精品解析：第二十八届“YMO”青少年数学思维研学交流活动初选试卷小学五年级

**基本信息** 第二十八届“YMO”小学五年级竞赛初选卷，以20道填空题考查计算、几何、数论等知识，通过汉字数字谜题（第1题）、复杂图形面积（第8题）等设计，培养抽象能力、几何直观与推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|20题|计算（2-6题）、几何（7-8、10-15、20题）、数论（9、16-19题）|第1题结合文化情境考查数字推理，第8题通过中点与倍数关系训练空间观念，第16题三位数乘积末尾0的个数考查运算能力与模型意识|

第二十八届“YMO”青少年数学思维研学交流活动初选试卷小学五年级 一、填空题。 1. “月是故乡明，祖国强大”，每个汉字代表中的不同数字，其中“月是”、“故乡”都是两位数，“国强大”是三位数。下列算式计算结果最大是（ ）。 月是＋故乡明祖＋国强大 2. 计算： （ ）。 3. 计算： （ ）。 4. 计算：（ ）。 5. 计算：（ ）。 6. 计算： （ ）。 7. 等腰直角三角形的面积为72平方厘米，这个三角形的腰长是（ ）厘米。 8. 图中三角形的面积是720平方厘米，是的中点，的长是长的3倍，的长是长的3倍。那么三角形的面积是（ ）平方厘米。 9. 多位数1234567891011121314…20202021除以9，余数是（ ）。 10. 已知三角形的面积为120平方厘米，，那么三角形的面积是（ ）平方厘米。 11. 长方形的广告牌长为220厘米，宽为120厘米，分别在四条边上，并且比低30厘米，在的左边20厘米，四边形的面积是（ ）平方分米。 12. 如下图所示，长方形 ，把边对折到上与重合，把边也对折到上与重合，请问得到的新图形的面积是（ ）。 13. 如下图，六边形中， ，且有平行于 平行于平行于，对角线垂直于，已知 厘米， 厘米，请问六边形的面积是（ ）平方厘米。 14. 如图，六边形为正六边形，为对角线上一点。三角形的面积是5，三角形的面积是6，正六边形的面积是（ ）。 15. 如下图所示，的面积是81平方厘米， 是的中点。那么三角形的面积是（ ）平方厘米。 16. 所有的三位数相乘，积的末尾有（ ）个连续的0。 17. 一个五位数恰好等于它各位数字和的1143倍，则这个五位数最小是（ ）。 18. 纯循环小数写成最简分数时，分子和分母的和是60，则 （ ）。 19. 从1到2021的所有自然数中，乘128后是完全平方数的数，共有（ ）个。 20. 在等边三角形中有一点，其中，则三角形的面积为（ ）。 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十八届“YMO”青少年数学思维研学交流活动初选试卷小学五年级 一、填空题。 1. “月是故乡明，祖国强大”，每个汉字代表中的不同数字，其中“月是”、“故乡”都是两位数，“国强大”是三位数。下列算式计算结果最大是（ ）。 月是＋故乡明祖＋国强大 【答案】6427 【解析】 【分析】要使计算结果最大，要合理分配1~9这九个数字到各个汉字，优先让乘法部分的值尽量大，再考虑加法部分。 乘法部分（月是＋故乡×明）×祖要尽量大；“祖”是乘在外面的，越大越好，先让“祖”尽量大，取9或8；“明”是和“故乡”相乘的，也要尽量大，但是它对整体的提升效果不如“祖”，所以祖取9，明就取8；“故乡”是两位数，乘“明”会让结果变得很大，所以“故乡”的十位“故”尽量大，“明”也尽量大。 【详解】根据分析，优先往“权重”更大的数字分配更大的数字，一般是高位和乘数： 祖＝9，明＝8，故＝7，国＝6，乡＝4，月＝5，是＝2，强＝3，大＝1。 （52＋74×8）×9＋631 ＝（52＋592）×9＋631 ＝644×9＋631 ＝5796＋631 ＝6427 2. 计算： （ ）。 【答案】456456 【解析】 【分析】确定三个数的中间值为77，将76转化为77－1，78转化为77＋1，因为两个数的和与差的乘积符合平方差公式形式，所以可以先计算（77－1）×（77＋1）。 利用平方差公式a2－b2＝（a＋b）（a－b）计算第一步的乘积，得到772－1的结果。 将中间值77拆分成11×7与上一步得到的结果相乘。一个数与11可以进行“两头一拉，中间相加”的简算。 【详解】76×77×78 ＝[（77－1）×（77＋1）]×77 ＝[772－1]×77 ＝[5929－1]×77 ＝5928×77 ＝5928×11×7 ＝65208×7 ＝456456 3. 计算： （ ）。 【答案】79 【解析】 【分析】依据和的除法运算性质：若干个数分别除以同一个数，等于所有被除数相加后再除以这个除数。先把全部被除数求和，再用总和除以除数40。 通过观察，这些被除数相加，正好是一个首项为1，末项为79，公差是1的等差数列。用等差数列求和公式，求出被除数的总和。 【详解】1÷40＋2÷40＋⋯＋78÷40＋79÷40 ＝（1＋2＋3＋…＋79）÷40 ＝（1＋79）×79÷2÷40 ＝80×79÷2÷40 ＝6320÷2÷40 ＝3160÷40 ＝79 4. 计算：（ ）。 【答案】4 【解析】 【分析】观察分数特征：先把后面几个分数拆成两个分数相加，即，，，，，把拆分后的分数代入原式，然后利用加法交换律和加法结合律简便计算。 【详解】原式＝ ＝ ＝ ＝1＋1＋1＋1 ＝4 5. 计算：（ ）。 【答案】2021 【解析】 【分析】观察算式，先根据“两个数相乘，一个乘数乘（或除以）一个不为 0 的数，另一个乘数同时除以（或乘）相同的数，它们的积不变”将202.1×3.9转化为20.21×39，然后用乘法分配律 计算前两项；4.7×4.3整数部分都是 4（头同），小数部分 0.7＋0.3＝1，符合“头同尾合十规律”，头×（头＋1）：4×（4＋1）＝4×5＝20，尾×尾：7×3＝21，积是两位小数，即4.7×4.3＝20.21。 【详解】20.21×62＋202.1×3.9－4.7×4.3 ＝20.21×62＋20.21×39－4.7×4.3 ＝20.21×（62＋39）－4.7×4.3 ＝20.21×101－20.21 ＝20.21×（100＋1）－20.21 ＝20.21×100＋20.21×1－20.21 ＝2021＋20.21－20.21 ＝2021 6. 计算： （ ）。 【答案】50050 【解析】 【分析】观察一下这个数列发现，里面既有平方，又有乘积，最后还要求和，直接无法利用任何公式，一定要先把每一项的式子变形，整理出可以套用基础求和公式的形式。 常用的求和公式有连续自然数求和、连续自然数平方求和、连续自然数立方求和，分类合并相同类型的算式，争取在这些形式里找到熟悉的求和公式。 先写通项：n×（n＋1）2，将它拆为：n×（n×n＋2×n＋1）＝n×n×n＋2×n×n＋n，n从1开始一直这样拆下去，能拆成：（13＋23＋33＋…＋203）＋2×（12＋22＋32＋…＋202）＋（1＋2＋3＋…＋20），计算一个立方和、两个平方和、一个等差数列求和。 【详解】原式＝（13＋23＋33＋…＋203）＋2×（12＋22＋32＋…＋202）＋（1＋2＋3＋…＋20） ＝（1＋2＋…＋20）×（1＋2＋…＋20）＋2×[20×（20＋1）×（2×20＋1）]÷6＋（1＋20）×20÷2 ＝210×210＋2×2870＋210 ＝44100＋5740＋210 ＝50050 7. 等腰直角三角形的面积为72平方厘米，这个三角形的腰长是（ ）厘米。 【答案】12 【解析】 【分析】等腰直角三角形两条腰为直角边且长度相等，设腰长为a，根据三角形面积公式，因为等腰直角三角形的底和高就是两条腰，所以代入数据可得面积与腰长的关系式，求解关于腰长的方程即可。 【详解】解：设腰长为a ×a×a＝72 a2＝72÷ a2＝72×2 a2＝144 a＝12 8. 图中三角形的面积是720平方厘米，是的中点，的长是长的3倍，的长是长的3倍。那么三角形的面积是（ ）平方厘米。 【答案】90 【解析】 【分析】我们可以利用等高三角形的面积比等于对应底边长的比这一规律，从大三角形的面积逐步推导到小三角形的面积。D是BC的中点，所以△ABC的面积是△ABD的2倍；AD的长度是AE的3倍，所以△ABD的面积是△ABE的；EF的长度是BF的3倍，所以△AEF的面积是△ABF的3倍，即△AEF的面积是△ABE的。 【详解】S△ABD ＝ 720 ÷ 2 ＝ 360（平方厘米） S△ABE ＝ 360 ÷ 3 ＝ 120（平方厘米） S△AEF ＝ 120 × ＝ 90（平方厘米） 【点睛】解题时要注意等高三角形的面积和底边长的比例关系，一步步从已知条件向目标三角形推导，每次都找准对应的底和高，避免线段倍数关系出错。 9. 多位数1234567891011121314…20202021除以9，余数是（ ）。 【答案】6 【解析】 【分析】本题可以转化为求（1＋2＋3＋……＋2021）的和除以9的余数，然后根据高斯求和公式与能被9整除的数的特征解答即可。 【详解】1＋2＋3＋……＋2021 ＝（1＋2021）×2021÷2 ＝2043231 2＋0＋4＋3＋2＋3＋1＝15 15÷9＝1……6 答：余数是6。 故答案为：6 10. 已知三角形的面积为120平方厘米，，那么三角形的面积是（ ）平方厘米。 【答案】35 【解析】 【分析】由图可知，已知三角形ABC的面积，想要求三角形DEF的面积，则需要求出三角形DEF的面积与三角形ABC的面积比，由三角形边长的关系，使用鸟头模型，线段比的关系转化为面积比，可得到三角形DBE与三角形ABC的面积比，可得到三角形ADF与三角形ABC的面积比，可得到三角形EFC与三角形ABC的面积比，三角形ABC由三角形DBE、三角形ADF、三角形EFC和三角形DEF组成，由此可得到结果。 【详解】＝＝＝ ＝＝＝ ＝＝＝ ＋＋＝ 1－＝ 120×＝35（平方厘米） 【点睛】本题考查三角形的面积问题，使用六次等高模型或者三次鸟头模型。 11. 长方形的广告牌长为220厘米，宽为120厘米，分别在四条边上，并且比低30厘米，在的左边20厘米，四边形的面积是（ ）平方分米。 【答案】135 【解析】 【分析】这道题可以过点A、B、C、D作长方形的垂直线，用补形法来求解。 【详解】如图所示，过点A、B、C、D作长方形的垂直线，相交于E、F、G、H，长方形的四个角标为M、N、O、P。 ED垂直ND，所以 EA垂直NA，所以 因为广告牌OPNM是长方形，所以 所以四边形AEDN是长方形，AD为这个正方形的对角线，把长方形分成完全相同的两半，两半面积相等，即 同理可证： 长方形广告牌的面积 ＝＋长方形EHFG的面积 ＋长方形EHFG的面积 广告牌面积为220×120＝26400（平方厘米） 长方形EHFG的面积：30×20＝600（平方厘米） 两个数值代入上面的式子可得： ＋600＝26400（平方厘米） ＝12900（平方厘米） 四边形ABCD的面积＝长方形EHFG的面积＋ ＝600＋12900 ＝13500（平方厘米） ＝135平方分米 12. 如下图所示，长方形 ，把边对折到上与重合，把边也对折到上与重合，请问得到的新图形的面积是（ ）。 【答案】1020 【解析】 【分析】先根据题意把图画出来： 要求剩下图形的面积，实际上就是直接计算两个三角形的面积和：S△ACF和S△ACE。我们首先要求AC对角线，这要用到勾股定理；得到AC后，将所有三角形的面积和AC建立起联系，就可以解得两个三角形的高。代入计算再相加就做完了。 【详解】设△ACF和△ACE的高分别为h1、h2。 因为，所以。 ，； ，； 得到的新图形的面积是：。 13. 如下图，六边形中， ，且有平行于 平行于平行于，对角线垂直于，已知 厘米， 厘米，请问六边形的面积是（ ）平方厘米。 【答案】2021 【解析】 【分析】对于不规则图形计算面积，我们一般不是“割”就是“补”，这个图形里面还有一个直角，很明显要用上它要靠“补”成直角三角形、长方形或正方形。 要想让这个直角补成长方形，很明显还差一块不规则图形，而这个“凹四边形”又可以连接对角线转化为我们熟悉的三角形： 观察发现其实就是将原来的六边形“割”出两个三角形再平移，很容易想到因为题目都给我们“割”好了。 【详解】根据分析，将平移使得与重合，将平移使得与重合，此时、都重合到图中的。这样就组成了一个长方形，它的面积与原六边形的面积相等。 显然长方形的面积为47×43＝2021（平方厘米），所以六边形的面积为2021平方厘米。 14. 如图，六边形为正六边形，为对角线上一点。三角形的面积是5，三角形的面积是6，正六边形的面积是（ ）。 【答案】33 【解析】 【分析】由图可知，P在对角线CF上，正六边形边长都相等，BC＝EF，P到BC的距离加上P到EF的距离，刚好是BC和EF两条边之间的距离，是固定值，连接BF、CE，求出六边形和三角形BCP的面积与三角形EFP的面积和的数量关系，代入数值计算即可。 【详解】正六边形的六条边都相等，每个角都是120°，每一组对边都互相平行，正六边形可以看作是由六个正三角形拼成的，如图（1）。其中正六边形的面积是正三角形面积的6倍，每相邻两个正三角形拼成的是一个平行四边形，如图（2），连结BF，三角形ABF的面积是平行四边形ABFO面积的一半，六边形ABCDEF的面积是平行四边形ABFO的3倍，故六边形ABCDEF的面积是三角形ABF面积的6倍，如图（3），连接BF，CE，三角形BCP的面积与三角形EFP的面积和是平行四边形BFEC面积的一半．而六边形ABCDEF的面积是平行四边形BFEC的1.5倍，故六边形ABCDEF的面积是三角形BCP的面积与三角形EFP的面积和的3倍。 所以，由△PBC、△PEF的面积分别为5与6，可知正六边形ABCDEF的面积是（5＋6）×3＝11×3＝33。 【点睛】 15. 如下图所示，的面积是81平方厘米， 是的中点。那么三角形的面积是（ ）平方厘米。 【答案】36 【解析】 【分析】本题已知两个比例，求第三个比例，关键在于找到比例模型。常见的比例模型有鸟头模型、相似模型、燕尾模型等，选择相似模型进行转化。 首先要用上D是AE的中点这一结论，就是要将AD、AE转化到一组“8字”三角形的对应边中去。观察到目前还没有这样的三角形，因此我们将三角形BDE“旋转”180°变为三角形MDA，这样一来，AM＝BC，BD＝DM，我们本来就知道BE与CE的比，目前相当于把BE转移到了AM，可以发现另一组相似三角形（也是“8”字）三角形AMF与三角形CBF，其上正好有我们要的AF∶FC（作为一组对应边出现了），问题转化为求AM∶BC，而我们刚刚已经将BE转化为AM；BC转化为BE＋CE，可以直接根据份数关系计算了。 得到AF∶FC后，S△ABF的面积就只需要根据底边的比按比分配就能计算了。 【详解】作AM∥BC交BF的延长线于点M，设CE＝x，BE＝4x； 因为AM∥BC，AD＝DE，所以AM＝BE＝4x； 同样地，因为AM∥BC，所以AF∶FC＝AM∶BC＝4x∶5x＝4∶5＝0.8； S△ABF＝（平方厘米）。 16. 所有的三位数相乘，积的末尾有（ ）个连续的0。 【答案】224 【解析】 【分析】乘积末尾连续0由因数2和因数5成对出现得到。范围是全部三位数，先找出最小三位数和最大三位数，再依次统计所有数里一共包含多少组因数2和因数5，组数少的那一个就是末尾连续0的个数。 计算三位数里因数5一共有多少个，就用1到999中因数5的总个数－1到99中因数5的总个数。 【详解】100到999，一共900个数。先算1~999中含因数5的数： 999除以5等于199（个）；999除以25等于39（个）；999除以125等于7（个）；999除以625等于1（个）， 所以1~999中含因数5的个数：（个） 99除以5等于19（个）；99除以25等于3（个）；（个）。 100到999，因数是5的总个数为：（个）。 因数是2的总个数一定远远大于因数是5的总个数，所以有224对因数2和因数5组成，积的末尾有224个连续的0。 17. 一个五位数恰好等于它各位数字和的1143倍，则这个五位数最小是（ ）。 【答案】20574 【解析】 【分析】先根据题目写出两者的数量关系，五位数等于数字和乘 1143，说明这个五位数是 1143 的倍数：设这个五位数的各位数字和为A，五位数＝1143×A； 一个数是9的倍数时，它的各位数字相加的和也会是9的倍数，所以先确定数字和是9的倍数：1143÷9＝127，1143是9的倍数，所以五位数是9的倍数，A也一定是9的倍数； 再从较小的9的倍数开始依次试算，算出对应五位数，同时核对五位数的数字和是否符合条件，最终找到最小的那个五位数。 【详解】根据分析，A要大于8，小于88，且A是9的倍数，依次从最小的9开始验算。 1143×9＝10287，各位数字和：1＋0＋2＋8＋7＝18，18≠9，不符合条件； 1143×18＝20574，各位数字和：2＋0＋5＋7＋4＝18，18＝18，符合条件。 因此，这个五位数最小是20574。 18. 纯循环小数写成最简分数时，分子和分母的和是60，则 （ ）。 【答案】9 【解析】 【分析】这种题解法固定，先化分数，再一个一个推算。三位纯循环小数转分数，分母固定是999，分子就是循环节组成的三位数。先把小数写成分数形式，再对分数进行约分，约分后分子加分母等于60。 先因数分解999，缩小数字范围，一步步找出符合条件的分子、分母是几。列举999的因数：1、3、9、27、37、111…，111及更大数超过60，肯定不用想了，只保留9、27、37，一个一个试，看哪种情况下加起来是60。 【详解】根据分析依次检验： 分母为9：60－9＝51，51＞9，不符合； 分母为27：60－27＝33，33＞27，不符合； 分母为37：60－37＝23，23＜37，符合。 37×27＝999，分子23×27＝621，原分数就是，循环节621，6＋2＋1＝9。 19. 从1到2021的所有自然数中，乘128后是完全平方数的数，共有（ ）个。 【答案】31 【解析】 【分析】完全平方数可以简单理解为能凑成两个相同数相乘之后的数。而这两个相同的因数可以再继续分解，如果能分解成一定数量的a×同样多的b×同样多的c……这样的形式，那它就是完全平方数。 乘128后是完全平方数，那就先要把128分解。根据上面的分析，完全平方数的每个质因数个数都是双数，才能写成同样多的某个因数的积的形式。要让一个数乘128后变成完全平方数，就要补齐质因数，确定这个数需要包含的因数形式。再结合数字范围1到2021，算出符合条件的数一共有多少个。 【详解】128＝2×2×2×2×2×2×2；7个质因数2，再补1个2，就有8个2，8是双数。所以这个数必须可以写成2×一个完全平方数。 设这个数为2×n×n，这个数只需小于2021； 2×n×n≤2021，n×n≤1010.5 n最大取31，n可以取1、2、3…31；共有31个。 20. 在等边三角形中有一点，其中，则三角形的面积为（ ）。 【答案】12 【解析】 【分析】已知等边三角形三条边相等且三个角都等于60°，因为62＋82＝102，猜测BO、CO与AO可能构成一个直角三角形。利用旋转法将分散的三条边集中到一个三角形中，判断角的关系，再通过三角形面积公式计算△BOC的面积。 【详解】将△BOC绕点B逆时针旋转60°，使BC与等边△ABC的BA边重合，得到△BDA。如下图所示。 由旋转性质可得：△BDA≅△BOC，因此BD＝BO＝6，AD＝CO＝8，∠DBO＝60°，S△BOC＝S△BDA。 因为BD＝BO＝6且夹角为60°，所以△BDO是等边三角形，得DO＝6，∠BDO＝60°。 在△ADO中，三边满足62＋82＝102，由勾股定理逆定理得△ADO是直角三角形，∠ADO＝90°。 ∠ADB＝∠ADO＋∠BDO＝90°＋60°＝150°，因此∠ADE＝180°－150°＝30°（E为A向BD延长线作垂线的垂足）。根据30°角对的直角边是斜边的一半，得高AE＝4，AD＝8。因此S△BDA＝×BD×AE＝×6×4＝3×4＝12。 【点睛】本题是小学奥数等边三角形内点问题的经典题型，核心技巧就是旋转构造法：利用等边三角形的60°内角，旋转后一定能凑出等边三角形＋直角三角形的经典组合，再结合直角三角形30°角的性质就能算出面积。 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $