精品解析：四川省广元市剑阁县2026年春季初中九年级诊断性学情调研数学试题

2026年春季初中九年级诊断性学情调研 数 学 试 题 说 明：本试题满分150分，考试时间120分钟．考试结束时，将试题和答题卡一并交回． 注意事项：①答题前，请你用0.5毫米的黑色墨迹签字笔把答题卡上学校、班级、姓名和考号填写清楚． ②第Ⅰ卷（选择题）的答案请用统一要求的2B铅笔填涂在答题卡的相应位置，填在试题上的答案无效．如需改动，请用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案． ③第Ⅱ卷（非选择题）的答案请用0.5毫米的黑色墨迹签字笔书写在答题卡的相应位置，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题上答题无效． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项符合题目要求的．） 1. 有理数中，最小的数是（　　） A. 0 B. C. 3 D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 由8个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图为（ ） A. B. C. D. 4. 某中学为了解九年级学生的读书情况，随机调查了50名学生的读书册数，统计数据如下表．则这50名学生读书册数的众数、中位数分别是（ ） 册数 1 2 3 4 5 人数 13 12 7 17 1 A. 4，2 B. 17，12 C. 17， D. 4， 5. 如图，平放在桌面上的烧杯中放着液体，当光线从空气射入液体中时，光线的传播方向会发生改变．若图中，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的半径，分别以点A和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线交于点C，连接并延长交于点B，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 《算法统宗》是我国古代数学著作，书中记载了这样一个问题，大意是：100个和尚分100个馒头，大和尚一人分3个馒头，小和尚3人分一个馒头．问大小和尚各有多少人？设大和尚有x人，小和尚有y人，那么下面列出的方程组中正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，，，在以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立的平面直角坐标系中，将绕点B顺时针旋转，使点A旋转至y轴的正半轴上的处，若，则阴影部分面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图1所示，在中，E为的中点，点D沿从点C运动到点A，设长为x，，图2是点D运动时y随x变化的关系图象，若，则的长为（ ） A. 8 B. C. 10 D. 10. 如图，二次函数的图象与轴交于两点，，且．下列结论：①；②；③；④若和是关于的一元二次方程的两根，且，则，，其中正确结论的个数是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本题共6个小题，每小题4分，共24分．把正确答案直接写在答题卡相应的位置上．） 11. 因式分解：____________． 12. 2026年央视春晚的智能机器人舞蹈表演中，某款控制的机器人每秒完成0.0000005次精准的动作调整．将该数据用科学记数法表示为________． 13. 不等式组的解集为______． 14. 盒中有x枚黑棋和y枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是，则的值为________． 15. 科学家发现阳苯分子中的6个碳原子组成了一个完美的正六边形（如图1），图2是其平面示意图，点O为正六边形的中心，则的度数为________． 16. 如图，点是⊙外一点，与⊙相切于点，交⊙于点，点，分别为线段，上的动点，若，，则的最小值为________. 三、解答题（本大题共10个小题，共96分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，从2，，1这三个数中选取一个合适的数代入化简结果中求值． 19. 如图，在矩形中，点E在边上，且． （1）尺规作图：作的平分线，交的延长线于点F，连接．（保留作图痕迹） （2）猜想证明：判断四边形的形状，并说明理由． 20. 剑阁柏位于四川省剑阁县，象征坚韧不拔的精神．杨洋同学想测量其高度，如图：在地面点C处放一平面镜，他站在点E处，眼睛在D处时，恰好在镜中看到树顶A的像；然后他后退到点G处，用测角仪测得树顶A的仰角．已知：米（眼高），米，米，测角仪高米．B、C、E、G在同一水平线上，，，．所有点在同一平面内．求剑阁柏的高度（结果精确到1米）．（参考数据：，，） 21. 某市教育综合实践基地开设有：巧手木艺；：创意缝纫；：快乐种植；：美味烹饪；：爱心医护等五门课程．某校组织八年级学生到该基地开展活动，一段时间后，基地采用随机抽样的方式，在该校八年级抽取部分学生开展了“我最喜欢的综合实践课程”的问卷调查，并根据调查所收集的数据进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图表． 课程名称 巧手木艺 创意缝纫 快乐种植 美味烹饪 爱心医护 人数 6 12 18 根据图表信息，回答下列问题： （1）______，扇形统计图中表示“巧手木艺”部分对应扇形的圆心角度数是________； （2）若该校八年级共有480名学生，请你估计该校八年级最喜欢两门课程的学生人数； （3）小明同学从四门课程中随机选择两门，求恰好选中两门课程的概率． 22. 学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题． 材料一 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客人；用A型客车载客人与用B型客车载客人的车辆数相同． 材料二 A型客车租车费用为元/辆；B型客车租车费用为元/辆． 优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用元/辆； 租用B型客车，租车费用打八折． 材料三 租车公司最多提供8辆A型客车； 学校参加研学活动师生共有人，租用A，B两种型号客车共辆． （1）A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？ （2）本次研学活动学校的最少租车费用是多少？ 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点C和点D，与反比例函数的图象交于点和点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）根据图象直接写出当时x的取值范围； （3）点是反比例函数图象上一点，连接、，求的面积； 24. “如何仅用直尺和圆规过圆上一点作已知圆的切线？”．小明提出一种想法：如图，设点P为上一点，先作射线交于点Q，再以上一点A为圆心（点A不与点P，Q重合），以长为半径画圆弧，交射线于点B，交射线于点C，连结． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的半径． 25. 结合图形，完成下列各题： （1）如图，在正方形中，为边上一点，为延长线上一点，且．求证：，； （2）如图，在矩形中，，，是边上一点，将沿折叠得到，延长和相交于点．若，求的长； （3）保持（2）中，的大小不变，扭动矩形，使得，如图所示．是边上一点且满足，点是延长线上一点，连接交射线于点，当线段与射线所夹的锐角为时，直接写出的值． 26. 综合与探究： 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点C，与y轴交于点，点P是抛物线上点A与点C之间的动点（不包括点A，点C）． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，动点P在抛物线上，且在直线上方，求面积的最大值及此时点P的坐标； （3）如图2，过原点O作直线l交抛物线于M、N两点，点M的横坐标为m，点N的横坐标为n．求证：是一个定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春季初中九年级诊断性学情调研 数 学 试 题 说 明：本试题满分150分，考试时间120分钟．考试结束时，将试题和答题卡一并交回． 注意事项：①答题前，请你用0.5毫米的黑色墨迹签字笔把答题卡上学校、班级、姓名和考号填写清楚． ②第Ⅰ卷（选择题）的答案请用统一要求的2B铅笔填涂在答题卡的相应位置，填在试题上的答案无效．如需改动，请用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案． ③第Ⅱ卷（非选择题）的答案请用0.5毫米的黑色墨迹签字笔书写在答题卡的相应位置，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题上答题无效． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项符合题目要求的．） 1. 有理数中，最小的数是（　　） A. 0 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键．据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴最小的数是：． 故选：B． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的相关运算法则，需根据同底数幂乘法，完全平方公式，合并同类项法则，平方差公式分别计算各选项，判断正误即可． 【详解】解：选项A：∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴，A错误； 选项B：∵根据完全平方公式展开， ∴，B错误； 选项C：∵和不是同类项，不能合并， ∴无法计算为，C错误； 选项D：∵根据平方差公式计算， ∴ ，D正确． 3. 由8个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画物体的三视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等；据此即可求得答案． 本题考查简单组合体的三视图，熟练掌握其定义及画图方法是解题的关键． 【详解】解：由题干中的几何体可得其左视图为， 故选：A． 4. 某中学为了解九年级学生的读书情况，随机调查了50名学生的读书册数，统计数据如下表．则这50名学生读书册数的众数、中位数分别是（ ） 册数 1 2 3 4 5 人数 13 12 7 17 1 A. 4，2 B. 17，12 C. 17， D. 4， 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了求中位数和众数．根据中位数和众数的定义解答即可． 【详解】解：∵把这50个数从小到大排列后位于正中间的两个数分别为2和3， ∴中位数为册， ∵读书册数为4册的人数最多， ∴众数为4册． 故选：D 5. 如图，平放在桌面上的烧杯中放着液体，当光线从空气射入液体中时，光线的传播方向会发生改变．若图中，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形外角的定义，熟练掌握性质定理是解题的关键． 根据平行线的性质得出，再根据三角形外角的定义即可得出答案． 【详解】解：如图： ，， ， ， ， 故选D． 6. 如图，是的半径，分别以点A和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线交于点C，连接并延长交于点B，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，证明为等边三角形，可得，再由圆周角定理解答即可． 【详解】解：连接， 垂直平分， ∴， 为等边三角形， ， ． 7. 《算法统宗》是我国古代数学著作，书中记载了这样一个问题，大意是：100个和尚分100个馒头，大和尚一人分3个馒头，小和尚3人分一个馒头．问大小和尚各有多少人？设大和尚有x人，小和尚有y人，那么下面列出的方程组中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意，建立等量关系是解题关键．根据题意列方程组即可． 【详解】解：根据题意列方程组得，， 故选： C． 8. 如图，中，，，在以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立的平面直角坐标系中，将绕点B顺时针旋转，使点A旋转至y轴的正半轴上的处，若，则阴影部分面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由等腰直角三角形的性质和旋转的性质求得A′B=2，OB=1，从而求得旋转角度；再由阴影面积=扇形ABA′面积+△A′BC面积-扇形CBC′面积-△ABC面积计算求值即可； 【详解】解：Rt△ABC是等腰直角三角形，OC⊥AB，则AB=2OC=2，OA=OB=OC=1，AC=BC=， ∵旋转性质可得：AB=A′B，BC=BC′，∠ABA′=∠CBC′， Rt△A′OB中，A′B=2，OB=1，则∠ABA′=60°， ∴扇形ABA′面积=，△A′BC面积=△ABC面积=， 扇形CBC′面积=， ∵阴影面积=扇形ABA′面积+△A′BC面积-扇形CBC′面积-△ABC面积， ∴阴影面积=， 故选： D． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，等边三角形的性质，扇形面积计算等知识；掌握相关性质和扇形面积计算公式是解题关键． 9. 如图1所示，在中，E为的中点，点D沿从点C运动到点A，设长为x，，图2是点D运动时y随x变化的关系图象，若，则的长为（ ） A. 8 B. C. 10 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图像，勾股定理，三角形三边关系，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键． 当，即D在C点时，，由结合函数图象得，设的长度为t，在中，运用勾股定理求出t，在中，运用勾股定理求出． 【详解】由图2知：当，即D在C点时，， 由三角形三边关系知：， ∴由图象， 在中，， 设的长度为t，则， ∴， 解得：，（舍）． ∴，， ∴， 在中，， 故选：B． 10. 如图，二次函数的图象与轴交于两点，，且．下列结论：①；②；③；④若和是关于的一元二次方程的两根，且，则，，其中正确结论的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴位置、与轴的交点判断的符号；利用、时的函数值推导的符号；结合对称轴范围推导的符号；再根据二次函数与一元二次方程的关系，判断方程的根的分布情况． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 对称轴在轴右侧， ， ， 抛物线与轴交于负半轴， ， ，①正确； 由图象可得，当时，， 又当时，， ， ， ，②正确； 二次函数的图象与轴交于两点，，且． ，且对称轴， ， ， ， ，即，即， ，③错误； 二次函数的图象与轴交于两点，， ， 当时，， 与关于轴对称，如图所示， 时，即， 又， 结合图像可得，，，④正确； 综上所述，正确的有①②④三个． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本题共6个小题，每小题4分，共24分．把正确答案直接写在答题卡相应的位置上．） 11. 因式分解：____________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式对多项式进行因式分解． 【详解】解： ． 12. 2026年央视春晚的智能机器人舞蹈表演中，某款控制的机器人每秒完成0.0000005次精准的动作调整．将该数据用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【详解】解：将数据0.0000005用科学记数法表示为． 13. 不等式组的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求不等式组的解集，先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集． 【详解】解： 由①，得：； 由②，得：； ∴不等式组的解集为：； 故答案为：． 14. 盒中有x枚黑棋和y枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是，则的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】先确定棋子总个数，再根据黑棋的概率列出关系式，整理变形即可求出的值． 【详解】解：盒中有枚黑棋和枚白棋， ∴共有枚棋子， 从盒中随机取出一枚棋子，它是黑棋的概率是， ∴根据概率公式可得， ∴， ∴， ∴． 15. 科学家发现阳苯分子中的6个碳原子组成了一个完美的正六边形（如图1），图2是其平面示意图，点O为正六边形的中心，则的度数为________． 【答案】##30度 【解析】 【分析】先求出正六边形的每个内角，由此可求解的度数，再求出正六边形的中心角，由此求解即可． 【详解】解：在正六边形中，内角和为， ∴每个内角的度数为， ∴， ∵， ∴为等腰三角形， ∴， ∴， ∵在正六边形中，中心角相等且和为， ∴， ∴． 16. 如图，点是⊙外一点，与⊙相切于点，交⊙于点，点，分别为线段，上的动点，若，，则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】延长PO交⊙于Q，过点A作AA＇⊥OP于C，过A＇作A＇N⊥AP于N，延长PB交⊙于Q，根据切割线定理，得到，先求出圆的半径，再求出，由和求出AC，2AC= AA＇，AN=，求出AN，即AM=MN的最小值； 【详解】延长PO交⊙于Q，过点A作AA＇⊥OP于C，过A＇作AN⊥AP于N，延长PB交⊙于Q，设⊙半径为r， 根据切割线定理得，， ∴， ∴r=3； ∴OA=3，OP=5； ∴； ∵AA＇⊥OP， ∴°， ∴P+PAA＇=90°，2+PAA＇=90°，1+PAA＇=90°， 即1=2=P， ∴， ∴， ∴AC=， ∴AA＇=， 又， ∴AN=. ∴AM+MN的最小值为：. 故答案为. 【点睛】本题主要考查了切割线定理，三角函数的性质，掌握切割线定理，三角函数的性质是解题的关键. 三、解答题（本大题共10个小题，共96分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 18. 先化简，再求值：，从2，，1这三个数中选取一个合适的数代入化简结果中求值． 【答案】，取，原式的值为 【解析】 【分析】先由分式的性质化简，再将代入求解即可． 【详解】解：， ∵，， ∴， ∴当时，上式． 19. 如图，在矩形中，点E在边上，且． （1）尺规作图：作的平分线，交的延长线于点F，连接．（保留作图痕迹） （2）猜想证明：判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）四边形是菱形．理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据作角平分线的作法画图即可． （2）由平行线的性质得出，由角平分线的定义得出，等量代换可得，等角对等边可得出，结合已知条件可得出四边形是菱形． 【小问1详解】 解：图形如图所示： 【小问2详解】 解：四边形是菱形． 理由：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 20. 剑阁柏位于四川省剑阁县，象征坚韧不拔的精神．杨洋同学想测量其高度，如图：在地面点C处放一平面镜，他站在点E处，眼睛在D处时，恰好在镜中看到树顶A的像；然后他后退到点G处，用测角仪测得树顶A的仰角．已知：米（眼高），米，米，测角仪高米．B、C、E、G在同一水平线上，，，．所有点在同一平面内．求剑阁柏的高度（结果精确到1米）．（参考数据：，，） 【答案】剑阁柏的高度为27米 【解析】 【分析】如图，延长交于点M，则，证明四边形为矩形，得到米，，证明，得到，得到，然后解直角三角形求出米，进而求解即可． 【详解】解：如图，延长交于点M，则， ∴四边形为矩形， ∴米，， ∵， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴，， ∵， ∴在中，， ∴， 解得米， ∴米， ∴剑阁柏的高度为27米． 21. 某市教育综合实践基地开设有：巧手木艺；：创意缝纫；：快乐种植；：美味烹饪；：爱心医护等五门课程．某校组织八年级学生到该基地开展活动，一段时间后，基地采用随机抽样的方式，在该校八年级抽取部分学生开展了“我最喜欢的综合实践课程”的问卷调查，并根据调查所收集的数据进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图表． 课程名称 巧手木艺 创意缝纫 快乐种植 美味烹饪 爱心医护 人数 6 12 18 根据图表信息，回答下列问题： （1）______，扇形统计图中表示“巧手木艺”部分对应扇形的圆心角度数是________； （2）若该校八年级共有480名学生，请你估计该校八年级最喜欢两门课程的学生人数； （3）小明同学从四门课程中随机选择两门，求恰好选中两门课程的概率． 【答案】（1）15； （2）120名 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了频数分布表，扇形统计图，用样本估计总体，树状图法或列表法求解概率，正确读懂统计图和统计表以及熟知概率计算公式是解题的关键． （1）用最喜爱“快乐种植”的人数除以其人数占比得到参与调查的学生人数，进而可求出a、b的值，再用360度乘以“巧手木艺”的人数占比即可求出对应的圆心角度数； （2）用480乘以样本中八年级最喜欢两门课程的学生人数占比即可得到答案； （3）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到恰好选中两门课程的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解；（名）， ∴本次一共调查了60名学生， ∴； ∴， ∴扇形统计图中表示“巧手木艺”部分对应扇形的圆心角度数是； 故答案为：15；； 【小问2详解】 解：（名）， 答：估计该校八年级最喜欢两门课程的学生人数为120名； 【小问3详解】 解：根据题意列表如下； 由表格可知，一共有12中等可能性的结果数，其中恰好选中两门课程的结果数有两种， ∴恰好选中两门课程的概率为． 22. 学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题． 材料一 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客人；用A型客车载客人与用B型客车载客人的车辆数相同． 材料二 A型客车租车费用为元/辆；B型客车租车费用为元/辆． 优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用元/辆； 租用B型客车，租车费用打八折． 材料三 租车公司最多提供8辆A型客车； 学校参加研学活动师生共有人，租用A，B两种型号客车共辆． （1）A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？ （2）本次研学活动学校的最少租车费用是多少？ 【答案】（1）A型客车每辆载客量为50人，B型客车每辆载客量为35人 （2）本次研学活动学校的最少租车费用是31950元 【解析】 【详解】解：（1）设A型客车每辆载客量为x人，则B型客车每辆载客量为人， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（人）． 答：A型客车每辆载客量为50人，B型客车每辆载客量为35人． （2）设租用A型客车m辆，则租用B型客车辆， 根据题意得：， 解得：， 又由材料三可知，，且为整数， ∴或， 设本次研学活动学校的租车总费用为w元，则， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴时，w随着m的增大而增大， ∴当时，w取得最小值，最小值为（元）． 答：本次研学活动学校的最少租车费用是元． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点C和点D，与反比例函数的图象交于点和点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）根据图象直接写出当时x的取值范围； （3）点是反比例函数图象上一点，连接、，求的面积； 【答案】（1）， （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数表达式，可求解k的值，由此可求解反比例函数表达式，再将点B的坐标代入反比例函数表达式可求解m的值，再将点A，点B的坐标代入一次函数中，即可求解一次函数的表达式； （2）根据图象求解即可； （3）添加辅助线，过B点作轴，垂足为H；过E点作轴，垂足为F，求解出点E的坐标，再求解出点，由求解面积即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点． ∴把点A的坐标代入反比例函数得：， 解得：， ∴反比例函数的表达式； 把点B的坐标代入反比例函数得：， 解得：， ∴点， 把点A，点B的坐标分别代入一次函数，得： ， 解得：， ∴一次函数的表达式； 【小问2详解】 解：当时，表示函数的图象位于函数的图象上方，不包含交点， ∴由图象可知，或； 【小问3详解】 解：过B点作轴，垂足为H；过E点作轴，垂足为F，如图1， ∵点， ∴，， 把点代入反比例函数中得： ， ∴点， ∴，， 对于一次函数， 当时，得：，解得：， ∴点， ∴， ∴， ∴． 24. “如何仅用直尺和圆规过圆上一点作已知圆的切线？”．小明提出一种想法：如图，设点P为上一点，先作射线交于点Q，再以上一点A为圆心（点A不与点P，Q重合），以长为半径画圆弧，交射线于点B，交射线于点C，连结． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）的半径为9 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线判定、直径所对圆周角为直角、等腰三角形性质及锐角三角函数的应用，解题的关键是利用推出，再结合角度等量代换与三角函数求解半径． （1）由及、、共线，得为直径，故，即，结合为半径，证得为切线； （2）连结，由等腰三角形性质与直角三角形两锐角互余，得，再由及，求出，进而得半径为． 【小问1详解】 解：∵，点B、A、C在同一条直线上， ∴为的直径， ∴，即． 而为的半径， ∴为的切线． 【小问2详解】 解：连接，由得， 又∵， ∴． ∴．即． ∵， ∴，即的半径为9． 25. 结合图形，完成下列各题： （1）如图，在正方形中，为边上一点，为延长线上一点，且．求证：，； （2）如图，在矩形中，，，是边上一点，将沿折叠得到，延长和相交于点．若，求的长； （3）保持（2）中，的大小不变，扭动矩形，使得，如图所示．是边上一点且满足，点是延长线上一点，连接交射线于点，当线段与射线所夹的锐角为时，直接写出的值． 【答案】（1）见解析 （2） （3）的值为或 【解析】 【分析】（1）利用正方形性质，通过证明，得到；再通过三角形内角和定理结合角的等量代换，证明，从而证得． （2）先由折叠性质得垂直平分，再证明，利用相似比求出、的长度；然后在中，利用正切函数求出的长，最后用勾股定理算出，进而求得的长度． （3）分两种情况讨论：当时，过作于，延长交延长线于，先求的长，证明得、的长，证明得、的长，进而得的长，再证明得的长，最后计算；当时，证明，结合相似性质求出即可． 【小问1详解】 证明：如图，延长交于点． 四边形是正方形， ，， ，，， ， ，， ，， ， ； 【小问2详解】 解：如图，延长交于点． 矩形中，，，， ，，，， 在中，， 沿折叠得， 垂直平分，即，， ， ， ， ，， ，， ， ， 在中，，， ， ， ； 【小问3详解】 解：由（2）得，，． 情况1：如图，当时，则， 过点作交延长线于，延长交延长线于． 四边形是平行四边形，， ，，， ， ， ， 在中，，， ， ， ，， ， ，即 ， ，， ， ， ， ，即， ，， ， ， ， ，即， ， ， ； 情况2：如图，当时， ， ， ， ， ， ， ； 综上，的值为或． 26. 综合与探究： 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点C，与y轴交于点，点P是抛物线上点A与点C之间的动点（不包括点A，点C）． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，动点P在抛物线上，且在直线上方，求面积的最大值及此时点P的坐标； （3）如图2，过原点O作直线l交抛物线于M、N两点，点M的横坐标为m，点N的横坐标为n．求证：是一个定值． 【答案】（1）； （2），； （3）见解析． 【解析】 【分析】本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质． （1）利用待定系数法把点和点的坐标代入，得到，解方程组求出、的值，可得抛物线的解析式； （2）过点作轴，交于点，把分成和，可得的面积为，配方可得，从而可知当时，的面积有最大值，此时的坐标为； （3）设直线的解析式为，因为、是抛物线与直线的交点，可得方程，整理得，根据一元二次方程根与系数的关系可证是一个定值． 【小问1详解】 解：把点和点的坐标代入， 得到：， 解得：， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：如下图所示，过点作轴，交于点， 设直线的解析式为， 把点和点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 设点的横坐标为，则点的纵坐标为， 点的横坐标为，点的纵坐标为， ， ， 整理得：， 可知当时，的面积有最大值，最大值是， 当时，， 此时点的坐标为； 【小问3详解】 证明：设直线的解析式为， 解方程组， 可得：， 整理得：， 一元二次方程中， ， 一元二次方程有两个不相等的实数根， 这两个不相等的实数根分别为、， 则有， 是一个定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $