精品解析：河南省光山县第二高级中学2025-2026学年高二下学期5月份学情检测数学试题

高二年级下期5月份学情检测试卷 数学试题 （分值：150分 时间：120分钟） 一、选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1. 已知向量，且与垂直，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题可知：，则， 又与垂直， 则，得. 2. 下列求导运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的计算逐一判断即可. 【详解】，，，， 故选：C 3. 甲、乙两人独立破译一份密码，已知两人能破译的概率分别是，，则恰有一人成功破译的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据独立事件的概率乘法公式即可求解. 【详解】恰有一人成功破译的概率为. 故选：D. 4. 设是定义在上的可导函数，则是为函数的极值点的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据极值点定义或举例判断和为函数的极值点之间的逻辑关系，即可得答案. 【详解】根据函数极值点的定义可知为函数的极值点，必有； 反之，当时，不一定为函数的极值点， 比如，，满足，但在R上单调递增， 即不是函数的极值点， 故是为函数的极值点的必要不充分条件， 故选：B 5. 在一次数学适应性考试中，高三年级某班的数学成绩服从正态分布，且，则的值为（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 【答案】A 【解析】 【分析】根据正态分布曲线的对称性，结合题设条件，即可求解. 【详解】因为服从正态分布，且， 则， 则. 故选：A 6. 抛物线（）的准线被圆所截得的弦长为4，则（ ） A. 8 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【详解】抛物线的准线方程为， 圆的圆心为，半径为，圆心到直线的距离， 所以直线被圆所截得的弦长为，解得． 7. 将三枚骰子各掷一次，设事件为“三个点数都不相同”，事件为“至少出现一个6点”，则概率的值为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】考点：条件概率与独立事件． 分析：本题要求条件概率，根据要求的结果等于P（AB）÷P（B），需要先求出AB同时发生的概率，除以B发生的概率，根据等可能事件的概率公式做出要用的概率．代入算式得到结果． 解：∵P（A|B）=P（AB）÷P（B）， P（AB）== P（B）=1-P（）=1-=1-= ∴P（A/B）=P（AB）÷P（B）== 故选A． 8. 若函数的最小值为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数单调性结合零点存在定理得出，再根据导数得出函数单调性得出，最后结合指对数运算得出参数值. 【详解】因为函数，所以，在上单调递增， 又因为，，所以，， 所以单调递减，单调递增， 所以，所以， 又因为在上单调递减，所以，所以， 则. 二、多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9. 下列说法中正确的是(多选)（ ） A. 回归直线恒过样本点的中心． B. 两个变量线性相关性越强，则相关系数就越接近1． C. 在线性回归方程中，当变量每增加一个单位时，平均减少0.5个单位． D. 某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的方差不变． 【答案】ABC 【解析】 【详解】对于A，回归直线恒过样本点的中心，正确； 对于B，两个变量线性相关性越强，则相关系数就越接近，正确； 对于C，根据回归系数的含义，线性回归方程，当变量每增加一个单位时，平均减少个单位，正确； 对于D，根据平均数的计算公式得，由方差公式可得： ，故错误 10. 安排语、数、英、物4位老师进班答疑，每位老师可选择周一至周五的某一天答疑，每人只安排一天，每天可以有多位老师答疑，则下列说法正确的是（ ） A. 不同的安排方法共有种 B. 若恰有2位老师安排在同一天答疑，则不同的安排方法共有360种 C. 若4位老师的答疑日期都不相同，且数学和物理老师答疑的日期不相邻，则不同的安排方法共有36种 D. 若4位老师的答疑日期都不相同，因为数学是物理的基础，所以数学答疑必须排在物理答疑之前（可不相邻），则不同的安排方法共有60种 【答案】BD 【解析】 【详解】对于A，不同的安排方法共有种，A错误； 对于B，恰有2位老师安排在同一天答疑，则不同的安排方法共有种，B正确； 对于C，4位老师的答疑日期都不相同的总排法种， 数学和物理老师答疑的日期相邻的排法有， 所以数学和物理老师答疑的日期不相邻的排法有种，C错误； 对于D，4位老师的答疑日期都不相同，且数学答疑必须排在物理答疑之前共有种安排方法，D正确； 11. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（ ） A. 离心率的取值范围为 B. 当离心率为时，的最大值为3 C. 存在点，使得 D. 当离心率不小于时，的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由点在椭圆内部求得的范围，结合离心率的意义求解判断AB；由椭圆半焦距与的大小判断C；利用椭圆定义及均值不等式求出最小值判断D. 【详解】由椭圆的长轴长为4，得，由点在内部，得，又，则， 对于A，由，得，则离心率，A正确； 对于B，由，得椭圆的半焦距，由， 得，因此的最大值为，B正确； 对于C，由，得，而，则， 以原点为圆心，为半径的圆在椭圆内，因此不存在使得，C错误； 对于D，由椭圆的离心率不小于，得，则， 于是，， 因此 ，当且仅当时取等号，符合题意，D正确. 三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则______. 【答案】 【解析】 【详解】由双曲线方程知其渐近线方程为：， 一条渐近线方程为，，即. 13. 等比数列的前项之积为，若，则___________． 【答案】18 【解析】 【详解】由等比中项的性质可得， 所以 ． 14. 有个编号分别为1，2，…，的盒子，第1个盒子中有3个白球1个黑球，其余盒子中均为1个白球1个黑球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，从第个盒子中取到黑球的概率是_________________． 【答案】 【解析】 【分析】记事件表示从第，2，，个盒子里取出白球，即可得到，然后构造等比数列，求通项公式，然后根据对立事件的概率关系求解． 【详解】解：记事件表示从第，2，，个盒子里取出白球，则，， 所以， ， 进而可得，， 所以， 又，，， 所以是首项为，公比为的等比数列， 所以，即， 故从第个盒子中取到黑球的概率是为：． 故答案为：． 四、解答题（共5小题，满分77分） 15. 已知数列满足点在直线上，且. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的定义进行求解即可； （2）利用错位相减法进行求解即可. 【小问1详解】 由题意得， 因为，所以， 所以是首项为3，公比为3的等比数列， 所以的通项公式是. 【小问2详解】 由（1）知，， 则，， 两式相减，得， 所以. 16. 在人工智能时代，教育部门积极推动AI与传统教学模式的“深度融合”，实现教学模式的变革．某校从全体学生中随机抽取50名学生对融合式教学模式实施的满意度进行评分，整理得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中a的值； （2）在样本中，从评分大于80分的学生中随机抽取2人，用X表示其评分在范围的人数，求X的分布列及均值； （3）假设用频率估计概率，从全校学生中随机抽取2人，用Y表示其评分在范围的人数，求Y的分布列及方差． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图中所有小矩形面积之和为 1列方程求解； （2）确定评分大于 80 分的学生总数及在 范围内的人数，利用超几何分布概率公式计算各取值概率，进而求均值； （3）由频率估计概率确定单次抽取符合条件的概率，利用二项分布公式计算概率及方差. 【小问1详解】 由得； 【小问2详解】 评分在范围的学生共有人， 评分在范围的学生共有人， 所以评分大于80分的学生共有人， X的可能取值为， ，，， 所以X的分布列为 ; 【小问3详解】 抽到评分在范围的概率为， 所以， 的可能取值为， 所以的分布列为 . 17. 如图，在三棱锥中，，，O为的中点，平面，. （1）求证：； （2）若M为棱的中点，求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，进而结合题意，建立空间直角坐标系，利用向量法证明即可； （2）结合（1）的坐标系，利用向量法求解二面角的余弦值即可. 【小问1详解】 连接，∵在中，且为的中点， ∴， 又∵平面， 故以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 又，， 故，，，，， ∵，， ∴，即， ∴； 【小问2详解】 平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， ∵，∴，， ∴，即，令，则，， ∴， ∴， 又∵二面角为锐二面角， ∴二面角的余弦值为. 18. 设抛物线：（）的焦点为，是上一点且，过抛物线的焦点作直线，且直线与抛物线相交于，两点． （1）求抛物线的方程； （2）当最小时，求直线的方程； （3）设为原点，直线分别交直线，于点和．求证：以为直径的圆经过轴上的两个定点． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的定义可得2，代入可得抛物线方程； （2）设直线的方程为，联立方程，通过韦达定理得到两根关系，利用抛物线焦半径性质，结合的结论，将目标式转化为单变量函数，利用基本不等式求最小值，得到等号成立条件后反推直线参数，最终得到直线方程； （3）先求出点的坐标，设以为直径的圆经过轴上的两个定点，，根据写出圆的方程，运用韦达定理和椭圆方程化简可求得、的坐标，即可证明圆恒过这两个定点. 【小问1详解】 由抛物线的定义可得，解得2. 所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 由（1）可知抛物线的焦点， 设直线的方程为，，. 联立直线与抛物线的方程， 可得. 所以，. 根据抛物线的定义，，， 又因为，所以. . 根据基本不等式可得， 当且仅当时等号成立. 所以，当且仅当且时等号成立. 联立，解得或 当，时，； 当，时，. 所以直线的方程为，即. 【小问3详解】 已知，，则直线的方程为，直线的方程为. 令，可得，. 根据圆的性质，若点在以为直径的圆上，则. 所以. 又因为，所以， 代入上式可得. 由（2）可知，代入上式可得，即， 解得或. 所以以为直径的圆经过轴上的两个定点和. 19. 已知函数. （1）若，求的图象在点处的切线方程. （2）设函数. （i）讨论的零点个数； （ii）若的较大零点为，证明：. 【答案】（1） （2）（i）当或时，有两个零点，当时，有一个零点； （ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）当时，先求与，利用点斜式写出切线方程； （2）（i）求并因式分解，分、、三种情况讨论单调性与零点个数； （ii）利用在上的单调性，构造函数，通过导数判断单调性证明不等式. 【小问1详解】 当时，， 则 ， 又因为， 所以的图象在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 （i）由题可知与的定义域均为，故. . 令，可得或. 若，则当时，单调递增，当时， 单调递减，当时，单调递增， ，又时，， 所以存在，使得，此时共有两个零点； 若，则单调递增，此时，有一个零点； 若，则当时，单调递增，当时， 单调递减，当时，单调递增， ，又时，， 所以存在，使得，此时共有两个零点. 综上，当或时，有两个零点，当时，有一个零点. （ii）由，可知. 由在上单调递增，可知即证. 令， 即证，也即证 . 令 ，则 ， 故在上单调递减. 又，所以，得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级下期5月份学情检测试卷 数学试题 （分值：150分 时间：120分钟） 一、选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1. 已知向量，且与垂直，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 下列求导运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 甲、乙两人独立破译一份密码，已知两人能破译的概率分别是，，则恰有一人成功破译的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 设是定义在上的可导函数，则是为函数的极值点的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 在一次数学适应性考试中，高三年级某班的数学成绩服从正态分布，且，则的值为（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 6. 抛物线（）的准线被圆所截得的弦长为4，则（ ） A. 8 B. C. 4 D. 7. 将三枚骰子各掷一次，设事件为“三个点数都不相同”，事件为“至少出现一个6点”，则概率的值为 A. B. C. D. 8. 若函数的最小值为，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9. 下列说法中正确的是(多选)（ ） A. 回归直线恒过样本点的中心． B. 两个变量线性相关性越强，则相关系数就越接近1． C. 在线性回归方程中，当变量每增加一个单位时，平均减少0.5个单位． D. 某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的方差不变． 10. 安排语、数、英、物4位老师进班答疑，每位老师可选择周一至周五的某一天答疑，每人只安排一天，每天可以有多位老师答疑，则下列说法正确的是（ ） A. 不同的安排方法共有种 B. 若恰有2位老师安排在同一天答疑，则不同的安排方法共有360种 C. 若4位老师的答疑日期都不相同，且数学和物理老师答疑的日期不相邻，则不同的安排方法共有36种 D. 若4位老师的答疑日期都不相同，因为数学是物理的基础，所以数学答疑必须排在物理答疑之前（可不相邻），则不同的安排方法共有60种 11. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（ ） A. 离心率的取值范围为 B. 当离心率为时，的最大值为3 C. 存在点，使得 D. 当离心率不小于时，的最小值为 三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则______. 13. 等比数列的前项之积为，若，则___________． 14. 有个编号分别为1，2，…，的盒子，第1个盒子中有3个白球1个黑球，其余盒子中均为1个白球1个黑球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，从第个盒子中取到黑球的概率是_________________． 四、解答题（共5小题，满分77分） 15. 已知数列满足点在直线上，且. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 16. 在人工智能时代，教育部门积极推动AI与传统教学模式的“深度融合”，实现教学模式的变革．某校从全体学生中随机抽取50名学生对融合式教学模式实施的满意度进行评分，整理得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中a的值； （2）在样本中，从评分大于80分的学生中随机抽取2人，用X表示其评分在范围的人数，求X的分布列及均值； （3）假设用频率估计概率，从全校学生中随机抽取2人，用Y表示其评分在范围的人数，求Y的分布列及方差． 17. 如图，在三棱锥中，，，O为的中点，平面，. （1）求证：； （2）若M为棱的中点，求二面角的余弦值. 18. 设抛物线：（）的焦点为，是上一点且，过抛物线的焦点作直线，且直线与抛物线相交于，两点． （1）求抛物线的方程； （2）当最小时，求直线的方程； （3）设为原点，直线分别交直线，于点和．求证：以为直径的圆经过轴上的两个定点． 19. 已知函数. （1）若，求的图象在点处的切线方程. （2）设函数. （i）讨论的零点个数； （ii）若的较大零点为，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $