精品解析：上海市虹口区校级联考2025-2026学年第二学期阶段练习 九年级数学

2025学年第二学期阶段练习 九年级数学 2026.5 （满分150分，时间：100分钟） 考生注意： 1．本试卷共25题． 2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 3．除第一、第二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解答的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号选项上用2B铅笔正确填涂】 1. 计算（2a）3的结果是（ ） A. 6a B. 8a C. 2a3 D. 8a3 2. 下列是四款比较常用的工具的图标，其中是中心对称图形的是（ ） A. 千问 B. ChatGPT C. Deepseek D. 元宝 3. 判断关于x的方程根的情况（ ） A. 有两个不相等的实根 B. 有两个相等的实根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 4. 对于数据：1、1、1、2、3、4、5、6、6、50，能较好反映这组数据平均水平的是（ ） A. 这组数据的平均数 B. 这组数据的中位数 C. 这组数据的众数 D. 这组数据的方差 5. 在矩形中，，，与直线相切．如果与相交，且点B在内，那么的半径长r可以是（ ） A. 6 B. 10 C. 14 D. 18 6. 如图，在锐角中，以点B为圆心长度为半径作弧，交边于点D，交边于点E，联结．如果要求出的度数，只需知道下列哪个角的度数（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7. 计算：__________． 8. 分解因式：__________． 9. 方程的解是__________． 10. 函数的定义域是__________． 11. 把函数的图象向下平移3个单位长度，得到的函数图象的解析式为________． 12. 某公司举行抽奖活动，不同颜色的球可以得到对应不同的奖品．小郭前两次已经摸出1个蓝球和1个黑球，此时抽奖箱中还有3个蓝球，1个黑球和1个白球，它们除了颜色外都相同．小郭随机摸一个球，恰好摸出尚未取得颜色的球的概率是__________． 13. 某校在科技节主题讲座的筹备过程中，随机抽样了100位学生关于元宇宙、脑机接口和人形机器人三种主题的兴趣偏好，有10位同学表示都没有兴趣，在剩余作出选择的90位同学中，调查情况如图所示，那么全校1500名学生中，对于脑机接口有兴趣的人数约有__________人． 14. 图1是公园里的一个秋千，如图2，从侧面看，线段表示绳索的静止状态，测得此时点B到地面的距离是20厘米，小李同学坐上秋千后，将点B向后拉起到点C，此时测得，点C到地面的距离是50厘米．已知绳索长度保持不变（即），那么绳索的长度约是__________厘米．（参考数据：，，） 15. 如图，已知中，中线相交于点G，设，，那么用向量、表示向量__________． 16. 如图，正六边形位于正方形内，它们的中心重合于点，且．已知正方形的边长为，正六边形的边长为，那么点到边的距离为__________． 17. 如图，在正方形网格上建立直角坐标系，x轴、y轴都在网格线上，其中1格代表1个单位长度．反比例函数的图象被撕掉了一部分，已知点，在格点上，则_____． 18. 我们规定，如果一个圆与一个四边形的各边都有两个公共点，且各边截取的弦长都相等，那么这个圆叫做这个四边形的“等截圆”．如果一个上底为、腰长为的等腰梯形存在各边截得弦长均为的“等截圆”，那么该“等截圆”的半径长是__________． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】 19. 计算：． 20. 解方程：． 21. 某公司生产一种产品，当年产量至少为20吨，但不超过100吨时，其每吨的售价y（万元）与年产量x（吨）的函数关系如图所示． （1）求y关于x的函数解析式；（不用写定义域） （2）当这种产品的总售价为2400万元时，求该产品的年产量．（注：总售价每吨售价年产量） 22. 如图1，将一张正方形纸片对折，使与重合，展开后，得到折痕平分了正方形的边．如图2，将边翻折到与重合，得到折痕，点P、Q就分别是边的一个四等分点．那么是否可以利用折纸得到正方形边上的三等分点、五等分点呢？ （1）同学们组成探究小组，对这个问题进行探索，得到了一些方案． ①“爱探”小组得到的方案是：如图3，将边沿过点A的直线l折叠，使得点B的对应点落在折痕上，把折痕与边的交点标记为M，点M就是边（）的一个三等分点．请你验证这个方案的正确性； ②“爱究”小组得到的方案是：如图4，将正方形纸片沿翻折，得到折痕，再将边沿过点A的直线m折叠，使得边的对应边落在上，那么这条直线m与边的交点N就是一个边的三等分点．请你验证这个方案的正确性； （2）请你设计一种方案，不借助其他工具，仅利用折叠正方形纸片得到折痕，确定正方形边的一个五等分点，画出示意图并简述折叠过程，说明理由．（可模仿（1）中方案叙述的语言） 23. 如图，已知在四边形中，，，点E是对角线上一点，连接、，． （1）求证：四边形是菱形； （2）延长交边于点F，当时，求证：． 24. 如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，且，连接． （1）用含c的代数式表示抛物线的对称轴； （2）设抛物线与x轴的另一个交点为点C，过点B作，与抛物线交于第四象限的点D，设点D的横坐标为m． ①求m与c的等量关系，并求出c的取值范围； ②在y轴负半轴上有一点E，连接、，如果射线与射线的交点Q在的垂直平分线上，，求点A的坐标． 25. 如图1，已知是半圆O的直径，点D为延长线上一点，点B为上一点，连接交半圆O于点E，点P为半径上一点，连接． （1）如果，求证：； （2）如图2，，，如果是以为腰的等腰三角形，求的值； （3）当时，如果，，平分，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期阶段练习 九年级数学 2026.5 （满分150分，时间：100分钟） 考生注意： 1．本试卷共25题． 2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 3．除第一、第二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解答的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号选项上用2B铅笔正确填涂】 1. 计算（2a）3的结果是（ ） A. 6a B. 8a C. 2a3 D. 8a3 【答案】D 【解析】 【分析】利用积的乘方以及幂的乘方法则进行计算即可求出答案． 【详解】解：（2a）3=8a3； 故选D． 考点：幂的乘方与积的乘方． 2. 下列是四款比较常用的工具的图标，其中是中心对称图形的是（ ） A. 千问 B. ChatGPT C. Deepseek D. 元宝 【答案】B 【解析】 【详解】解：A．该图形绕某个点旋转后不能与原图形重合，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．该图形绕某个点旋转后能与原图形重合，是中心对称图形，故本选项符合题意； C．该图形绕某个点旋转后不能与原图形重合，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．该图形绕某个点旋转后不能与原图形重合，不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 3. 判断关于x的方程根的情况（ ） A. 有两个不相等的实根 B. 有两个相等的实根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 【答案】A 【解析】 【分析】利用判断根的情况，方程有两个不相等的实数根，方程有两个相等的实数根，方程没有实数根，计算后判断其与0的大小关系即可． 【详解】解：∵ 对于一元二次方程 ，，，， ∴ ， ∵ 对任意实数，都有， ∴ ， ∴ 方程总有两个不相等的实数根． 4. 对于数据：1、1、1、2、3、4、5、6、6、50，能较好反映这组数据平均水平的是（ ） A. 这组数据的平均数 B. 这组数据的中位数 C. 这组数据的众数 D. 这组数据的方差 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查不同统计量的意义，该组数据存在极端值，需根据各统计量的特点判断能反映数据平均水平的量． 【详解】解：这组数据为1、1、1、2、3、4、5、6、6、50，存在极端大值50. ∵ 平均数受极端值影响较大，计算得平均数为，远大于大部分数据的值，不能反映平均水平；众数为，数值过小，远小于大部分数据的值，不能反映平均水平；方差反映数据的波动程度，不能反映数据的平均水平； ∴ A、C、D不符合要求， 这组数据共10个数，中位数为排序后第5、第6个数的平均数，计算得，中位数不受极端值影响，能较好反映这组数据的平均水平． 5. 在矩形中，，，与直线相切．如果与相交，且点B在内，那么的半径长r可以是（ ） A. 6 B. 10 C. 14 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】先根据切线性质得到的半径，再用勾股定理计算两圆圆心距，结合点B在内和两圆相交的条件得到r的取值范围，最终选出符合范围的选项． 【详解】解：∵ 四边形是矩形，，，与直线相切 ∴的半径， 由勾股定理得两圆圆心距 ∵ 点在内，半径为，点到圆心的距离为 ∴ ， 即 ∵ 与相交， ∴两圆相交满足 代入，得 解不等式得 结合 得的取值范围为 选项中只有符合该范围． 6. 如图，在锐角中，以点B为圆心长度为半径作弧，交边于点D，交边于点E，联结．如果要求出的度数，只需知道下列哪个角的度数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到,再根据圆内接四边形的性质得到，即可得到结论． 【详解】解：连接 ∵以点B为圆心长度为半径作弧，交边于点D，交边于点E，联结． ∴， ∴是等腰三角形， ∴ ∵， ∴ ∵ ∴， ∴ 故如果要求出的度数，则只需知道的度数． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7. 计算：__________． 【答案】## 【解析】 【详解】解：． 8. 分解因式：__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 9. 方程的解是__________． 【答案】 【解析】 【分析】将无理方程两边平方，转化为一元一次方程求解，再检验得到原方程的解． 【详解】解：方程， 两边同时平方，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为，得， 检验：当时，左边右边． 所以原方程的解为． 10. 函数的定义域是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列不等式求解即可得到函数的定义域． 【详解】解：要使有意义，二次根式的被开方数需满足非负要求，因此， 解一元一次不等式得． 11. 把函数的图象向下平移3个单位长度，得到的函数图象的解析式为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据“上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：直线向下平移3个单位所得的直线解析式为：． 故答案是：． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知一次函数平移的特点：“上加下减”是解答此题的关键． 12. 某公司举行抽奖活动，不同颜色的球可以得到对应不同的奖品．小郭前两次已经摸出1个蓝球和1个黑球，此时抽奖箱中还有3个蓝球，1个黑球和1个白球，它们除了颜色外都相同．小郭随机摸一个球，恰好摸出尚未取得颜色的球的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先确定抽奖箱内剩余球的总个数，再确定属于尚未取得颜色的球的个数，根据概率公式计算所求概率． 【详解】解：由题意得，抽奖箱中剩余球的总个数为， 小郭已取得蓝球和黑球，尚未取得的颜色为白色，符合条件的球的个数为， 根据概率公式可得所求概率为． 13. 某校在科技节主题讲座的筹备过程中，随机抽样了100位学生关于元宇宙、脑机接口和人形机器人三种主题的兴趣偏好，有10位同学表示都没有兴趣，在剩余作出选择的90位同学中，调查情况如图所示，那么全校1500名学生中，对于脑机接口有兴趣的人数约有__________人． 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意可得，对于脑机接口有兴趣的人数约有（人）． 14. 图1是公园里的一个秋千，如图2，从侧面看，线段表示绳索的静止状态，测得此时点B到地面的距离是20厘米，小李同学坐上秋千后，将点B向后拉起到点C，此时测得，点C到地面的距离是50厘米．已知绳索长度保持不变（即），那么绳索的长度约是__________厘米．（参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】先过点C作，再证明四边形是矩形，结合，得出，最后把数值代入计算，即可作答． 【详解】解：过点C作于点G，如图所示： 依题意，，，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 则， ∵， ∴， ∵，， ∴在中，， ∴， 解得， ∴． 15. 如图，已知中，中线相交于点G，设，，那么用向量、表示向量__________． 【答案】 【解析】 【分析】求出，根据重心的性质可得，，利用三角形法则求出，得到，进而可得结果． 【详解】解：∵，， ∴ ∵中线、交于点G， ∴，， ∴， ∵，即， ∴． ∴ 16. 如图，正六边形位于正方形内，它们的中心重合于点，且．已知正方形的边长为，正六边形的边长为，那么点到边的距离为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、正六边形的性质、等边三角形的性质与判定以及勾股定理．根据正六边形的性质可知为等边三角形，利用三线合一即可求得，在中，通过勾股定理求得即可求解． 【详解】解：如图，连接，，过点作于点，过点作于点，交于点， ，， ， 正六边形，， ，， 是等边三角形， ，交于点， ， ， ， 四边形是正方形，边长为，中心点是点， ， ， 点到边的距离为． 17. 如图，在正方形网格上建立直角坐标系，x轴、y轴都在网格线上，其中1格代表1个单位长度．反比例函数的图象被撕掉了一部分，已知点，在格点上，则_____． 【答案】4 【解析】 【分析】根据直角坐标系设点，则点，将两点代入反比例函数，可得出，进而求出，则可得出k的值． 【详解】解：根据直角坐标系设点，则点， 将点M，N代入反比例函数中，得或， ∴， ∴． ∴点， ∴． 18. 我们规定，如果一个圆与一个四边形的各边都有两个公共点，且各边截取的弦长都相等，那么这个圆叫做这个四边形的“等截圆”．如果一个上底为、腰长为的等腰梯形存在各边截得弦长均为的“等截圆”，那么该“等截圆”的半径长是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据“等截圆”定义，由弦长相等可得圆心到四边形各边的距离相等，结合等腰梯形的对称性，可知圆心在等腰梯形的对称轴上，利用全等三角形的判定求得，，根据可知，最后利用勾股定理即可求解． 【详解】解： 由“等截圆”定义，画出对应的等腰梯形和，并且作、、、，连接、，，过点，作于点,如图所示： 设该“等截圆”半径为，设为圆心到边的距离，各边截得弦长均为，则弦长的一半为，根据圆的弦长公式可得，， 圆心到等腰梯形四边的距离相等， ，，为半径，， 等腰梯形是轴对称图形， 圆心在等腰梯形的对称轴上； ，， ， 四边形为矩形， ， ， 在和中， ， ， 同理可得 ， ， 在中，， ， ， ， 在中，， ， 半径为. 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： 20. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题关键．先方程两边同乘以可得，再利用因式分解法解一元二次方程，然后进行检验即可得． 【详解】解：， 方程两边同乘以，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 因式分解，得， 所以或， 解得或， 经检验，不是分式方程的解；是分式方程的解， 所以方程的解为． 21. 某公司生产一种产品，当年产量至少为20吨，但不超过100吨时，其每吨的售价y（万元）与年产量x（吨）的函数关系如图所示． （1）求y关于x的函数解析式；（不用写定义域） （2）当这种产品的总售价为2400万元时，求该产品的年产量．（注：总售价每吨售价年产量） 【答案】（1） （2）吨 【解析】 【分析】（1）由待定系数法求解函数解析式即可； （2）根据题意可得，即可得到方程求解，再检验是否符合题意即可． 【小问1详解】 解：设y关于x的函数解析式为， 代入和，则， 解得， ∴y关于x的函数解析式为； 【小问2详解】 解：由题意得，， 整理得，， 解得，， 而由题意得，，故不符合题意，舍去， ∴该产品的年产量为吨． 22. 如图1，将一张正方形纸片对折，使与重合，展开后，得到折痕平分了正方形的边．如图2，将边翻折到与重合，得到折痕，点P、Q就分别是边的一个四等分点．那么是否可以利用折纸得到正方形边上的三等分点、五等分点呢？ （1）同学们组成探究小组，对这个问题进行探索，得到了一些方案． ①“爱探”小组得到的方案是：如图3，将边沿过点A的直线l折叠，使得点B的对应点落在折痕上，把折痕与边的交点标记为M，点M就是边（）的一个三等分点．请你验证这个方案的正确性； ②“爱究”小组得到的方案是：如图4，将正方形纸片沿翻折，得到折痕，再将边沿过点A的直线m折叠，使得边的对应边落在上，那么这条直线m与边的交点N就是一个边的三等分点．请你验证这个方案的正确性； （2）请你设计一种方案，不借助其他工具，仅利用折叠正方形纸片得到折痕，确定正方形边的一个五等分点，画出示意图并简述折叠过程，说明理由．（可模仿（1）中方案叙述的语言） 【答案】（1）①∵四边形是正方形， ∴， ∵折叠， ∴，，， ∴， 设，则，，， ∵，即， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴点M就是边（）的一个三等分点； ②根据题意，， ∴， ∵折叠，边的对应边落在上， ∴， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴点N就是一个边的三等分点； （2）如图所示，设正方形的边长为，则， 正方形，将边折叠，与边重合，得到线段的中点E，将边折叠，与边重合，得到线段的中点F，连接， 将边沿直线折叠得到对应点，将边沿直线折叠得到对应点，折痕交于点， ∴，是线段的垂直平分线，， ∴， ∴， ∵， ∴，则， 将边折叠，使得边与过点垂直于的线段重合，折痕为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， ∴， ∴点K即为线段的五等分点， ∴， 将边折叠与折痕重合，得到折痕，不展开，再将边折叠与折痕重合，得到折痕，展开，即可得到线段的五等分点，即是线段五等分点． 【解析】 【分析】（1）①根据正方形、折叠的性质得到，设，则，，，证明得到，由此即可求解； ②由勾股定理得到，证明得到，则，由此即可求解； （2）根据折叠得到线段的中点，连接，得到交点O，将边折叠，使得边与过点垂直于的线段重合，折痕为，将边折叠与折痕重合，得到折痕，不展开，再边折叠与折痕重合，得到折痕，展开，即可得到线段的五等分点，即是线段五等分点，运用折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定得到，由此即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 如图，已知在四边形中，，，点E是对角线上一点，连接、，． （1）求证：四边形是菱形； （2）延长交边于点F，当时，求证：． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 连接、交于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴四边形是菱形； （2）证明：如图， ∵菱形中，对角线交点是中点，， ∴，，，， ∵， ∴， 整理得， ∵， ∴， ∴， 即． 【解析】 【分析】（1）根据平行线的判定和性质证明四边形是平行四边形，连接、交于点，证明，得到，可知，即可证明四边形是菱形； （2）根据菱形的性质得到，，，可知，求出，得到，即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，且，连接． （1）用含c的代数式表示抛物线的对称轴； （2）设抛物线与x轴的另一个交点为点C，过点B作，与抛物线交于第四象限的点D，设点D的横坐标为m． ①求m与c的等量关系，并求出c的取值范围； ②在y轴负半轴上有一点E，连接、，如果射线与射线的交点Q在的垂直平分线上，，求点A的坐标． 【答案】（1） （2）①，，② 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，一次函数，解一元二次方程等知识． （1）先求出点坐标，即可确定点坐标，问题随之得解； （2）设与x轴交于点N，证明是等腰直角三角形，再证明是等腰直角三角形，即可确定点坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，①联立直线的解析式和抛物线解析式，求出点坐标，根据点D在第四象限，列出不等式组，问题得解；②根据线段的数量关系确定点坐标，即可得的垂直平分线的解析式，令，求出点坐标，同理根据待定系数法可得：直线、直线的解析式，联立求出其交点坐标，根据射线与射线的交点Q在的垂直平分线上，则交点的纵坐标与的垂直平分线的解析式相等，即可得出关于的一元二次方程，即可求出解． 【小问1详解】 解：当时，，即：， ∵点B在y轴的正半轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点A在x轴的负半轴， ∴， 将代入， 即：，即：， ∴， ∴抛物线的对称轴为：； 【小问2详解】 如图，设与x轴交于点N， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， 又∵， 设直线的解析式为：， 即：，， ∴， ∴直线的解析式为：， ①联立， 解得：，或者， ∴， ∵点D在第四象限， ∴，且， 解得：， ∵点D的横坐标为m， ∴； ②如图， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴的垂直平分线解析式为：， 令， 整理：， 解得：，， ∴， 同理根据待定系数法可得：直线的解析式为：，直线的解析式为：， 联立：， 解得：， ∵射线与射线的交点Q在的垂直平分线上， ∴， 整理：， 解得：（，不满足，舍去）， ∵， ∴． 25. 如图1，已知是半圆O的直径，点D为延长线上一点，点B为上一点，连接交半圆O于点E，点P为半径上一点，连接． （1）如果，求证：； （2）如图2，，，如果是以为腰的等腰三角形，求的值； （3）当时，如果，，平分，求的长． 【答案】（1）连接、，如图， 根据圆的半径相等可知：， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴点B、E、O、P四点共圆， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴ （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）通过已知的线段之间的关系证明，，据此证明点B、E、O、P四点共圆，再利用三角形内角和为以及平角为，证明，问题随之得证； （2）连接，过点E作于点M，设，，即，，设圆的半径为r，即，，根据四边形内接于圆O，证明，进而证明，由此可根据线段之间的比例用k、r表示出，进而可以表示出，再在也表示出，两个式子相等，即可求出k、r之间的数量关系；根据是以为腰的等腰三角形，分类讨论：当时，过点B作于点G，再根据平行线分线段成比例，可以用k表示、、，即可求解；当时，直接利用已经证明的，表示出，即有，则，问题得解； （3）连接，根据已知的余弦值表示出、之间的关系，设，，进而可表示出、、、，结合四边形内接于圆O，证明，进而证明，可得、之间的关系式，再在中，又可得到一个、之间的关系式，进而可用t表示出，则可表示出，再根据平行线分线段成比例，可以用t示，再证明，即可求出t值，问题随之得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，如图， ∵， ∴设，，即，， 设圆的半径为r，即，， ∵， ∴， ∴，， ∵四边形内接于圆O， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 解得： （负值舍去）， ∴，即， ∵， ∴，即是直角三角形， ∴，即， ∴，解得：，， 即， 根据是以为腰的等腰三角形，分情况讨论： 当时时，过点E作于点M，如图， ∵是以为腰的等腰三角形，， ∴， ∵， ∴ ， ∴，即， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴； 当时， ∵， ∴，即， 解得：， ∴， ∴， ∴， 综上：的值为或； 【小问3详解】 连接，过点B作于点G，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，， ∴ ，， ， ∴ ， ∵， ∴ ， ∵四边形内接于圆O， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴在中，， 即， ∴， 解得， 即， ∵， ∴，即， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ， ∵平分， ∴ ， 又∵， ∴ ， 又∵ ， ∴， ∴，即 ， ∵， ， ∴ ， ∴， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆内接四边形对角互补，余弦等知识，此题始终围绕构造相似三角形来作答． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $