精品解析：福建三明市宁化县2025-2026学年下学期第二阶段质量检测试卷八年级数学

2025-2026学年下学期第二阶段质量检测试卷 八年级数学 一、选择题（本大题共10小题，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键．根据因式分解的定义，对选项逐个分析即可． 【详解】解：，是整式的乘法，不是因式分解，故A选项错误； ，是整式的乘法，不是因式分解，故B选项错误； ，等式右边中的不是整式，不是因式分解，故C选项错误； ，把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，是因式分解，故D选项正确． 故选：D． 2. 对如图所示的变化顺序描述正确的是（ ） A. 轴对称、旋转、平移 B. 旋转、轴对称、平移 C. 平移、轴对称、旋转 D. 轴对称、平移、旋转 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称，平移以及旋转的定义，根据轴对称，平移以及旋转的定义判断即可． 【详解】解：由题意得：如图所示的变化顺序应为先轴对称，再平移，最后旋转， 故选：D. 3. 下列说法中，正确的是（ ） A. 是不等式的一个解 B. 是不等式的解集 C. 不等式的解集是 D. 是不等式的解集 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了不等式的解“使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解”、解集“一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集”，熟练掌握不等式的解和解集的定义是解题关键．根据不等式的解和解集的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、因为，所以是不等式的一个解，则此项正确，符合题意； B、因为，所以是不等式的一个解，则此项错误，不符合题意； C、因为，所以是不等式的一个解，则此项错误，不符合题意； D、因为，所以不是不等式的解集，则此项错误，不符合题意； 故选：A． 4. “的3倍与5的差不大于9”用不等式表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】不大于的含义是小于或等于，再根据语句列不等式即可得到答案． 【详解】解：“的3倍与5的差不大于9”用不等式表示为： 故选： 【点睛】本题考查的是列不等式，掌握不大于，不小于，超过，低于等这些词语的含义是解题的关键． 5. 如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三顶点的距离相等，凉亭的位置应选在（ ） A. 的三条中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条高所在直线的交点 D. 三边的中垂线的交点 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，根据线段垂直平分线的判定：与线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上即可确定凉亭位置，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵凉亭到草坪三个顶点的距离相等， ∴凉亭选择三条边的垂直平分线的交点，即凉亭选择三条边的中垂线的交点， 故选：． 6. 在中，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质得到，根据题意列出方程组，解方程组得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． 7. 已知一个等腰三角形一底角的度数为，则这个等腰三角形顶角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题根据等腰三角形两底角相等的性质，结合三角形内角和为即可计算出顶角度数． 【详解】解：∵等腰三角形的两个底角相等，已知一底角为， ∴顶角度数为． 8. 如图，一次函数 (b是常数)，与正比例函数 (k是常数，) 的图象相交于点 ，则关于x的不等式 的解集是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键． 利用图象法确定不等式的解集即可． 【详解】解：观察函数图象可知：当时，正比例函数的图象在一次函数的图象的上方， ∴关于x的不等式的解集是． 故选A． 9. 如图，从甲地到乙地有三条路线（每个拐角均为直角），分别是①甲→A→B→乙；②甲→C→B→乙；③甲→C→D→乙．则以下说法正确的是（ ） A. 路线①最短 B. 路线②最短 C. 路线③最短 D. 三条路线的长度一样 【答案】D 【解析】 【分析】根据图示，运用平移的性质解题即可． 【详解】解：如图所示， ①甲→A→B→乙：走的线段和为； ②甲→C→B→乙：走的线段和为，其中，， ∴； ③甲→C→D→乙：走的线段和为，其中，，， ∴； 综上所述，三条路线的长度一样， 故选：D ． 10. 如图，在中，，，平分交于点，为的中点，交于点，若，则的长为（ ） A. 8 B. C. 16 D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作，连接，根据角平分线的性质得到，再根据“在直角三角形中，所对的边是斜边的一半”求出，利用垂直平分线的性质得到，根据勾股定理求解． 【详解】解：如图所示，过点作交于点，连接， ， ∵平分，，， ∴，， ∵，， ∴，， 在中，，即， 解得 ， ∵为的中点，， ∴，， 则， ∴在中，， ， ∴． 二、填空题（本大题共6小题，共24分） 11. 已知不等式组的解集如图所示，则该不等式组的整数解有________个． 【答案】4 【解析】 【分析】根据不等式组的解集和数轴表示，确定不等式组的解集，然后选取整数解即可． 【详解】解：根据题意可知不等式组的解集为， 所以根据数轴可知其整数解为，，1，共4个． 12. 如图，AB垂直平分CD，AC＝6，BD＝4，则四边形ADBC的周长是________． 【答案】20cm 【解析】 【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出BC=BD，AC=AD，由此可得出结论． 【详解】解：∵AB垂直平分CD， ∴BC=BD，AC=AD． ​∵AC=6cm，BD=4cm， ∴四边形ADBC的周长=AC+AD+BC+BD=2×6+2×4=12+8=20（cm）． 故答案为20cm． 【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键. 13. 若实数，满足，，则的值是________． 【答案】5 【解析】 【详解】解：， 解得． 14. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，．将线段平移后得到线段，点在轴上，连接，．若的面积为，则四边形的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据点，，得，，又的面积为，求出的长，再根据平移规律即可求解． 【详解】解：∵点，， ∴，， ∵的面积为， ∴，即， ∴， ∵将线段平移后得到线段，点在轴上， ∴，，， ∴四边形的面积是． 15. 如图，蚂蚁点 出发，沿直线行走4米后左转36°，再沿直线行走4米，又左转36°，……；照此走下去，他第一次回到出发点,一共行走的路程是 _________ . 【答案】40米 【解析】 【分析】根据题意，蚂蚁走过的路程是正多边形，先用360°除以36°求出边数，然后再乘以4m即可． 【详解】∵每次蚂蚁都是沿直线前进4米后向左转36°， ∴蚂蚁走过的图形是正多边形， 边数n=360°÷36°=10， ∴蚂蚁第一次回到出发点M时，一共走了10×4=40米． 故答案为：40米． 【点睛】本题考查了正多边形的边数的求法，根据题意判断出蚂蚁走过的图形是正多边形是解题的关键． 16. 如图，直角中，，，，点是边上一点，将绕点顺时针旋转到点，则长的最小值是________． 【答案】## 【解析】 【分析】取的中点为点，连接，过点作，垂足为，在直角中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出的长，的度数，再根据线段的中点定义可得，从而可得，然后利用旋转的性质可得：，，从而利用等式的性质可得，进而利用证明，最后利用全等三角形的性质可得，再根据垂线段最短，即可解答． 【详解】解：取的中点为点，连接，过点作，垂足为， ， ，，， ，， 点是的中点， ， ， 由旋转得：，， ， ， ， ， ， ， 当时，即当点和点重合时，有最小值，且最小值为， 长的最小值是． 三、解答题（本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 因式分解： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解．先提取公因式，再根据完全平方公式计算即可． 【详解】解： ． 18. 如图，，，．求证：． 【答案】证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】通过“”证明，再由全等三角形的性质即可求证． 【详解】证明：略． 19. 解不等式：，并在下图的数轴上表示出它的解集． 【答案】，在数轴上表示见解析 【解析】 【分析】利用不等式的性质求出不等式的解集，再在数轴上表示即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 在数轴上表示如下图所示： 20. 在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三个顶点的位置如图所示．现将平移，使点与点重合．点，分别是点，的对应点． （1）请画出平移后的． （2）求的面积． 【答案】（1） （2）7 【解析】 【分析】（1）根据正方形网格找出点的平移方式，即可解出答案； （2）利用割补法将补成正方形，用正方形的面积减去3个直角三角形的面积求出答案． 【小问1详解】 解：根据正方形网格可知，点向下平移2个单位长度，向右平移6个单位长度， ∴点均按此方式平移，平移后图像如下图所示： ； 【小问2详解】 解：， ， ． 21. 某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如下表： ①篮球、足球、排球各买一个的价格为140元 ②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元 ③购买5个篮球与购买6个足球花费相同 （1）请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价； （2）若该学校要购买篮球，足球共10个，且足球的个数不超过篮球个数的2倍，请问购买多少个篮球时，花费最少，最少费用是多少？ 【答案】（1）每个篮球60元，每个足球50元 （2）当购买篮球4个的时候，所花费用最少 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式，一次函数的实际应用，正确的列出方程组，不等式和一次函数解析式，是解题的关键： （1）设每个篮球元，每个足球元，根据表格信息，列出二元一次方程组进行求解即可； （2）设蓝球有个，购买的总费用是元，根据题意，列出不等式求出的范围，列出一次函数解析式，根据一次函数的性质，求最值即可． 【小问1详解】 解：设每个篮球元，每个足球元，由题意，得： 或或，（三个方程组任选一个即可） 解得：； 答：每个篮球60元，每个足球50元． 【小问2详解】 设蓝球有个，则足球有个 ， 解得：， 设购买的总费用是元， ， ， 随着的减小而减小； ∵且为整数， 当最小值为4时，最小值为540元； 答：当购买篮球4个的时候，所花费用最少． 22. 如图，在中，，过点作，垂足为，且是边的中点． （1）求证：是等边三角形； （2）尺规作图：在线段上求作点，使得（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】（1）证明见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】1）先证垂直平分，得到，再由证得三边相等，由此证得结论； （2）作的角平分线即可求解． 【小问1详解】 证明：，是边的中点， 垂直平分， ， ， ， 是等边三角形； 【小问2详解】 解：如图所示， ∵是等边三角形，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 23. （综合与实践） 项目小组在超市包装部实习，帮助超市优化货品的包装问题．其中有一种规格的碗要装入包装盒，获得信息如下： 【信息1】碗以及叠放后的尺寸如图：（单位：cm） 【信息2】有两种长方体形状的包装盒尺寸（单位：cm）和成本（单位：元）如图： 【问题解决】 任务1：n个碗叠放后的总高度为L（单位：cm），请求出L与n的关系式． 任务2：叠放后的碗可横放，也可竖放，A盒最多可放入___________个碗，B盒最多可放入___________个碗． 任务3．若要买A盒或B盒若干分装上述规格的碗90个，问买这些盒子最少要多少元？ 【答案】任务1：； 任务2：A盒最多可放入10个碗，B盒最多可放入8个碗； 任务3：5.7元 【解析】 【分析】此题考查了一次函数的应用，不等式的解等知识，根据题意正确列出方程组和不等式是关键． 任务1：利用待定系数法求出函数解析式即可； 任务2：根据题意进行解答即可； 任务3：设A盒x个，B盒y个，据题意可得：，进一步分析进行解答即可 【详解】解：任务1：设关系式为：， 将代入上式得： 解得： 则； 任务2：叠放后的碗可横放，也可竖放，A盒最多可放入10个碗，B盒最多可放入8个碗． 任务3：设A盒x个，B盒y个，据题意可得： x，y为正整数且尽可能小，故方案有10种，分别为、、、、、、、、、 经计算买盒花费最少的方案是： 最少要（元） 24. 已知中，，，为内一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，． （1）如图，求证：； （2）如图，若，试说明：，，三点共线； （3）如图，在（）的条件下，当时，将沿翻折得到，交于点，连接．探究线段，与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3），理由见解析 【解析】 【分析】（）由旋转性质可得，，所以，即，然后证明，然后通过全等三角形的性质即可求解； （）由线段绕点逆时针旋转得到线段，得，则有，由（）知，，所以，得，所以，，三点共线； （）过点作于点，在取一点，使得，则，由题意可得，，得，都是等腰直角三角形，所以，则有，则，然后证明，所以，则有，故有，然后得是等边三角形，则有，证明，所以，得． 【小问1详解】 证明：线段绕点逆时针旋转得到线段， ，， ，即， 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 证明：线段绕点逆时针旋转得到线段， ，， ， ， ， 由（）知，， ， ， ，，三点共线； 【小问3详解】 解：，理由如下： 如图，过点作于点，在取一点，使得，则， 由题意可得，， ， ，都是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 是由翻折得到的， ，，，， ，， 是等边三角形，是等腰直角三角形， ，， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，即，，三点共线， ， ， 是等边三角形， ， 在和中， ， ， ， ． 25. 在平面直角坐标系中中，直线：（）与轴交于点，与轴交于点，点为坐标系原点，且的面积为． （1）求的值． （2）已知点，直线：（）与相交于点，与轴相交于点，连接，，且的最小值为，点为轴上一动点，连接，将线段绕着点逆时针旋转得到线段． ①求点的坐标及直线的表达式． ②点运动的过程中，若点始终在的内部（包括边界），直接写出满足条件的的取值范围． 【答案】（1） （2）①，直线的表达式为：；② ​ 【解析】 【分析】（1）先求出，， 根据是直角三角形，结合，即可求解； （2）①由（1）得，且恒过轴上定点， 作定点关于的对称点，则垂直平分线段，求出，根据，得出的最小值为，故是与的交点，求出直线的解析式，联立方程：，求出P； ②由旋转的性质，可得的坐标满足：，即在直线​上运动，求出直线与边界的交点，即可解答； 【小问1详解】 解：对于直线， 令得，故， 令得，故，  ∵是直角三角形， ∴， 解得， ， ； 【小问2详解】 解：①由（1）得， 整理， ∴恒过轴上定点，  作定点关于的对称点，在上， 则垂直平分线段， ∴， 设， 则，， 解得：， ∴， ∵， ∴，符合题中所给最小值， 故是与的交点， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为，即直线的表达式为； 联立方程：， 解得​​， ∴； ②如图，过点P作轴，与轴交于点，过点F作， 由旋转的性质，可得， ∵， ∴， ∴， ∴的坐标满足：， 即在直线​上运动， 令​，则，解得：， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 令​，则，解得：， ∵的三个顶点为、、， ∴直线​与边界的交点范围为：​， 代入得不等式：， 解得​． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年下学期第二阶段质量检测试卷 八年级数学 一、选择题（本大题共10小题，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 2. 对如图所示的变化顺序描述正确的是（ ） A. 轴对称、旋转、平移 B. 旋转、轴对称、平移 C. 平移、轴对称、旋转 D. 轴对称、平移、旋转 3. 下列说法中，正确的是（ ） A. 是不等式的一个解 B. 是不等式的解集 C. 不等式的解集是 D. 是不等式的解集 4. “的3倍与5的差不大于9”用不等式表示为（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三顶点的距离相等，凉亭的位置应选在（ ） A. 的三条中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条高所在直线的交点 D. 三边的中垂线的交点 6. 在中，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 已知一个等腰三角形一底角的度数为，则这个等腰三角形顶角的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，一次函数 (b是常数)，与正比例函数 (k是常数，) 的图象相交于点 ，则关于x的不等式 的解集是( ) A. B. C. D. 9. 如图，从甲地到乙地有三条路线（每个拐角均为直角），分别是①甲→A→B→乙；②甲→C→B→乙；③甲→C→D→乙．则以下说法正确的是（ ） A. 路线①最短 B. 路线②最短 C. 路线③最短 D. 三条路线的长度一样 10. 如图，在中，，，平分交于点，为的中点，交于点，若，则的长为（ ） A. 8 B. C. 16 D. 二、填空题（本大题共6小题，共24分） 11. 已知不等式组的解集如图所示，则该不等式组的整数解有________个． 12. 如图，AB垂直平分CD，AC＝6，BD＝4，则四边形ADBC的周长是________． 13. 若实数，满足，，则的值是________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，．将线段平移后得到线段，点在轴上，连接，．若的面积为，则四边形的面积是______． 15. 如图，蚂蚁点 出发，沿直线行走4米后左转36°，再沿直线行走4米，又左转36°，……；照此走下去，他第一次回到出发点,一共行走的路程是 _________ . 16. 如图，直角中，，，，点是边上一点，将绕点顺时针旋转到点，则长的最小值是________． 三、解答题（本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 因式分解： 18. 如图，，，．求证：． 19. 解不等式：，并在下图的数轴上表示出它的解集． 20. 在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三个顶点的位置如图所示．现将平移，使点与点重合．点，分别是点，的对应点． （1）请画出平移后的． （2）求的面积． 21. 某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如下表： ①篮球、足球、排球各买一个的价格为140元 ②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元 ③购买5个篮球与购买6个足球花费相同 （1）请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价； （2）若该学校要购买篮球，足球共10个，且足球的个数不超过篮球个数的2倍，请问购买多少个篮球时，花费最少，最少费用是多少？ 22. 如图，在中，，过点作，垂足为，且是边的中点． （1）求证：是等边三角形； （2）尺规作图：在线段上求作点，使得（不写作法，保留作图痕迹）． 23. （综合与实践） 项目小组在超市包装部实习，帮助超市优化货品的包装问题．其中有一种规格的碗要装入包装盒，获得信息如下： 【信息1】碗以及叠放后的尺寸如图：（单位：cm） 【信息2】有两种长方体形状的包装盒尺寸（单位：cm）和成本（单位：元）如图： 【问题解决】 任务1：n个碗叠放后的总高度为L（单位：cm），请求出L与n的关系式． 任务2：叠放后的碗可横放，也可竖放，A盒最多可放入___________个碗，B盒最多可放入___________个碗． 任务3．若要买A盒或B盒若干分装上述规格的碗90个，问买这些盒子最少要多少元？ 24. 已知中，，，为内一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，． （1）如图，求证：； （2）如图，若，试说明：，，三点共线； （3）如图，在（）的条件下，当时，将沿翻折得到，交于点，连接．探究线段，与之间的数量关系，并说明理由． 25. 在平面直角坐标系中中，直线：（）与轴交于点，与轴交于点，点为坐标系原点，且的面积为． （1）求的值． （2）已知点，直线：（）与相交于点，与轴相交于点，连接，，且的最小值为，点为轴上一动点，连接，将线段绕着点逆时针旋转得到线段． ①求点的坐标及直线的表达式． ②点运动的过程中，若点始终在的内部（包括边界），直接写出满足条件的的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $