精品解析：2025年山东省菏泽市鄄城县中考二模数学试题

2025年山东省菏泽市鄄城县中考二模数学试题 时间：120分钟 总分：120分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把最后结果填在答题卡的相应位置） 1. 的倒数的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算结果正确的是(    ) A. B. C. D. 3. 已知⊙O的半径为5cm，点O到同一平面内直线l的距离为6cm，则直线l与⊙O的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法判断 4. 四张质地、大小相同的卡片上，分别画上如图所示的四个图形，在看不到图的情况下，从中任意抽出一张，则抽出的卡片上的图形是轴对称图形的概率是（ ） A. B. C. D. 1 5. 如图所示，在洞孔成像问题中，已知玻璃棒AB与它的物像平行，已知玻璃棒厘米，根据图中给定的尺寸，那么它的物像的长是（ ）厘米 A. 5 B. 6 C. 8 D. 4 6. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积是（ ）． A. B. C. D. 7. 如图， 是 的直径，，，，则阴影部分的面积为 （ ） A. B. C. D. 8. 定义一种运算：，则不等式的解集是（ ） A 或 B. C. 或 D. 或 9. 如图所示，在中，，，，以点B为圆心，长为半径画弧，与交于点D，再分别以A、D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E、F，作直线，分别交于点P、Q，则的长度为（ ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线，现将其图象向上平移个单位得到抛物线，当时，若抛物线与直线有两个交点，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 一元二次方程的根是___________． 12. 若a，b是一元二次方程的两根，则的值为____． 13. 如图，海中有一个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点处测得小岛A在它的北偏东方向上，航行12海里到达点处，测得小岛A在它的北偏东方向上，那么小岛A到航线的距离等于____________海里． 14. 如图，点A，B，C在圆O上，OC⊥AB，垂足为D，若⊙O的半径是10cm，AB=12cm，则CD=___cm． 15. 如图是二次函数 y=ax²+bx+c 图像的一部分，图像过点A(－3，0)，对称轴为直线 x=－1，给出以下五个结论: ①abc<0;　②b²-4ac>0;　③4b+c<0; ④若B(，y1)，C(y2)，y1，y2为函数图像上的两点， 则y1>y2; ⑤当-3≤x≤1时，y≥0; 其中正确结论是(填写代表正确结论的序号)_____ 三、解答题（本题共72分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内） 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 17. 如图，在中，，是对角线上的两点，且． 求证：． 18. 数学综合实践小组进行了项目式学习的实践探究，请根据表格内容完成任务． 课题 探究某大型商场的自动扶梯的相关问题 素材 背景 图1是某商场的自动扶梯 抽象 测量 图2中的是从一楼到二楼扶梯的侧面示意图．小王站在扶梯起点A处时，测得二楼天花板上照明灯C的仰角为，此时他的眼睛D与地面的距离，之后他沿扶梯到达顶端B后又向正前方走了到达点E处（），发现照明灯C刚好在他的正上方．已知自动扶梯的坡度为，AB的长度为． 任务1 求点B到一楼地面的距离； 任务2 求照明灯C到一楼地面的距离（结果精确到）． （参考数据：，，，） 19. “校园安全”越来越受到人们的关注，近日市教育局印发了《学校日常安全教育基本内容》的通知，某中学就学生对安全教育基本内容的了解程度，随机调查了本校的部分学生．根据调查统计后，绘制成如图所示的统计图． 请根据图中信息，解答下列问题： （1）本次抽取调查的学生共有_____________人，其中“了解较多”的占________%； （2）请补全条形统计图； （3）若该校共有1000名学生，根据上述调查，估计此校对安全教育基本内容“非常了解”和“了解较多”的学生共有___________人； （4）“校园安全无小事，安全知识学起来”．某校宣传小组为了进一步宣传学习《学校日常安全教育基本内容》，收集到如下相应的图片，将其制成卡片（除内容外，其余完全相同，将防溺水安全、交通安全、消防安全、食品安全图片分别记为A，B，C，D）．他们将这四张卡片背面朝上，洗匀放好，从中随机抽取一张，不放回，再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求抽到的两张卡片恰好是A（防溺水安全）和C（消防安全）的概率． 20. 如图，在四边形中，，平分，与相切于点，以为直径作交于点，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 21. 人工智能被称为世界三大尖端技术之一，近年来得到了迅猛发展，取得了丰硕成果．2024年12月26日，中国人工智能公司发布模型，引发了科技行业高度关注．某校积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校购买了A，B两种型号的机器人模型，A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用4000元购买A型机器人模型和用2400元购买B型机器人模型的数量相同． （1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 22. 如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数交于两点和F．且点在反比例函数图象上． （1）求反比例函数的解析式以及点F的坐标； （2）点P在反比例函数第一象限图象上，连接，和，若，求点P的横坐标； （3）点M在x轴上运动，点N在反比例函数图象上运动，以点E，F，M和N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点M的坐标． 23. （1）问题发现：如图1，已知正方形，点E为对角线上一动点，将绕点B顺时针旋转到处，得到，连接． 填空：① ___________；②的度数为___________； （2）类比探究：如图2，在矩形和中，，，连接，请分别求出的值及的度数； （3）拓展延伸：如图3，在（2）的条件下，将点E改为直线上一动点，其余条件不变，取线段的中点M，连接，，若，则当是直角三角形时，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年山东省菏泽市鄄城县中考二模数学试题 时间：120分钟 总分：120分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把最后结果填在答题卡的相应位置） 1. 的倒数的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了倒数及相反数的定义，熟知倒数及相反数的定义是解决问题的关键. 根据倒数及相反数的定义解答即可. 【详解】∵的倒数是，相反数是， ∴的倒数的相反数是， 故选C ． 2. 下列运算结果正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据运算法则计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意． 【详解】解：．不能合并了，故原选项计算错误，不符合题意； B．，故原选项计算错误，不符合题意； C．，故原选项计算正确，符合题意； D．，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：． 【点睛】本题考查了合并同类项，完全平方公式，二次根式的除法，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解答此题的关键． 3. 已知⊙O的半径为5cm，点O到同一平面内直线l的距离为6cm，则直线l与⊙O的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】设圆的半径为r，点O到直线l的距离为d，若d<r，则直线与圆相交；若d=r，则直线与圆相切；若d>r，则直线与圆相离，从而得出答案． 【详解】设圆的半径为r，点O到直线l的距离为d，  ∵d=6，r=5，  ∴d>r，  ∴直线l与圆相离． 故选C． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是掌握直线与圆的位置关系的判断方法. 4. 四张质地、大小相同的卡片上，分别画上如图所示的四个图形，在看不到图的情况下，从中任意抽出一张，则抽出的卡片上的图形是轴对称图形的概率是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查概率的求法与轴对称的概念，熟练掌握概率公式：随机事件A的概率事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数和轴对称图形的概念是解题的关键． 从四张卡片中，找到轴对称图形的个数，然后根据概率公式即可求解． 【详解】解：∵四张卡片中，轴对称图形有矩形、等边三角形、圆， ∴P（抽出的卡片是轴对称图形） ， 故选：C． 5. 如图所示，在洞孔成像问题中，已知玻璃棒AB与它的物像平行，已知玻璃棒厘米，根据图中给定的尺寸，那么它的物像的长是（ ）厘米 A. 5 B. 6 C. 8 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的相似，根据相似三角形的性质计算答案即可； 【详解】解：由题易得：, ∴=相似三角形的对应高之比， 又， ∴， 故选：D 6. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得这个几何体为圆锥，然后求出圆锥的母线长为，再根据圆锥的侧面（扇形）面积公式，即可求解． 【详解】解：根据题意得：这个几何体为圆锥， 如图，过点作于点， 根据题意得：，，， ∴， ∴， 即圆锥的母线长为， ∴这个几何体的侧面积是． 故选：B 【点睛】本题主要考查了简单几何体的三视图，求圆锥的侧面积，根据题意得到这个几何体为圆锥是解题的关键． 7. 如图， 是 的直径，，，，则阴影部分的面积为 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，相交于E，由垂径定理易证，由易证是等边三角形，在中解三角形可得，最后根据并用扇形面积公式进行计算即可． 【详解】解：如图，连接，相交于E， 是 的直径，， ， 又， ， ， 是等边三角形， 在中， ，， ， ， ， ， 解得， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，含角的直角三角形，扇形面积的计算；解直角三角形求半径是解题的关键． 8. 定义一种运算：，则不等式的解集是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据新定义运算规则，分别从和两种情况列出关于x的不等式，求解后即可得出结论． 【详解】解：由题意得，当时， 即时，， 则， 解得， ∴此时原不等式的解集为； 当时， 即时，， 则， 解得， ∴此时原不等式的解集为； 综上所述，不等式的解集是或． 故选：C． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是根据新定义运算规则列出关于x的不等式． 9. 如图所示，在中，，，，以点B为圆心，长为半径画弧，与交于点D，再分别以A、D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E、F，作直线，分别交于点P、Q，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理求出根据作图可得，可得，垂直平分，即可得到，易得，即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵以点B为圆心，长为半径画弧，与交于点D， ∴， ∴， 由作图方法可知垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，垂直平分线的尺规作图，三角形相似的判定与性质，解题的关键是根据勾股定理及垂直平分线得到． 10. 已知抛物线，现将其图象向上平移个单位得到抛物线，当时，若抛物线与直线有两个交点，则取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】二次函数图象平移中，将和时代入直线和抛物线解析式，当点重合时求出的值，从而获得的取值范围． 【详解】抛物线的解析式为， 时，， 将代入得， ， 将代入和中得，， ， 解得，（舍， 当直线与抛物线相切时， ，则， ， 则， 解得， 的取值范围为． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质及方程思想是解题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 一元二次方程的根是___________． 【答案】 【解析】 【分析】用因式分解法求解即可． 【详解】解：， ， 或， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法由直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法，灵活选择合适的方法是解题的关键． 12. 若a，b是一元二次方程的两根，则的值为____． 【答案】2025 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系．，是一元二次方程的两根时，，，根据根与系数的公式求得，，则将其代入所求的代数式进行求值即可． 【详解】解：方程的两根为、， ∴，， ． 故答案为：2025 13. 如图，海中有一个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点处测得小岛A在它的北偏东方向上，航行12海里到达点处，测得小岛A在它的北偏东方向上，那么小岛A到航线的距离等于____________海里． 【答案】 【解析】 【分析】如图，过点A作AD⊥BC于D，根据题意可知∠EBA=60°，∠FCA=30°，EB⊥BC，FC⊥BC，可得∠ABD=30°，∠ACD=60°，∠CAD=30°，根据外角性质可得∠BAC=30°，可得AC=BC，根据含30°角的直角三角形的性质可得出CD的长，利用勾股定理即可求出AD的长，可得答案． 【详解】如图，过点A作AD⊥BC于D， 根据题意可知∠EBA=60°，∠FCA=30°，EB⊥BC，FC⊥BC，BC=12， ∴∠ABD=30°，∠ACD=60°，∠CAD=30°， ∴∠BAC=∠ACD-∠ABD=30°， ∴AC=BC=12， ∴CD=AC=6， ∴AD===． 故答案： 【点睛】本题考查方向角的定义、三角形外角性质、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理，三角形的一个外角，等于和它不相邻的两个内角的和；30°角所对的直角边，等于斜边的一半；熟练掌握相关性质及定义是解题关键． 14. 如图，点A，B，C在圆O上，OC⊥AB，垂足为D，若⊙O的半径是10cm，AB=12cm，则CD=___cm． 【答案】2 【解析】 【详解】解：∵OC是⊙O的半径且OC⊥AB，垂足为D， ∴OA=OC=10cm，AD=AB=×12=6cm， ∵在Rt△AOD中，OA=10cm，AD=6cm， ∴OD=cm， ∴CD=OC﹣OD=10﹣8=2cm． 故答案为2． 15. 如图是二次函数 y=ax²+bx+c 图像的一部分，图像过点A(－3，0)，对称轴为直线 x=－1，给出以下五个结论: ①abc<0;　②b²-4ac>0;　③4b+c<0; ④若B(，y1)，C(y2)，y1，y2为函数图像上的两点， 则y1>y2; ⑤当-3≤x≤1时，y≥0; 其中正确的结论是(填写代表正确结论的序号)_____ 【答案】②③⑤. 【解析】 【详解】由图象可知，a＜0，b＜0，c＞0， ∴abc＞0，故①错误． ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴b2-4ac＞0，故②正确． ∵抛物线对称轴为x=-1，与x轴交于A（-3，0）， ∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0）， ∴a+b+c=0，-=-1， ∴b=2a，c=-3a， ∴4b+c=8a-3a=5a＜0，故③正确． ∵B（- ，y1）、C（- ，y2）为函数图象上的两点， 又点C离对称轴近， ∴y1，＜y2，故④错误， 由图象可知，-3≤x≤1时，y≥0，故⑤正确． ∴②③⑤正确， 故答案是：②③⑤． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是灵活应用图中信息解决问题． 三、解答题（本题共72分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内） 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2），． 【解析】 【分析】（1）分别根据特殊角的三角函数值、绝对值的性质、零指数幂及负整数指数幂的计算法则计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可； （2）先对括号里的式子进行通分，接下来运用乘法公式对后面式子进行因式分解，再进行化简运算，最后代入求值即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ， ， ， ， 原式． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，涉及到特殊角的三角函数值、绝对值的性质、零指数幂及负整数指数幂的计算法则，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 17. 如图，在中，，是对角线上的两点，且． 求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质．利用证明，即可证明． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴； ∴． 18. 数学综合实践小组进行了项目式学习的实践探究，请根据表格内容完成任务． 课题 探究某大型商场的自动扶梯的相关问题 素材 背景 图1是某商场的自动扶梯 抽象 测量 图2中的是从一楼到二楼扶梯的侧面示意图．小王站在扶梯起点A处时，测得二楼天花板上照明灯C的仰角为，此时他的眼睛D与地面的距离，之后他沿扶梯到达顶端B后又向正前方走了到达点E处（），发现照明灯C刚好在他的正上方．已知自动扶梯的坡度为，AB的长度为． 任务1 求点B到一楼地面的距离； 任务2 求照明灯C到一楼地面的距离（结果精确到）． （参考数据：，，，） 【答案】任务一：点B到一楼地面的距离为；任务二：照明灯C到一楼地面的距离为． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 任务一：过点B作BR⊥AN于点R，设，则，利用勾股定理列方程即可解答； 任务二：连接并延长交于点V，过点D作于点U，交于点T，解直角三角形即可解答． 【详解】任务一：解：如图，过点B作BR⊥AN于点R， ∵AB的坡度为， ∴设，则， ∵， ∴在中，， 即， 解的， ， 答：点B到一楼地面的距离为； 任务二解：如图，连接并延长交于点V，过点D作于点U，交于点T， 由题意得，， 在中，， ∴． ∴在中，． ∴ 答：照明灯C到一楼地面的距离为． 19. “校园安全”越来越受到人们的关注，近日市教育局印发了《学校日常安全教育基本内容》的通知，某中学就学生对安全教育基本内容的了解程度，随机调查了本校的部分学生．根据调查统计后，绘制成如图所示的统计图． 请根据图中信息，解答下列问题： （1）本次抽取调查的学生共有_____________人，其中“了解较多”的占________%； （2）请补全条形统计图； （3）若该校共有1000名学生，根据上述调查，估计此校对安全教育基本内容“非常了解”和“了解较多”的学生共有___________人； （4）“校园安全无小事，安全知识学起来”．某校宣传小组为了进一步宣传学习《学校日常安全教育基本内容》，收集到如下相应的图片，将其制成卡片（除内容外，其余完全相同，将防溺水安全、交通安全、消防安全、食品安全图片分别记为A，B，C，D）．他们将这四张卡片背面朝上，洗匀放好，从中随机抽取一张，不放回，再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求抽到的两张卡片恰好是A（防溺水安全）和C（消防安全）的概率． 【答案】（1）50 ； 30 （2）作图见解析． （3）780． （4）． 【解析】 【分析】（1）用“了解较少”人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，用“了解较多”的人数除以调查的总人数． （2）“基本了解”的人数=调查的总人数-“非常了解”-“了解较多”-“了解较少”，补全条形图即可． （3）用总人数1000乘以达到“非常了解”和“基本了解”程度的人数所占的比例即可． （4）用列表展示所有12种等可能的结果数，找出恰好抽到A和B的结果数，然后利用概率公式求解． 【小问1详解】 调查总人数为：（人）， 了解较多占： 【小问2详解】 如图所示： 【小问3详解】 【小问4详解】 （4）根据题意，列表如下： 由表格可知，总共有12种结果，每种结果出现的可能性都相同，其中抽到的两张卡片恰好是“A”和“C”的结果有2种． 所以，P（抽到“A”和 “C”）=． 【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 20. 如图，在四边形中，，平分，与相切于点，以为直径作交于点，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）详见解析 （2）的半径为 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义得到，由切线的性质证明，进一步即可得到结论； （2）连接，得到，进而得出，得到，根据勾股定理得到，即可得到答案． 【小问1详解】 证明：平分， ， 为的切线， ， ， 中，， ∴， ， ． 【小问2详解】 解：连接， 为直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的半径为. 【点睛】本题主要考查了切线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，三角函数的定义，正确的作辅助线是解题的关键． 21. 人工智能被称为世界三大尖端技术之一，近年来得到了迅猛发展，取得了丰硕成果．2024年12月26日，中国人工智能公司发布模型，引发了科技行业高度关注．某校积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校购买了A，B两种型号的机器人模型，A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用4000元购买A型机器人模型和用2400元购买B型机器人模型的数量相同． （1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 【答案】（1）A型机器人模型单价为500元，B型机器人模型单价为300元 （2）购买A型机器人10台、B型机器人30台时花费最少，最少花费是11200元 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式和一次函数的实际应用，正确的列出方程，不等式和一次函数，是解题的关键： （1）设B型机器人模型单价为x元，根据用4000元购买A型机器人模型和用2400元购买B型机器人模型的数量相同，列出分式方程进行求解即可； （2）设购买A型机器人m台，根据购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，列出不等式求出的取值范围，设共花费w元，列出一次函数解析式，利用一次函数的性质，求最值即可． 【小问1详解】 解：设B型机器人模型单价为x元，则A型机器人模型单价为元． 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， (元)． 答：A型机器人模型单价为500元，B型机器人模型单价为300元． 【小问2详解】 设购买A型机器人m台，则购买B型机器人台． 根据题意，得， 解得． 设共花费w元，则， ∵， ∴w随m的减小而减小， ∵， ∴当时，w值最小． ， (台)． 答：购买A型机器人10台、B型机器人30台时花费最少，最少花费是11200元． 22. 如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数交于两点和F．且点在反比例函数图象上． （1）求反比例函数的解析式以及点F的坐标； （2）点P在反比例函数第一象限的图象上，连接，和，若，求点P的横坐标； （3）点M在x轴上运动，点N在反比例函数的图象上运动，以点E，F，M和N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点M的坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3）或或 【解析】 【分析】（1）把代入，求得，则点，再把点代入，求得，即可得反比例函数解析式；然后联立两函数解析式，得，求解即可得点F坐标． （2）过点E，F，C作x、y轴的垂线，交于点I，H，G，得四边形为矩形，则，所以，，再利用待定系数法求得直线的解析式为，设点，过点P作轴交直线于点Q，则，根据，则，从而得，求解即可． （3）当为平行四边形的边时，则有和，当为平行四边形的对角线时，则有，分别求出点M坐标即可． 【小问1详解】 解：把代入，得， 解得： ∴ 把代入，得， 解得：， ∴ 联立两函数解析式，得 ，解得：，， ∴． 【小问2详解】 解：过点E，F，C作x、y轴的垂线，交于点I，H，G， 则四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， 把代入，得， ∴ 设直线为， 将点，代入中， 则解得， 所以直线的解析式为， 设点，过点P作轴交直线于点Q，则 ∴ ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴或， 解得或（其中，方程无解）， 故点P的横坐标为或． 【小问3详解】 解：当为平行四边形的边时，则有和，当为平行四边形的对角线时，则有，如图， ∵，， 又∵点M在x轴上， ∴点F向上平移3个单位， ∴点E向上平移3个单位， ∴点N纵坐标为9，把代入，得， ∴， ∴点E向上平移3个单位，向左平移个单位，与点重合， ∴点F向上平移3个单位，向左平移个单位，与点重合， ∴； 同理可得； 连接交于P， ∵， ∴点P为与的中点， ∴， ∴ ∴，即， ∴， 把代入，得， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 综上，点E，F，M和N为顶点的四边形是平行四边形，点M的坐标为或或． 【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数、一次函数解析式，反比例函数图象性质，坐标与图形，平行四边形的性质，矩形的性质，平移中的坐标变换．此题属一次函数与反比例函数、几何图形的综合题目，属中考试常考题型． 23. （1）问题发现：如图1，已知正方形，点E为对角线上一动点，将绕点B顺时针旋转到处，得到，连接． 填空：① ___________；②的度数为___________； （2）类比探究：如图2，在矩形和中，，，连接，请分别求出的值及的度数； （3）拓展延伸：如图3，在（2）的条件下，将点E改为直线上一动点，其余条件不变，取线段的中点M，连接，，若，则当是直角三角形时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）①1；②；（2）；；（3）或． 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质可得，则，通过证明，即可得出结论； （2）根据可得，根据，得出，即可证明，即可得出结论； （3）先求出的长度，根据点M为中点，可得，根据是直角三角形，可求出，从而得到，最后根据勾股定理，列出方程求解即可． 【详解】解：（1）∵绕点B顺时针旋转到， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：①1；②． （2）；，理由如下： 在矩形中，， ∵，则， ∴， 同理在中， ∵，则， ∴， ∴， ∵， ∴，即 ∴， ∴， ∴， ∴， 综上：；． （3）由（2）可得，， ∵， ∴， ∴， ∵点M为的中点，， ∴， ∵直角三角形， ∴， ∴， ∴， 设，则，， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：． ∴或． 【点睛】本题主要考查了旋转性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握相关知识点，并灵活运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$