暑假作业03 整式乘法15大题型（培优拔高）七年级数学新教材苏科版

**基本信息** 聚焦整式乘法全题型训练，以15类分层题型构建从基础运算到综合应用的完整知识链，渗透抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |混合运算|4组|含多步骤整式乘法|从单项式到多项式运算递进| |新定义问题|4题|自定义符号与运算规则|抽象代数关系的应用| |化简求值|3题|先化简再代入计算|代数变形与整体代换思想| |规律探究|4题|杨辉三角与展开式规律|从特殊到一般的归纳推理| |几何无关问题|3题|代数式与图形参数无关性|代数与几何的转化应用| |公式应用|8题|平方差、完全平方公式|公式正向与逆向使用训练|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业03 整式乘法 【题型1 整式乘法中的混合运算】 1．（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查整式乘法的混合运算，熟记单项式乘多项式，合并同类项法则是解题的关键． （1）先计算单项式乘以多项式，然后合并同类项； （2）先计算单项式乘以多项式，然后合并同类项； （3）先计算单项式乘以多项式，然后合并同类项； （4）先计算单项式乘以多项式，然后合并同类项． 【详解】（1）解： （2） （3） （4） 2．（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）本题主要考查整式运算，掌握运算顺序与计算方法是解决问题的关键； （1）先根据幂的乘方与积的乘方进行计算，再根据单项式乘单项式的运算法则计算即可． （2）先根据幂的乘方与积的乘方进行计算，再根据单项式加单项式的运算法则计算即可． （3）先根据幂的乘方与积的乘方进行计算，再根据整式乘法的运算法则计算即可． 解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； 3．（24-25七年级下·江苏连云港·阶段检测）计算 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)8 (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】此题考查实数的混合运算和整式的混合运算： （1）先计算乘方，零次幂和负整数指数幂，再计算加减法； （2）根据多项式乘以多项式法则计算； （3）先计算多项式乘以多项式与单项式乘以多项式，再合并同类项； （4）根据平方差公式和完全平方公式计算； （5）根据平方差公式和完全平方公式计算； （6）先分组，再根据平方差公式计算 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 4．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段检测）计算： (1) (2)； (3)； (4)； (5)    ； (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查实数的混合运算，整式的混合运算，掌握运算法则和运算顺序是解题的关键． （1）先运算零指数次幂、负整数次幂和乘方，然后加减解题即可； （2）先运算乘方，然后运算同底数幂的乘除法，最后合并同类项解题； （3）先算乘方，然后运算单项式的乘法，最后合并同类项解题即可； （4）先去括号，然后合并同类项解题即可； （5）先运用平方差和完全平方公式计算，然后合并解题即可； （6）先化为，然后运用平方差公式，在运用完全平方公式计算解题． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： （5）解： ； （6）解： 【题型2 整式乘法中的新定义问题】 5．（25-26七年级下·江苏镇江·阶段检测）已知和为有理数，现规定一种新的运算符号，定义，例如：，请根据符号的意义解决下列问题： (1)的值为___________； (2)___________； (3)已知，且，求的值． 【答案】(1)10 (2) (3) 【分析】本题考查了新定义，完全平方公式，有理数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据，得，再计算，即可作答． （2）根据，得，再计算，即可作答． （3）根据，得，再结合完全平方公式进行变形，得，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，； （2）解：依题意，， （3）解：依题意， ， ∵， ∴， ∵， ∴， 则， 解得． 6．（23-24七年级上·湖南湘西·期中）定义一种新运算“”，满足，如：． (1)计算： ； (2)求的值； (3)等式“”是否成立？请说明理由． 【答案】(1)5 (2) (3)成立，理由见解析 【分析】（1）根据题干提供的信息列式计算即可； （2）根据题干提供的信息列式计算即可； （3）根据题干提供的信息分别求出等式左边和等式右边的值，然后进行判断即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：5． （2）解： ； （3）解：成立；理由如下： 左边 ， 右边 所以左边右边，所以原等式成立． 【点睛】本题主要考查了有理数混合运算，整式混合运算的应用，解题的关键是正确理解新运算法则，准确计算． 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）定义：是以为系数的二次多项式，即，其中均为实数．例如，．若，求的值． 【答案】的值为． 【分析】本题考查多项式乘多项式和新定义问题，解题的关键是理解题意，对新定义的理解． 根据定义化简，可得出，，，， ，再化简，代入求值即可． 【详解】解：， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 的值为． 8．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）我们定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为对消多项式，这个常数称为它们的“对消值”，如与互为对消多项式，它们的对消值为5． (1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是 （填序号）； ①与；②与；③与． (2)多项式与多项式（a，b为常数）互为对消多项式，求它们的对消值． 【答案】(1)② (2) 【分析】（1）根据定义，计算判断即可； （2）根据题意可得的结果是常数，据此求出、，再求出对消值即可． 【详解】（1）解：①，结果不是常数，所以不互为“对消多项式”； ②，是常数，所以多项式互为“对消多项式”； ③，结果不是常数，所以不互为“对消多项式”； （2）解： 因为多项式与多项式（，为常数）互为“对消多项式”， ∴，， ∴，， ∴对消值为． 【题型3 整式乘法中的化简问题】 9．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）先化简，再求值： ，其中，． 【答案】；0 【分析】本题主要考查了整式化简求值，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和平方差公式，去括号法则和合并同类项法则，注意括号前面为负号时，将负号和括号去掉后，括号里每一项的符号要发生改变．先根据完全平方公式和平方差公式以及合并同类项法则进行化简，然后再把数据代入求值即可． 【详解】解： ． 当，时，原式． 10．（21-22七年级下·江苏扬州·阶段检测）对于任何数，我们规定：． 例如：． (1)按照这个规定，请你化简； (2)按照这个规定，请你计算，当 时，的值 ． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题干所给的运算法则进行计算即可； （2）先按照题意化简，再将代入计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：， 当时，原式． 11．（23-24七年级下·湖南永州·阶段检测）对于任意的有理数a，b，c，d，我们规定．如，根据这一规定，解答下列问题： (1)化简； (2)若x，y同时满足，，求x，y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是自定义下的整式的加减乘除混合运算，以及解方程组，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意列式，然后再计算乘法，后算加减即可； （2）根据题意列出方程组，再解方程组即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵，， ∴， 得：， 解得：， 把代入①得， 解得：， ∴方程组的解为：． 【题型4 多项式乘法中的规律性问题】 12．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）《详解九章算法》一书中给出的杨辉三角是我国数学史上的一个伟大成就，此图揭示了（n为正整数）展开式的项数及各项系数的规律．请利用杨辉三角解决以下问题： (1)依次类推，写出______； (2)的展开式中一共有______项，各项系数之和为______； (3)的展开式中从左往右数第四项为______，x的三次项系数为______； (4)当代数式的值为1时，则的值为______． 【答案】(1) (2)2027， (3)；0 (4)0或 【分析】（1）根据杨辉三角的规律，的展开式系数对应杨辉三角第行的数字， 则当时，对应杨辉三角第6行数字1，5，10，10，5，1，即可解答； （2）观察杨辉三角可知，的展开式项数为，所以的展开式项数为，令，，得到，即可解答； （3）根据杨辉三角第7行的系数分别为1，6，15，20，15，6，1，得到 ，据此解答即可； （4）先对代数式变形为，令，则，分类讨论：①当时，②当时，逐个分析求解即可． 【详解】（1）解：根据杨辉三角的规律，的展开式系数对应杨辉三角第行的数字， 则当时，对应杨辉三角第6行数字1，5，10，10，5，1， ∴； （2）解：观察杨辉三角可知，的展开式项数为，所以的展开式项数为； 令，，则 此值就是展开式各项系数之和， ∴各项系数之和为． （3）解：∵杨辉三角第7行的系数分别为：1，6，15，20，15，6，1， ∴ ， ， 从左往右数第四项为， 化简各项后，x的指数依次为：，没有指数为3的项，因此的三次项的系数为0． （4）解：先对代数式变形： 令，则 ： ①当时，， 解得， 则 ②当时，， 解得， 则 ∴的值为或． 13．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）【文化欣赏】我国南宋时期杰出的数学家杨辉于1261年写下了《详解九章算法》，书中记载了“杨辉三角”，此数表给出了展开式的系数规律． 第2行 第3行 第4行 第5行 【应用体验】 (1)的展开式为 ； (2)利用上面的规律计算： ① ； ② ； (3)若， ①求的值． ②求的值． (4)当代数式的值为1时，求a的值． 【答案】(1) (2)①；②32 (3)①1；② (4)或1 【分析】（1）根据“杨辉三角”的系数规律进行解答即可； （2）①根据“杨辉三角”的系数规律变形后得到，即可求出答案；②根据“杨辉三角”的系数规律变形后得到，即可求出答案； （3）①令即可求出答案；②分别令和列出式子，两式相减即可求出答案； （4）根据“杨辉三角”的系数规律变形后得到，即可求出答案． 【详解】（1）解：根据题意可得， （2）解：① ； ② （3）解：①当时， ， ②当时， ①， 当时， ②， 得到， ∴ （4） 当代数式的值为1时，则， ∴， ∴或， 解得或1 14．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示： (1)【观察】①______； ②______； ③______；…… (2)【猜想】由此可得：______； (3)【应用】请运用上面的结论，解决下列问题：计算：的值． 【答案】(1)①；②；③ (2) (3) 【分析】（1）①利用平方差公式计算即可得出结果；②利用多项式乘以多项式的运算法则计算即可得出结果；③利用多项式乘以多项式的运算法则计算即可得出结果； （2）观察（1）中计算结果即可得出结论； （3）令，则，由此计算即可得出结果． 【详解】（1）解：①； ② ； ③ ； （2）解：由此可得：； （3）解：令， ∴， ∴， ∴， ∴． 15．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段检测）阅读下文，寻找规律： 已知，计算： … (1)观察上式猜想：______． (2)根据你的猜想计算：①；②． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查的是多项式乘以多项式中规律问题，从运算中发现总结出规律，以及应用规律是解题的关键． （1）根据观察得到的规律直接写出结果即可； （2）①先把要求值的代数式化为，进而根据规律，即可求解； ②根据①的结论得出，，两式相减，即可求解． 【详解】（1）解：观察上式可得：； 故答案为：； （2）① ②由①同理可得：， ∴ 【题型5 多项式乘法中图形几何无关问题】 16．（24-25八年级上·北京·期中）【知识回顾】 我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求a的值． 通常的解题思路是：把x、y看作字母，a看作系数，合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0． 具体解题过程是：原式， 代数式的值与x的取值无关， ，解． 【理解应用】 （1）若关于x的代数式的值与x的取值无关，则m值为_________． （2）已知，且的值与x的取值无关，求m的值． 【能力提升】 （3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 【答案】（1）4；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式和合并同类项，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则和合并同类项法则． （1）把含有的项提取公因式，然后根据关于的代数式的值与的取值无关，列出关于的方程，解方程即可； （2）把已知条件中的和代入，根据去括号法则和合并同类项法则进行化简，然后根据的值与无关，列出关于的方程，解方程即可； （3）设，由图可知，，然后再求出，最后根据的值始终保持不变，得到关于，的等式即可． 【详解】解：（1） ， 关于的代数式的值与的取值无关， ， 解得：， 故答案为：4； （2）， ， 的值与x无关， ， 即； （3）设，由图可知， ， 当的长变化时，的值始终保持不变． 取值与x无关， ， 17．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时利用几何直观的方法获取结论，在解决整式运算问题时经常运用． 例1：如图1，可得等式：； 例2：由图2，可得等式：． (1)如图3，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，从中你发现的结论用等式表示为______； (2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，．求的值． (3)如图4，拼成为大长方形，记长方形的面积与长方形的面积差为S．设，若S的值与无关，求a与b之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了多项式乘以多项式在几何面积中的应用，面积法，求代数式的值； （1）由整体表示大长方形的面积，分部分表示各个小正方形与长方形的面积，二者相等，即可求解； （2）将值代入（1）中的等式计算即可求解； （3）由图得，，，由线段和差求出，，分别求出，，由多项式不含某一项的条件即可求解； 掌握面积的两种表示方法：整体法、部分法，多项式不含某一项的条件为这一项的系数为零，多项式混合运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：由图得 ； 故答案：； （2）解：，， ， 解得：； （3）解：由图得： ， ， ， ， ， ， ， S的值与无关， ． 18．（22-23七年级下·广东佛山·期中）如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为． (1)小长方形的较长边为 （用代数式表示）； (2)阴影A的一条较短边和阴影B的一条较短边之和为，是 的（填正确/错误）；阴影A和阴影B的周长值之和与 （填有关/无关），与 （填有关/无关）； (3)设阴影A和阴影B的面积之和为S，是否存在使得S为定值，若存在请求出的值和该定值，若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2)正确，有关，无关 (3)存在使得S为定值，理由见解析 【分析】本题考查了列代数式以及整式的混合运算，根据图形分别表示出相关边长并能熟练运用整式加减的运算法则是解题的关键． （1）由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长为； （2）由大长方形的宽及小长方形的长、宽，可得出阴影A，B的较短边长，将其相加可得出阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为；由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的周长计算公式可得出阴影A和阴影B的周长之和为，据此求解即可； （3）由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的面积计算公式可得出阴影A和阴影B的面积之和为，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵大长方形的长为ycm，小长方形的宽为4cm， ∴小长方形的长为， 故答案为：； （2）解：∵大长方形的宽为xcm，小长方形的长为，小长方形的宽为4cm， ∴阴影A的较短边为， 阴影B的较短边为， ∴阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为； ∵阴影A的较长边为，较短边为， 阴影B的较长边为，较短边为， ∴阴影A的周长为， 阴影B的周长为， ∴阴影A和阴影B的周长之和为， ∴阴影A和阴影B的周长之和与有关，与无关， 故答案为：正确，有关，无关； （3）解：∵阴影A的较长边为，较短边为， 阴影B的较长边为，较短边为， ∴阴影A的面积为， 阴影B的面积为， ∴阴影A和阴影B的面积之和为 ， ∴当时，为定值，定值为． 【题型6 多项式乘以多项式的展开式中与某字母的取值无关】 19．（25-26七年级上·河南安阳·期末）我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值． 通常的解题思路是：把，看作字母，看作系数，合并同类项，具体解题过程如下： 原式 ∵代数式的值与的取值无关， ∴， 解得： 【理解应用】 (1)若关于的多项式的值与的取值无关，则的值为 ； (2)已知，，且的值与的取值无关，求，的值； 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，整式的化简求值，熟练掌握整式的混合运算顺序和法则及由题意得出相关的方程是解题的关键． （1）由题可知代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，故将多项式整理为，令系数为0，即可求出； （2）先计算，结合多项式的值与的取值无关，即可求出答案． 【详解】（1）解：， ∵其值与的取值无关， ∴， 解得． 故答案为：． （2）解： ∵的值与的取值无关， ∴，， 解得，． 20．（23-24八年级上·福建泉州·期中）试证明代数式的值与无关． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了整式的化简，先把代数式去括号合并得到结果为不含字母的代数式，即可做出解释． 【详解】 这个代数式化简的结果是不含字母的代数式， 代数式的值与无关． 21．（23-24七年级上·河南信阳·阶段检测）杨老师在黑板上布置了一道题，小白和小红展开了下面的讨论： 已知时，求代数式：的值．   只知道x的值，没有告诉y值，求不出答案 这道题与y值无关，是可以解的．   根据上述情景，你认为谁说得对？为什么？ 【答案】小红说得对，见解析 【分析】首先对多项式进行化简，根据平方差公式，多项式相乘，单项式乘多项式计算，然后去括号合并同类项，确定结果中的项不含字母y，即可作出判断． 【详解】小红说得对，理由如下： ， 代数式的值与值无关． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算—化简求值的无关型问题，熟练掌握平方差公式，多项式相乘的法则，单项式乘多项式法则，去括号法则，合并同类项法则，是解决问题的关键． 【题型7 代入错误的数值不影响计算结果】 22．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）小亮在做“化简并求时的值”一题时，错将看成，但结果却和正确答案一样，由此，你能推算出值吗？ 【答案】 【分析】先化简多项式，根据“结果与的正负无关”，判断出一次项系数必须为，从而求出的值． 【详解】解：化简， 根据题意可知，当和时，代数式的值相等， 则， 可得， 解得． 23．（23-24八年级上·全国·单元测试）有一道题：“化简求值：，其中．”小凡在解题时把“”抄成了“”，但计算的结果与正确答案一致，请你通过计算加以说明． 【答案】见解析 【分析】本题考查了整式的运算，先根据乘法公式、所像是与多项式的乘法法则化简，进而可得出答案． 【详解】 ， 不论还是，原式结果都是15， 故小凡计算的结果与正确答案一致． 【题型8 多项式的次数、系数、项数】 24．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）如果整式和整式满足：整式的次数是次，那么整式的次数不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的概念，整式的运算，设整式的次数为和整式的次数为，由整式的次数是次，然后分，，，且最高次项抵消，两种情况分析即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设整式的次数为和整式的次数为， ∵整式的次数是次， ∴，， 则 ， ∴整式的次数可能是次或次， ，且最高次项抵消，则 （偶数）， ∴整式的次数不可能是， 综上可得：整式的次数不可能是， 故选：． 25．设多项式A是二项式，B是三项式，则A×B的结果的多项式的项数一定是（　　） A．等于5项 B．不多于5项 C．多于6项 D．不多于6项 【答案】D 【分析】根据合并同类项法则和多项式的乘法法则可做出判断． 【详解】多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积． 多项式A是个是二项式，B是三项式三项式，B是个四项式，因此A×B合并同类项之后不多于6项． 故选D． 【点睛】本题主要考查多项式乘以多项式的法则．注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项．要准确把握合并同类项的法则，合并同类项时只是把系数相加减，字母和字母的指数不变，多项式的次数是“多项式中次数最高的项的次数”． 26．（25-26七年级下·四川成都·期中）已知的展开式中，不含有和，则_______，_______． 【答案】 【分析】这个式子可化简为，由题意得，和两项的系数为零，代入求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 其展开式中，不含有和， ，解得． 【题型9 求局部项的系数】 27．（24-25七年级下·河南平顶山·期中）阅读材料：北师大版七年级下册教材页为大家介绍了杨辉三角． 如果将为非负整数的展开式的每一项按字母的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： ，它只有一项，系数为； ，它有两项，系数分别为，； ，它有三项，系数分别为，，； ，它有四项，系数分别为，，，； 将上述每个式子的各项系数排成该表． 观察该表，可以发现每一行的首末都是，并且下一行的数比上一行多个，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和按照这个规律可以将这个表继续往下写． (1)判断的展开式共有 项；写出的第三项的系数是 ； (2)结合杨辉三角解决以下问题： ①计算：； ②猜想：的展开式中含项的系数是 ． 【答案】(1)六， (2)① ；② 【分析】本题考查了杨辉三角，整式的乘法，有理数的乘方，通过观察得到系数的规律是解题的关键． 通过观察，可知展开式有五项，分别写出和展开式的系数，从而得到展开式有七项，系数分别是，，，，，，，从而得到答案； 通过观察可知，，从而得出答案； 写出的展开项，从而算得的系数； 【详解】（1）解：根据题意，可知展开式有五项，系数分别是，，，，展开式有六项， 系数分别是，，，，，展开式有七项，系数分别是，，，，，，， 故答案为：六，； （2）①由（1）发现 故答案为：； ，理由如下： 展开后共项，第一项是：， 第二项是：， 第三项是：， 第四项是：， 故答案为：． 28．（22-23七年级下·江苏苏州·期中）阅读以下材料，回答下列问题： 小明遇到这样一个问题：求计算所得多项式的一次项系数．小明想通过计算所得的多项式解决上面的问题，但感觉有些繁琐，他想探寻一下，是否有相对简洁的方法． 他决定从简单情况开始，先找所得多项式中的一次项系数．通过观察发现：    也就是说，只需用中的一次项系数1乘以中的常数项3，再用中的常数项2乘以中的一次项系数2，两个积相加，即可得到一次项系数． 延续．上面的方法，求计算所得多项式的一次项系数．可以先用的一次项系数1，的常数项3，的常数项4，相乘得到12；再用的一次项系数2，的常数项2，的常数项4，相乘得到16；然后用的一次项系数3，的常数项2，的常数项3，相乘得到18，最后将12，16，18相加，得到的一次项系数为46． 参考小明思考问题的方法，解决下列问题： (1)计算所得多项式的一次项系数为______． (2)计算所得多项式的一次项系数为______． (3)若计算所得多项式的一次项系数为0，则______． (4)计算所得多项式的一次项系数为______，二次项系数为______． (5)计算所得多项式的一次项系数为______，二次项系数为______． 【答案】(1)7 (2) (3) (4)5，10 (5)10， 【分析】（1）结合已知可得所得多项式的一次项系数，即可求解； （2）结合已知可得所得多项式的一次项系数，即可求解； （3）由所得多项式中不含一次项，可得，即可求解； （4）（5）根据题目中提供的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：7； （2）， 故答案为：； （3）由题意得，， 也就是，， 所以，； 故答案为：； （4） 一次项系数为：； 二次项系数为：． 故答案为：5，10； （5）． ． 一次项系数为：， 二次项系数为：． 故答案为：10；． 【点睛】本题考查多项式乘以多项式，理解多项式乘以多项式所得的多项式每一项的系数是解决问题的关键． 29．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）项目式学习： 【阅读学习】我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式：． (1)【应用体验】根据图表直接写出__________． (2)【拓展提升】 ①若，其中为各项系数，则__________； ②若，其中为各项系数，则求的值． 【答案】(1)； (2)①；②． 【分析】本题考查了新定义问题，多项式展开式的系数计算以及赋值法求系数和，熟练掌握二项和的乘方展开式的系数规律与赋值法是解答本题的关键． （1）根据图表规律，直接写出的展开式； （2）①利用二项式展开式的通项公式，结合图表系数规律，展开，确定对应项的系数并求和； ②利用赋值法，将代入展开式，通过等式变形求出所有系数的和． 【详解】（1）解：由图表可得：， 故答案为：； （2）解：①根据规律可得， ， ， ， 则，， ， 故答案为：； ②将代入可得 ， ． 【题型10 巧妙构建平方差公式】 30．（25-26七年级下·浙江嘉兴·期中）代数式的末尾数字是________． 【答案】0 【分析】先应用平方差公式，将算式化简，再找指数与末尾数字之间的规律，最后应用规律求出结果即可． 【详解】解： ， 的末尾数字是3， 的末尾数字是9， 的末尾数字是 7， 的末尾数字是 1， 的末尾数字是 3， …， ∴每4个数一循环， ∵， ∴的末尾数字与的末尾数字相同，即的末尾数字为1， ∴的末尾数字是0． 31．（25-26七年级下·山东济南·期中）如果与的乘积为1，那么的值为______． 【答案】 【分析】根据题意可得，即，再把所求式子前面乘以，据此利用平方差公式求解即可． 【详解】解：∵与的乘积为1， ∴，即， ∴ ． 32．（25-26七年级下·广西贵港·期中）阅读下面的计算过程，然后化简： ． 化简_____． 【答案】 【分析】仿照题目示例，构造平方差公式即可求解． 【详解】解：原式=   = 33．（22-23七年级下·广西贵港·阶段检测）设，则____________． 【答案】 【分析】通过添项构造平方差公式，利用平方差公式逐步化简计算，最终求得的值． 【详解】解：∵ ∴ ， ∴． 【题型11 利用乘法公式的非负性求值】 34．（21-22七年级下·广东清远·阶段检测）例：若，求和的值． 解：因为，所以 所以，所以，，所以，， 已知，满足，求的值为_____． 【答案】 【分析】仿照例题的思路，凑成两个完全平方式，再利用偶次方的非负性，先求出，的值，然后代入进行计算即可得到答案． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了完全平方式及偶次方的非负性，熟练掌握完全平方式是解题的关键． 35．（2026九年级下·黑龙江大庆·专题练习）若，求的值___________． 【答案】 【分析】通过配方法将原式转化为两个完全平方式的和，利用“几个非负数的和为0，则每个非负数都为0”的性质求解、的值，再代入计算目标式． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵，， ∴，解得， ∴． 36．（18-19七年级下·江苏扬州·期中）仔细阅读下列解题过程： 若，求的值． 解： ∴ ∴ ∴ ∴ 根据以上解题过程，试探究下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）首先把第3项裂项，拆成，再用完全平方公式因式分解，利用非负数的性质求得x和y，代入求得数值； （2）首先把第2项裂项，拆成，再用完全平方公式因式分解，利用非负数的性质求得a和b； （3）先把代入，得到关于n和t的式子，再仿照（1）（2）题求解． 【详解】（1）解： ， ， ， ，， ，， ， ； （2）解：， ， ， ，， ，， ，； （3）解：， ， ， ， ，， ，， ， ． 【点睛】本题考查因式分解、完全平方公式、非负数的性质、零指数幂等，对于项数较多的多项式因式分解，掌握分组分解法是解题的关键． 【题型12 整式乘法中整体思维】 37．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）“整体思想”在数学中应用极为广泛． 例如：已知，求的值． 解：， ． ． 请尝试应用“整体思想”解决以下问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值； (3)若（，都是整数）能被6整除，试说明也能被6整除． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）求出，再把所求式子变形为，据此可得答案； （2）设，则可得到，利用完全平方公式的变形求出的值即可得到答案； （3）把变形为，进一步变形为，根据（，都是整数）能被6整除，也能被6整除，即可得到能被6整除． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴． （3）解： ， ∵（，都是整数）能被6整除，也能被6整除， ∴能被6整除， ∴能被6整除． 38．（24-25六年级下·山东威海·期末）在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单． 例如，在计算时就可以将看成一个整体，式子转化为：．请借助整体思想完成： (1)___________； (2)，求___________； (3)已知，求 【答案】(1) (2)9 (3) 【分析】本题主要考查了平方差公式，完全平方公式，解高次方程和一元二次方程的方法，学会整体代入思想是解题的关键． （1）把看成一个整体，利用平方差公式和完全平方公式计算即可； （2）把看成一个整体，利用平方差公式计算解方程即可； （3）把看成一个整体，利用完全平方公式计算解方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， ， ， ； （3）解：令， 原方程变形为：， ， ， ， ， ． 39．（24-25七年级下·江苏常州·阶段检测）阅读理解：若x满足，求的值． 解：设，，则，．． 归纳方法：首先，利用换元进行式子简化，再利用和（差）是定值，积是定值的特点与其平方和之间的关系进行转化． 解决问题： (1)若x满足，则 ； (2)若x满足，求的值； (3)已知正方形的边长为x，E，F分别是、上的点，且，，长方形的面积是48，分别以、作正方形和正方形，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，平方差公式，因式分解的应用，阅读理解题目中提供的方法，是类比、推广的前提和关键． （1）根据题目提供的方法，进行计算即可． （2）根据题意可得，设，，将化成的形式，代入求值即可． （3）根据题意可得，，根据（1）中提供的方法，求出的结果就是阴影部分的面积． 【详解】（1）解：∵， 设，； 则，， ∴， 故答案为：． （2）解：设，，， ∴，， ∴ ． （3）解：由题意得，，， ∵长方形的面积为48， ∴， 设，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积 ， ∴阴影部分的面积和为28． 【题型13 乘法公式与卡片组合相关问题】 40．（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图是型卡片（边长为的正方形）、型卡片（长为，宽为的长方形）、型卡片（边长为的正方形）．现有3张卡片，10张卡片，7张卡片，从中选择卡片无缝隙、无重叠地拼接．下列说法错误的是（    ） A．可拼成边长为的正方形 B．可拼成长为、宽为的长方形 C．可拼成边长为的正方形 D．可拼成长为、宽为的长方形 【答案】D 【分析】本题考查多项式乘以多项式与几何图形的面积，完全平方公式与几何图形的面积，分别求出各选项中的面积，进行判断即可． 【详解】解：A、，需要1张A卡片，2张B卡片，1张C卡片，正确，不符合题意； B、，需要2张A卡片，7张B卡片，6张C卡片，正确，不符合题意； C、，需要1张A卡片，4张B卡片，4张C卡片，正确，不符合题意； D、，需要3张A卡片，11张B卡片，6张C卡片，但只有10张卡片，故错误，符合题意． 故选：D． 41．（25-26七年级下·江苏苏州·阶段检测）图1中有三种卡片，种卡片是边长为的正方形，种卡片是边长为的正方形，种卡片是长为、宽为的长方形．将图1中不同卡片“叠”在一起，可得面积之差，图2是种卡片与种纸片叠放在一起的，阴影部分的面积，图3是种卡片与种卡片叠放在一起，其阴影部分的面积分别为，则的值为______． 【答案】9 【分析】根据图形的面积，面积差的意义，完全平方公式的应用解答即可； 【详解】解：根据题意，得，， 故， 故， 即， 故． 42．（25-26七年级下·江苏南京·期中）如图，有A，B，C三种类型的卡片． (1)选取1张A型卡片，2张B型卡片，1张C型卡片，恰好拼成一个大正方形． ①请画出所拼大正方形的示意图； ②通过用不同方法表示大正方形的面积，可得到乘法公式为_________． (2)若用若干张A，B，C卡片（每种类型的卡片至少一张），恰好拼成一个大正方形，则使用的所有卡片的张数之和一定是一个完全平方数．请说明理由． 【答案】(1)①见详解；② (2)理由见详解 【分析】（1）结合三种卡片的数量以及每种卡片的面积即可求解； （2）先假设拼接后大正方形的边长，然后利用乘法公式确定大正方形的面积，再结合三种卡片的面积即可确定所需每种卡片的数量，继而求解． 【详解】（1）解：①所拼大正方形的示意图如图所示： ②． （2）解：设拼接后的大正方形的边长为，则大正方形的面积为 ． 因为1张A型卡片的面积为，1张B型卡片的面积为，1张C型卡片的面积为， 所以拼接后的大正方形包含了张A型卡片，张B型卡片，张C型卡片, 所以使用的所有卡片的张数之和为，即它是一个完全平方数． 43．（24-25七年级下·江苏盐城·阶段检测）学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1，A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长和宽分别为a，b的长方形． (1)选取1张A型卡片，2张C型卡片，1张B型卡片，可拼成如图2所示的大正方形，通过用不同的方法计算图2中阴影部分的面积，可得到等式：____________________； (2)如果用若干张A，B，C三种卡片拼成的一个长方形，边长分别为和，在虚线框中画出你的拼图； (3)取出一张A型卡片，一张B型卡片，放入边长为的正方形大卡片内，如图3所示，图中A，B型卡片重叠部分面积记为，边长为m的正方形未被覆盖部分面积记为，，若，，，求出大正方形的面积． (4)选取1张A型卡片，4张C型卡片按图4的方式无缝隙，不重叠地放在长方形框架内，图中两阴影部分（长方形）为没有放置卡片的部分，其面积分别表示为，．设，当的长度变化时，a，b之间满足怎样的数量关系，使S的值始终保持不变，请说明理由． 【答案】(1)； (2)作图见解析 (3)134 (4)，理由见解析； 【分析】本题考查了完全平方公式，完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的特点，数形结合的数学思想是解决问题的关键． （1）根据阴影部分的面积的两种表示方法求解即可； （2）画一个长方形的两个邻边分别为和即可； （3）根据割补法表示面积，然后整体代入求解； （4））设，结合图形，计算的值得到S的表达式，根据S为定值，与x的值无关解题． 【详解】（1）解：由图可知，，， 阴影部分面积为：或； ∴可得到等式为： 故答案为：； （2）用卡片A，B，C拼成的一个长方形，边长分别为和，如图所示∶ （3）解：由图可知：， ， ∵，， ∴， 边长为：， ， ， ， ， ， 大正方形面积为 134． （4）解：，理由如下： 设，由图可知， ， ， 若为定值，则将不随的变化而变化， 即， ． 【题型14 乘法公式中的配方法求最值】 44．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）有教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，这种方法能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：求代数式的最小值； 解：∵ ， 当时，有最小值，最小值是， 根据阅读材料解决下列问题： (1)当_____时，代数式 有最大值，这个值为_____； (2)当为何值时，多项式有最大值，并求出这个最大值； (3)当，为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 【答案】(1)，； (2)当时， 有最大值，最大值是； (3)当，时，多项式有最小值，最小值是． 【分析】（）仿照题例即可求解； （）仿照题例即可求解； （）仿照题例即可求解． 【详解】（1）解：当时，代数式 有最大值，这个值为， 故答案为：，； （2）解：∵ ， ∵ ， ∴ ， ∴当时， 有最大值，最大值是； （3）解： ， ∵，， ∴当，时，多项式有最小值，最小值是． 45．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）【材料阅读】利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由的非负性解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值类等问题中均有广泛应用．配方法的本质是完全平方公式的逆运用． 例：求多项式的最小值． 解：． 因为，所以． 所以当时，有最小值，最小值为1． 即的最小值为1． 根据上述材料，解答下列问题： 【类比探究】 (1)求多项式的最小值． 【方法迁移】 (2)已知，．试说明：． 【实际应用】 (3)某种植园计划对一块长20米、宽10米的长方形种植区进行改造，若长减少x米，宽增加x米，则改造后的种植区面积的最大值为______平方米． 【答案】(1)3 (2)见解析 (3)225 【分析】（1）根据完全平方公式解答即可． （2）作差，利用完全平方公式把原式变形，根据偶次方的非负性解答即可． （3）利用完全平方公式把原式变形，根据偶次方的非负性计算，得到答案． 【详解】（1）解：． 因为， 所以． 所以当时，有最小值，最小值为3． 即的最小值为3． （2）解：因为，， ， 因为， 所以， 故， 故． （3）解：设改造后的种植区面积为， 根据题意， ， 因为， 所以， 所以． 所以当时，有最大值，最大值为225． 46．（24-25八年级上·福建漳州·期中）在学习乘法公式的运用时，我们常利用完全平方公式求最大值或最小值．例如：求代数式的最小值？总结出如下解答方法： 解：， ∵， ∴当时，的值最小，最小值是0， ∴， ∴当时，的值最小，最小值是1， ∴的最小值是1． 根据阅读材料利用完全平方公式解决下列问题： (1)求代数式的最小值； (2)求代数式的最大值； (3)当为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 【答案】(1)1 (2)5 (3)当时，最小值是17 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，正确掌握公式的结构特点是解题的关键． （1）先整理，因为，则，即可作答． （2）先整理，因为，所以，即可作答． （3）先整理，因为，所以，即可作答． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴当时的最小值是1； （2）解： ， ∵， ∴， ∴， ∴当时，的最大值是5； （3）解： ∵， ∴， ∴当时，的最小值是17． 【题型15 乘法公式的新定义运算】 47．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）观察下列等式，回答问题： ①；②；③；④；…… 定义：如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们把这个数叫做“幸福数”．如，则8就为“幸福数”，因此8，16，24都是“幸福数”． (1)判断48是否为“幸福数”，说明理由； (2)据“幸福数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中n是正整数，那么“幸福数”都能被8整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明； (3)求不超过150的所有“幸福数”的和． 【答案】(1)48是幸福数，理由见解析 (2)能，理由见解析 (3)1368 【分析】（1）设，求出方程的解，然后由计算结果可得出答案； （2）利用平方差公式计算，然后由计算结果可得出答案； （3）由（2）得“幸福数”能被整除，然后由求出不超过150的所有“幸福数”，然后求和即可． 【详解】（1）解：（1）48是“幸福数”， 理由：设， 解得：， ， 是“幸福数”； （2）解：“幸福数”能被整除， 理由： ， 是正整数， 能被整除， 能被整除， “幸福数”都能被整除； （3）解：由（2）得，“幸福数”能被整除， ， 不超过150的所有“幸福数”有，，，，136，144， ， ， ， ， ． 48．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）定义新运算 对于两个数a，b，定义运算“⊙”，满足． 例如：． (1)计算：________；________． 【应用新运算】 (2)①计算：． ②已知a，b满足方程组：，求a，b的值． 【拓展应用】 (3)如图，将边长为a的正方形和边长为b的正方形拼在一起，其中，D、C、G三点在同一直线上，连接、、，若的面积与的面积之和为5，的面积为，则的值为________． 【答案】(1)14； (2)①；②， (3)23 【分析】（1）根据新定义的运算计算即可； （2）①根据新定义的运算计算即可； ②先分别计算和，化简后再根据加减消元法解方程即可； （2）先根据面积条件推导a，b的关系，，根据完全平方公式变形得出，再根据新定义化简后代入求值即可． 【详解】（1）解：； ． （2）解：①； ②∵， 根据题意可得， 化简得， 得， 解得：， 将代入①可得， 解得：； （3）解：根据题意可得面积为，面积为， ∵的面积与的面积之和为5， ∴，即， ∵的面积为， ∴，即， 由完全平方公式：， ∵a，b为正数，故， ， 代入得：原式． 49．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）定义：对于任意四个有理数a、b、c、d，定义一种新运算：． (1) ； (2) ；若是完全平方式，则 ； (3)若有理数m、n满足，且． ① 求的值； ② 如图，四边形是长方形，点E、F、G、H分别在边上，连接交于点P，且将长方形分割成四个小长方形，若，，，，在①的条件下，求图中阴影部分的面积．    【答案】(1)11 (2)； (3)①2；② 【分析】本题考查了新定义，完全平方公式的变形求解，熟练掌握新定义和完全平方公式是解答本题的关键． （1）根据计算即可； （2）根据计算，再根据完全平方式的特征求解即可； （3）①根据得出，再结合即可求出； ②根据图象可得，化简后代入，即可求解； 【详解】（1）解：； （2）解：； 若是完全平方式，则； （3）解：①∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ②由题意可知： ， 将，代入可得，原式． 50．（22-23七年级上·广东佛山·期中）定义一种新运算“f”：表示n在运算f作用下的结果．若表示n在运算f作用下的结果，它对一些数的运算结果如下： ， ， ， …… 根据以上定义完成以下问题： (1)计算的值； (2)计算的值； (3)计算的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据新运算，令即可求得的值； （2）利用新运算可分别求得的值，代入即可求解； （3）把的值，代入所求的算式计算即可求解． 【详解】（1）解：当时，； （2）解：∵， ， ， ……， ∴ （3）解： 【点睛】本题考查了新运算的有关计算及有理数的混合运算，理解新运算的法则是解题的关键． 1．（22-23七年级下·江苏苏州·期中）填空： ； ； ； … (1) ； (2)猜想： ；（其中为正整数，且） (3)利用（2）中的猜想的结论计算： ① ②． 【答案】(1) (2) (3)①，② 【分析】（1）根据题中条件总结归纳即可求解； （2）根据题中条件总结归纳即可求解； （3）①根据题中条件可得，即可求出答案；②由题意可得：，从而求得答案． 【详解】（1）解：根据上式总结归纳得：， 故答案为：； （2）解：根据上式猜想得：， 故答案为：； （3）解：① ∴， ∴原式； ②由题意可得：， ∴ ∴． 【点睛】本题考查了新定义下的运算，灵活运用题中条件是解题关键． 2．（23-24八年级上·福建龙岩·阶段检测）通过课堂的学习知道，我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法． 配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式； 再例如求代数式的最小值，． 可知当时，有最小值，最小值是，根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)代数式的最大值为： ； (2)若与，判断的大小关系，并说明理由； (3)已知：，，求代数式的值． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了因式分解的应用、非负数的性质、完全平方公式的应用，解题时要注意配方法的步骤，注意在变形的过程中不要改变式子的值． （1）先配方，然后根据完全平方式的非负性求最大值即可； （2）先表示出，然后由完全平方式的非负性可得，由此即可得解； （3）由完全平方公式可得，代入可得，然后由完全平方式的非负性可得，，求出，代入进行计算即可． 【详解】（1）解：， 当时，由最大值，为， 代数式的最大值为， 故答案为：； （2）解：，， ， ，， ， ； （3）解：，， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ． 3．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）用若干块如图所示的正方形或长方形纸片拼成图（1）和图（2）． (1)如图1，若，，则 ， ． (2)如图1，若长方形面积为56，其中阴影部分的面积为26，，求的值． (3)如图2，若的长度为，的长度为n． ①当 ， 时，a，b的值有无数组； ②当 ， 时，a，b的值不存在． 【答案】(1)， (2)1 (3)①，； ②， 【分析】（1）根据图1列出方程组，解方程组即可； （2）根据阴影部分的面积和长方形面积分别列出方程，求出和的值，利用求解即可； （3）根据图2表示出、，根据二元一次方程组解的情况：当两个方程对应系数成比例且常数项成比例时，方程组有无数解；当系数成比例但常数项不成比例时，方程组无解，据此列关系求解． 【详解】（1）解：由图1可知：、， 则， 解得：； （2）解：由图1可知：、， 阴影部分的面积为：，即， 长方形面积为：， 整理得：， 解得：， 则， 即； （3）解：由图2得：、， ①若a，b有无数组解，则和两个方程表示同一方程， 由得：， 则， 解得：； ②由①知，， 若a，b的值不存在， 则， 解得：． 4．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决，先阅读下面的解题过程，再解答下面的问题． 例：若，，试比较x，y的大小． 解：设，则，． 因为， 所以． 请利用上面的方法解答下列问题： (1)计算：； (2)若，，证明：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）设，然后将原式变形为，然后展开化简即可； （2）设，得到，，然后代入利用完全平方公式证明即可． 【详解】（1）解：设， ∴ ； （2）解：设， ∴，， ∴， ∴ ． 5．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）我国古代数学的许多创新与发展都居世界前列，其中杨辉三角就是一例．在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算法》一书中，用如图所示的三角形解释二项和的乘方规律．我们称这个三角形为“杨辉三角”，此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律． (1)补充完整的展开式：______； (2)的展开式中共有______项，所有项系数的和为______； (3)利用上面的规律计算：． (4)此规律还可以解决实际问题：假如今天是星期三，再过天还是星期三，那么再过天是星期______． 【答案】(1)，验证见解析 (2)， (3) (4)四 【分析】（1）根据题目所给式子可写出的展开式，然后改写成，计算即可验证； （2）由“杨辉三角”归纳的项数与所有项的系数和的规律即可； （3）根据“杨辉三角”的规律解答即可； （4）根据规律得出，可得除以的余数为，即可得答案． 【详解】（1）解：由题意得，，验证如下： ． （2）解：的展开式有项，所有系数的和为， 的展开式有项，所有系数的和为， 的展开式有项，所有系数的和为， 的展开式有项，所有系数的和为， …… ∴的展开式有项，所有系数的和为， ∴的展开式有项，所有系数的和为． （3）解：由“杨辉三角”的规律得，． （4）解：由“杨辉三角”的规律得（、…是常数）， ∵能被整除， ∴除以的余数为， ∴再过天是星期四． 1．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）在学习平方差公式时，小明发现：两个连续偶数的平方差有一些有趣的结论．他定义：如果一个正整数N可以写成的形式（其中为正整数），则称N为“双偶平方差数”，称为的“序数”．例如，当时，，所以是双偶平方差数，序数为． (1)下列各数是双偶平方差数的是 ；（填序号）                            (2)小明猜想：任意一个双偶平方差数都能被整除．请帮助小明证明他的猜想； (3)设两个双偶平方差数和的序数分别为和（、为正整数）． 若，，求和的值； 若可表示为的形式，其中，．已知，求和的值． 【答案】(1) (2)见解析； (3) ，；，； ，． 【分析】（1）根据“双偶平方差数”的定义求解即可； （2）根据“双偶平方差数”的定义即可证明猜想； （3）根据已知可得，或，即可得和的值；由（2）知，，可得，结合已知，可得和的值，即可得和的值． 【详解】（1）解：∵，， ∴和是双偶平方差数， ∵，（为正整数） ∴“双偶平方差数”必为偶数， ∴不是“双偶平方差数”． （2）解：， ∵是整数， ∴能被整除． （3）解：∵两个双偶平方差数和的序数分别为和（、为正整数）， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 由，解得， 由，解得， ∴，；，． 由（2）知，， 则． ∵，且，， ∴． ∴， ∴， 解得，， ∴，． 2．（江苏省无锡市凤翔实验学校2024-2025学年七年级下学期3月自主学习数学试题）阅读以下材料，回答下列问题： 小明遇到这样一个问题：求计算所得多项式的一次项系数．小明想通过计算所得的多项式解决上面的问题，但感觉有些繁琐，他想探寻一下，是否有相对简洁的方法． 他决定从简单情况开始，先找所得多项式中的一次项系数．通过观察发现： 也就是说，只需用中的一次项系数1乘中的常数项3，再用中的常数项2乘中的一次项系数2，两个积相加，即可得到一次项系数． 延续上面的方法，求计算所得多项式的一次项系数．可以先用的一次项系数1，的常数项3，的常数项4，相乘得到12；再用的一次项系数2，的常数项2，的常数项4，相乘得到16；然后用的一次项系数3，的常数项2，的常数项3，相乘得到18，最后将12，16，18相加，得到的一次项系数为46． 参考小明思考问题的方法，解决下列问题： (1)计算所得多项式的一次项系数为_____________． (2)计算所得多项式的一次项系数为_____________． (3)若计算所得多项式的一次项系数为0，则_____________． (4)计算所得多项式的一次项系数为_____________． (5)计算所得多项式的一次项系数为_____________，二次项系数为_____________． 【答案】(1)7 (2) (3) (4)5 (5)10； 【分析】本题考查多项式乘以多项式，理解多项式乘以多项式所得的多项式每一项的系数是解决问题的关键． （1）根据题目中提供的计算方法进行计算即可； （2）根据题目中提供的计算方法进行计算即可； （3）根据题目中提供的计算方法进行计算即可； （4）根据题目中提供的计算方法进行计算即可； （5）根据题目中提供的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）解：， ∴所得多项式的一次项系数为7， 故答案为：7； （2）解：， ∴所得多项式的一次项系数为， 故答案为：； （3）解：由题意得，， ∴， 所以， 故答案为：； （4）解：∵ ， ∴一次项系数为： 故答案为：5； （5）解：∵ ∴一次项系数为：， 二次项系数为：， 故答案为：10；． 3．（江苏省淮安市文通中学2024-2025学年七年级下学期月考数学试卷（3月份））【问题提出】 已知对任意实数x均成立，求的值． 解：当时，． 原式． 从这一题可以看出，在处理某些求代数式值的题目时，我们可以使用代入特殊值法将问题简化，从而解决问题． 请借助“特殊值法”，解决下列问题． 【问题解决】 (1)若对任意实数x均成立，求的值； (2)若对任意实数x均成立，求代数式的值； (3)求展开式合并同类项之后，奇数次数项系数之和； (4)将多项式展开后合并同类项，各项系数和为多少？ 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）令，可得，化简即求解； （2）令，代入求得，令，代入求得，求出，令，求出，即可求解； （3）分别求出当时和当时，式子的值，结合（2）中的解题方法，即可求解； （4）求出时，式子的值，即可求解． 【详解】（1）当时，， 整理，得， 故． （2）当时，， 当时，， 整理，得， 故 ∴． 当时，， ∴． （3）当时，， 当时，， 奇数次数项系数之和为． （4）当时，， 即各项系数和为． 【点睛】通过观察所给的式子，将所求的式子进行恰当的赋值，从而求解是解题的关键． 4．（江苏连云港市赣榆区2025-2026学年七年级下学期5月阶段检测数学试题）【探索发现】 数学活动课上，老师准备了如图1的一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按如图2所示的形状拼成一个大正方形． (1)观察图1，图2，请写出，，之间的等量关系是：_________； (2)【解决问题】若，，且，则_______； (3)【实际应用】学校计划用一块梯形区域开展科技节活动，如图3所示．已知于点，，．计划在和区域内展示无人机和机器人表演，在和区域内分别是主舞台和观众，经测无人机和机器人表演区域的面积和为84平方米，米，求主舞台和观众区的面积和． (4)【拓展提升】已知，，求的值． 【答案】(1) (2)4 (3)116 (4) 【分析】（1）根据大正方形的面积减去个长方形的面积等于小正方形的面积，列出等量关系即可； （2）利用（1）所得的等量关系解得即可； （3）设，，可得，，再利用完全平方公式计算即可求解； （4）根据完全平方公式得到，根据求出，即，进而求出，根据求出，即可求出的值． 【详解】（1）解：大正方形的面积为，小正方形的面积为，长方形的面积为， 由图可知，大正方形的面积减去个长方形的面积等于小正方形的面积， ∴； （2）解：由（1）得，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：设，， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵无人机和机器人表演区域的面积和为平方米， ∴， ∴， ∴， ∴主舞台和观众区的面积和为； （4）解： ， ∵， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∵， ∴， ∴， ∵ ， ∴． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业03 整式乘法 【题型1 整式乘法中的混合运算】 1．（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 2．（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 3．（24-25七年级下·江苏连云港·阶段检测）计算 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 4．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段检测）计算： (1) (2)； (3)； (4)； (5)    ； (6) 【题型2 整式乘法中的新定义问题】 5．（25-26七年级下·江苏镇江·阶段检测）已知和为有理数，现规定一种新的运算符号，定义，例如：，请根据符号的意义解决下列问题： (1)的值为___________； (2)___________； (3)已知，且，求的值． 6．（23-24七年级上·湖南湘西·期中）定义一种新运算“”，满足，如：． (1)计算： ； (2)求的值； (3)等式“”是否成立？请说明理由． 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）定义：是以为系数的二次多项式，即，其中均为实数．例如，．若，求的值． 8．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）我们定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为对消多项式，这个常数称为它们的“对消值”，如与互为对消多项式，它们的对消值为5． (1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是 （填序号）； ①与；②与；③与． (2)多项式与多项式（a，b为常数）互为对消多项式，求它们的对消值． 【题型3 整式乘法中的化简问题】 9．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）先化简，再求值： ，其中，． 10．（21-22七年级下·江苏扬州·阶段检测）对于任何数，我们规定：． 例如：． (1)按照这个规定，请你化简； (2)按照这个规定，请你计算，当 时，的值 ． 11．（23-24七年级下·湖南永州·阶段检测）对于任意的有理数a，b，c，d，我们规定．如，根据这一规定，解答下列问题： (1)化简； (2)若x，y同时满足，，求x，y的值． 【题型4 多项式乘法中的规律性问题】 12．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）《详解九章算法》一书中给出的杨辉三角是我国数学史上的一个伟大成就，此图揭示了（n为正整数）展开式的项数及各项系数的规律．请利用杨辉三角解决以下问题： (1)依次类推，写出______； (2)的展开式中一共有______项，各项系数之和为______； (3)的展开式中从左往右数第四项为______，x的三次项系数为______； (4)当代数式的值为1时，则的值为______． 13．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）【文化欣赏】我国南宋时期杰出的数学家杨辉于1261年写下了《详解九章算法》，书中记载了“杨辉三角”，此数表给出了展开式的系数规律． 第2行 第3行 第4行 第5行 【应用体验】 (1)的展开式为 ； (2)利用上面的规律计算： ① ； ② ； (3)若， ①求的值． ②求的值． (4)当代数式的值为1时，求a的值． 14．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示： (1)【观察】①______； ②______； ③______；…… (2)【猜想】由此可得：______； (3)【应用】请运用上面的结论，解决下列问题：计算：的值． 15．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段检测）阅读下文，寻找规律： 已知，计算： … (1)观察上式猜想：______． (2)根据你的猜想计算：①；②． 【题型5 多项式乘法中图形几何无关问题】 16．（24-25八年级上·北京·期中）【知识回顾】 我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求a的值． 通常的解题思路是：把x、y看作字母，a看作系数，合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0． 具体解题过程是：原式， 代数式的值与x的取值无关， ，解． 【理解应用】 （1）若关于x的代数式的值与x的取值无关，则m值为_________． （2）已知，且的值与x的取值无关，求m的值． 【能力提升】 （3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 17．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时利用几何直观的方法获取结论，在解决整式运算问题时经常运用． 例1：如图1，可得等式：； 例2：由图2，可得等式：． (1)如图3，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，从中你发现的结论用等式表示为______； (2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，．求的值． (3)如图4，拼成为大长方形，记长方形的面积与长方形的面积差为S．设，若S的值与无关，求a与b之间的数量关系． 18．（22-23七年级下·广东佛山·期中）如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为． (1)小长方形的较长边为 （用代数式表示）； (2)阴影A的一条较短边和阴影B的一条较短边之和为，是 的（填正确/错误）；阴影A和阴影B的周长值之和与 （填有关/无关），与 （填有关/无关）； (3)设阴影A和阴影B的面积之和为S，是否存在使得S为定值，若存在请求出的值和该定值，若不存在请说明理由． 【题型6 多项式乘以多项式的展开式中与某字母的取值无关】 19．（25-26七年级上·河南安阳·期末）我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值． 通常的解题思路是：把，看作字母，看作系数，合并同类项，具体解题过程如下： 原式 ∵代数式的值与的取值无关， ∴， 解得： 【理解应用】 (1)若关于的多项式的值与的取值无关，则的值为 ； (2)已知，，且的值与的取值无关，求，的值； 20．（23-24八年级上·福建泉州·期中）试证明代数式的值与无关． 21．（23-24七年级上·河南信阳·阶段检测）杨老师在黑板上布置了一道题，小白和小红展开了下面的讨论： 已知时，求代数式：的值．   只知道x的值，没有告诉y值，求不出答案 这道题与y值无关，是可以解的．   根据上述情景，你认为谁说得对？为什么？ 【题型7 代入错误的数值不影响计算结果】 22．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）小亮在做“化简并求时的值”一题时，错将看成，但结果却和正确答案一样，由此，你能推算出值吗？ 23．（23-24八年级上·全国·单元测试）有一道题：“化简求值：，其中．”小凡在解题时把“”抄成了“”，但计算的结果与正确答案一致，请你通过计算加以说明． 【题型8 多项式的次数、系数、项数】 24．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）如果整式和整式满足：整式的次数是次，那么整式的次数不可能是（    ） A． B． C． D． 25．设多项式A是二项式，B是三项式，则A×B的结果的多项式的项数一定是（　　） A．等于5项 B．不多于5项 C．多于6项 D．不多于6项 26．（25-26七年级下·四川成都·期中）已知的展开式中，不含有和，则_______，_______． 【题型9 求局部项的系数】 27．（24-25七年级下·河南平顶山·期中）阅读材料：北师大版七年级下册教材页为大家介绍了杨辉三角． 如果将为非负整数的展开式的每一项按字母的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： ，它只有一项，系数为； ，它有两项，系数分别为，； ，它有三项，系数分别为，，； ，它有四项，系数分别为，，，； 将上述每个式子的各项系数排成该表． 观察该表，可以发现每一行的首末都是，并且下一行的数比上一行多个，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和按照这个规律可以将这个表继续往下写． (1)判断的展开式共有 项；写出的第三项的系数是 ； (2)结合杨辉三角解决以下问题： ①计算：； ②猜想：的展开式中含项的系数是 ． 28．（22-23七年级下·江苏苏州·期中）阅读以下材料，回答下列问题： 小明遇到这样一个问题：求计算所得多项式的一次项系数．小明想通过计算所得的多项式解决上面的问题，但感觉有些繁琐，他想探寻一下，是否有相对简洁的方法． 他决定从简单情况开始，先找所得多项式中的一次项系数．通过观察发现：    也就是说，只需用中的一次项系数1乘以中的常数项3，再用中的常数项2乘以中的一次项系数2，两个积相加，即可得到一次项系数． 延续．上面的方法，求计算所得多项式的一次项系数．可以先用的一次项系数1，的常数项3，的常数项4，相乘得到12；再用的一次项系数2，的常数项2，的常数项4，相乘得到16；然后用的一次项系数3，的常数项2，的常数项3，相乘得到18，最后将12，16，18相加，得到的一次项系数为46． 参考小明思考问题的方法，解决下列问题： (1)计算所得多项式的一次项系数为______． (2)计算所得多项式的一次项系数为______． (3)若计算所得多项式的一次项系数为0，则______． (4)计算所得多项式的一次项系数为______，二次项系数为______． (5)计算所得多项式的一次项系数为______，二次项系数为______． 29．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）项目式学习： 【阅读学习】我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式：． (1)【应用体验】根据图表直接写出__________． (2)【拓展提升】 ①若，其中为各项系数，则__________； ②若，其中为各项系数，则求的值． 【题型10 巧妙构建平方差公式】 30．（25-26七年级下·浙江嘉兴·期中）代数式的末尾数字是________． 31．（25-26七年级下·山东济南·期中）如果与的乘积为1，那么的值为______． 32．（25-26七年级下·广西贵港·期中）阅读下面的计算过程，然后化简： ． 化简_____． 33．（22-23七年级下·广西贵港·阶段检测）设，则____________． 【题型11 利用乘法公式的非负性求值】 34．（21-22七年级下·广东清远·阶段检测）例：若，求和的值． 解：因为，所以 所以，所以，，所以，， 已知，满足，求的值为_____． 35．（2026九年级下·黑龙江大庆·专题练习）若，求的值___________． 36．（18-19七年级下·江苏扬州·期中）仔细阅读下列解题过程： 若，求的值． 解： ∴ ∴ ∴ ∴ 根据以上解题过程，试探究下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值； (3)若，求的值． 【题型12 整式乘法中整体思维】 37．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）“整体思想”在数学中应用极为广泛． 例如：已知，求的值． 解：， ． ． 请尝试应用“整体思想”解决以下问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值； (3)若（，都是整数）能被6整除，试说明也能被6整除． 38．（24-25六年级下·山东威海·期末）在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单． 例如，在计算时就可以将看成一个整体，式子转化为：．请借助整体思想完成： (1)___________； (2)，求___________； (3)已知，求 39．（24-25七年级下·江苏常州·阶段检测）阅读理解：若x满足，求的值． 解：设，，则，．． 归纳方法：首先，利用换元进行式子简化，再利用和（差）是定值，积是定值的特点与其平方和之间的关系进行转化． 解决问题： (1)若x满足，则 ； (2)若x满足，求的值； (3)已知正方形的边长为x，E，F分别是、上的点，且，，长方形的面积是48，分别以、作正方形和正方形，求阴影部分的面积． 【题型13 乘法公式与卡片组合相关问题】 40．（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图是型卡片（边长为的正方形）、型卡片（长为，宽为的长方形）、型卡片（边长为的正方形）．现有3张卡片，10张卡片，7张卡片，从中选择卡片无缝隙、无重叠地拼接．下列说法错误的是（    ） A．可拼成边长为的正方形 B．可拼成长为、宽为的长方形 C．可拼成边长为的正方形 D．可拼成长为、宽为的长方形 41．（25-26七年级下·江苏苏州·阶段检测）图1中有三种卡片，种卡片是边长为的正方形，种卡片是边长为的正方形，种卡片是长为、宽为的长方形．将图1中不同卡片“叠”在一起，可得面积之差，图2是种卡片与种纸片叠放在一起的，阴影部分的面积，图3是种卡片与种卡片叠放在一起，其阴影部分的面积分别为，则的值为______． 42．（25-26七年级下·江苏南京·期中）如图，有A，B，C三种类型的卡片． (1)选取1张A型卡片，2张B型卡片，1张C型卡片，恰好拼成一个大正方形． ①请画出所拼大正方形的示意图； ②通过用不同方法表示大正方形的面积，可得到乘法公式为_________． (2)若用若干张A，B，C卡片（每种类型的卡片至少一张），恰好拼成一个大正方形，则使用的所有卡片的张数之和一定是一个完全平方数．请说明理由． 43．（24-25七年级下·江苏盐城·阶段检测）学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1，A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长和宽分别为a，b的长方形． (1)选取1张A型卡片，2张C型卡片，1张B型卡片，可拼成如图2所示的大正方形，通过用不同的方法计算图2中阴影部分的面积，可得到等式：____________________； (2)如果用若干张A，B，C三种卡片拼成的一个长方形，边长分别为和，在虚线框中画出你的拼图； (3)取出一张A型卡片，一张B型卡片，放入边长为的正方形大卡片内，如图3所示，图中A，B型卡片重叠部分面积记为，边长为m的正方形未被覆盖部分面积记为，，若，，，求出大正方形的面积． (4)选取1张A型卡片，4张C型卡片按图4的方式无缝隙，不重叠地放在长方形框架内，图中两阴影部分（长方形）为没有放置卡片的部分，其面积分别表示为，．设，当的长度变化时，a，b之间满足怎样的数量关系，使S的值始终保持不变，请说明理由． 【题型14 乘法公式中的配方法求最值】 44．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）有教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，这种方法能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：求代数式的最小值； 解：∵ ， 当时，有最小值，最小值是， 根据阅读材料解决下列问题： (1)当_____时，代数式 有最大值，这个值为_____； (2)当为何值时，多项式有最大值，并求出这个最大值； (3)当，为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 45．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）【材料阅读】利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由的非负性解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值类等问题中均有广泛应用．配方法的本质是完全平方公式的逆运用． 例：求多项式的最小值． 解：． 因为，所以． 所以当时，有最小值，最小值为1． 即的最小值为1． 根据上述材料，解答下列问题： 【类比探究】 (1)求多项式的最小值． 【方法迁移】 (2)已知，．试说明：． 【实际应用】 (3)某种植园计划对一块长20米、宽10米的长方形种植区进行改造，若长减少x米，宽增加x米，则改造后的种植区面积的最大值为______平方米． 46．（24-25八年级上·福建漳州·期中）在学习乘法公式的运用时，我们常利用完全平方公式求最大值或最小值．例如：求代数式的最小值？总结出如下解答方法： 解：， ∵， ∴当时，的值最小，最小值是0， ∴， ∴当时，的值最小，最小值是1， ∴的最小值是1． 根据阅读材料利用完全平方公式解决下列问题： (1)求代数式的最小值； (2)求代数式的最大值； (3)当为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 【题型15 乘法公式的新定义运算】 47．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）观察下列等式，回答问题： ①；②；③；④；…… 定义：如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们把这个数叫做“幸福数”．如，则8就为“幸福数”，因此8，16，24都是“幸福数”． (1)判断48是否为“幸福数”，说明理由； (2)据“幸福数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中n是正整数，那么“幸福数”都能被8整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明； (3)求不超过150的所有“幸福数”的和． 48．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）定义新运算 对于两个数a，b，定义运算“⊙”，满足． 例如：． (1)计算：________；________． 【应用新运算】 (2)①计算：． ②已知a，b满足方程组：，求a，b的值． 【拓展应用】 (3)如图，将边长为a的正方形和边长为b的正方形拼在一起，其中，D、C、G三点在同一直线上，连接、、，若的面积与的面积之和为5，的面积为，则的值为________． 49．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）定义：对于任意四个有理数a、b、c、d，定义一种新运算：． (1) ； (2) ；若是完全平方式，则 ； (3)若有理数m、n满足，且． ① 求的值； ② 如图，四边形是长方形，点E、F、G、H分别在边上，连接交于点P，且将长方形分割成四个小长方形，若，，，，在①的条件下，求图中阴影部分的面积．    50．（22-23七年级上·广东佛山·期中）定义一种新运算“f”：表示n在运算f作用下的结果．若表示n在运算f作用下的结果，它对一些数的运算结果如下： ， ， ， …… 根据以上定义完成以下问题： (1)计算的值； (2)计算的值； (3)计算的值． 1．（22-23七年级下·江苏苏州·期中）填空： ； ； ； … (1) ； (2)猜想： ；（其中为正整数，且） (3)利用（2）中的猜想的结论计算： ① ②． 2．（23-24八年级上·福建龙岩·阶段检测）通过课堂的学习知道，我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法． 配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式； 再例如求代数式的最小值，． 可知当时，有最小值，最小值是，根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)代数式的最大值为： ； (2)若与，判断的大小关系，并说明理由； (3)已知：，，求代数式的值． 3．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）用若干块如图所示的正方形或长方形纸片拼成图（1）和图（2）． (1)如图1，若，，则 ， ． (2)如图1，若长方形面积为56，其中阴影部分的面积为26，，求的值． (3)如图2，若的长度为，的长度为n． ①当 ， 时，a，b的值有无数组； ②当 ， 时，a，b的值不存在． 4．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决，先阅读下面的解题过程，再解答下面的问题． 例：若，，试比较x，y的大小． 解：设，则，． 因为， 所以． 请利用上面的方法解答下列问题： (1)计算：； (2)若，，证明：． 5．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）我国古代数学的许多创新与发展都居世界前列，其中杨辉三角就是一例．在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算法》一书中，用如图所示的三角形解释二项和的乘方规律．我们称这个三角形为“杨辉三角”，此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律． (1)补充完整的展开式：______； (2)的展开式中共有______项，所有项系数的和为______； (3)利用上面的规律计算：． (4)此规律还可以解决实际问题：假如今天是星期三，再过天还是星期三，那么再过天是星期______． 1．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）在学习平方差公式时，小明发现：两个连续偶数的平方差有一些有趣的结论．他定义：如果一个正整数N可以写成的形式（其中为正整数），则称N为“双偶平方差数”，称为的“序数”．例如，当时，，所以是双偶平方差数，序数为． (1)下列各数是双偶平方差数的是 ；（填序号）                            (2)小明猜想：任意一个双偶平方差数都能被整除．请帮助小明证明他的猜想； (3)设两个双偶平方差数和的序数分别为和（、为正整数）． 若，，求和的值； 若可表示为的形式，其中，．已知，求和的值． 2．（江苏省无锡市凤翔实验学校2024-2025学年七年级下学期3月自主学习数学试题）阅读以下材料，回答下列问题： 小明遇到这样一个问题：求计算所得多项式的一次项系数．小明想通过计算所得的多项式解决上面的问题，但感觉有些繁琐，他想探寻一下，是否有相对简洁的方法． 他决定从简单情况开始，先找所得多项式中的一次项系数．通过观察发现： 也就是说，只需用中的一次项系数1乘中的常数项3，再用中的常数项2乘中的一次项系数2，两个积相加，即可得到一次项系数． 延续上面的方法，求计算所得多项式的一次项系数．可以先用的一次项系数1，的常数项3，的常数项4，相乘得到12；再用的一次项系数2，的常数项2，的常数项4，相乘得到16；然后用的一次项系数3，的常数项2，的常数项3，相乘得到18，最后将12，16，18相加，得到的一次项系数为46． 参考小明思考问题的方法，解决下列问题： (1)计算所得多项式的一次项系数为_____________． (2)计算所得多项式的一次项系数为_____________． (3)若计算所得多项式的一次项系数为0，则_____________． (4)计算所得多项式的一次项系数为_____________． (5)计算所得多项式的一次项系数为_____________，二次项系数为_____________． 3．（江苏省淮安市文通中学2024-2025学年七年级下学期月考数学试卷（3月份））【问题提出】 已知对任意实数x均成立，求的值． 解：当时，． 原式． 从这一题可以看出，在处理某些求代数式值的题目时，我们可以使用代入特殊值法将问题简化，从而解决问题． 请借助“特殊值法”，解决下列问题． 【问题解决】(1)若对任意实数x均成立，求的值； (2)若对任意实数x均成立，求代数式的值； (3)求展开式合并同类项之后，奇数次数项系数之和； (4)将多项式展开后合并同类项，各项系数和为多少？ 4．（江苏连云港市赣榆区2025-2026学年七年级下学期5月阶段检测数学试题）【探索发现】 数学活动课上，老师准备了如图1的一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按如图2所示的形状拼成一个大正方形． (1)观察图1，图2，请写出，，之间的等量关系是：_________； (2)【解决问题】若，，且，则_______； (3)【实际应用】学校计划用一块梯形区域开展科技节活动，如图3所示．已知于点，，．计划在和区域内展示无人机和机器人表演，在和区域内分别是主舞台和观众，经测无人机和机器人表演区域的面积和为84平方米，米，求主舞台和观众区的面积和． (4)【拓展提升】已知，，求的值． 1 / 2 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