2026年山东省菏泽市鄄城县二模数学试题

**基本信息** 注重数学眼光、思维与语言的综合考查，通过真实情境与梯度问题设计，适配初中二模备考需求 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|8题86分|函数应用、几何证明、统计分析|结合科技情境设计函数建模题，考查模型意识；几何探究题设置多问梯度，发展推理能力与创新意识|

2025-2026学年度第二次质量监测 九年级数学参考答案 一、选择题（每小题3分，共30分） 2 3 4 5 6 1 D D A B D B 0 二、填空题（每小题3分，共18分） 11.4(x+y)(x-y)12.1513.m<-414.V515.甲16.3 17.(8分)【详解】解：原式=25-1+(-2)-(N2-)+2×5 3分 2 =2√5-1-2-V2+1+√2 6分 =2V3-2. 8分 18.(8分)【详解】证明：在菱形ABCD中，AB=AD,∠B=∠D, :∠BAF=LDAE, .∠BAE+∠EAF=∠EAF+∠DAF,.∠BAE=∠DAF, 3分 I∠B=∠D 在△BAE和△DAF中AB=AD 6分 ∠BAE=∠DAF △BAE=△DAF,.BE=DF. 8分 19.(8分)【小问1详解】 解：设DE=x,:AB=DF=4,∠ACB=30°，.AC=8, .:∠ECD=60°，.∠ACE=180°-30°-60°=90°，.△ACE是直角三角形，1分 .AF/BD,∴.∠CAF=30°， 2分 ∴.∠CAE=60°，∠AEC=30°，.AE=16, 3分 ∴.Rt△AEF中，EF=8,即x-4=8,解得x=12,∴.树DE的高度为12米；4分 【小问2详解】 解：延长NM交DB延长线于点P,则AM=BP=6, M 4430° 台阶 30605 B C D 由1)知CD=CE=xtan60°AC=xV5AC=45,BC=4N5, 2 .PD=BP+BC+CD=6+4V3+4V3=6+8V3, 5分 ∠NDP=45°，且∠NPD=90°，.NP=PD=6+8√5， 6分 .NM=NP-MP=6+8V3-4=2+8V3, ∴.食堂MN的高度为(2+8V3)米. 8分 20.(8分)解：将九年级(1)班视力数据排列为4.6,48,4.8,4.9,4.9,4.9,4.9,4.9,5.0,5.1 ∴.中位数为(4.9+4.9)÷2=4.9，即a=4.9,落在B部分； 2分 【小问2详解】 解：根据九年级(2)班数据，可知4.65~4.85中的频数为4，补全频数直方图如图所示， ◆频数 4分 0Y454.654.855.055.25视力 【小问3详解】 解：由九年级(2)班视力数据可知，众数为4.8，即b=4.8; 6分 【小问4详解】 解：由九年级(2)班视力数据可知，10人中有3人视力在4.85-5.05，故50人中视力在4.85-5.05的人数 为：50×3=15（人） 8分 10 21.(9分)解：如图，连接OC, D .CD是⊙O的切线，∴.OC⊥CD,.∠OCD=90°， 1分 :CD⊥EB,∴.∠D=90°，∴.∠D+∠OCD=180°，∴.OC/ED, 2分 ∴.∠BOC=∠ABE, BC=BC,∠BOC=2∠A, 3分 ∠ABE=2LA; 4分 【小问2详解】 解：如图，连接BC, D E :AB是⊙O的直径，∴.∠ACB=90°， BC=BC,∠A=LE,.tan∠A=tan∠E, 5分 在Rt△ABC中，tan∠A=BC- ,.AC=2BC, 6分 AB=AC2+BC2=(2BC)2+BC2=5BC=25, ∴.BC=2,AC=4, 7分 .∠ACB=∠OCD=90°，∴.∠ACB-∠OCB=∠OCD-∠OCB,即∠ACO=∠BCD, OA=OC,∴∠A=∠ACO,.∠A=∠BCD, 又：∠ACB=∠D=90°，∴.△ABC∽△CBD, 8分 :CD=BC.CD 2 ACAB42·CD=4V5 ，CD的长是4V5 9分 5 22.(9分)解：一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=上的图象交于点A(-3,m),B(L,-3): 飞1x(-3)=-3,名=-3m,k三3，m=1,y=-A-3,),2 「-3k+b=1 4分 k+b=-3 解得 : b=-2’y=-x-2: 【小问2详解】 解：设直线AB交y轴于点D, :y=-x-2,∴.当y=0时，x=-2,x=0时，y=-2,.C(-2,0),D(0,-2), SAaos =SAane+SAnoc =x2x1+x2x3=4 6分 设P0p.Sm=5o+5m=分21p+2斗p+2=2p+2斗 8分 8m号m4-子+2，p+24 .p=2或p=-6,.点P的坐标为(0,2)或(0，-6)： 9分 a-b-3=0 23.(10分)解：将点A(-1,0),B(3,0)分别代入得： 9a+3b-3=0 a=1 解得： ∴.抛物线解析式为y=x2-2x-3: 3分 b=-21 【小问2详解】 解：①由抛物线解析式y=x2-2x-3得，当x=0时，y=-3,.C(0,-3), A(-1,0),B(3,0), ∴.OB=OC,tan∠ACO= 3'∠0CB=∠0BC=45°， 1 4分 过点C作CMx轴交抛物线于点M, VA .∠BCM=∠OBC=45°， :∠DCB=∠ACB,∠MCD=∠AC0,tan∠MCD=tan∠ACO=, 5分 过点D作DN⊥CM于点N,设点D(t,t2-2t-3), 在Rt△CDN中，tam∠MCD=DN_L, CN3' -3-0-21-3)1 5 t 2=36=36=0(舍去)， 7分 ②如图，点D是直线BC下方的搅物线上一动点，0<2m<3,:0<m<3 B .点D横坐标为2m,DE⊥x轴， ∴.D(2m,4m2-4m-3),E(2m,2m2+1m), .DE=2m2+m-(4m2-4m-3)=-2m2+5m+3=-2(m- +1 9 9分 5 m≥二时，DE的长度随m的增大而减小， 4 ,5 3 ∴.当二≤m<三时，DE的长度随m的增大而减小. 10分 24.(12分)①证明：四边形ABCD是正方形，∴.∠BAD=∠ABC=∠C=∠D=90°， ,将△BCE绕点B按逆时针方向旋转90°至△BAM, ,BE=BM,∠BAM=∠C=90°，∠EBC=∠MBA,AM=CE, ∴.∠BAM+∠BAD=180°，∠EBC+∠ABE=90°=∠MBA+∠ABE=∠MBE, ∴.点M在DA的延长线上， .∠EBF=45°，∴.∠MBF=∠MBE-∠EBF=90°-45°=45°，.∠MBF=∠EBF, BM=BE 在△BFM和△BFE中， ∠MBF=∠EBF, BFBF :△BFM≌△BFM(SAS),FM=EF, .FM=AF+AM=AF+CE,∴.EF=AF+CE,.AF+EC=EF成立；2分 ②解：DF=5,DE=12,∠D=90°，.EF=VDF2+DE2=V52+122=13, ∴.AF+EC=13,.AD+CD=(AF+EC)+DF+DE=13+5+12=30, .正方形ABCD的周长为30×2=60 4分 【小问2详解】 解：AM2+NC2=MW2,理由如下： 将△BCN绕点B逆时针旋转90°得△BAG,连接GM,如图： G E 由旋转性质可得：△BCN三△BAG, ∴.∠CBN=∠ABG,CN=AG,∠BCN=∠BAG,BN=BG, ∴.∠CBN+∠ABN=90°=∠ABG+∠ABN=∠GBN, .∠MBN=45°， ∴.∠MBG=∠GBN-∠MBN=90°-45°=45°，.∴.∠MBN=∠MBG, :BM=BM,BN=BG,.△BMN=△BMG(SAS), .∴.MN=GM, 6分 AE =CF,AE//CF, ∴.四边形AECF是平行四边形，∴.CE∥AF,∴.∠BEC=∠BAM, :∠BCN+∠BEC=90°，∴.∠BAG+∠BAM=90°，即∠GAM=90°， .AM2+AG2=GM2,.AM2+NC2=MN2. 8分 【小问3详解】 解：过C作CH⊥BD于H,连接HE,设MN交BC于K,如图： A D H .四边形ABCD是正方形，∠DCB=90°，BC=DC,∠DBC=45°， ~CH⊥BD,:H为BD中点，△BCH是等腰直角三角形， BC=2, CH :E为DN的中点，.HE是△BDN的中位线，∴.BN=2HE,HEI∥BN, :∠PQB=45°，∠DBC=45°，.△BPQ是等腰直角三角形， 10分 .将△BPQ绕点B按顺时针方向旋转（旋转角小于45°）至△BMN, ∴.△BMN是等腰直角三角形，.∠BNM=45°，BN=√2BM, V28M=2HE,÷BM:2,六BC=B=2, ·HE CH HE ∠BNK=45°=∠DBC,.∠BNK+∠KBN=∠DBC+∠KBN,即∠BKM=∠DBN, HEI/BN,.∠DHE=∠DBN,.∠BKM=∠DHE, ∴.90°-∠BKM=90°-∠DHE,即∠MBC=∠EHC,∴.△MBC∽△EHC, 0%-,即兴为5. 12分 CE 2025-2026学年度第二次质量监测 九年级数学试题 （时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把最后结果填在答题卡的相应位置） 1．-2026的相反数的倒数是（ ） A．2026 B． C．-2026 D． 2．斗方杯，明代嘉靖朝兴起，明清持续流行，其器型多为倒方台形，口大底小，口、底均为正方形．如图是一个倒置在茶台上的斗方杯和由它抽象出的几何体，则它的俯视图是（ ） A． B． C． D． 3．2025年春节期间，北京天安门广场观看升旗仪式预约系统开放1分钟涌入2870000请求，90后占比达61%．文旅部专家分析：“Z世代正用数字时代的仪式感，重构对国家的理解．”其中2870000用科学记数法表示为（ ） A． B． C． D． 4．如图，现将一块含有角的三角板的顶点放在直尺的一边上，若，那么的度数为（ ） A． B． C． D． 5．下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 6．实数，在数轴上的位置如图所示，则下列不等式变形中正确的是（ ） A． B． C． D． 7．如图，的顶点的坐标为，点在轴正半轴上，且，将先绕顺时针旋转，再向左平移2个单位，则点的对应点的坐标是（ ） A． B． C． D． 8．如图，在中，弦，相交于点，，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 9．如图，在矩形中，，，点为的中点，将沿折叠，使点落在矩形内点处，连接，则的长为（ ） A． B． C． D． 10．已知二次函数（是实数）．对于该二次函数图象上的两点，，当时，始终有成立．则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．因式分解______． 12．在一个不透明的口袋中装有5个红球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.25附近．则估计口袋中白球有______个． 13．若关于的一元二次方程没有实数根，则实数的取值范围是______． 14．计算：______． 15．某校为了选拔一名百米赛跑运动员参加市中学生运动会，组织了6次预选赛，其中甲，乙两名运动员较为突出，他们在6次预选赛中的成绩（单位：秒）如下表所示： 甲 12.0 12.0 12.2 11.8 12.1 11.9 乙 12.3 12.1 11.8 12.0 11.7 12.1 由于甲，乙两名运动员的成绩的平均数相同，学校决定依据他们成绩的稳定性进行选拔，那么被选中的运动员是______． 16．如图，平面直角坐标系中，在轴上，，点的坐标为，将绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在双曲线上，则的值为______． 三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）计算： 18．（8分）如图，在菱形中，点、分别在、边上，，求证：． 19．（8分）小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底处出发，向前走6米到达处，测得树顶端的仰角为，他又继续走下台阶到达处，测得树的顶端的仰角是，再继续向前走到大树底处，测得食堂楼顶的仰角为，已知点离地面的高度米，，且、、三点在同一直线上． （1）求树的高度； （2）求食堂的高度． 20．（8分）“呵护眼睛，从小做起”，每年6月6日为全国爱眼日．某学校为了解该校九年级学生视力健康状况，从九年级（1）班和九年级（2）班各随机抽取了10名学生2022年初的视力数据，整理分析过程如下，请补充完整． 【收集数据】 九年级（1）班学生视力数据统计如下：4.9，4.8，4.9，4.6，4.8，4.9，4.9，5.0，4.9，5.1． 九年级（2）班学生视力数据统计如下：4.8，5.1，4.7，5.0，4.9，4.8，5.0，4.6，4.8，5.1． 【整理数据】 （1）九年级（1）班学生视力的扇形统计图；（2）九年级（2）班学生视力的频数分布直方图； 【分析数据】 班级 平均数 中位数 众数 方差 九年级（1）班 4.88 4.9 0.0156 九年级（2）班 4.88 4.85 0.0256 请根据以上信息，完成下列问题： （1）九年级（1）班视力中位数落在扇形统计图的______部分（填、、）； （2）请补全九年级（2）班视力的频数分布直方图； （3）表中______； （4）若九年级（2）班共50名学生，视力在4.85~5.05之间的大约有______人； 21．（9分）如图，是的直径，点，在上，连接，，，过点作的切线交的延长线于点，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22．（9分）已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，与轴交于点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）若点在轴上．且满足．求点的坐标； 23．（10分）如图，抛物线与轴相交于，两点．抛物线与轴相交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线下方的抛物线上一动点． ①连接，，当时．求点的坐标； ②设点横坐标为2 m，过点作轴的垂线，交直线于点．当线段的长度随的增大而减小时，求的取值范围． 24．（12分）图形的平移、旋转和对称是我们从图形变换的视角研究图形的重要方法．为了深入理解旋转的本质，王老师和同学们在数学实践课上以正方形为背景进行如下探究． （1）【知识技能】 如图1，在正方形中，、分别是边、上的点，连接、、，且．将绕点按逆时针方向旋转至，则点在的延长线上． ①证明．并判断是否成立； ②若，，请计算正方形的周长． （2）【教学理解】 如图2，在正方形中，、分别是边、上的点，．连接、，、分别是线段、上的点，连接、、，且（点、、、均不与端点重合）．请猜想线段、、的数量关系，并说明理由． （3）【拓展研究】 如图3，是正方形的对角线，、分别为线段、上的点，且．将绕点按顺时针方向旋转（旋转角小于）至．连接，取线段的中点，连接、．求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $