专题02 向量线性转化6种常见考法归类（期末复习专项训练）高一数学下学期人教A版

**基本信息** 以6类方法为框架，系统构建向量线性转化解题体系，通过题型归类培养数学抽象与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |向量线性运算法|9题|运用加减法、数乘规则转化线性关系|从基础运算到线段中点、三等分点等几何情境| |双共线法|5题|利用两点共线设参数建立方程求解|结合矩形、平行四边形等图形的共线关系| |基底方程组法|2题|以基底表示向量建立方程组求解|体现基底思想的方程化应用| |向量自代求解法|2题|通过向量自身代换简化线性表达式|强化向量转化的代数变形能力| |与四心有关的线性运算|3题|结合重心、外心等几何性质转化向量|连接向量运算与三角形特殊点性质| |基底法求数量积|4题|用基底表示向量后代入数量积公式|从线性表示过渡到数量积计算|

专题02 向量线性转化6种常考考法归类 题型一向量线性运算法 题型四向量自代求解法 题型二双共线法 题型五与四心有关的线性运算 题型三基底方程组法 题型六基底法求数量积 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 向量线性运算法 1．（25-26高一下·广西南宁·期中）在中，点M是边的中点，且与相交于一点N，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量的基本定理求解即可. 【详解】∵点M是边的中点，， 又，，即， ． 2．（25-26高一下·湖南长沙·期中）在平行四边形中，M为与交点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】平行四边形的对角线相互平分， . 3．（2026·江苏南通·模拟预测）已知平行四边形的两条对角线相交于点，设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平面向量的线性运算计算可得结果. 【详解】. 4．（25-26高一下·江苏·期中）在中，，设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角形法则，以及平面向量基本定理，结合已知条件分析求解即可. 【详解】如图所示： 因为， 所以， 又，所以. 5．（25-26高一下·浙江·阶段检测）在中，是边的中点，是边上靠近点的三等分点，设，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图可得：. 6．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）如图，中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三等分点的向量关系，先将通过和分解，再把用表示、用与表示，通过线性运算整理出关于的表达式，进而得到系数和，最后计算的值． 【详解】由点是线段上靠近的三等分点，得， 由点是线段上靠近的三等分点，得， 所以 ， 由，得，， 所以． 7．（25-26高一下·广东江门·期中）在中，点在边上，且满足，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 .    8．（25-26高一下·上海·期中）已知中，，若，，则用、表示_______. 【答案】 【分析】根据向量的加法、减法及数乘运算求解即可. 【详解】由，得. 所以. 9．（25-26高一下·四川南充·期中）如图，在平行四边形中，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】. 题型2 双共线法 10．（25-26高一下·安徽合肥·期中）如图，在矩形中，为边上靠近点的三等分点，为边上靠近点的四等分点，且线段交于点.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先把用表示出来，然后利用共线定理设，，联立方程即可求解. 【详解】 在矩形中，， 由题意：为靠近的三等分点，故； 为靠近的四等分点，故， 因为在上，设， 又因为在上，根据向量共线定理，存在参数使得： ， 代入得： ， 两个表达式对应系数相等： ， 联立得，解得，代入得. 因此. 11．（2026·上海·三模）如图所示，已知，点，满足，，与交于点，交于点，，则的值为____________． 【答案】 【详解】由共线，存在使 ， 由共线，存在使， 联立系数相等： ，解得：，， ， 由于，且在上，故设， 则， 结合得，解得． 12．（25-26高一下·广东深圳·期中）在平行四边形ABCD中，，，，，用向量，来表示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的线性运算，结合共线向量定理及推论求解即得. 【详解】依题意，，由在上，得， 由在上，得，解得，则， 所以. 13．（2025·重庆·一模）在平行四边形 中， 与 相交于 ，若 ， ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由三点共线，则可设，由三点共线，则可设，然后根据题意都用表示，从而可求出的值，进而可求得答案 【详解】 因为三点共线，所以可设， 所以， 因为三点共线，所以可设， 因为 ，，所以， 所以， 所以， 即，解得，， 所以， 故选：A. 14．（25-26高一下·天津南开·期中）在中，，是上一点，若，则实数的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为是上一点，所以与共线，所以根据向量共线定理，存在实数，使得， 因为，所以． 又因为，所以， 因为，所以， 因为，所以，即． 将代入并化简， 因为，所以， 由，解得． 将代入，可得． 题型3 基底方程组法 15．（2026·河南新乡·三模）在四边形ABCD中，，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题设可得， ，即，结合，得， 故. 16．（17-18高一·全国·课后作业）设向量是平面内一个基底，且，则向量可以用另一个基底表示，即________. 【答案】 【分析】设，将代入，利用向量基本定理，得出的关系式，求解，即可得出结论. 【详解】设，因为， 所以，因为不共线， 所以，解得，， 故答案为：. 题型4 向量自代求解法 17．（2026·福建福州·三模）如图是体现中国古代数学智慧的“赵爽弦图”，它由4个全等直角三角形和中心小正方形构成.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为该图由4个全等直角三角形和中心小正方形构成，且， 所以， 故， 所以， 所以. 18．（2026·重庆江北·模拟预测）在中，点D在边BC上，且，设，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据线段的比例关系转化为向量等量关系，通过向量线性运算将用，表示后匹配选项. 【详解】，因此。 又因为，， 所以. 化简可得，即. 又，， 因此. 题型5 与四心有关的线性运算 19．（25-26高一下·上海·期中）在中，为内的一点．若为的重心，且，则__________． 【答案】1 【详解】设为边的中点，因为是三角形的重心，所以， ， ， ． 20．（24-25高一下·山东青岛·阶段检测）是的外心，，存在，使.若，则的长为（    ） A．5 B． C． D．4 【答案】B 【分析】取的中点，得到，由向量的数量积的几何意义，得到，，再由，结合条件代入即可求得即可. 【详解】如图所示，分别取的中点，连接， 因为是的外心，所以，且， 则， ， 又因为，且， 所以 ，所以，即的长为. 故选：B. 21．（23-24高一下·陕西咸阳·期中）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．设点O，G，H分别为三角形ABC的外心，重心，垂心，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可知，再根据向量的线性运算求解即可. 【详解】根据题意，作图如下， 所以，则， 所以， 则. 故选：D. 题型6 基底法求数量积 22．（2026·河北雄安·三模）如图，在矩形中，，为的中点，为等边三角形，为的中心，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助等边三角形性质、平面向量线性运算与数量积公式计算即可得. 【详解】由为等边三角形，则, 由为的中心，则，， 则 . 23．（2026·湖北十堰·模拟预测）中，，，是的中点，则（   ） A． B．7 C． D．25 【答案】A 【详解】因为是的中点，所以，又， 所以. 24．（25-26高一下·湖南衡阳·期中）在直角梯形中，，，，，为的中点，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】D 【分析】利用基底表示向量，再利用数量积的运算律求解． 【详解】解：在直角梯形中，，，，， 则，由为的中点， 得， 所以． 25．（25-26高一下·湖南湘潭·阶段检测）如图所示，在中，，，，是的中点，点在上，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基底表示向量和，再根据数量积公式和运算律，即可求解. 【详解】， ， 所以， . $专题02 向量线性转化6种常考考法归类 题型一向量线性运算法 题型四向量自代求解法 题型二双共线法 题型五与四心有关的线性运算 题型三基底方程组法 题型六基底法求数量积 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 向量线性运算法 1．（25-26高一下·广西南宁·期中）在中，点M是边的中点，且与相交于一点N，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·湖南长沙·期中）在平行四边形中，M为与交点，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·江苏南通·模拟预测）已知平行四边形的两条对角线相交于点，设，，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·江苏·期中）在中，，设，则（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·浙江·阶段检测）在中，是边的中点，是边上靠近点的三等分点，设，，则（   ） A． B． C． D． 6．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）如图，中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点，若，则（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一下·广东江门·期中）在中，点在边上，且满足，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高一下·上海·期中）已知中，，若，，则用、表示_______. 9．（25-26高一下·四川南充·期中）如图，在平行四边形中，，若，则（    ） A． B． C． D． 题型2 双共线法 10．（25-26高一下·安徽合肥·期中）如图，在矩形中，为边上靠近点的三等分点，为边上靠近点的四等分点，且线段交于点.若，则（    ） A． B． C． D． 11．（2026·上海·三模）如图所示，已知，点，满足，，与交于点，交于点，，则的值为____________． 12．（25-26高一下·广东深圳·期中）在平行四边形ABCD中，，，，，用向量，来表示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 13．（2025·重庆·一模）在平行四边形 中， 与 相交于 ，若 ， ，则（    ） A． B． C． D． 14．（25-26高一下·天津南开·期中）在中，，是上一点，若，则实数的值为（     ） A． B． C． D． 题型3 基底方程组法 15．（2026·河南新乡·三模）在四边形ABCD中，，设，则（    ） A． B． C． D． 16．（17-18高一·全国·课后作业）设向量是平面内一个基底，且，则向量可以用另一个基底表示，即________. 题型4 向量自代求解法 17．（2026·福建福州·三模）如图是体现中国古代数学智慧的“赵爽弦图”，它由4个全等直角三角形和中心小正方形构成.若，则（    ） A． B． C． D． 18．（2026·重庆江北·模拟预测）在中，点D在边BC上，且，设，，则（   ） A． B． C． D． 题型5 与四心有关的线性运算 19．（25-26高一下·上海·期中）在中，为内的一点．若为的重心，且，则__________． 20．（24-25高一下·山东青岛·阶段检测）是的外心，，存在，使.若，则的长为（    ） A．5 B． C． D．4 21．（23-24高一下·陕西咸阳·期中）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．设点O，G，H分别为三角形ABC的外心，重心，垂心，则（   ） A． B． C． D． 题型6 基底法求数量积 22．（2026·河北雄安·三模）如图，在矩形中，，为的中点，为等边三角形，为的中心，则（   ） A． B． C． D． 23．（2026·湖北十堰·模拟预测）中，，，是的中点，则（   ） A． B．7 C． D．25 24．（25-26高一下·湖南衡阳·期中）在直角梯形中，，，，，为的中点，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 25．（25-26高一下·湖南湘潭·阶段检测）如图所示，在中，，，，是的中点，点在上，且，则（     ） A． B． C． D． $