2026年中考数学复习《几何图形最值问题》考前冲刺选择题专题提升训练

**基本信息** 聚焦几何图形最值四大核心模块，以“问题情境—方法提炼—逻辑迁移”为主线，系统整合展开、轴对称、隐圆、胡不归问题的解题策略，强化空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平面展开最短路径|5题（长方体/圆柱/圆锥展开）|化曲为平，展开图构造直角三角形用勾股定理|立体图形平面化，空间观念向平面几何转化| |轴对称最短路径|5题（将军饮马/角内动点）|作对称点转化，利用“两点之间线段最短”|轴对称性质与三角形、多边形性质结合| |隐圆问题|5题（定角定长/旋转轨迹）|确定动点轨迹（圆），利用圆的性质求最值|圆周角定理、圆的定义与几何图形动态变化结合| |胡不归问题|5题（加权线段和）|构造三角函数或对称点，转化为垂线段最短|三角函数定义与线段和差最值的代数化处理|

2026年九年级数学中考复习《几何图形最值问题》考前冲刺选择题专题提升训练（附答案） 一、平面展开最短路径问题 1．攀岩是一项在天然岩壁或人工岩壁上进行的向上攀爬的运动项目．如图，攀岩墙可近似看成一个长方体的两个侧面．小天根据学过的数学知识准确地判断出从点A攀爬到点B的最短路径长为（   ）． A．14 B．12 C．10 D． 2．如图，长方体盒子（有盖）的长、宽、高分别是，在中点处有一滴蜜糖，一只小虫从处爬到处去吃，有多种走法，则最短路程是（    ）． A．25 B．20 C．24 D．28 3．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（   ） A． B． C． D． 4．在一个长为、宽为、高为的长方体上，居中截去一个长为、宽为、深为的长方体后，得到一个如图所示的几何体．一只蚂蚁要从该几何体的顶点处，沿着几何体的表面到几何体上和相对的顶点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长为（    ） A． B． C． D． 5．如图所示，圆锥的母线长为4，底面圆半径为1，若一小虫从点开始绕着圆锥表面爬行一圈到的中点，求小虫爬行的最短距离是多少?（　　） A． B． C． D． 二、轴对称确定最短路径问题 6．如图，等边的边长为4，是边上的中线，F是边上的动点，E是AC边上一点，若，当取得最小值时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，的面积为18，，平分，，分别是，上的动点，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．7 D．9 8．如图，点P位于内部，点M，N分别在射线，上．若，，则周长的最小值为（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 9．如图，，点M、N分别是边上的定点，P、Q分别是边上的动点，记，，当最小时，则（    ） A． B． C． D． 10．如图，在五边形中，，点P，Q分别在边，上，连接，， ，当的周长最小时，的度数为（    ）    A． B． C． D． 三、隐圆问题 11．如图，的半径为4，弦的长为，点P为优弧上一动点，交直线于点C，则的面积的最大值是（   ）    A． B． C． D． 12．如图，正方形的边长为4，点E是正方形内的动点，点P是边上的动点，且．连结，，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 13．矩形中，，，点为矩形内一点，使得．将绕点顺时针旋转，得到，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 14．如图，在菱形中，，点E在边上，且，F是边上一动点，将沿直线折叠，点D落在点N处，当点N在四边形内部（含边界）时，的长度的最大值是（   ） A． B．         C．        D． 15．如图，是半径为3半圆O的直径．是圆中可移动的弦，且，连接相交于点P，弦从C与A重合的位置开始，绕着点O顺时针旋转，则交点P运动的路径长是（   ） A． B． C． D． 四、胡不归问题 16．如图，在中，，，，若是边上的动点，则的最小值（    ） A． B． C． D． 17．如图，矩形，，，点是边上的动点，点F是射线BC上的动点，且，连接，．若，则m的最小值为（    ）    A． B． C． D． 18．如图，在矩形中，，，E，F分别是，上的点．现将四边形沿折叠，点A、B的对应点分别为M、N，且点N恰好落在上．连接，过B作，垂足为G，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D．7 19．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点A，C两点，与y轴交于点B，对称轴与x轴交于点D，若P为y轴上的一个动点，连接，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 20．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A、C两点，与x轴交于点，若P是x轴上一动点，点D的坐标为，连接PD，则的最小值是（    ） A．4 B． C． D． 参考答案 1．解：如图，平面展开图如下所示， 则， 即从点A攀爬到点B的最短路径长为． 2．B 【分析】本题考查了勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理，长方体表面展开图，分类讨论是解答本题的关键． 先将长方体的表面展开，再根据两点之间线段最短的性质连接，结合勾股定理计算比较即得，即可． 【详解】解：如图，连接， 当小虫从处爬到处经过侧面时， 由于底面是正方形， ∴4个侧面相同． ∴经过前面和右面与经过左面和后面最短路径相等． 只计算经过前面和右面最短路径，如图1． ∵点C是中点，， ∴． ∵底面宽为8， ∴． ∵， ∴． 当小虫经过底面和侧面时，如图2， ， ∴． ∵， ∴最短路程是． 故选：B．    3．C 【分析】本题考查了轴对称，勾股定理，圆柱的展开图，两点之间线段最短，熟练掌握轴对称，勾股定理是解题的关键．把圆柱侧面展开，作点关于的对称点，过点作的交的延长线于点，连接交于点，根据两点之间线段最短，可知最短路径为，最后利用勾股定理解答即可． 【详解】解：将圆柱侧面展开，作点关于的对称点，过点作交的延长线于点，连接交于点，如图所示： ，， 蚂蚁吃到饭粒的路径为，此时路径最短， 透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点处， ，，，， ， ， ． 蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是． 故选：C． 4．C 【分析】本题考查了长方体展成平面图形，熟练掌握两点之间线段最短，利用勾股定理求最短路径，是解答本题的关键． 根据两点之间线段最短即可确定蚂蚁爬行的最短路径为，利用勾股定理求出，由此得到答案． 【详解】解：如图，将图中的几何体上表面展开，连接，则蚂蚁需要爬行的最短路径为的长， 根据题意得： ，， 由勾股定理得：， ， 蚂蚁需要爬行的最短路径的长为， 故选． 5．D 【分析】本题主要考查了勾股定理和圆锥的侧面展开图．圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．将圆锥的侧面展开如图所示，取的中点C，连接，则是小虫爬行的最短路线． 【详解】解：如图，将圆锥侧面沿母线展开，取的中点C，连接，则是小虫爬行的最短路线． ∵， ∴ ，即． ∵， ∴ ． ∴ 小虫爬行的最短距离为． 故选：D 6．C 【分析】先作点关于对称的点，连接，与交于点，根据“将军饮马”模型，得出此时取得最小值，再根据等边三角形的性质可得结果． 【详解】解：如图，作点关于对称的点，连接，与交于点， ∵是等边三角形，是边上的中线， ∴，， ∴点在上， ，， ， 此时，取得最小值． ，， 点为的中点， 平分， ． 7．A 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，关键是将的最小值转化为； 过点作于点，交于点，过点作于点，则即为的最小值，再根据三角形的面积公式求出的长，即为的最小值． 【详解】解：如图所示，过点作于点，交于点，过点作于点， ∵平分，，， ∴， ∴，此时的值最小， ∵的面积为18，， ∴， ∴， 即的最小值为， 故选：A． 8．A 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，等边三角形的判定和性质．将三角形的周长利用轴对称转化为线段的长，构造等边三角形是解题的关键．设点关于的对称点为，关于的对称点为，根据当点、在上时，的周长最小，再结合等边三角形的判定和性质即可解答． 【详解】解：如图，分别作点P关于，的对称点C，D，连接，，，，． 点P关于的对称点为点C， ，，， 点P关于的对称点为点D， ，，， ，， 是等边三角形， ， 的周长， 即周长的最小值是7． 故选：A． 9．B 【分析】本题考查用轴对称求最短路径问题，三角形外角的性质，正确作出图形是解题的关键． 作点M关于的对称点，点N关于的对称点，连接交、于P、Q，此时，最小，根据轴对称的性质可得出，，从面可求得，，代入即可求解． 【详解】解：作点M关于的对称点，点N关于的对称点，连接交、于P、Q，此时，最小， 由轴对称的性质得：，， ∴， ∵， ， ∴， 故选：B． 10．B 【分析】本题考查轴对称图形的性质．延长到点G使得，延长到点F使得，连接交、于点、，则这时的周长最小，根据无变形的内角和求出的度数，根据轴对称的性质得到，，然后计算解题即可． 【详解】解：延长到点G使得，延长到点F使得，    ∵， ∴、垂直平分、， 连接交、于点、， 则，， ∴，这时的周长最小， ∵ ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴，， ∴， 故选：B． 11．C 【分析】如图，选取圆心，连接，，过点O作于点D．证明，判断出点C在以为圆心，为半径的圆上运动可得结论． 【详解】解：如图，选取圆心，连接，，过点O作于点D．    ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点C在以为圆心，为半径的圆上运动， 当点在的垂直平分线上时，的面积最大， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴面积的最大值． 故选：C． 【点睛】本题考查圆周角定理，等边三角形的判定和性质，垂径定理，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是判断出点C的运动轨迹． 12．A 【分析】先证明，即可得点E在以为直径的半圆上移动，设的中点为O，作正方形关于直线对称的正方形，则点D的对应点是F，连接交于P，交半圆O于E，根据对称性有：，则有：，则线段的长即为的长度最小值，问题随之得解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点E在以为直径的半圆上移动， 如图，设的中点为O， 作正方形关于直线对称的正方形， 则点D的对应点是F， 连接交于P，交半圆O于E， 根据对称性有：， 则有：， 则线段的长即为的长度最小值，E ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故的长度最小值为， 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线，得出点E的运动路线是解题的关键． 13．A 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，矩形的性质，旋转的性质．取的中点，连接，先判断出点在上运动，当共线时，有最小值，据此求解即可． 【详解】解：取的中点，连接， 由旋转的性质知：， ∴点在上运动， ∴当共线时，有最小值， 由旋转的性质知：，， ∴,， ∴， ∴的最小值为， 故选：A． 14．A 【分析】根据题意可知，点在以为圆心，长为半径的圆上运动．由此可找出临界点，当点落在上时，最短，当点落在边上时，最长．根据轴对称的性质分别求解，可得出的取值，进而得最大值． 【详解】解：根据题意可知，点在以为圆心，长为半径的圆上运动， 如图所示： 当点正好落在边上时， ， 是等边三角形， ， 最短， 此时； 当点落在边上时，最长， 过点作于点，分别过点作的垂线，交的延长线于点． 四边形是矩形， 在菱形中，，， 点在边上，且， ，，，， ， ， ，，， 在中，，， ， ， ， 设，则，， 在中， 由勾股定理可知，， 即， 解得， ， 故答案为：A． 【点睛】本题在折叠的背景下考查菱形的性质，矩形的性质，含角的直角三角形，勾股定理等知识，得出点N的运动轨迹并找到临界点是解题关键． 15．A 【分析】连接，先导角得到，作的外接圆，记为，连接，那么点P的轨迹为劣弧，即路径长劣弧的长度，则，连接，解直角三角形得到，路径长为． 【详解】解：连接， 由题意得，， ∴为等边三角形， ∴， 当弦从C与A重合的位置开始，绕着点O顺时针旋转时， 即， ∴此时点D与点B，P重合， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 作的外接圆，记为，连接， ∴点P的轨迹为劣弧，即路径长劣弧的长度， ∴， 连接，∵为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴路径长为：， 故选：A． 【点睛】本题考查了圆周角定理，弧长公式，解直角三角形，等边三角形的判定与性质等知识点，难度较大，解题的关键在确定点P的运动轨迹． 16．B 【分析】作点A关于BC的对称点A'，连接AA', A'D,过D作DE⊥AC于E，易得2DE = CD，AD= A'D，从而得出AD+ DE = A'D+ DE，当A'，D, E在同一直线上时，AD + DE的最小值等于A' E的长是3，进而求出2AD十CD的最小值． 【详解】如图所示，作点A关于BC的对称点A',连接AA', A'D,过D作DE⊥AC于E ∵∠BAC = 90o，∠B = 60o，AB= 2 ∴BH=1,AH=,AA'=2，∠C= 30o ∴DE =CD,即2DE = CD ∵A与A'关于BC对称 ∴AD= A'D ∴AD+ DE = A'D+ DE ∴当A'，D, E在同一直线上时 AD + DE的最小值等于A' E的长, 在Rt△AA' E中：A' E= sin60o×AA'=×2= 3 ∴AD十DE的最小值为3 ∴2AD十CD的最小值为6 故选B 【点睛】本题主要考查了三角形的动点最值问题，做完辅助线后先求出AD + DE的最小值是解题关键． 17．C 【分析】延长到G，使，连接、，得到，从而可得，再利用勾股定理即可求出最小值． 【详解】解：如图，延长到G，使，连接、，    在矩形，， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴，即， ∵， ∴， ∴当G、E、C三点共线时，m取最小值为GC， ， ∴m的最小值为． 故选C． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质、最短距离问题，一般求两条线段最短距离问题，都转化为一条线段．本题通过构造，得到，利用两点间线段最短解决m取最小值的问题． 18．A 【分析】连接，，延长到J，使得，连接，证明，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：连接，，延长到J，使得，连接． 由翻折变换的性质可知垂直平分线段，， ， ，G，N三点共线， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ，， ， ， 的最小值为． 故选：A． 【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，翻折变换，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称变换的性质解决最短问题． 19．A 【分析】作射线，作于E，作于F，交y轴于，可求得，从而得出，进而得出，进一步得出结果． 【详解】解：如图， 作射线，作于E，作于F，交y轴于， 抛物线的对称轴为直线， ∴， 当时，， ∴， 当时，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，当点P在时，最小，最大值等于， 在中，，， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题以二次函数为背景，考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，解直角三角形等知识，解决问题的关键是用三角函数构造． 20．A 【分析】过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H，根据，求出的最小值即可解决问题． 【详解】解：连接BC，过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H． ∵二次函数的图像与x轴交于点， ∴b＝2， ∴二次函数的解析式为，令y＝0，-x2+2x+3＝0， 解得x＝﹣1或3， ∴A（﹣1，0）， 令x＝0，y=3， ∴B（0，3）， ∴OB＝OC＝3， ∵∠BOC＝90°， ∴∠OBC＝∠OCB＝45°， ∵D（0，-1）， ∴OD＝1，BD＝4， ∵DH⊥BC， ∴∠DHB＝90°， 设，则, ∵， ∴， ∴， ∴， ∵PJ⊥CB， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴DP+PJ的最小值为， ∴的最小值为4． 故选：A． 学科网（北京）股份有限公司 $