第5章特殊平行四边形 同步单元自主达标测试题 2025-2026学年浙教版八年级数学下册

**基本信息** 浙教版八年级数学下册《特殊平行四边形》单元卷，通过选择、填空、解答题（25题，120分）覆盖矩形、菱形、正方形性质与判定，以图形变换（折叠、旋转）和动态问题为载体，适配单元复习，提升几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/24|矩形性质、菱形判定、正方形旋转|结合图形辨析（如矩形对角线性质判断），基础巩固| |填空题|8/24|菱形面积、矩形折叠、正方形动态问题|设置动点最值（如正方形中PE+PB最小值），能力提升| |解答题|9/72|菱形尺规作图、正方形旋转证明、动态探究|综合几何推理（如菱形与等边三角形结合证明），创新应用|

2025-2026学年浙教版八年级数学下册《第5章特殊平行四边形》 同步单元自主达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．下列说法正确的是（    ） A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．有一组邻边相等的矩形是正方形 D．有一个角是直角的四边形是矩形 2．如图，矩形的对角线，相交于点O．下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，四边形为菱形，对角线，相交于点，于点，连接，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．四边形具有不稳定性，如图，当变动的度数时，菱形的形状会发生改变．如图1，当时，；如图2，当时，的长为（   ） A． B．2 C． D．3 5．如图，菱形的对角线，点E、F分别是边、的中点，连接并延长与的延长线相交于点，则（    ） A．10 B．12 C．13 D．15 6．如图，在矩形中，，．E是边上一点，将沿所在直线折叠，使得点A恰好落在边上点F处，则的长是（   ） A．4 B．5 C． D． 7．如图，E是正方形中边上任意一点，以点A为中心，把逆时针旋转得到，点B，E的对应点分别为D，F，的延长线与相交于点G，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在正方形中，是上一点，是上一动点，则的最小值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 二、填空题（满分24分） 9．矩形的对角线相交于点，为等边三角形，，则矩形另一边长为________． 10．菱形的两条对角线长分别为6和9，则该菱形的面积为________． 11．如图，梯形中，，，，则的长为__________． 12．如图，点E在正方形的边的延长线上，，相交于点F，连接．设，则______（用含的代数式表示）． 13．如图，在中，，，为边上的一个动点，过点作于点，于点，则长的最小值为________． 14．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，，，则的值为_____． 15．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点在轴上，顶点在轴上，且，则正方形ABCD的面积是____ 16．如图，在正方形中，为上一点（不与点B、C重合），连接，为延长线上一点，，连接，，过点作于点，连接．给出下面四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是_______． 三、解答题（满分72分） 17．（6分）如图，矩形，是对角线． (1)尺规作图：作菱形，使顶点E、F分别在矩形的边上；（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，，求菱形边长． 18．（6分）如图，在菱形中，，点、分别在、上，连接、、、、是等边三角形．试判断与的数量关系，并说明理由． 19．（7分）如图，在中，、分别为、的中点，，垂足为，点在的延长线上，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求和的长． 20．（7分）如图，，是上一点，平分且过的中点，交于点，，交于点． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，求四边形的面积． 21．（7分）如图，在矩形中，延长AO到点D，使，延长到点E，使，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求四边形的面积． 22．（7分）如图，菱形的对角线相交于点，过点作且，连接，连接交于点． (1)求证：； (2)若菱形的边长为2，，求的长 23．（10分）如图，中，，将沿的方向平移得到，连接． (1)当点D移至什么位置时，四边形是菱形，并加以证明． (2)在（1）的条件下，如果，，求四边形的面积； (3)在（1）的条件下，四边形能否为正方形？若能，请说明理由；若不能，请给添加一个条件，使四边形为正方形，并写出推理过程． 24．（10分）如图①，在正方形中，点P为对角线上一点，连接，． (1)求证：； (2)如图②，过P点作，交射线于点E．求证：； (3)若过P点作，交射线于点E，已知，，则_______． 25．（12分）完成下列题目 (1)如图1，将的顶点放在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，旋转过程中的两边分别与正方形的边和交于点和点（点与点，不重合），探究，和之间的数量关系； (2)如图2，将图1中的正方形改为的菱形，当时，（1）中的结论是否仍成立，请说明理由； (3)在（2）的条件下，当旋转至如图3的位置时，交的延长线于点，交于点，请直接写出此时，，之间满足的数量关系． 参考答案 1．解：∵对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形，仅对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，∴A选项错误； ∵对角线相等的平行四边形是矩形，仅对角线相等的四边形不一定是矩形，∴B选项错误； ∵矩形的四个内角均为直角，若矩形有一组邻边相等，则满足正方形的判定要求，∴有一组邻边相等的矩形是正方形，C选项正确； ∵有三个角是直角的四边形是矩形，仅有一个角是直角的四边形不一定是矩形，∴D选项错误； 综上，选C． 2．解：∵矩形的对角线，相交于点O ∴，，，故A，B，D正确； 根据题意无法证明，故C错误． 3．解： 四边形 是菱形 平分 ∵在中，为中点 ∵在中， 4．解：如图1所示，∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴； 如图2所示，当，则． 5．解：如图，连接，交于点O， ∵、分别是、中点， ∴，且． 又∵菱形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴，． ∴． 6．B 【分析】由矩形和折叠的性质，以及勾股定理可求出，则可求出，设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可得，， 在中，由勾股定理得， ∴； 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 7．C 【分析】根据正方形的性质及旋转的性质可排除选项． 【详解】解：由旋转的性质可知：， ∴，，，故A错误； ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴，即，故C正确； 由题干可知点E是正方形中边上任意一点，所以不一定有，，故B、D错误． 8．A 【分析】由正方形性质可知两点关于对称，则，根据两点之间线段最短可知，连接，其与的交点为，此时的值最小． 【详解】解：连接，交于点，连接， 由题意，、两点关于对称，故， ，此时的值最小，最小值为的长； ，， ，， ∴，即则的最小值是5． 9． 【分析】由四边形是矩形，得，，又为等边三角形，所以，最后通过勾股定理即可求解． 【详解】解：如图， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形另一边长为． 10．27 【分析】菱形的面积为两条对角线乘积的一半，代入数值计算即可得到结果． 【详解】解：该菱形的面积为． 11．3 【分析】过点D作于点E，可得四边形为矩形，从而得到，，在中，利用勾股定理解答即可． 【详解】解：如图，过点D作于点E， 根据题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴． 12．/ 【分析】利用正方形的性质证明，得出，再结合直角三角形两锐角互余及三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：四边形是正方形， ，，． 在和中， ， ． ． 在中，，， ． ． 点在的延长线上， ． 在中， ． 13． 【分析】连接，利用勾股定理列式求出，判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可． 【详解】解：根据勾股定理，可得， 根据过点作于点，于点， 可得， 又， 四边形是矩形， 如图连接，根据矩形的对角线相等可得， 根据垂线段最短可得时，线段的值最小， 有， ， 长的最小值为． 14．6 【分析】设交于点，根据矩形的性质证明，证明四边形是菱形，再得到是等边三角形，即可得到答案． 【详解】解：设交于点， 矩形， ， ， ， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， ． 15．20 【分析】过点D作y轴的垂线，垂足为，证明，得到的长度，再运用勾股定理，得到正方形的边长，最后得出正方形的面积． 【详解】解：过点D作y轴的垂线，垂足为点E；从点D坐标，可知E点坐标，； 四边形是正方形， ， 与互余， ， 与互余， ， ， ，， ， ． 16．①②④ 【分析】根据正方形的性质证明，即可判断①②，根据等腰直角三角形的性质即可判断③④，进而可得答案. 【详解】解：四边形为正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， 结论①正确； ， ， ， 又， 是等腰直角三角形， 结论②正确； 在等腰中，， ， ， ， ， ∴结论③错误， ， 是的中点， ， ， 结论④正确； 综上，正确结论的序号是①②④． 17．(1)见解析 (2)菱形边长为． 【分析】（1）作对角线的垂直平分线，交矩形的边于点E、F，连接、，则四边形是菱形； （2）在中，由勾股定理列式计算即可求解． 【详解】（1）解：如图，四边形是求作的菱形； ； ∵矩形，是的垂直平分线， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵矩形， ∴， 四边形是菱形， ， 设菱形的边长为， 在中，由勾股定理，得， 解得，． ∴菱形边长为． 18．，理由见解析 【分析】由菱形的性质得，，推出和都是等边三角形，再证，即可得出结论． 【详解】解：，理由如下， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴和都是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 19．(1)见解析 (2)， 【分析】（1）由三角形的中位线定理，可得，结合已知可得四边形是平行四边形，结合，即可证得结论； （2）由直角三角形的两个锐角互余，结合等角对等边，可得，由矩形的性质，可得，由勾股定理可得，即可得的长． 【详解】（1）证明：∵、分别是、的中点， ∴，， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 20．(1)菱形；理由见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明，即可得出结论． （2）由菱形的性质得出，证明四边形是平行四边形，得出，，由菱形的性质得出，得出，由勾股定理得，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵点O是的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴． ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形． （2）解：由（1）得四边形是菱形， ∴，， 又， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴． 21．(1)详见解析 (2)120 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再结合矩形的性质得，故四边形是菱形； （2）先运用勾股定理算出，再根据菱形的性质求出面积，即可作答． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ∴， ， 四边形是菱形； （2）解：， ， ，， ， ， 四边形的面积． 22．(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据菱形性质得出，证明四边形是平行四边形．根据，证明平行四边形是矩形，再根据矩形的性质即可证明结论； （2）先证明为等边三角形，得出，根据勾股定理得出，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵为菱形， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形． ∴． （2）解：∵在菱形中，，， 为等边三角形， ， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∴在中，由勾股定理得． 23．(1)当D移至的中点时，四边形是菱形．证明见解析 (2)30 (3)不能为正方形，添加条件：时，四边形为正方形．推理见解析 【分析】（1）当D移至的中点时，四边形是菱形；由平移的性质可得且，，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”推知，再证明四边形是平行四边形，结合即可证明； （2）由勾股定理可得，由平移的性质可得，再根据菱形的性质求面积即可； （3）不能为正方形，添加条件：时，四边形为正方形．根据有一内角为直角的菱形是正方形来添加条件即可解答． 【详解】（1）解：如图：当D移至的中点时，四边形是菱形．证明如下： ∵将沿的方向平移得到，连接． ∴且，， 在中，，D是中点， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是菱形． （2）解：∵在中，，，， ∴， ∵将沿的方向平移得到，连接． ∴， ∵平行四边形是菱形， ∴四边形的面积为． （3）解：如图：四边形不能为正方形，添加条件：时，四边形为正方形．推理如下： ∵，D是中点， ，即， ∵四边形为菱形， ∴四边形是正方形． 24．(1)见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）证明，即可； （2）过点P作于点M，作于点N，证明，即可； （3）分点在线段的延长线上和点在线段上，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）证明：∵正方形，为对角线， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：过点P作于点M，作于点N，如图② 则四边形为矩形， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）解：①当点在线段的延长线上时，如图②： 由（2）可知：四边形为正方形，，为等腰直角三角形， ∴，， ∴，即 ∵，， ∴， ∴， ∴； 当点在线段上时，如图， 同理可知：四边形为正方形，，为等腰直角三角形， ∴，， ∴，即 ∵，， ∴， ∴， ∴； 综上：或． 25．(1) (2)结论不成立，见解析 (3) 【分析】（1）根据正方形的性质，可证，从而得到，即可得到； （2）取的中点，连接，根据菱形的性质，即可得是等边三角形，利用可证，再由全等三角形的对应边相等可得，由，即可得出； （3）当点落在线段延长线时，点落在线段上时，同理可证，那么有，从而得到． 【详解】（1）解：正方形的对角线，交于点， ，，， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）解：（1）中的结论不成立，结论为，证明如下： 如图：取的中点，连接， 四边形为菱形，， ，，，， 是等边三角形， ，， ， ∴， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）解：当点落在线段延长线时，点落在线段上时，如图所示， 取线段的中点，同理可证，那么有， ， 为线段的中点， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $