精品解析：福建省三明市宁化县2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题

2024~2025学年下学期期中质量检测试卷 八年级数学 （满分：150分 完卷时间：120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 1. 下列图形分别是桂林、湖南、甘肃、佛山电视台的台徽，其中为中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 2. 下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. 1，2， B. 6，8，10 C. 5，12，13 D. 1.5，2，3 3. 若等腰三角形顶角为80°，则该三角形底角的度数是（ ） A. 40° B. 50° C. 60° D. 80° 4. 下列从左到右的变形，是分解因式的是( ) A. B. C. D. 5. 如图，在四边形中，，，平分，若点是边上一动点，则的长的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 6. 不等式的非负整数解的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 无数个 7. 如图，直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解是（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系xOy中，已知点P（2，2），点Q在y轴上，△PQO是等腰三角形，则满足条件的点Q共有 A 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 9. 如图，两个大小一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着方向平移到的位置，若，则阴影部分的面积等于（ ） A B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，对于点，若x，y均为整数，则称点P为“整点”．特别地，当（其中）值为整数时，称“整点”P为“超整点”，已知点在第二象限，下列说法正确的是（ ） A. B. 若点P为“整点”，则点P的个数为3个 C. 若点P为“超整点”，则点P的个数为1个 D. 若点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和大于10 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 与2的差不大于5，用不等式表示为________． 12. 命题“如果，那么，”的逆命题是______命题．（填“真”或“假”） 13. 点向上平移3个单位长度后的对应点的坐标是_________． 14. 某品牌电脑的成本为2400元，售价为2800元，该商店准备举行打折促销活动，要求利润率不低于5%，则这种品牌的电脑最低可打___折销售． 15. 若代数式是一个完全平方式，则常数的值为__________. 16. 如图，已知等腰，，，于点，点是延长线上一点，点是线段上一点，，下面结论：；；；；其中正确的有______．（填上所有正确结论的序号） 三、解答题：本题共9小题，共86分． 17. 把下面各式分解因式： （1） （2） 18. 解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 19. 如图，已知三个顶点的坐标分别为，，， （1）若将△ABC 向右平移三个单位长度得到△A1B1C1，则点 A1 的坐标为________ （2）若△ABC 与△A2B2C2 关于原点 O 成中心对称，则点 A2 的坐标________； （3）画出△ABC 绕原点 O 顺时针旋转 90°后的对应图形△A3B3C3，并写出 A3 的坐标_____ 20. 先分解因式，再求值：，其中，． 21. 如图，在中，，，，、交于点O．判断是等腰三角形吗？说明理由 22. 如图，△ABC中． （1）尺规作图：在直线BC上求作一点P，使△APC是以AC为底边的等腰三角形（不写作法，保留作图痕迹） （2）若∠C＝60°，∠B＝90°，AC＝6，求BP的长． 23. 某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球，已知购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元． （1）求篮球和足球的单价分别是多少元． （2）学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5460元，那么有哪几种购买方案？ 24. 阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解． 例如． ． 根据以上材料，解答下列问题： （1）分解因式：； （2）求多项式的最小值； （3）已知a，b，c是的三边长，且满足，求的周长． 25. 提出问题： 如图1，点P为等边内部的一点，连接．当，，，的面积是多少？ 探究问题： 探究（一）如图2，将绕点A顺时针旋转后得到，连接、． 则与全等吗？请说明理由； 探究（二）如图2，将绕点A顺时针旋转后得到，连接、． 请判断是直角三角形吗？请说明理由． 提炼方法： 通过尝试你很容易发现：、可以作如同样的旋转，这样的旋转可以帮助我们把已知数据6、8、10，转化为特殊三角形的边长，使我们有可能进行图形面积的计算了． 解决问题： 如图1，点P为等边内部一点，连接．当，，，的面积是______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年下学期期中质量检测试卷 八年级数学 （满分：150分 完卷时间：120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 1. 下列图形分别是桂林、湖南、甘肃、佛山电视台的台徽，其中为中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形定义逐一分析即可． 【详解】A．∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B.∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．此图形旋转180°后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，故此选项符合题意； D∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选C． 【点睛】本题考查中心对称图形应用，掌握中心对称的概念是解决问题的关键． 2. 下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. 1，2， B. 6，8，10 C. 5，12，13 D. 1.5，2，3 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理，即如果三角形的三条边满足 则这个三角形是直角三角形，即可得出结果选D 【详解】A、 满足勾股定理的逆定理，故此项不选 B、满足勾股定理的逆定理，故此项不选 C、满足勾股定理的逆定理，故此项不选 D、不满足勾股定理的逆定理所以不能构成直角三角，故选此项 故选择D． 【点睛】本题考查勾股定理逆定理，掌握住勾股定理的逆定理是解题的关键． 3. 若等腰三角形顶角为80°，则该三角形的底角的度数是（ ） A. 40° B. 50° C. 60° D. 80° 【答案】B 【解析】 【分析】由已知顶角为80°，根据等腰三角形的两底角相等的性质及三角形内角和定理，即可求出它的一个底角的值． 【详解】解：∵等腰三角形的顶角为80°， ∴它的一个底角为（180°-80°）÷2=50°． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理．通过三角形内角和，列出方程求解是正确解答本题的关键． 4. 下列从左到右的变形，是分解因式的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义判断，利用排除法求解． 【详解】A、 是把一个多项式化为几个整式的积的形式，此选项符合题意； B、 中含有分式，此选项不符合题意； C、 不是把一个多项式化为几个整式的积的形式，此选项不符合题意； D、不是把一个多项式化为几个整式的积的形式，此选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查分解因式的定义，解题的关键是掌握分解因式的定义． 5. 如图，在四边形中，，，平分，若点是边上一动点，则的长的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，能知道当时，的长度最小是解此题的关键．根据垂线段最短得出当时，的长度最小，求出，根据角平分线的性质得出即可得出结论． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， 由垂线段最短得，时最小， 此时，． 故选：C． 6. 不等式的非负整数解的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 无数个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解的应用，能根据不等式的基本性质求出不等式的解集是解此题的关键．解不等式求出的范围，从而可求出的非负整数解． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴的非负整数解：2，1，0，共3个； 故选：C． 7. 如图，直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与一元一次不等式，正确数形结合分析是解题关键． 【详解】解：直线过点， ， ， ， 如图所示：关于的不等式的解是：． 故选：D． 8. 在平面直角坐标系xOy中，已知点P（2，2），点Q在y轴上，△PQO是等腰三角形，则满足条件的点Q共有 A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】B 【解析】 【详解】如图：满足条件的点Q共有（0，2）（0，2 ）（0，-2 ）（0，4）． 故选B． 9. 如图，两个大小一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着方向平移到的位置，若，则阴影部分的面积等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质．正确表示阴影部分的面积是解题的关键． 由平移的性质可知，，，，则，根据，计算求解即可． 【详解】解：由平移的性质可知，，，， ∴， ∴， 故选：B． 10. 在平面直角坐标系中，对于点，若x，y均为整数，则称点P为“整点”．特别地，当（其中）的值为整数时，称“整点”P为“超整点”，已知点在第二象限，下列说法正确的是（ ） A. B. 若点P为“整点”，则点P的个数为3个 C. 若点P为“超整点”，则点P的个数为1个 D. 若点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和大于10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了新定义，点到坐标轴的距离，各象限内点的特征等知识，利用各象限内点的特征求出a的取值范围，即可判断选项A，利用“整点”定义即可判断选项B，利用“超整点”定义即可判断选项C，利用“超整点”和点到坐标轴的距离即可判断选项D． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， ∴，故选项A错误； ∵点为“整点”， ， ∴整数a为，，0，1， ∴点P的个数为4个，故选项B错误； ∴“整点”P为，，，， ∵，，， ∴“超整点”P为，故选项C正确； ∵点为“超整点”， ∴点P坐标为， ∴点P到两坐标轴的距离之和，故选项D错误， 故选：C． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 与2的差不大于5，用不等式表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意直接列不等式即可． 【详解】根据题意可得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式的知识，解答本题的关键是理解“不大于”应用符号表示为“”． 12. 命题“如果，那么，”的逆命题是______命题．（填“真”或“假”） 【答案】真 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理，正确得到原命题的逆命题是解题的关键．先写出原命题的逆命题，再进行判断即可． 【详解】解：命题“如果，那么，”的逆命题是：如果，，那么， 这是一个真命题； 故答案为：真． 13. 点向上平移3个单位长度后的对应点的坐标是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点坐标的平移．熟练掌握点坐标的平移是解题的关键． 根据点坐标平移，上加下减求解作答即可． 【详解】解：由题意知，平移后的点坐标为，即， 故答案为：． 14. 某品牌电脑的成本为2400元，售价为2800元，该商店准备举行打折促销活动，要求利润率不低于5%，则这种品牌的电脑最低可打___折销售． 【答案】9 【解析】 【分析】可设x为打折后售出的价钱，则，可得x的取值范围，因为按最低折扣出售，则用最低售价x÷2800可得最低折扣． 【详解】解：由题意可知：设x为打折后售出的价钱 则：， 解得 当按最低折扣出售时，， 所以最低可打折为. 则可得最低折扣为九折． 故答案为：9折. 【点睛】本题考查学生对利润、进价、售价、利润率之间的关系的理解和一般代数式的求值，理解题目意思，熟练掌握利润率公式，正确建立不等式求解即可． 15. 若代数式是一个完全平方式，则常数的值为__________. 【答案】±12 【解析】 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值． 【详解】∵是一个完全平方式， ∴−k＝±12， 解得：k＝±12 故填：±12. 【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 16. 如图，已知等腰，，，于点，点是延长线上一点，点是线段上一点，，下面结论：；；；；其中正确的有______．（填上所有正确结论的序号） 【答案】 【解析】 【分析】连接，由线段垂直平分线的性质定理，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，角的和差求出；，由三角形的内角和定理，角的和差求出，再证明是等边三角形，得出，；据结论推出，在线段上截取，连接，由角的和差，等边三角形的判定与性质证明≌，再由线段的和差和等量代换求出，即可得出结果． 【详解】解：连接，如图所示： ，， ， 垂直平分线段， ， ， 又， ， ， 又在等腰中， ， ， ， ，故正确； 又， ， ，， ， 又，，， ， 又， ， 又， 是等边三角形， ，，故正确； ， 即，故正确； 在线段上截取点，使得，连接，如图所示： ，， ， 是等边三角形， ， 又是等边三角形， ， 又，， ， 在和中， ≌， ， 又，， ，故正确； 故答案为． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质定理、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、角的和差、线段的和差、等量代换等相关知识点；作辅助线构建等腰三角形、等边三角形、全等三角形是解题的关键． 三、解答题：本题共9小题，共86分． 17. 把下面各式分解因式： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先提取公因式3，再利用平方差公式分解即可； （2）先提取公因式a，再利用完全平方公式分解即可． 小问1详解】 解： 【小问2详解】 【点睛】此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法并灵活应用是解题的关键． 18. 解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】1≤x＜2．数轴见解析. 【解析】 【详解】分析：解一元一次不等式组的方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分；并把它的解集在数轴上表示出来即可． 详解： 解不等式①，得：x≥1； 解不等式②，得：x＜2； ∴原不等式组的解集是1≤x＜2． 点睛：此题主要考查了解一元一次不等式组的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 19. 如图，已知三个顶点的坐标分别为，，， （1）若将△ABC 向右平移三个单位长度得到△A1B1C1，则点 A1 的坐标为________ （2）若△ABC 与△A2B2C2 关于原点 O 成中心对称，则点 A2 的坐标________； （3）画出△ABC 绕原点 O 顺时针旋转 90°后的对应图形△A3B3C3，并写出 A3 的坐标_____ 【答案】（1）（1，1）；（2）（2，1）；（3）（-1，2） 【解析】 【分析】（1）根据网格结构找出向右平移后的点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可； （2）分别作出点A、B、C关于原点O成中心对称的对应点，顺次连接即可得； （3）分别作出点A、B、C绕坐标原点O顺时针旋转90°得到的对应点，再顺次连接可得． 【详解】（1）如图所示：△A1B1C1为所求作的图形，平移后点A对应的点A1的坐标是（1，1）； （2）如图所示：△A2B2C2为所求作的图形，翻折后点A对应点A2的坐标是（2，1）； （2）如图所示：△A3B3C3为所求作的图形，翻折后点A对应点A3的坐标是（-1，2）； 故答案为：（1，1），（2，1），（-1，2）． 【点睛】本题主要考查了作图-平移变换、轴对称变换、旋转变换，解题的关键是根据平移变换、轴对称变换和旋转变换的定义得到变换后的对应点． 20. 先分解因式，再求值：，其中，． 【答案】；64 【解析】 【分析】本题考查的是因式分解，求解代数式的值，先利用平方差公式，再利用完全平方公式分解因式，再代入数据进行计算即可. 【详解】解： ． 当，时， 原式 ． 21. 如图，在中，，，，、交于点O．判断是等腰三角形吗？说明理由 【答案】是等腰三角形，理由见解析 【解析】 【分析】根据等边对等角得到，根据斜边、直角边定理推出，得到，推出，根据等角对等边得到是等腰三角形． 【详解】是等腰三角形，理由： ∵中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴是等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形和全等三角形，解决问题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质． 22. 如图，△ABC中． （1）尺规作图：在直线BC上求作一点P，使△APC是以AC为底边的等腰三角形（不写作法，保留作图痕迹） （2）若∠C＝60°，∠B＝90°，AC＝6，求BP的长． 【答案】（1）见解析；（2）3 【解析】 【分析】（1）作AC的垂直平分线,交CB的延长线于点P，连接AP，即可得，即使是以AC为底边的等腰三角形； （2）根据是等腰三角形，得出是等边三角形，得，根据等边三角形三线合一得，故可得出答案． 【详解】（1）作图如下所示： （2）是等腰三角形，， 是等边三角形， ， ， ． 【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，掌握垂直平分线的性质以及等腰三角形三线合一是解题的关键． 23. 某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球，已知购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元． （1）求篮球和足球的单价分别是多少元． （2）学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5460元，那么有哪几种购买方案？ 【答案】（1）篮球和足球的单价分别是120元，90元 （2）有三种购买方案：方案一：购买篮球30个，足球20个；方案二：购买篮球31个，足球19个；方案三：购买篮球32个，足球18个 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用： （1）设篮球和足球的单价分别是x元，y元，根据购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元列出方程组求解即可； （2）设购买篮球m个，则购买足球个，根据购买费用不超过5460元，且篮球不少于30个列出不等式组求解即可． 【小问1详解】 解：设篮球和足球的单价分别是x元，y元， 由题意得，， 解得， 答：篮球和足球的单价分别是120元，90元； 【小问2详解】 解：设购买篮球m个，则购买足球个， 由题意得，， 解得， ∵m为正整数， ∴m的值可以为30或31或32， ∴有三种购买方案：方案一：购买篮球30个，足球20个；方案二：购买篮球31个，足球19个；方案三：购买篮球32个，足球18个． 24. 阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解． 例如． ． 根据以上材料，解答下列问题： （1）分解因式：； （2）求多项式的最小值； （3）已知a，b，c是的三边长，且满足，求的周长． 【答案】（1） （2）的最小值为 （3）12 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用，熟练掌握配方法是解题的关键： （1）利用配方法，结合平方差公式法进行因式分解即可； （2）利用配方法以及完全平方的非负性，进行求解即可； （3）移项后，利用配方法以及完全平方的非负性，求出的值，进而求解即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 ， ∵， ∴， ∴的最小值为； 【小问3详解】 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴周长． 25. 提出问题： 如图1，点P为等边内部的一点，连接．当，，，的面积是多少？ 探究问题： 探究（一）如图2，将绕点A顺时针旋转后得到，连接、． 则与全等吗？请说明理由； 探究（二）如图2，将绕点A顺时针旋转后得到，连接、． 请判断是直角三角形吗？请说明理由． 提炼方法： 通过尝试你很容易发现：、可以作如同样的旋转，这样的旋转可以帮助我们把已知数据6、8、10，转化为特殊三角形的边长，使我们有可能进行图形面积的计算了． 解决问题： 如图1，点P为等边内部的一点，连接．当，，，的面积是______． 【答案】探究（一）：，理由见解析；探究（二）是直角三角形，理由见解析；解决问题： 【解析】 【分析】探究（一）：利用即可证明； 探究（二）：由全等三角形的性质得到，由旋转的性质证明是等边三角形，得到，再根据勾股定理的逆定理即可判断是直角三角形； 解决问题：将绕点C顺时针旋转后得到，同理求得是等边三角形，是直角三角形，求得，作交的延长线于点，则，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得的边长，据此即可求解． 【详解】解：探究（一）：，理由如下： 由旋转的性质知，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴； 探究（二）：∵， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴直角三角形； 解决问题：将绕点C顺时针旋转后得到，连接、． 同理，是等边三角形，是直角三角形，且， ∴， 作交的延长线于点，则， ∴，， ∴， ∴， 作于点， 则，， ∴的面积 ． 【点睛】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形性质和勾股定理和勾股定理的逆定理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $