专题12 截面、翻折与动点轨迹问题10大题型（期末专项训练）高一数学下学期人教A版

**基本信息** 聚焦立体几何三大核心问题，以10类题型系统覆盖截面、翻折与动点轨迹，通过分层例题构建空间几何问题的完整解法体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |截面形状判断|4题|正方体/棱台截面形态分析|从静态截面到动态变化，构建空间想象→交线确定→形状判断的逻辑链| |截面计算（周长/面积）|6题|含正四面体/正八面体等特殊几何体|融合平面几何计算与空间截面作图，强化转化思想| |球的截面|5题|翻折/旋转体中截面圆问题|球心距-半径-截面半径关系的综合应用| |截面分体积|4题|棱锥/棱柱体积分割|体积比转化为面积比，体现降维思想| |截面最值|4题|动态截面参数范围|结合函数思想与空间几何约束条件| |动点轨迹（平行/垂直/等距/等角）|19题|含多面体表面轨迹|从几何关系（平行/垂直）到代数表达，培养数学抽象能力| |翻折问题|9题|含二面角/体积/距离计算|静态平面到动态空间的转化，强化空间观念与推理能力|

专题12 截面、翻折与动点轨迹问题 题型1 截面形状的判断 题型6 平行关系下的动点问题（常考点） 题型2 求截面的周长或面积（重点） 题型7 垂直关系下的动点问题（重点） 题型3 球的截面（重点） 题型8 等距关系下的动点问题（常考点） 题型4 截面分体积（难点） 题型9 等角关系下的动点问题题型 题型5 截面的最值（难点） 题型10 翻折问题（重点） 题型一 截面形状的判断（共4小题） 1．（25-26高一下·云南昆明·期中）在正方体中，为的中点，为的中点，为线段上一点且．过点，，作该正方体的截面，记为，则截面为（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】C 【详解】如图所示，在正方体中， 由于平面平面，且平面与平面的交线为， 故平面与平面的交线必过点，且与平行， 不妨设正方体的棱长为1，在矩形中，由题可知，； 在矩形中，，； ， 又， ，故， 平面与平面的交线就是， 平面平面，且平面与平面的交线为， 平面与平面的交线必过点，且平行于， 设，平面，平面平面，平面， 平面， ，则与的交点位于的延长线上， 位于上，连接， 则平面与平面的交线为， ，，，，五点共面， 截面为五边形，故C正确． 2．（24-25高一下·云南昆明·期中）在正方体中，为的中点，为的中点，为线段上一动点（不含）．过与正方体的截面记为，下列说法中正确的是（   ） A．当时，截面为五边形 B．当时，截面只能是六边形 C．当时，截面的面积最大 D．当时，截面只能是五边形 【答案】D 【分析】易知当时，截面为正六边形，可判断A错误，当与重合，可知截面只能是四边形，可知B错误，比较时五边形截面的面积与正六边形截面面积大小可判断C错误，作出图形可判断D正确. 【详解】对于A，当时，分别取的中点为，如下图所示： 由正方体性质可得，即可得为正六边形， 因此当时，截面为六边形，即A错误； 对于B，如下图： 当时，不妨取与重合，可知截面只能是四边形，可知B错误； 对于C，延长交于，交于，连接交于点，连接交于，如下图所示： 不妨取正方体的棱长为3，易知， 可知为等腰三角形，其底边上的高为， 因此其面积为； 又，可知四变形为等腰梯形； 其高为，因此其面积为； 此时五边形面积为 当当时，截面为边长是的正六边形，其面积为； 显然当时，截面的面积不是最大的，即C错误； 对于D，根据C选项中的分析可知，当时，截面为在五边形的基础上绕着向下摆动， 此时截面始终于有交点，此时截面只能是五边形，即D正确. 故选：D 3．（多选）（24-25高一下·江苏宿迁·期末）如图，有一块正四棱台的木料，木工师傅想经过木料表面内（不含边界）一点与棱把木料锯成两块，为此需要先在面内作出交线，下列关于交线与截面形状的说法正确的是（    ） A．截面形状是梯形 B．截面形状可能为等腰梯形 C．直线与直线相交 D．直线与直线相交 【答案】ACD 【详解】依题意，正四棱台的侧棱延长交于点， 直线分别与棱交于点，连接，平面即为平面， 对于CD，直线平面平面，直线与直线、直线都相交，CD正确； 对于AB，平面平面，平面平面，平面平面， 则，，因此截面是梯形，A正确； 在等腰中，在线段上（除端点外），则，而， 于是，即，梯形不是等腰梯形，B错误. 故选：ACD 4．（多选）（24-25高一下·四川泸州·期末）如图，在正方体中，M是BD的中点，N是线段上一动点，则下列说法正确的有（    ） A．无论点N在何处，始终有成立． B．三棱锥的体积随着点N的位置的改变而随之变化． C．直线MN与平面ABCD所成角的正切值的取值范围为． D．平面BDN截得正方体的截面可能是三角形或四边形． 【答案】CD 【详解】A选项，当点N与重合时，如图， 此时与不垂直，夹角为锐角，A错误； B选项，在点N的位置移动时，点N到平面的距离为定值， 等于正方体的棱长，且直角面积为定值， 所以三棱锥的体积为定值，不会随着点N的位置的改变而变化，B错误； C选项，取的中点，连接，则⊥，过点作⊥于点， 则，故⊥平面， 所以即为直线MN与平面所成角，设大小为， 设正方体的棱长为2，则， 设，， 若，则， 由勾股定理得， 则， 当时，取得最大值，最大值为， 当时，取得最小值，最小值为1，故， 若，此时平面，此时夹角为0，， 若，则， 由勾股定理得， 则， 显然，，， 此时， 综上，， 直线MN与平面所成角的正切值的取值范围为，C正确； D选项，当为的中点时，平面BDN截得正方体的截面为正， 当时，延长交于点，连接， 则即为平面BDN截得正方体的截面， 当时，延长交于点， 在平面上，过点作平行于，交于点，连接， 则四边形即为平面BDN截得正方体的截面， 故平面BDN截得正方体的截面可能是三角形或四边形，D正确. 故选：CD 题型二 求截面的周长或面积（共6小题） 5．（24-25高一下·广西南宁·期末）如图，已知正方体的棱长为4，是棱的中点，则平面截正方体所得截面图形的面积为（    ）    A． B．18 C． D．36 【答案】B 【详解】取的中点，连接，易知，所以平面与交点为， 则平面为平面截正方体的截面，四边形为等腰梯形， 过做，由，， 所以,， ，, 所以其面积为. 故选：B.    6.（25-26高一下·黑龙江鸡西·期中）在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱，的中点，过B，E，F三点的平面记为，则截该正方体所得截面的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】连接，，， 因为E，F分别是棱，的中点，所以， 又，故，，则四点共面， 故截该正方体所得截面为四边形， ，， ，四边形为等腰梯形， 过点分别作，交于点， 则，故， 故，所以截面面积为. 7．（多选）（25-26高一下·云南昆明·期中）如图，正方体的棱长为，分别是的中点，则下列结论正确的为（   ） A．直线与是异面直线 B．直线与共面 C．平面截正方体所得截面图形的周长为 D．若是线段上的动点，则平面 【答案】BCD 【详解】对于选项ABC：连接， 因为分别是的中点，则，， 又因为，，可知四边形为平行四边形， 则， 可得，，即四点共面， 所以直线与共面，故A错误，B正确； 可知平面截正方体所得截面图形为梯形（图见上图）， 且，， 所以截面图形的周长为，故C正确； 对于选项D：因为，，可知四边形为平行四边形，则， 且平面，平面，则平面， 同理可得平面， 且，平面，可知平面平面， 且平面，所以平面，故D正确. 8．（多选）（25-26高一下·浙江金华·月考）在长方体中，底面是边长为4的正方形，在棱上，且，则（    ） A． B．过点的平面截该长方体，所得截面周长为 C．以点为球心，为半径作一个球，则球面与底面的交线长为 D．三棱锥外接球的体积是 【答案】ABD 【详解】设，在直角中，根据勾股定理得， 在直角中，根据勾股定理得，解得，故，故A正确， 延长相交于点，连接交于点，则截面周长为， 在中，利用三角形相似可得，在中，利用三角形相似可得， ，又底面是边长为4的正方形，则， 故截面周长为，故B正确， 点到底面的距离为1，球的半径为，设球面与底面（正方形）的交线为半圆， 圆心在线段上且与距离为1，圆的半径，可得交线长为，故错误， 在中，，则的外接圆半径，显然平面， 因此三棱锥的外接球的球心在线段的中垂线上，球心到平面的距离为， 则球半径，故三棱锥的外接球体积为，故D正确. 9．（25-26高三下·湖南邵阳·阶段检测）如图，在棱长为1的正四面体中，是棱的10等分点，过作与，均平行的平面，记此平面截正四面体所得的截面面积为.则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，取的中点，连接，， 在正四面体中，易知，， 又，，平面，所以平面，又平面，所以.过作的平行线，交于，再过作的平行线，交于，作交于，连接， 得截面四边形，易知四边形为矩形， 由相似三角形知识可知，， 所以. 10．（25-26高一下·广东惠州·期中）已知正八面体的中心为点，各棱长均为，已知，，过点作该正八面体的截面，所得截面面积为________. 【答案】/ 【详解】直线交于点，交的延长线于，，连接， 则四边形是过点的平面截正八面体上面正四棱锥所得截面， 由是正方形的中心，得，，而， 于是分别为的中点，， 而，则，，， 在中，，令，则， 由点共线，得，则是的中点，， 令，于是，由点共线，得， 在中，，由余弦定理得， 在中，，， ， 而， 因此，由正八面体的对称性得所求截面面积为. 题型三 球的截面（共5小题） 11．（24-25高一下·湖南·期末）已知正方形ABCD的边长为4，将沿对角线AC翻折，使二面角为，则平面BCD截三棱锥的外接球所得截面的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】取的中点为，连接，由题意有，所以， 所以为二面角的平面角，所以，， 由余弦定理有，所以， 又由余弦定理得， 所以， 由平面BCD截三棱锥的外接球所得截面为圆，即为的外接圆，设该圆的半径为， 由正弦定理得，所以， 所以该圆的面积为， 故选：B. 12．（24-25高一下·江苏无锡·期中）在等腰梯形中，已知，，将沿直线翻折成，则当三棱锥的体积最大时，以为直径的球被平面所截的截面面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，所以梯形的高， 所以，则，又， 所以，即， 当平面平面时，三棱锥的体积最大， 又平面平面，平面，所以平面. 的中点为球心，取的中点，则为的中位线， 所以，平面. 以为直径的球被平面所截的截面为圆面， 由以上分析可知点为该圆的圆心，其半径， 该圆面面积为. 故选：B 13．（24-25高一下·河南信阳·期末）已知正三棱锥的外接球是球O，正三棱锥底边，侧棱，点E在线段上，且，过点E作球O的截面，则所得截面圆面积的取值范围是______． 【答案】 【详解】如图，设的中心为，球的半径为，连接， 则， . 在中，，解得. 因为，所以. 在中，， 所以. 过点作圆的截面，当截面与垂直时，截面的面积最小， 此时截面圆的半径为，最小面积为； 当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为. 所以截面圆面积的取值范围是. 故答案为：.    14．（24-25高一下·河北雄安·期末）已知球O是四棱锥的外接球，平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，，，，，且．过点M作球O的截面，所得截面圆面积的最小值为______． 【答案】 【详解】在等腰梯形ABCD中，连接AC，取BC的中点，连接，，如图， 由，，得四边形都为菱形， 则，即是梯形ABCD外接圆圆心， 而O为四棱锥的外接球球心，因此平面ABCD，又平面ABCD， 则，而PA为球O的弦，则过点O垂直于PA的平面必过PA的中点E，连接OE，OA， 于是，而，即有，四边形为矩形，， 因此球O的半径，在中，， ，， ，过点M的球O的最小截面圆所在平面必垂直于OM， 设此时截面圆半径为r，则，所以截面圆面积的最小值为． 故答案为： 15．（24-25高一下·辽宁大连·期末）已知是球的直径上一点，，，为垂足，平面截球所得截面的面积为，M为内的一点，且，则球的表面积为_____；过点作球的截面，则当截面面积最小时，截面圆的半径为_____. 【答案】 . 【详解】设球的半径为R，由于，故， 球所得截面的面积为，设截面圆半径为r，则， 则，即，解得， 故球的表面积为； 过点作球的截面，则当截面面积最小时，只需该截面圆的半径最小； 设球心到截面圆的距离为d，设截面圆半径为，则， 故只需d最大，此时截面圆与垂直， 即， 故， 题型四 截面分体积（共4小题） 16．（2025高三上·广东·专题练习）棱长为1的正方体中，分别为的中点，过三点的截面将正方体分成两部分，则其中体积较小的几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在正方体中，延长交延长线于，连接， 由是的中点， ，得是的中点，又， 则与的交点必为的中点，而平面平面， 即几何体是三棱锥被平行于底面的平面所截而成， 因此截面将正方体分成体积较小的部分为三棱台， 三棱台的体积为. 故选：D 17．（多选）（24-25高一下·辽宁辽阳·期末）如图，在正四棱锥中，分别是的中点，则下列结论正确的是（    ） A．设平面，则 B．三棱锥与正四棱锥的体积之比为 C．若，则正四棱锥内切球与外接球的半径之比为 D．正四棱锥被平面分成的上、下两部分的体积之比为 【答案】ABD 【详解】对A：取为空间向量的基底. 则. 设. 因为四点共面，所以. 所以，即，故A正确； 对B：如图： 连接，交于，连接. 因为四棱锥为正三棱锥，所以平面平面，平面. 又分别为中点，为中点，所以， 所以，同理， 所以，即，故B正确； 对C：若，不妨设，,则，. 所以. 又， 设内切球的半径为，则， 即. 设外接球球心为，则在上，设外接球半径为， 则. 所以.故C错误； 对D：由B选项可知：， 且,所以， 又，所以， 所以. 所以正四棱锥被平面分成的上、下两部分的体积之比为，故D正确. 故选：ABD 18．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，在三棱柱中，、分别为、的中点，平面将三棱柱分成两部分，求这两部分的体积之比． 【答案】 【详解】设棱柱的底面积为，高为，则的面积为， 令， 剩余的不规则几何体的体积为， 所以两部分的体积之比为． 19．（24-25高一下·辽宁丹东·期末）如图，四面体中，点G是的重心，点E在上，.    (1)求证：平面； (2)设过点G，E，C的平面为，与四面体的面相交，交线围成一个多边形. （i）请在图中画出这个多边形（不必说出画法和理由）； （ii）求出将四面体分成两部分几何体体积之比. 【答案】(1)证明见解析；(2)（i）答案见解析；（ii） 【详解】（1）连接并延长交于点F，连接，    因为，所以， 平面，平面， 所以平面. （2）（i）连接并延长交于点H，连接，，则平面即为. （ii）由（i）知，将四面体分成两部分， 分别为三棱锥与四棱锥，很显然两个棱锥的高相等，记为h， 的面积与的面积之比为， 所以的面积与四边形的面积之比为1:2， 则. 题型五 截面的最值(共4小题） 20．（2025高三·全国·专题练习）已知正方体 的体积为1，点 在棱 上（点 异于 ， 两点）， 为 的中点，若平面 截正方体 所得的截面为五边形，则的长的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为正方体 的体积为1，所以该正方体的棱长为1，则 . 当 时，连接 ， ，则 ， ， ， ， 四点共面，截面为四边形 （如图），不符合题意， 当 时，延长, 交于点， 由与相似可得, 所以，因为，所以在线段上一定存在一点， 使得,即四边形为平行四边形，所以; 过作于，连接，则易知， 所以，即四点共面，所以截面为四边形. 当 时，延长, 交于点， 由与相似可得， 所以，因为，所以在线段的延长线上一定存在一点， 使得,即四边形为平行四边形，所以; 如图，过向的延长线作垂线，交于点，连接，交于， 则易知，所以，即四点共面. 连接交于，连接，即所求截面为五边形. 综上可知，故B正确. 故选：B. 21．（多选）（24-25高一下·江苏·期中）如图，在棱长为1的正方体中，点，分别是，的中点，在棱上满足，，为线段上的一个动点，平面平面，则下列命题中正确的是（   ） A．当时，平面 B．当时，过点，，的平面截该正方体所得的截面为五边形 C．当时，平面截该正方体所得截面面积的最大值为 D．当时，的最小值为 【答案】ABD 【详解】对A，当时，，为中点， ∵是中点，∴ ，又，所以， 即可得平面，故A正确； 对于B，如图延长交与H，连接交与I， 易知当时，I在线段上，截面如图为梯形， 当时，I在延长线上，截面如图为五边形， 所以当时，过点，，的平面截该正方体所得的截面为五边形， 故B正确； 对于C，当时，为中点， ∵平面平面，∴截面可以为如图正六边形， 正方体边长为1，故截面正六边形边长为， 面积， 故C错误； 对于D，当时， ，∴ 四点共面， 如图对平面和平面沿进行展开， 四边形为等腰梯形，， ∴高， 又三角形为等腰三角形，， ∴高， ∴，又，所以的最小值为，故D正确； 故选：A B D. 22．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知正三棱柱的各棱长均为分别为棱的中点，经过作该三棱柱外接球的截面，则截面面积的最小值为__________. 【答案】 【详解】正三棱柱的外接球的球心为上下底面的外接圆圆心的连线的中点，连接， 设外接球的半径为，为正三角形，其外接圆半径为 则下底面外接圆的半径为， 在中，，则， 在中，，，， 作于，由于，则F为的中点， 则过的平面垂直时截面圆的面积最小， 则，截面圆的半径为， 所以截面圆的面积最小值为. 23．（2026高一·全国·专题练习）在三棱锥中，已知，，平面平面ACD，且三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，E、F分别在线段OB、CD上运动（端点除外），，当三棱锥的体积最大时，过点F作球O的截面，则截面面积的最小值为_____. 【答案】 【详解】如图所示，取的中点，连接， 因为，所以，即为外接球的球心， 可得球的半径为， 又因为，所以， 因为平面平面，平面平面，且平面，所以平面 设，则，所以， 所以三棱锥的体积为： ， 当时，取得最大值， 因为， 在中，由余弦定理得， 根据球的性质得，当垂直于截面时，截面圆的面积最小，此时截面圆的半径为， 则， 所以截面圆的面积的最小值为. 题型六 平行关系下的动点轨迹（共4小题） 24．（多选）（25-26高一下·重庆渝北·期中）在棱长为2的正方体中，点是棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，若平面，则（    ） A．点的轨迹经过线段的中点 B．点的轨迹长度为 C．直线与直线为异面直线 D．三棱锥的体积为定值 【答案】ACD 【详解】如图，取的中点，连接，，则， 且平面，平面，所以平面. 又因为是中点，则， 且平面，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. 又平面，则平面，又点在正方形内部（不含边界）运动，且平面平面， 所以点的轨迹为线段（不含端点）. 对于A，连接，由正方体的性质易知与相交，且交点为的中点，所以A正确； 对于B，因为，所以点的轨迹长度为，故B错误； 对于C，因为平面，平面，， 所以直线与直线为异面直线，故C正确； 对于D，因为平面，点是棱的中点， 则，所以D正确； 25．（25-26高一下·福建厦门·期中）如图，在长方体中，，点E，F分别为BC，的中点，点P在矩形内运动（包括边界），若平面AEF，则动点P的轨迹长度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】取的中点，的中点，连接，，， 根据长方体的结构特征，易得，， 因为平面，平面， 故平面，同理平面， 又，，平面， 所以平面平面，又平面，且面， 所以平面，即点在平面与平面的交线上， 因为，所以， 所以，所以动点的轨迹长度为.    26．（2026·北京昌平·二模）如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，点在正方体的表面上运动，且平面. 则线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，取中点，中点，连接，， ，，， 因为点分别是棱的中点，所以，因为为中点， 所以，，，所以平面平面， 点在平面上运动，又因为点在正方体的表面上运动，所以点在直线，， ，上运动，且为等腰三角形， 求线段的最小值，即求点到平面各边距离的最小值，点到边距离最小， 设点到边的垂足为，则为的中点，所以，所以线段的最小值为. 27．（25-26高一下·江苏常州·期中）如图，棱长为2的正方体中，E，F分别为AD，AB的中点，点G在上底面（含边界）上运动，若满足平面，则点G的轨迹长度为________． 【答案】 【详解】取，，，的中点分别为，，，， 连接，，，，，，， 因为，分别为，的中点， 所以，同理可得， 因为，， 所以四边形是平行四边形，可得， 所以，同理可证，， 所以，，，，，共面， 因为，面，面， 所以平面， 若平面，则点在平面内， 又因为点在上底面（含边界）， 所以点在面与面的交线上， 所以点在线段上， 又正方体的棱长为2，所以，则， 故点轨迹长度为. 题型七 垂直关系下的动点轨迹（共7小题） 28．（2025·湖北·二模）在长方体中，，点是平面内的动点，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，连接AC，由，得，    由可知点在以AC的中点为球心，为半径的球面上． 而又在平面内，故为平面与球的截面圆上的动点. 取CD的中点E，AB的中点的中点，连接， 则由长方体的性质得平面且三角形为直角三角形， 而平面，所以平面平面EFG， 作于，因平面平面， 平面，故平面，故为截面圆的圆心. 又， 故截面圆的半径为， 即点在以为圆心，为半径的圆上， 而既在球面上，又在平面内，故在截面圆上， 故的最大值即为截面圆的直径，则的最大值为． 故选：D． 29．（多选）（24-25高一下·安徽合肥·期末）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为线段上动点（包括端点），则下列说法中正确的是（    ）    A．存在点使得平面 B．直线与平面所成角正弦值为 C．的最小值为 D．若点在正方体，表面上运动（包含边界），且，则点的轨迹长度为 【答案】BCD 【详解】对于A：先证平面平面，由正方体性质可知，且， 且，所以四边形和均为平行四边形， 所以，，因为平面， 在平面外，所以平面，平面， 又平面，，所以平面平面， 又为的中点，为线段上动点（包括端点）， 所以直线与平面相交，从而直线与平面相交，故A错误； 对于B：连接，则，由平面，平面， 得，又，，平面， 则平面，过作交于，连接， 于是平面，是直线与平面所成的角，，，所以，故B正确；    对于C，把三角形与三角形置于同一平面内，连接， 则的最小值为， 在中，，， ， 由余弦定理得，C正确；    对于D，由正方体的性质知平面，平面，所以， 因为四边形为正方形，所以，平面， 所以平面，平面，所以， 同理可得，平面，故平面； 如图，    取棱的中点分别为， 连接，可得六边形为正六边形， 而，平面，平面，故平面， 同理可证平面，，，平面， 故平面平面，所以平面， 即过点且与垂直的平面截正方体所得截面即为正六边形，边长为， 其周长为，所以点的轨迹为正六边形，则点的轨迹长度为，D正确． 故选：BCD 30．（多选）（24-25高一下·辽宁沈阳·期末）如图，在长方体中，，动点M在长方体的表面上运动（含边界），且，点M的轨迹形成的封闭图形为，则（   ） A．点M的轨迹长度为 B．与所在平面所成角的正弦值为 C．Ω所在的平面将长方体分成的大小两部分体积比为 D．若与所在的平面交于点E，则 【答案】ABD 【详解】 对于A，如图所示，取的中点，连接， 连接与交于点. 当点在平面上时， 因为平面，平面，所以. 由已知平面为正方形，则，，所以平面， 因为平面，所以， 若，则点在平面上的轨迹为，长度为； 当点在平面上时， 因为平面，平面，所以. 因为，所以， 所以，所以， 所以，即， 因为，所以平面， 因为平面，所以， 若，则点在平面上的轨迹为，长度为； 因为，所以平面， 所以点M的轨迹形成的封闭图形即为， 因为，所以点M的轨迹长度为，故A正确； 对于B，设点到所在平面的距离为， 可知，等腰的面积为， 则由可得，解得. 又， 设与所在平面所成的角为，则， 所以与所在平面所成角的正弦值为，故B正确； 对于C，因为三棱锥的体积 ， 而长方体的体积， 所以除去三棱锥剩余部分的体积为， 所以所在的平面将长方体分成的大小两部分体积比为，故C错误； 对于D，连接与交于点，则为平面与平面的交线， 则点即为与所在的平面交点， 由，可知，即， 由，可知，故D正确. 故选：ABD 31．（2027高三·全国·专题练习）如图，在直三棱柱中，，，是的中点，点在上，记，若平面，则实数________． 【答案】1 【详解】由题意可得，，，，平面， 所以平面. 又平面， 所以，作交于点（如图）， 连接，，此时平面， 在矩形中，，所以四边形是正方形， 所以，. 又为的中点，所以为的中点，， 因为，所以． 故答案为：1． 32．（24-25高一下·黑龙江双鸭山·月考）已知四棱柱的底面为菱形，底面，，，，点是线段上靠近的三等分点，动点在四棱柱的表面，且，则动点的轨迹长度为________． 【答案】 【分析】在AB上取点F，使得，连接MF，在上取点G，使得，连接，通过证明平面，说明的边即为点N的轨迹，求出的周长即可得解. 【详解】 四棱柱的底面为菱形，， 底面，，底面， 底面，， ， 平面，平面，. 如图所示，在AB上取点F，使得，连接MF， 则，， 在上取点G，使得，连接， 设MF与BD的交点为O，连接GO， 在中，，，， 在中，，，， ，故，， ，平面， 的边即为点N的轨迹. 在中，，，由余弦定理可得， 在中，， ，， 动点N的轨迹长度为. 故答案为： 33．（25-26高三下·广东深圳·月考）如图，平面平面，平面平面． (1)求证：平面； (2)点E在侧面（含边界）上运动，若平面平面，，求E的轨迹长度． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【详解】（1）在平面内取与点不重合的点，在此平面内作于， 由平面平面，平面平面，得平面， 而平面，则，同理，而平面， 所以平面. （2）由平面平面，平面平面，平面平面， 得直线两两垂直，由，得， ，令点到平面的距离为，由， 得，则， 由，得点的轨迹是以点为球心，为半径的球面， 又点E在侧面（含边界）上运动，因此点的轨迹是球被平面所截小圆在及内部， 此小圆半径，而正的内切圆半径为， 所以点的轨迹是正的内切圆，轨迹长度为. 34．（24-25高一下·安徽宣城·期末）如图，四边形是边长为2的正方形，，平面平面，平面平面. (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)点M在正方形内（包括边界），若平面平面，且，求点M的轨迹长度. 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3) 【详解】（1）四边形是边长为2的正方形，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 又，平面， 所以平面； （2）过作于，连接， 由（1）可知平面，又平面，所以， 又，平面，所以平面，平面， 所以，所以为二面角的平面角， 因为，，所以， 又，所以，解得， 在中，， 所以， 所以二面角的余弦值为； （3）以为直径在正方形内作一个半圆，在该半圆圆上任取点，连接， 则，又因为平面；平面， 所以，又，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面， 所以点M的运动轨迹为此半圆， 设的中点为，连接，因为，所以， 所以根据扇形的弧长公式得点M的运动轨迹长度为. 题型八 等距关系下的动点轨迹（共6小题） 35．（25-26高二上·河北·阶段检测）在长方体中，，球是以为球心，以1为半径的球.动点在矩形的内部及其边界上运动，且到球的球面上的点的最小距离为2，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得，动点在矩形的内部及其边界上运动，且到球的球面上的点的最小距离为2，则动点一定在以为球心，以3为半径的球面上， 再由动点在矩形的内部及其边界上运动，则矩形面截以为球心，以3为半径的球面可得圆弧，如图，    因为，结合勾股定理可得：， 所以圆弧， 故选：D. 36．（2025·辽宁本溪·模拟预测）将边长为的正方形沿着对角线折起，使点到达点的位置，得到三棱锥，点平面，且若则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，取棱的中点，连接，则， 又平面，则平面，由平面， 得平面平面，在中，，由余弦定理得 ，为钝角，且， 在平面内过点作交的延长线于点，而平面平面， 于是平面，连接，又平面，则， 在中，， 在中，，， 因此点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 所以点的轨迹长度为. 故选：C. 37.（2025·甘肃·模拟预测）在所有棱长为4的正四棱锥中，M是底面正方形内一点（含边界），若，则点M的轨迹长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在正四棱锥中，令正方形中心为，取中点，连接， 取中点，连接，则，由平面， 平面，则平面，由，得， ，又平面， 因此，，点的轨迹是以为圆心， 为半径的圆在正方形及内部的圆弧，显然， 则，而点是的轨迹的端点，于是点的轨迹是半径的半圆， 所以点M的轨迹长度是. 故选：A 38．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）已知点为正三棱柱表面上一个异于点的动点，若，且满足，则动点的轨迹的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得点在以为球心，半径为的球面上， 而点在正三棱柱表面上，因此点的轨迹是球与正三棱柱表面的交线， 当点在面内时，由平面，平面，则， ，此时点的轨迹是以为圆心，1为半径，圆心角为的圆弧，弧长为；令弧的端点为，则， 当点在面内时，点的轨迹分别是以为圆心，为半径， 圆心角为的圆弧，弧长都为； 当点在侧面内时，取中点，连接， 由平面，平面，则， 而，平面，则平面， 又平面，因此，而，则， 此时点的轨迹是以为直径的半圆，弧长为， 所以动点的轨迹的长度为. 故选：C 39．（24-25高二上·重庆·期末）已知正方体，E，F，G分别为棱AB，，的中点，若平面EFG截该正方体的截面面积为，点P为平面EFG上动点，则使的点P轨迹的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意截面EGF则为正六边形，如图所示，    由截面面积为及三角形面积公式可得，解得，∴正方体的棱长. 因为截面EFG，O为的中点，也是截面EFG的中心，且， ，即，解得. ∴使得的点P的轨迹是以O为圆心，半径为的圆，所以轨迹长度为. 故选：C. 40．（25-26高三下·广东深圳·阶段检测）如图，平面平面，平面平面． (1)求证：平面； (2)点E在侧面（含边界）上运动，若平面平面，，求E的轨迹长度． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【详解】（1）在平面内取与点不重合的点，在此平面内作于， 由平面平面，平面平面，得平面， 而平面，则，同理，而平面， 所以平面. （2）由平面平面，平面平面，平面平面， 得直线两两垂直，由，得， ，令点到平面的距离为，由， 得，则， 由，得点的轨迹是以点为球心，为半径的球面， 又点E在侧面（含边界）上运动，因此点的轨迹是球被平面所截小圆在及内部， 此小圆半径，而正的内切圆半径为， 所以点的轨迹是正的内切圆，轨迹长度为. 题型九 等角关系下的动点轨迹（共2小题） 41．（2027高三·全国·专题练习）如图，点是棱长为1的正方体表面上的一个动点，直线与平面所成的角为，则点的轨迹长度为________． 【答案】 【详解】因为直线与平面所成的角为，所以点的轨迹在以为顶点，底面圆的半径为，高为1的圆锥的侧面上， 又因为点是正方体表面上的一个动点， 所以点的轨迹如图所示， 则点的轨迹长为． 故答案为：． 42．（2025·陕西咸阳·二模）在正方体中，为的中点，为底面上一动点，与底面所成的角为，若，且该正方体的外接球的体积为，则动点的轨迹长度为______. 【答案】 【分析】取的中点，连接，证得底面，得到为与底面所成的角，求得，设正方体的棱长为，利用球的体积公式，求得，得到点的轨迹为以为圆心，为半径的圆在正方形区域内的部分，作出图形，进而求得动点的轨迹长度. 【详解】如图1所示，取的中点，连接，则， 在正方体中，底面，所以底面， 所以为与底面所成的角， 因为，所以， 设正方体的棱长为， 因为正方体的外接球的体积为，所以，解得， 所以，可得， 所以点的轨迹为以为圆心，为半径的圆在正方形区域内的部分， 如图2所示，，所以，则， 根据对称性，可得，所以， 故动点的轨迹长度为. 故答案为：.     题型十 翻折问题（共9小题） 43．（25-26高二上·辽宁·开学考试）如图，这是一副直角三角板组成的平面图形，从中抽象出四边形，其中，，，，．现将沿着折起，连接，得到三棱锥，取的中点分别为，连接．若，则直线与平面所成的角为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意易得 又因为且面， 所以平面. 如图过点作的平行线，并与的延长线交于点， 所以平面. 连接，则直线与平面所成的角为． 在中，， 由，，可得. 由，可得. 则，则． 故选：C.    44．（25-26高二上·湖北襄阳·期中）如图，矩形中，，，为边的中点.将沿直线翻折至位置，使得二面角的大小为，则（   ）      A． B． C．4 D．8 【答案】A 【详解】    如图所示，作中点，连接，    如图所示，作出矩形的平面图形，过点作垂直于于， 由题意可得，所以，且， 所以，则， 因为二面角的大小为， 可知面面，因为，所以面，所以, 由勾股定理可知. 故选：A. 45．（25-26高一下·山东淄博·期中）如图，在四边形中，，，，，将沿折起，使平面平面，构成三棱锥，则在三棱锥中，下列说法正确的是（     ） ①平面平面；②；③平面平面；④锐二面角的余弦值为 A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 【答案】D 【详解】对于①，因为，所以. 因为，所以，又， 所以，即. 因为平面平面，平面平面，， 所以平面. 若平面平面，由于平面平面， 过点作，则平面，这与过一点有且只有一条直线与已知平面垂直矛盾，所以①错误； 对于②，由于，若，因为，平面， 所以平面，又平面，所以，这与矛盾，所以②错误； 对于③，因为平面，平面，所以. 又因为是等腰三角形，，所以. 因为平面，所以平面平面，所以③ 正确； 对于④，由③可知平面，则为二面角的平面角， 设，则，由， 得，得，所以④正确. 46．（多选）（24-25高一下·江苏徐州·阶段检测）如图，在多边形ABPCD中（图1）.四边形为长方形，为正三角形，，，现以BC为折痕将折起，使点P在平面ABCD内的射影恰好是AD的中点（图2）.若点E在线段PB上运动，Q点在AD上运动，则（   ） A．平面PAD B．平面平面 C．Q到平面的距离为2 D．当时，三棱锥的体积为 【答案】ABD 【详解】对于A，取的中点，连接，由题知平面， 因为平面，所以， 又四边形为长方形，则， 又，平面，所以平面，故A正确； 对于B，设平面平面， 因，平面，平面，则平面， 因平面，且平面平面，则， 由A选项可知，平面，结合平面， 有，则， 故为二面角的平面角， 因，为正三角形，则， 因，则在中，有，同理， 则，即， 故平面平面，则B正确； 对于C，由AB选项易得，设点到平面的距离为， 则由得，， 即， 故Q到平面的距离为，故C错误； 对于D，因， 则， 故D正确. 故选：ABD 47．（25-26高一下·浙江·期中）如图，在正方形中，为的中点，将沿直线折起至处，使得点在平面上的射影在上.若三棱锥的外接球表面积为，则到平面的距离为（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】连接，交于，交于点，连接，，设正方形的边长为， 因为为正方形，所以沿对角线折叠的过程中， 点（即点）在底面上的射影一直在直线上， 又点在平面上的射影在直线上，所以点即为点在平面上的射影， 即平面， 则即为点到平面的距离. 因为平面，所以. 正方形中，，即， 所以为三棱锥外接球的球心，则三棱锥外接球的半径， 又三棱锥的外接球表面积为，则，解得， 所以. 因为为的中点，为的中点，所以为的重心， 则. 在中，. 所以点到平面的距离为. 48．（25-26高二上·广西桂林·期末）如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D为AC的中点，将沿BD翻折至，使得平面与平面CBD垂直． (1)证明：； (2)求点D到平面的距离； (3)求平面与平面DBC的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3). 【详解】（1）依题意，，而平面， 则平面，又平面， 所以. （2）由（1）知，，而平面平面，平面平面， 平面，则平面，又平面，则， 过作于，连接，由平面， 得平面，而平面，于是平面平面， 过在平面内作于，而平面平面，因此平面， 长即为点D到平面的距离，，， ，在中，，则， 所以点D到平面的距离. （3）由（2）得，则是平面与平面DBC的夹角， ， 所以平面与平面DBC的夹角的余弦值为. 49.（25-26高一下·全国·期末）如图所示，在直角中，，，，取的中点为D，将沿翻折到的位置，使得． (1)求证：平面平面； (2)求点D到平面的距离； (3)求直线与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)； 【详解】（1）在直角中，，，， 所以， 因为为中点，所以， 取AD的中点为E，连接PE，CE， 由为边长为2的等边三角形得，， 在中，，，，由余弦定理可得 ， 所以， 因为，所以，即， 又因为，且，所以平面 因为平面，所以平面平面； （2）由（1）可知，平面，则， 所以， 在中，，，， 由余弦定理，， 所以， ， 因为，则点D到面的距离为； （3）过点C作AD延长线的垂线，垂足为Q，连接PQ，由（1）知 因为平面平面，且平面平面，，所以平面， 故为直线PC与平面PAD所成角， 在中，，， ， 在中，，， 由勾股定理：， ， 即直线PC与面PAD所成角的余弦值为． 50．（25-26高一下·浙江·期中）如图，在平行四边形中，，点为的中点，将沿直线翻折成（点不在面内），点为的中点.在翻折过程中， (1)证明：直线平面； (2)若，求二面角的大小. 【答案】(1)证明见解析；(2). 【详解】（1）证明：取中点为，连接, 因为点为的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为在平行四边形中，点为的中点，所以， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面 又，平面 所以平面平面， 又平面， 所以直线平面 （2）解：取中点为，连接 因为，中点为 所以，是等边三角形， 所以，即为二面角的平面角. 在中，，由余弦定理有： ， 即，解得， 又在中，，在内，. 所以在中，，即为等边三角形， 所以，即二面角的大小为. 51．（25-26高一下·河南·阶段检测）如图，在梯形中，，，，为的中点，将沿翻折至的位置，使点落在点的位置，且，，分别为，的中点. (1)证明：平面平面. (2)若线段上存在点，使得平面平面， （i）猜想的值，并说明理由； （ii）求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2)（i），理由见解析；（ii） 【详解】（1）证明：在梯形中，，，，为的中点， 所以，且， 则四边形为菱形，所以， 则，所以为等边三角形，翻折后为等边三角形，且， 因为为的中点，故. 同理，四边形为菱形，为等边三角形，. 在中，，，又，则，所以. 因为，，平面， 所以平面. 又平面，故平面平面. （2）（ⅰ）. 理由如下： 如图，连接，与，分别交于点，，连接，. 因为，分别为，的中点，四边形为菱形， 所以四边形为平行四边形，所以. 又平面，平面，所以 平面. 因为为的中点，所以为的中位线，所以为的中点. 因为平面 平面，平面平面， 平面平面， 所以，所以为的中点，即. （ⅱ）由（2）（ⅰ）可知，点的位置唯一确定，即为的中点. 由（1）可知，，，且，，平面， 所以平面. 又 ，所以平面. 又平面，则， 所以，则. 在中，，，则， 又，所以 . 如图，过作于点， 由等面积法可知，. 在中，，，则边上的高为. 设点到平面的距离为， 则. 所以，所以. 设二面角的大小为， 则. 故二面角的正弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $专题12 截面、翻折与动点轨迹问题 题型1截面形状的判断 题型6平行关系下的动点问题（常考点） 题型2求截面的周长或面积（重点） 题型7垂直关系下的动点问题（重点） 题型3球的截面（重点） 题型8等距关系下的动点问题（常考点） 题型4截面分体积（难点） 题型9等角关系下的动点问题题型 题型5截面的最值（难点） 题型10翻折问题（重点） 题型通关·靶向提分 题型一截面形状的判断（共4小题） 1.(25-26高一下.云南昆明期中)在正方体ABCD-A,B,C,D,中，M为AB的中点，N为 CC的中点，P为线段AA上一点且A,P=3AP.过点M,N,P作该正方体的截面，记为 a,则截面a为() A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形 2.(24-25高一下·云南昆明·期中)在正方体AC,中，M为AB的中点，N为BC的中点，P 为线段CC上一动点（不含C).过M,N,P与正方体的截面记为，下列说法中正确的是(） A.当CP1 1 =。时，截面0为五边形 。时，截面a只能是六边形 CC 2 B.当CP CC 2 c.当C1 cC时，截面0的面积最大D.当CP<{ cC<3时，截面a只能是五边形 3.(多选)(24-25高一下江苏宿迁期末)如图，有一块正四棱台的木料，木工师傅想经过 木料表面C,B,BC内（不含边界）一点P与棱DD,把木料锯成两块，为此需要先在面C,B,BC 内作出交线1，下列关于交线1与截面形状的说法正确的是() B D .3 A. 截面形状是梯形 B.截面形状可能为等腰梯形 C.直线1与直线DD相交 D.直线1与直线AA,相交 4.(多选)(24-25高一下.四川泸州·期末)如图，在正方体ABCD-A,B,C,D,中，M是BD的 中点，N是线段CD,上一动点，则下列说法正确的有() A D B D M A.无论点N在何处，始终有BD⊥MW成立. B.三棱锥N-BAA的体积随着点N的位置的改变而随之变化， C.直线MN与平面ABCD所成角的正切值的取值范围为[O,V2]. D.平面BDN截得正方体ABCD-A,B,C,D,的截面可能是三角形或四边形. 题型二求截面的周长或面积（共6小题） 5.(24-25高一下.广西南宁期末)如图，已知正方体ABCD-A,B,C,D,的棱长为4，E是棱 CD的中点，则平面ABE截正方体ABCD-A,B,C,D所得截面图形的面积为() D E C A C D B A.9N2 B.18 C.182 D.36 6.(25-26高一下·黑龙江鸡西·期中)在棱长为2的正方体ABCD-A,B,C,D,中，E,F分别是 棱B,C,CD的中点，过B,E,F三点的平面记为，则截该正方体所得截面的面积为 () A.? B. 3 3-2 C D. 9-2 7.(多选)(25-26高一下·云南昆明·期中)如图，正方体ABCD-AB,C,D1的棱长为2，E,F 分别是AD,DD的中点，则下列结论正确的为() D B D.… E p A.直线BE与CF是异面直线 B.直线BE与C,F共面 C.平面BEF截正方体ABCD-A,B,CD,所得截面图形的周长为2√5+3√2 D.若P是线段BD上的动点，则AP/I平面B,CD, 8.（多选)(25-26高一下·浙江金华.月考)在长方体ABCD-AB,CD,中，底面ABCD是边 长为4的正方形，P在棱AD上，且PA=√10，PD=√2，则() A.AA=1 B.过点A、P、C的平面截该长方体，所得截面周长为5√2+210 C.以点P为球心，√2为半径作一个球，则球面与底面ABCD的交线长为2π D.三棱锥P-ABD外接球的体积是36π 9.(25-26高三下·湖南邵阳阶段检测)如图，在棱长为1的正四面体ABCD中，P,P,,P 是棱AB的10等分点，过Pi=1,2,,9)作与AC,BD均平行的平面，记此平面截正四 面体ABCD所得的截面面积为S,.则S,=() P P A.12 B.12 c.12 D.ii 981 9100 1081 10100 10.(25-26高一下广东惠州期中)已知正八面体A-BCDE-F的中心为点0，各棱长均为 √2，已知3AP=AB,QD=20,过点O,P,Q作该正八面体的截面，所得截面面积为 题型三球的截面（共5小题） 11.(24-25高一下.湖南期末)已知正方形ABCD的边长为4，将ABC沿对角线AC翻折， 使二面角B-4C-D为子，则平面BCD裁三棱锥B-4CD的外接球所行截面的面积为() A.16元 3 B.32m C.8π D.9元 12.(24-25高一下江苏无锡期中)在等腰梯形ABCD中，已知AD1IBC, MD=B=DC-sC=1,将△4BD沿直线BD翻折成BD,则当三陵雏-BCD的体积最 大时，以A'C为直径的球被平面ABD所截的截面面积为() A.π B. 4 C. 6 3 D.π 2 13.(24-25高一下河南信阳·期末)己知正三棱锥A-BCD的外接球是球O,正三棱锥底边 BC=3,侧棱AB=2√5，点E在线段BD上，且2BE=DE,过点E作球O的截面，则所得 截面圆面积的取值范围是 14.(24-25高一下.河北雄安期末)已知球O是四棱锥P-ABCD的外接球，PA⊥平面ABCD, 底面ABCD是等腰梯形，AD1/BC,AB=AD=3V2,PA=4,BC=6N2,且MM=名AB.过 点M作球O的截面，所得截面圆面积的最小值为 15.(24-25高一下.辽宁大连期末)已知H是球0的直径AB上一点，AH:HB=1:3, AB⊥a,H为垂足，平面a截球O所得截面的面积为3π，M为o内的一点，且MH=1, 则球0的表面积为；过点M作球O的截面，则当截面面积最小时，截面圆的半径为 题型四截面分体积（共4小题） 16.(2025高三上广东.专题练习)棱长为1的正方体ABCD-A,B,C,D,中，M,N分别为 AD,CD的中点，过A,M,N三点的截面将正方体分成两部分，则其中体积较小的几何体的 体积为() 8. 7 24 c 4 24 17.(多选)(24-25高一下辽宁辽阳期末)如图，在正四棱锥P-ABCD中，E,F分别是 PA,PC的中点，则下列结论正确的是() E A.设PDn平面BEF=Q,则O={ PD 3 B.三棱锥E-BDF与正四棱锥P-ABCD的体积之比为1：4 c.若P4_5,则正四棱锥P-ABCD内切球与外接球的半径之比为1：6 AB 2 D.正四棱锥P-ABCD被平面BEF分成的上、下两部分的体积之比为1：5 18.(25-26高一下.全国·课堂例题)如图所示，在三棱柱ABC-A,B,C,中，E、F分别为 AB、AC的中点，平面EB,C,F将三棱柱分成两部分，求这两部分的体积之比 A E B 19.(24-25高一下辽宁丹东·期末)如图，四面体ABCD中，点G是ABC的重心，点E在 AD上，AE=2ED· D C (1)求证：GE∥平面BCD; (2)设过点G,E,C的平面为a,与四面体的面相交，交线围成一个多边形. ()请在图中画出这个多边形（不必说出画法和理由）： ()求出将四面体分成两部分几何体体积之比 题型五截面的最值（共4小题） 20.(2025高三.全国.专题练习)己知正方体ABCD-A,BC,D,的体积为1，点M在棱BC 上（点M异于B,C两点），N为CC的中点，若平面AMN截正方体 ABCD-A,BC,D,所得的截面为五边形，则BM的长的取值范围是() A.o. B.(别 cB别 21.(多选)(24-25高一下江苏期中)如图，在棱长为1的正方体ABCD-A,B,C,D,中，点 F,G分别是CB,CD的中点，E在棱CC上满足CE=kCC,k∈[O,I,P为线段AD上 的一个动点，平面a∥平面EFG,则下列命题中正确的是() D B ●D B A.当k=二时，AD,∥平面EFG B.当3<k<1时，过点A,F,E的平面截该正方体所得的截面为五边形 4 C.当k=号时，平面α截该正方体所得截面面积的最大值为5 2 D.当k=号时，PF+PG的最小值为V8+36 2 22.(2026黑龙江齐齐哈尔.一模)已知正三棱柱ABC-A,BC的各棱长均为2V3,D,E分别 为棱AB,AA,的中点，经过DE作该三棱柱外接球的截面，则截面面积的最小值为 23.(2026高一.全国.专题练习)在三棱锥A-BCD中，已知AB=BC=CD=AD=2√2， ∠4BC=∠4ADC-号，平面BC1平面ACD,且三棱锥4-BCD的所有顶点都在球O的球 面上，E、F分别在线段OB、CD上运动（端点除外），BE=√2CF,当三棱锥E-ACF的 体积最大时，过点F作球O的截面，则截面面积的最小值为： 题型六平行关系下的动点轨迹（共4小题） 24.(多选)(25-26高一下.重庆渝北期中)在棱长为2的正方体ABCD-A,B,C,D,中，点P是 棱BC的中点，点Q在正方形AA,B,B内部（不含边界）运动，若PQ∥平面ACC,A,,则() B D B C A.点Q的轨迹经过线段AB,的中点 B.点Q的轨迹长度为√2 C.直线P9与直线AC为异面直线 O三棱锥Q-ACC的体积为定值 25.(25-26高一下.福建厦门期中)如图，在长方体ABCD-A,B,C,D,中， AB=2BC=2CC,=6,点E,F分别为BC,CC,的中点，点P在矩形BCCB,内运动（包括 边界)，若AP∥平面AEF,则动点P的轨迹长度为() A. 3 B.32 c.32 D.3 2 26.(2026北京昌平.二模)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A,B,C,D,中，点M,N分别是 棱AD,DD,的中点，点P在正方体ABCD-A,B,C,D的表面上运动，且APII平面BMN,则 线段CP的最小值为() D C N B D M B A.3V2 B.5 2 C.5 D.2√2 27.(25-26高一下.江苏常州期中)如图，棱长为2的正方体ABCD-A'B'CD'中，E,F分 别为AD,AB的中点，点G在上底面A'B'CD'(含边界)上运动，若满足BC//平面EFG, 则点G的轨迹长度为 D G B ED为 A F B 题型士垂直关系下的动点轨迹（共7小题） 28.(2025湖北.二模)在长方体ABCD-A,B,C,D,中，AB=BC=2,BB,=1,点M是平面 B,CDA,内的动点，且MA⊥MC,则MC的最大值为() A.2V5 B.3V5 c.4V5 D.6V5 5 5 5 29.(多选)(24-25高一下·安徽合肥·期末)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A,B,C,D,中， M为B,C的中点，P为线段B,D上动点（包括端点），则下列说法中正确的是() D C M A D B A.存在P点使得MP∥平面A,DB B.直线BM与平面BDD,B所成角正弦值为 10 C.AP+MP的最小值为V7+2√万 D.若点Q在正方体ABCD-A,B,C,D,表面上运动（包含边界），且MQ⊥AC,则点Q 的轨迹长度为62 30.(多选)(24-25高一下辽宁沈阳·期末)如图，在长方体ABCD-A,B,CD,中， AB=√2BC=V2CC,=2√2，动点M在长方体的表面上运动（含边界），且BD,⊥MC,点 M的轨迹形成的封闭图形为Ω，则() D C B D A.点M的轨迹长度为26+2√2 B.A8,与2所在平面所成角的正弦值为 6 C.2所在的平面将长方体分成的大小两部分体积比为12：1 D.若BD,与Q所在的平面交于点E,则D3 BE 1 31.(2027高三全国.专题练习)如图，在直三棱柱ABC-A,B,C,中，AC=BC,AB=AA,, D是AB的中点，点F在BB,上，记B,F=1BF,若AB,⊥平面C,DF,则实数1= B D Bi 32.(24-25高一下·黑龙江双鸭山月考)已知四棱柱ABCD-A,B,C,D的底面为菱形，A4,⊥ 底面ABCD,AA=4,AB=6,∠BCD=60°，点M是线段BC上靠近C的三等分点，动点 N在四棱柱ABCD-A,B,C,D的表面，且MW⊥BD,则动点N的轨迹长度为 33.(25-26高三下广东深圳月考)如图，平面PAB⊥平面ABC,平面PAC⊥平面ABC. (1)求证：PA⊥平面ABC; (2)点E在侧面PBC(含边界)上运动，若平面PAC⊥平面PAB, AP=AB=AC=V2AE=1,求E的轨迹长度 34.(24-25高一下.安徽宣城期末)如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，PA=4,平 面PAB⊥平面ABCD,平面PAD⊥平面ABCD. B c (1)求证：PA⊥平面ABCD: (2)求二面角A-PD-B的余弦值； B点M在正方形A8CD肉（包括边界，若平面PAM上平面P0M,且∠4DM[居引，求 点M的轨迹长度， 题型八等距关系下的动点轨迹（共6小题） 35.(25-26高二上河北阶段检测)在长方体ABCD-A,B,C,D,中，AB=2,AD=AA,=3,球 A是以A为球心，以1为半径的球动点P在矩形BCCB的内部及其边界上运动，且P到球 A的球面上的点的最小距离为2，则点P的轨迹长度为() A.2π B. C.√5π D. 2π 36.(2025辽宁本溪模拟预测)将边长为2的正方形ABCD沿着对角线BD折起，使点A到 达点P的位置，得到三棱锥P-BCD,点M∈平面BCD,且PM=V3,若PC=√5，则点M的 轨迹长度为() A.32n B. C.32n D.3√2π 4 2 37.(2025.甘肃模拟预测)在所有棱长为4的正四棱锥P-ABCD中，M是底面正方形 ABCD内一点（含边界），若PM⊥MD,则点M的轨迹长度是() A.2元 B.2π C.2√2 D.2√2π 38.(24-25高一下·黑龙江哈尔滨期中)己知点M为正三棱柱ABC-A,B,C,表面上一个异于 点A的动点，若AB=√2，BB,=1,且满足MA,=√2，则动点M的轨迹的长度为() A.2π B. 3 C.3V2+1 元 D.(2+V2)π 3 39.(24-25高二上.重庆期末)已知正方体ABCD-AB,C,D,E,F,G分别为棱AB,CC ，CD的中点，若平面EG截该正方体的截面面积为3 ，点P为平面EFG上动点，则 2 使PD=AB的点P轨迹的长度为() A. B.2π C.√2π D.22元 40.(25-26高三下广东深圳阶段检测)如图，平面PAB1平面ABC,平面PAC1平面 ABC. D A C (1)求证：PA⊥平面ABC; (2)点E在侧面PBC(含边界)上运动，若平面PAC⊥平面PAB, AP=AB=AC=V2AE=1,求E的轨迹长度， 题型九等角关系下的动点轨迹（共2小题） 41.(2027高三·全国.专题练习)如图，点P是棱长为1的正方体ABCD-A,B,CD表面上的 一个动点，直线AP与平面ABCD所成的角为60°，则点P的轨迹长度为 D P A B C B D P B 则点P的轨迹长为2,1+ 3 +x2x×5.45+6 336 B 故答案为： 45,√3元 3 6 42.(2025陕西咸阳·二模)在正方体ABCD-A,B,C,D,中，E为AD的中点，F为底面 ABCD上一动点，EF与底面ABCD所成的角为0，若in9-cos9=5-1,且该正方体的 2 外接球的体积为4√3π，则动点F的轨迹长度为· 题型土翻折问题（共9小题） 43.(25-26高二上辽宁开学考试)如图，这是一副直角三角板组成的平面图形，从中抽象 出四边形ABCD,其中∠BAD=60°，AB=1,AB⊥BD,BC⊥CD,BC=CD.现将 △BCD沿着BD折起，连接AC,得到三棱锥C-ABD,取AD,BD的中点分别为E,F,连 接CE,CF,EF.若LCFE=30°，则直线AC与平面CEF所成的角为() B A.30° B.45° C.60° D.75° 44.(25-26高二上湖北襄阳期中)如图，矩形ABCD中，AB=2,AD=4,E为边AD的 中点将。ABE沿直线BE翻折至648E位置，传得二面角A-BE-C的大小为受则4C= A.25 B.32 C.4 D.8 45.(25-26高一下山东淄博·期中)如图，在四边形ABCD中，AD/1BC,AD=AB, ∠BCD=45°，∠BAD=90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD,构成三棱锥 A-BCD,则在三棱锥A-BCD中，下列说法正确的是() ①平面ABD⊥平面ABC;②BD⊥AC;③平面ACD⊥平面ABC;④锐二面角C-AB-D的 余弦值为 3 A▣ B B A.①② B.①③ C.②③ D.③④ 46.(多选)(24-25高一下江苏徐州阶段检测)如图，在多边形ABPCD中（图1）.四边形 ABCD为长方形，△BPC为正三角形，AB=3,BC=3V2,现以BC为折痕将△BPC折起， 使点P在平面ABCD内的射影恰好是AD的中点（图2）.若点E在线段PB上运动，Q点在 AD上运动，则() D 图1 图2 A.AB⊥平面PAD B.平面PCD⊥平面PAB C.Q到平面EBC的距离为2 D当PEPB时，三棱锥E-DCP的体积羽 3 2 47.(25-26高一下.浙江期中)如图，在正方形ABCD中，E为BC的中点，将△ACD沿直 线AC折起至△ACP处，使得点P在平面ABC上的射影在AE上.若三棱锥P-ABC的外接 球表面积为8π，则P到平面ABC的距离为() D A. 8.16 9 C.8 D.1 3 9 48.(25-26高二上广西桂林期末)如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D为AC的中 点，将△ABD沿BD翻折至△A'BD,使得平面ABD与平面CBD垂直. (1)证明：A'C⊥BD; (2)求点D到平面A'BC的距离； (3)求平面A'BC与平面DBC的夹角的余弦值， 49.(25-26高一下.全国期末)如图所示，在直角ABC中，AB=2,AC=2√5， ∠BAC=90°，取BC的中点为D,将△BAD沿AD翻折到△PAD的位置，使得PC=√10. (1)求证：平面PAD⊥平面ACD: (2)求点D到平面PAC的距离； (3)求直线PC与平面PAD所成角的余弦值. 50.(2526商-下浙江期中)如图，在平行四边形A8CD中，4B=21D=4,4-号点E为 AB的中点，将ADE沿直线DE翻折成△A,DE(点A不在面BCDE内)，点F为A,C的中 点.在ADE翻折过程中， (1)证明：直线FB∥平面A,DE; (2)若A,C=V0,求二面角A-DE-C的大小 51.(25-26高一下.河南阶段检测)如图，在梯形ABCD中，AB/1CD,AB=BC=AD=2 ,CD=4,E为CD的中点，将△DAE沿AE翻折至△PAE的位置，使点D落在点P的位置， 且PB=√6，F,G分别为AE,BC的中点. (1)证明：平面PAE⊥平面ABCE. (2)若线段PC上存在点M,使得平面PBF/平面MEG, (D猪想兴的值，并说明理由： (i)求二面角P-BE-M的正弦值.