精品解析：江苏连云港市东海、灌云、惠泽三校2025-2026学年高二第二学期5月月考数学试题

高二年级第二学期月考数学试题 20260530 一､单选题 1. 已知全集为实数集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 假设某厂包装食盐的生产线，正常情况下生产出来的食盐质量服从正态分布(单位：).在正常情况下，该生产线上的检测员某天随机抽取了两包食盐，称得其质量均大于的概率为( )(若，则，) A. 0.0015 B. C. 0.003 D. 3. 在中，为中点，为上一点，且的延长线与的交点为，则（ ） A. 若，则在上的投影向量为 B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. 10 C. D. 45 5. 已知事件，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 一台仪器每启动一次都会随机地出现一个3位的二进制数，其中的各位数中，出现0的概率为，出现1的概率为．若启动一次出现的二进制数为，则称这次试验成功．若成功一次得2分，失败一次得分，则81次这样的独立重复试验的总得分的数学期望为（ ） A. B. C. 63 D. 6 7. 已知球与棱长为的正方体的各面都相切，则平面截球所得的截面圆与球心所构成的圆锥的体积为 A. B. C. D. 8. 某年级每天排节课：语､数､外､理､化门每天必排，另一门从政､史､地､生中任取门；每门课每天至少排节；上午节，下午节.某天，如果要求数学不排下午第节，语文和外语不连排（上午第节与下午第节不算连排），那么排法共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 二､多选题 9. 设为不同的直线，为不同的平面，下列说法不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 为了研究的浓度是否受到汽车流量等因素的影响，研究人员在某城市测得样本数据如下表： 车流量辆 车流量辆 合计 4 11 1 合计 12 20 附： 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 2.074 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 下列说法正确的是（ ） A. 该城市在车流量时的概率的估计值为 B. 统计量的值越大，说明车流量大小与空气污染越无关联 C. 在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为车流量大小与空气污染有关联 D. 根据小概率值的独立性检验，可以认为车流量大小与空气污染没有关联 11. 已知和所在的平面互相垂直，，且点到平面的距离为，则（ ） A. 三棱锥的体积为 B. 与所成角的大小为 C. 与平面所成角的大小为 D. 二面角的正切值为 三､填空题 12. 已知为虚数单位，复数在复平面中对应的点的坐标为_________. 13. 二项式的展开式中，二项式系数的和为256，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为______. 14. 已知一个正三棱台的上､下底面的边长分别为，若一球可与该正三核台的各个面都相切，则该正三棱台的侧棱长为_________.（用表示） 四､解答题 15. 已知数列的前项和为，且，． （1），求证数列是等比数列； （2）设，求证数列是等差数列； （3）求数列的通项公式及前项和． 16. 如图，在四棱柱中，底面为正方形，平面平面，.点分别在棱上. （1）求证：； （2）当分别为棱的中点时，求证：点共面： （3）当时，试判断二面角的大小能否为？若能，请指出点的位置：若不能，请说明理由. 17. 已知椭圆的长轴长为6，焦距为.如图，过椭圆左焦点作一条直线交椭圆于两点，设. （1）求椭圆的标准方程： （2）当取何值时，等于椭圆短轴的长； （3）过点作一条与直线垂直的直线，交椭圆于两点，求证：为定值. 18. 科研人员在对人体脂肪含量和年龄之间关系的研究中，获得了一些年龄和脂肪含量的样本数据，如下表： （年龄/岁） 26 27 39 41 49 53 56 58 60 61 （脂肪含量/\%） 14.5 17.8 21.2 25.9 26.3 29.6 31.4 33.5 35.2 34.6 （1）计算样本相关系数（精确到0.01），并说明该成对样本数据的线性相关程度； （2）若关于的线性回归方程为，求关于的线性回归方程（精确到0.01）.并回答以下问题： （i）计算当年龄为60岁时的残差； （ii）计算决定系数，并说明线性回归方程的拟合效果. 附：参考数据：. 参考公式：样本相关系数，在经验回归方程中，. 19. 已知函数. （1）证明：曲线在处的切线也为曲线的切线； （2）当，求证：； （3）已知袋中有编号为1到100的100个形状大小相同的小球，从中随机地连续抽取20次，每次取1个球，且每次抽取后都放回，设抽到的20个小球的号码互不相同的概率为.证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级第二学期月考数学试题 20260530 一､单选题 1. 已知全集为实数集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先解一元二次不等式，再利用集合补集与交集运算即可. 【详解】由，则或， 又，所以. 2. 假设某厂包装食盐的生产线，正常情况下生产出来的食盐质量服从正态分布(单位：).在正常情况下，该生产线上的检测员某天随机抽取了两包食盐，称得其质量均大于的概率为( )(若，则，) A. 0.0015 B. C. 0.003 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用正态分布的对称性计算单包食盐质量大于515g的概率，再结合独立事件的概率乘法公式计算两包均满足条件的概率. 【详解】由食盐质量服从正态分布，得，，则. 由，结合正态分布的对称性， 得. 两包食盐质量均大于515g为独立事件，故所求概率为. 3. 在中，为中点，为上一点，且的延长线与的交点为，则（ ） A. 若，则在上的投影向量为 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据投影向量的定义可判断A的正误，根据向量的线性运算可判断B的正误，根据三点共线的向量形式结合B中判断可判断C的正误，根据向量的线性运算结合C的分析可判断D的正误. 【详解】对于A， 取的中点为，则， 故在上的投影向量为，而， 故在上的投影向量为，故A错误； 对于B，， 故，故B正确； 对于C，因为三点共线， 故存在实数，使得，而为共线向量， 故存在实数，使得即， 因为不共线，所以，故，故，故C错误； 对于D，由C的分析可得，故， 所以，所以，故D错误. 4. 已知，则（ ） A. B. 10 C. D. 45 【答案】A 【解析】 【分析】由于，求出的通项，从而可求出的值 【详解】 ，. 故选：A 5. 已知事件，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用条件概率的对立性质、乘法公式、全概率公式、和事件概率公式分析即可. 【详解】选项D，由，故D错误； 选项B，根据条件概率的对立事件性质得：，故B错误； 选项C，因为， 所以，故C正确； 选项A，由，故A错误. 6. 一台仪器每启动一次都会随机地出现一个3位的二进制数，其中的各位数中，出现0的概率为，出现1的概率为．若启动一次出现的二进制数为，则称这次试验成功．若成功一次得2分，失败一次得分，则81次这样的独立重复试验的总得分的数学期望为（ ） A. B. C. 63 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】由题可求出试验成功的概率，再利用二项分布及其期望的性质可求. 【详解】根据题意一次试验成功的概率为， ∴次重复试验中成功次数服从二项分布， 故， 总得分， 故， 故选A． 7. 已知球与棱长为的正方体的各面都相切，则平面截球所得的截面圆与球心所构成的圆锥的体积为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】内切球的球心为正方体的体对角线交点，根据三棱锥为正三棱锥及各棱长，可求得点O到平面的距离；根据内切圆半径和圆心到平面的距离可求得切面的圆心半径，进而求得圆锥的体积． 【详解】因为球与棱长为的正方体的各面都相切 所以球O为正方体的内切球，则球O的半径 球心O到A的距离为 底面为等边三角形，所以球心O到平面的距离为 所以平面截球所得的截面圆的半径为 所以圆锥的体积为 所以选C 【点睛】本题考查了正方体的内切球性质，平面截球所得截面的性质，属于中档题． 8. 某年级每天排节课：语､数､外､理､化门每天必排，另一门从政､史､地､生中任取门；每门课每天至少排节；上午节，下午节.某天，如果要求数学不排下午第节，语文和外语不连排（上午第节与下午第节不算连排），那么排法共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用总的排列数减去不符合条件的排列数即可. 【详解】由题意得，特定门课的全排列总数为 种， ①数学排在下午第节，则剩下的门课全排列，排法数为种； ②语文和外语连排，首先内部有种排列（语外或外语）， 由于上午第节和下午第节不算连排，因此连排的节次组合有，共种位置组合， 剩下的门课全排列，则排法数：种； ③数学在下午第节，且语文外语连排， 数学固定在下午第节（第节），语文和外语连排，可能的连排位置组合有，共种位置组合，剩下的门课全排列， 则排法数为种； 因此符合条件的排法数为种； 又因为第门课有种选择（政、史、地、生），且每种选择下的排列情况是相同的， 因此总排法为种，故B正确. 二､多选题 9. 设为不同的直线，为不同的平面，下列说法不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AB 【解析】 【分析】根据直线、平面间的位置关系判断． 【详解】对于A，若，可能有，A错误； 对于B，若，，与可能平行，可能相交也可能在内，B错误； 对于C，设，在直线上任取一点， 在平面内过作于点，在平面内过作于点， 因为，所以，同理， 而过空间一点作一个平面的垂线有且只有一条， 所以与重合，且重合为与的交线，即直线， 所以，C正确； 对于D，，说明直线的方向向量是平面的法向量， 直线的方向向量是平面的法向量，， 则平面的法向量与平面的法向量垂直，因此两平面垂直，D正确. 10. 为了研究的浓度是否受到汽车流量等因素的影响，研究人员在某城市测得样本数据如下表： 车流量辆 车流量辆 合计 4 11 1 合计 12 20 附： 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 2.074 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 下列说法正确的是（ ） A. 该城市在车流量时的概率的估计值为 B. 统计量的值越大，说明车流量大小与空气污染越无关联 C. 在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为车流量大小与空气污染有关联 D. 根据小概率值的独立性检验，可以认为车流量大小与空气污染没有关联 【答案】ACD 【解析】 【分析】先补全列联表，再分别计算各选项涉及的概率估计值与统计量，结合独立性检验的临界值判断关联性. 【详解】先补全列联表：车流量1500辆且 的频数为， 车流量<1500辆且 的频数为， 车流量1500辆的合计频数为， 的合计频数为. 车流量辆 车流量辆 合计 4 11 1 合计 12 20 对于选项A，车流量1500辆时， 的概率估计值为，A正确. 对于选项B，统计量的值越大，说明车流量大小与空气污染的关联性越强，B错误. 计算 . 对于选项C， ，故在犯错误的概率不超过的前提下， 可以认为车流量大小与空气污染有关联，C正确. 对于选项D， ，故根据小概率值 的独立性检验， 认为车流量大小与空气污染没有关联，D正确. 11. 已知和所在的平面互相垂直，，且点到平面的距离为，则（ ） A. 三棱锥的体积为 B. 与所成角的大小为 C. 与平面所成角的大小为 D. 二面角的正切值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】过点作，以为坐标原点，设，求得平面的法向量，利用向量的距离公式，列出方程，求得，结合棱锥的体积公式，线面垂直的性质，以及线面角和二面角的定义，逐项分析判断，即可求解. 【详解】如图所示，在平面内，过点作，垂足为， 因为平面平面，且平面平面，所以平面， 以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，设，且， 可得， 可得， 设平面的法向量为，则， 即，令，可得，所以， 因为点到平面的距离为，可得， 解得，即， 对于A，因为平面，且， 由， 所以三棱锥的体积为， 所以A正确； 对于B，因为平面，且平面，所以， 由，可得， 又因为，平面，所以平面， 因为平面，所以，即， 所以与所成角的大小为，所以B正确； 对于C，因为平面，所以为与平面所成的角， 在直角中，由，所以， 即直线与平面所成的角为，所以C错误； 对于D，过点作，垂足为，连接， 因为平面，且平面，所以， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以，所以为二面角的平面角， 在直角中，，可得， 在直角中，可得， 设二面角的平面角为，则，所以，所以D正确. 三､填空题 12. 已知为虚数单位，复数在复平面中对应的点的坐标为_________. 【答案】 【解析】 【详解】， 故对应点的坐标为. 13. 二项式的展开式中，二项式系数的和为256，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为______. 【答案】 【解析】 【分析】二项式系数的和为，可得，写出通项，可知其中有理项为3项，展开式共有9项，用古典概型求出共有种排法，符合有理项要求互不相邻的有种排法，可求出概率. 【详解】因为二项式系数的和为，解得， 所以二项式的展开式的通项为， 其中当，3，6时为有理项. 因为二项式的展开式中共有9项，所以全排列有种排法， 其中3项为有理项，6项为非有理项，且有理项要求互不相邻， 可先将6项非有理项全排列，共种排法， 然后将3项有理项插入6项非有理项产生的7个空隙中，共种插法， 所以有理项都互不相邻的概率为. 故答案为： 【点睛】本题考查了二项式系数、二项展开式、古典概型，插空法等基本知识，考查数学运算能力和逻辑推理能力，转化的数学思想，属于中档题目. 14. 已知一个正三棱台的上､下底面的边长分别为，若一球可与该正三核台的各个面都相切，则该正三棱台的侧棱长为_________.（用表示） 【答案】 【解析】 【分析】首先求出上下底面内切圆半径，根据球与正三棱台的各个面都相切，得到斜高，进而计算侧棱长. 【详解】 正三棱台上､下底面的边长分别为， 分别是上、下底面的中心， ，， 因为球与该正三核台的各个面都相切， 所以棱台的斜高， 在直角梯形中，侧棱. 四､解答题 15. 已知数列的前项和为，且，． （1），求证数列是等比数列； （2）设，求证数列是等差数列； （3）求数列的通项公式及前项和． 【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3) 【解析】 【分析】（1）由已知数列递推式可，与原递推式联立可得，即可证明数列是等比数列； （2）由（1）得，可得，两边同时除以即可证得数列是等差数列； （3）由（2）求出数列的通项公式，可得数列的通项公式，结合已知递推式可得数列的前项和． 【详解】（1）由题意，，， 两式相减，得， ， ， 又由题设，得，即， ， ∴是首项为3，公比为2的等比数列； （2）由（1）得， ， ，即． ∴数列是首项为，公差为的等差数列； （3）解：由（2）得，， 即，∴． 则． 【点睛】本题考查数列递推式，考查了等差关系与等比关系的确定，是中档题． 16. 如图，在四棱柱中，底面为正方形，平面平面，.点分别在棱上. （1）求证：； （2）当分别为棱的中点时，求证：点共面： （3）当时，试判断二面角的大小能否为？若能，请指出点的位置：若不能，请说明理由. 【答案】（1）由平面平面，平面平面，且，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以. （2） 如图所示，取的中点，连接， 由于是中点，是的中点，在正方形中，有且， 所以四边形是平行四边形，所以且， 又因为是的中点，是的中点，在平面中，有且， 由于且，所以且，所以四边形是平行四边形， 所以且，所以且， 所以四边形是平行四边形，即点共面. （3）不能，如图，作交于点，延长交于点，连接， 由，，，平面， 所以平面，又平面平面， 则平面， 又，所以是二面角的平面角， 若，则是等腰直角三角形，， 又， 所以在中，由大角对大边可知，所以，这与相矛盾， 所以二面角的大小不能为. 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直即可得到线线垂直； （2）取的中点，连接，根据四棱柱的性质判断平面是平行四边形即可； （3）作交于点，延长交于点，连接，得到二面角的平面角，由大角对大边得出矛盾即可. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 略. 17. 已知椭圆的长轴长为6，焦距为.如图，过椭圆左焦点作一条直线交椭圆于两点，设. （1）求椭圆的标准方程： （2）当取何值时，等于椭圆短轴的长； （3）过点作一条与直线垂直的直线，交椭圆于两点，求证：为定值. 【答案】（1）； （2）或时，等于椭圆短轴的长； （3）由（2）知当时，，此时，， 当时，记直线的斜率为，则，直线的斜率为，所以， 所以， 综上，为定值． 【解析】 【分析】（1）由得椭圆方程； （2）当时，求得不合题意，时，设出直线的方程， ，直线方程代入椭圆方程化简后应用韦达定理得，代入弦长公式，求得后可得值； （3）当时，直接计算出，时，由（2）得，用代替得出，然后计算，从而完成证明． 【小问1详解】 由题意，所以，所以， 所以椭圆方程为； 【小问2详解】 当时，，因此， 设直线的方程为， ，椭圆短轴长为2， 由得， 恒成立且，， 所以， 由，解得，所以或； 【小问3详解】 略 18. 科研人员在对人体脂肪含量和年龄之间关系的研究中，获得了一些年龄和脂肪含量的样本数据，如下表： （年龄/岁） 26 27 39 41 49 53 56 58 60 61 （脂肪含量/\%） 14.5 17.8 21.2 25.9 26.3 29.6 31.4 33.5 35.2 34.6 （1）计算样本相关系数（精确到0.01），并说明该成对样本数据的线性相关程度； （2）若关于的线性回归方程为，求关于的线性回归方程（精确到0.01）.并回答以下问题： （i）计算当年龄为60岁时的残差； （ii）计算决定系数，并说明线性回归方程的拟合效果. 附：参考数据：. 参考公式：样本相关系数，在经验回归方程中，. 【答案】（1），人体脂肪含量和年龄的相关程度很强 （2）；（i）；（ii），线性回归方程的拟合效果很好 【解析】 【分析】（1）根据表中的信息，先计算平均数，再根据公式计算相关系数，由相关系数得出结论； （2）利用回归方程求出回归系数，写出线性回归方程； （i）求出时，的值，再求出残差即可； （ii）根据公式求出决定系数，再根据决定系数的意义下结论即可. 【小问1详解】 ， ， ， 由样本相关系数，可以推断人体脂肪含量和年龄的相关程度很强； 【小问2详解】 因为回归方程为，即， 所以； 所以y关于x的线性回归方程为， （i）将代入线性回归方程得， 年龄为60岁时的残差； （ii） ， 因为决定系数，所以线性回归方程的拟合效果很好. 19. 已知函数. （1）证明：曲线在处的切线也为曲线的切线； （2）当，求证：； （3）已知袋中有编号为1到100的100个形状大小相同的小球，从中随机地连续抽取20次，每次取1个球，且每次抽取后都放回，设抽到的20个小球的号码互不相同的概率为.证明：. 【答案】（1）由函数，可得， 则且， 所以曲线在处的切线方程为，即， 又由函数，可得， 设曲线的切点为，可得且， 所以切线方程为， 若该切线为，可得，解得或， 当时，，此时切线方程为，即； 当时，，此时切线方程为，即， 综上可得，是在处的切线方程,也是在处的切线方程， 所以，曲线在处的切线也为曲线的切线. （2）令，可得其定义域为， 且，故在上单调递增； 所以，即，所以. （3）从100个球中随机抽取20次，每次取1个球，且每次抽取后都放回， 可得每次取球都有100种可能，所以所有的取法有种， 要使得抽到的20个小球的号码互不相同，第一次取球有100种取法，第二次取球有99种取法， 第三次取球有98种取法，一次类推，第20次取球有81种取法， 所以抽到的20个小球的号码互不相同的取法有种， 则， 因为， ，所以， 则， 要证，即证，即， 即证，也即证， 由（2）知：当时，，在上单调递增， 所以，即，所以，即， 令 所以，即， 故得证. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义，求得切线方程，再由，设曲线的切点为，结合，列出方程，求得的值，求得曲线的切线方程也为，即可得证； （2）令，求得，得到在上单调递增，结合，即可得证； （3）根据题意，得到所有的取法有种，以及抽到的20个小球的号码互不相同的取法有种，得到，结合不等式的放缩法，求得，转化为证明，结合在上单调递增，得到，令 ，即可证得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $