·四川广安·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，且a，b满足，则点A在第__________象限． 8．（2025·山东·中考真题）在平面直角坐标系中，将点向下平移2个单位长度，得到的对应点的坐标是______． 9．（2025·广东深圳·中考真题）如图，将无人机沿着轴向右平移3个单位，若无人机上一点的坐标为，则平移后点的坐标为__________． 10．（2025·四川德阳·中考真题）在平面直角坐标系中，已知，，如果的面积为，那么点的坐标可以是______．（只需写出一个即可） 练好题·提分培优 1．（25-26九年级上·贵州毕节·期末）如图，在平面直角坐标系中有，，，四点，其中位于第三象限的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 2．（25-26八年级上·河南平顶山·期末）点不可能在哪个象限（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为和，连接．若轴，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·河南许昌·期中）如图，已知希望书店在学校北偏西方向处，则符合希望书店的位置的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 5．（2026·辽宁铁岭·二模）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，将线段平移得到线段，其中点A的对应点C的坐标为，则点B的对应点D的坐标为（     ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·河南平顶山·期末）下列结论正确的是（   ） A．点在第四象限 B．点在第一象限，它到轴，轴的距离分别为4，3，则点的坐标为 C．平面直角坐标系中，点位于坐标轴上，那么 D．已知点，则直线轴 7．（2026·湖南衡阳·一模）如图，在单位为1的方格纸上，，是斜边在轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，则依图中所示规律，的坐标为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级下·天津·期中）已知点的坐标为，且点在轴上，则点的坐标为______． 9．（25-26七年级下·山东德州·阶段检测）已知点，点，且轴，则m的值为_____． 10．（25-26七年级下·重庆·期中）在平面直角坐标系中，第四象限内有一点，到两坐标轴的距离相等，则的值为___________． 11．（2026·湖南娄底·二模）象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久．如图，这是中国象棋棋盘一部分的示意图，建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点，“马”位于点，则棋子“兵”的位置应记为_____． 12．（25-26八年级下·陕西汉中·期中）如图，点A、C的坐标分别为、，将沿x轴向右平移，得到，点O的对应点D在线段上，若，则点A的对应点B的坐标为 ________． 13．（25-26七年级下·湖南长沙·期中）已知点，解答下列各题： (1)若点在轴上，求出点的坐标； (2)若点的坐标为，直线轴，求出点的坐标； (3)若点到轴、轴的距离相等，求出点的坐标． 14．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格的边长为1个单位长度，三角形的顶点A，B的坐标分别为，． (1)直接写出点C的坐标为________； (2)平移三角形，将点C移动到点，其中点A的对应点为D，点B的对应点为E，在平面直角坐标系中画出三角形； (3)连接，，直接写出三角形的面积． 15．（25-26七年级下·重庆永川·期中）小明从A处出发向北偏东走了，到达B处；小刚也从A处出发、向南偏东走了，到达C处． (1)用表示，画图表示A、B、C三处的位置； (2)用表示方向的角和距离表示A处相对于C处的位置； (3)在图上量出B处和C处之间的距离、求出小明和小刚两人实际相距多少米． 16．（25-26七年级下·山东临沂·期中）在平面直角坐标系中，对于，我们把点叫做“系联动点”，其中为常数，且．例如：点的“系联动点”的坐标为，即． (1)已知点的“系联动点”是点，求点的坐标； (2)已知点的“系联动点”在轴上，求点的坐标． 17．（23-24七年级下·广西南宁·期中）如图在直角坐标系中，已知，，三点，若，，满足关系式： (1)求的值； (2)求四边形的面积； (3)是否存在点，使的面积为四边形的面积的两倍？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 18．（25-26七年级下·吉林·期中）如图①，点的坐标为，点在轴上，将三角形沿轴正方向平移，平移后的图形为三角形，点的坐标为，且． (1)________，________，与关系为________，四边形的面积为________； (2)如图②，点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线向终点运动，设点的运动时间为秒，回答下列问题： ①当点在上运动时，若点的横坐标与纵坐标相等，则________秒； ②当点在上运动时，点的坐标为________；（用含的式子表示） ③当时，请写出，，之间的数量关系，并说明理由． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $