精品解析：2026年山东济南市历城区九年级学业水平模拟测试（二）数学试题

2026年九年级学业水平模拟测试（二）数学试题 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列四个数中，最小的数为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正数大于一切负数的性质即可直接得出结果． 【详解】∵ 正数都大于0，负数小于0，正数大于一切负数， 在，，，四个数中，只有是负数， ∴ 是四个数中最小的数． 2. 下列几何体中，左视图是三角形的为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A．圆锥的左视图是三角形，故本选项符合题意； B．球的左视图是圆，故本选项不符合题意； C．正方体的左视图是正方形，故本选项不符合题意； D．三棱柱的左视图是矩形，故本选项不符合题意． 3. 人工智能模型的参数量越大，理解能力越强：模型参数可达6710亿个，其中数据“6710亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：6710亿． 4. 已知，下列不等式一定成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了不等式的基本性质，解题的关键是熟练运用不等式的基本性质对各选项进行分析判断． 根据不等式的基本性质（不等式两边加或减同一个数，不等号方向不变；乘或除以同一个正数，不等号方向不变；乘或除以同一个负数，不等号方向改变），逐一分析选项． 【详解】已知，分析各选项： A、两边同时加1，不等号方向不变，应为，故A错误； B、两边同时乘3（正数），不等号方向不变，应为，故B错误； C、两边同时减1，得；再两边乘，不等号方向改变，得，与原条件一致，故C正确； D、两边乘，不等号方向应改变，得，与原条件矛盾，故D错误． 故选：C． 5. 围棋是中华民族发明的博弈活动．下列用棋子摆放的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意； B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故B不符合题意； C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C不符合题意； D．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故D符合题意． 故选：D． 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：对于选项A：与不是同类项，不能合并，故A错误； 对于选项B：根据积的乘方法则，，故B错误； 对于选项C：根据同底数幂的除法法则，，故C错误； 对于选项D：根据同底数幂的乘法法则，，故D正确． 7. 若关于的方程有一个根为2，则另一个根为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】设另一个根为，利用一元二次方程根与系数关系求解即可． 【详解】解：设另一个根为a， ∵关于的方程有一个根为2， ∴， 解得． 8. “舜耕历山”是济南标志性历史文化符号．某学校开展大舜文化主题活动，制作了正面印有“孝、亲、仁、善”四张卡片，卡片除文字外完全相同．将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取两张，则这两张卡片恰好是“仁”和“善”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】用树状图法找出所有等可能的抽取结果，再统计符合条件的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：将四张卡片“孝”“亲”“仁”“善”分别记为A，B，C，D， 画树状图如下： 共12种等可能性的结果，其中恰好为“仁”和“善”的结果只有2种， ∴这两张卡片恰好是“仁”和“善”的概率是． 9. 如图，在中，，，，的平分线与相交于点．在线段上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，与射线相交于点和点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，与相交于点，连接．则的周长为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】根据作图可知，证明，得到，，进而求出的长，得到垂直平分，得到，进而推出的周长等于的长即可． 【详解】解：由作图可知，，设交于点，则：， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴垂直平分，， ∴， ∴的周长为． 10. 定义：在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．若，，其中为常数，且，则称点是点的“级变换点”．例如，点是点的“级变换点”．则下列结论中，正确的个数是（ ） ①函数的图象上存在点的“级变换点”； ②点是函数的图象上一点，是点的“1级变换点”，则的最小值为； ③点与其“2级变换点”分别在直线，上，在，上分别取点，，若，则； ④关于的二次函数的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线上，则的取值范围为且． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据“级变换点”的定义，逐个验证四个结论，统计正确结论的个数即可。 【详解】根据定义，点的级变换点为，逐个判断： ① 点的级变换点坐标为，代入， 得，满足解析式，故存在，①正确； ② 设，则为的1级变换点，坐标为， ， 所以的最小值为，即的最小值为，②正确； ③ 由，得为的2级变换点，坐标为， 可得，，当时， ，由得， 解得或，故③错误； ④ 设原函数上点 ， 其1级变换点为， 代入直线得 ， 解得两根为，， 要求恰有两个不同正根，需且，即且， 与结论中且不符，故④错误． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．） 11. 分解因式：__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 正方形地板由9块边长均相等的小正方形组成，米粒随机地撒在如图所示的正方形地板上，那么米粒最终停留在黑色区域的概率是____． 【答案】 【解析】 【分析】分别计算出黑色区域的面积和正方形地板的总面积，然后利用概率公式计算即可． 【详解】解：设小正方形的边长为，则每个小正方形的面积为． 因为正方形地板由块边长均相等的小正方形组成， 所以正方形地板的总面积为． 观察图形可知，黑色区域由个全等的直角三角形组成，且每个直角三角形的两条直角边长均分别为和， 所以黑色区域的面积为 ． 根据几何概率公式，米粒最终停留在黑色区域的概率是． 13. 如图，是正五边形的对角线．若过点A作直线，则的大小是_____度． 【答案】36 【解析】 【分析】先根据多边形内角和公式求出每一个内角的度数，再根据三角形内角和定理求出∠ABE＝36°，然后根据平行线的性质可得答案． 【详解】解：∵五边形ABCDE是正五边形， ∴∠BAE＝（5−2）×180°÷5＝108°， ∴∠ABE＝∠AEB＝（180°−108°）÷2＝36°， ∵l∥BE， ∴∠1＝∠ABE＝36°， 故答案为：36． 【点睛】本题考查了正多边形的性质、平行线的性质；熟练掌握正五边形的性质和平行线的性质是解题的关键． 14. 甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离（米）与甲出发的时间（分）之间的关系如图所示，则乙比甲早到______分钟． 【答案】6 【解析】 【分析】设甲的速度为米/分钟，乙的速度为米/分钟，根据图象的信息可求出甲乙两人的速度，以及相遇所需要的时间，从而可求出答案． 【详解】解：设甲的速度为米/分钟，乙的速度为米/分钟， ∴米/分钟， 由图象可知：乙追上甲需要分钟， ∴， ∴米/分钟， ∴此时乙共走了米， ∴乙离终点还有米， ∴甲到达终点时需要的时间为： 分钟， 乙到达终点时需要的时间为： 分钟， 则乙比甲早到 分钟． 15. 如图，在矩形中，，，点在边上，点在边上．连接，将矩形沿翻折，点，，的对应点分别为，，，线段恰好经过点．若，则的长等于_____． 【答案】 【解析】 【分析】设，，由可得，根据相似三角形的性质可得，进而可得．过F点作，则四边形是矩形，再证，根据相似三角形的性质可得，进而可得求得，，即． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，，， 设，，则， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 化简得， 由折叠的性质可得，，，，， 过F点作，则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 解得，， ∴． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. 计算：． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了含特殊锐角三角函数值的实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．先分别利用零指数幂、二次根式、绝对值、负整数指数幂的性质，及特殊锐角三角函数值进行计算，再合并同类项即可． 【详解】解：原式 ． 17. 解不等式组并写出它的所有正整数解． 【答案】不等式组的解集为，所有正整数解为，， 【解析】 【分析】先分别求出每个不等式的解集，再根据“同小取小”的原则确定不等式组的解集，最后找出解集范围内的正整数即可． 【详解】解：解不等式得 解不等式得 原不等式组的解集为 不等式组的所有正整数解为，，． 18. 如图，点，分别在菱形的边，上，且．求证：． 【答案】证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即． 【解析】 【分析】由菱形的性质可得，，结合可得，从而证明，则，因此． 【详解】略 19. 在科技飞速发展的当下，智能机器人成为了热门研究领域．某科研团队研发了三款智能机器人．为测试这三款机器人在图象识别能力和运动能力方面的综合表现，该团队对它们进行了全面测试．在图象识别能力测试中，三款机器人的得分（满分为100分）分别为87分、85分、90分．运动能力测试由10位专业测试员根据一系列动作任务进行打分（满分为10分）．现对三款机器人的运动能力测试数据进行详细分析，以评估哪款机器人的综合性能更优． 【数据收集与整理】 三款机器人运动能力测试情况统计表 机器人 测试员打分的中位数 测试员打分的众数 运动能力测试成绩 方差 9和10 85 1.85 8.5 8 87 8 83 2.01 （1）填空：_____，_____； （2）通过比较方差，判断测试员对_____（填“”“”或“”）款机器人运动能力测试表现评价的一致性程度更高； （3）按图象识别能力测试成绩占，运动能力测试成绩占计算综合成绩，请你通过计算判断三款机器人中综合成绩最高的是哪一款？ 【答案】（1）9，8 （2）B （3）综合成绩最高的是B款机器人 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图，折线统计图和统计表，解题的关键是读懂题意，掌握中位数，众数，方差等概念． （1）把A款机器人测试员打分从低到高排列可得，由扇形统计图可得； （2）由折线统计图可判断B款机器人的得分波动比A款机器人的得分波动小，即，由表知，即可得测试员对B款机器人运动能力测试表现评价的一致性程度更高； （3）根据图象识别能力测试成绩占，运动能力测试成绩占，列式计算三种机器人的综合得分，再比较即可得到答案． 【小问1详解】 解：由折线统计图可知，A款机器人测试员打分从低到高排列为：6，7，7，8，9，9，9，10，10，10， ∴A款机器人测试员打分的中位数， 由扇形统计图可知，C款机器人运动能力得分出现次数最多的是8分， ∴， 故答案为：9；8； 【小问2详解】 解：由折线统计图可判断B款机器人的得分波动比A款机器人的得分波动小， ∴， 由表知， ∴测试员对B款机器人运动能力测试表现评价的一致性程度更高； 故答案为：B； 【小问3详解】 解：∵A款机器人的综合成绩为（分）， B款机器人的综合成绩为（分）， C款机器人的综合成绩为（分）， ∵， ∴综合成绩最高的是B款机器人． 20. “这么近，那么美，周末到河北”成为河北旅游最响亮最脍炙人口的宣传口号，正定南城门的旅游人数屡创新高，某中学数学兴趣小组用无人机测量正定南城门城楼的高度，测量方案如图：在坡底处测得楼顶的仰角为，沿坡比为的斜坡前行13米到达平台处，在处测得楼顶的仰角为．（参考数据：，，） （1）求坡顶到地面的距离； （2）计算南城门城楼的高度（结果保留一位小数）． 【答案】（1）5米 （2）米 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，矩形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点B作于F，根据题意可得，设米，米，利用勾股定理可得方程，解方程即可得到答案； （2）延长交于H， 可证明四边形是矩形，得到米，设米，则米，解得到米，解得到米，则可得到方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示，过点B作于F， ∵斜坡的坡比为， ∴， 设米，米， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴米， 答：坡顶到地面的距离为5米； 【小问2详解】 解：如图所示，延长交于H，由题意得，， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴米， 由（1）可得米， 设米，则米， 在中，米， ∴米， 在中，米， ∴， 解得， ∴米， 答：南城门城楼的高度约为米． 21. 如图，在中，，以为直径的交边于点，点在上，连接，，． （1）证明：是的切线； （2）若的直径为，，求的长． 【答案】（1）证明：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由圆周角定理可得，则，由等腰三角形的性质可得，结合可得，则，因此命题得证； （2）设，则，由勾股定理可得，在中，利用勾股定理构造方程，求解出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设， ∵， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴． 22. 依据《济南市深化体教融合促进青少年健康发展实施方案》要求，我市推进校园足球、排球普及工程，某中学计划采购一批足球与排球，已知足球单价是排球单价的1.5倍，用960元购买足球的数量比用360元购买排球的数量多7个． （1）求足球和排球的单价各是多少元？ （2）该校计划购买足球和排球共50个，其中排球个，足球数量不少于排球数量的，设购买总费用为元，求与的函数关系式，并求出最少购买费用． 【答案】（1）足球单价是60元，排球单价是40元 （2）函数关系式为且为整数，最少购买费用是2400元 【解析】 【分析】（1）设排球单价是元，则足球单价是元，再列分式方程求解即可； （2）已知排球个，则足球数量为个，进而可得且为整数，再结合一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设排球单价是元，则足球单价是元， ， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则足球单价为（元）， 答：足球的单价是60元，排球的单价是40元； 【小问2详解】 解：已知排球个，则足球数量为个， 购买总费用 ， 因为足球数量不少于排球数量的，所以，解得， 又因为为非负整数，所以且为整数， 对于一次函数，，随的增大而减小， 所以当时，取得最小值， （元）， 答：与的函数关系式为，最少购买费用为2400元． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，过点作直线交轴于点，直线交反比例函数图象于另一点． （1）求值和直线的函数表达式； （2）连接，求的面积； （3）若点是反比例函数上一点，点的横坐标为，当时，请直接写出的值． 【答案】（1），直线的函数表达式为 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）作于点，容易判断和都是等腰直角三角形，从而求出点，代入反比例函数的表达式求出．联立一次函数与反比例函数求出点的坐标，再用待定系数法求出直线的函数表达式； （2）作于点，延长交于点，使用割补法将分为 和，求出点和点的坐标后，计算面积即可； （3）分类讨论，当点在直线的下方时，由可得，则，求出直线的表达式后，与反比例函数联立求出点的坐标；当点在直线的上方时，如图，设直线、分别交轴于点、，作于点，利用三角函数可得，，结合求出．利用勾股定理求出，从而得到，用待定系数法求出直线的表达式，再与反比例函数联立求出点的坐标． 【小问1详解】 解：如图，作于点， ∵点在一次函数的图象上， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴也是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点的坐标为， 将点代入，得， ∴反比例函数的表达式为， 联立一次函数与反比例函数，得， ， 解得或， ∴点的坐标为， 设直线的函数表达式为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴直线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：如图，作于点，延长交于点， ∵，， ∴， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∴， 联立直线与反比例函数，得， ， 解得或， ∴点的坐标为， ； 【小问3详解】 解：①当点在直线的下方时，如图， ∵， ∴， ∴， 设直线的函数表达式为， 将点代入，得， ∴直线的函数表达式为， 联立直线与反比例函数，得， ， 解得或， ∴点的坐标为，即； ②当点在直线的上方时，如图，设直线、分别交轴于点、，作于点， 将代入，得， ∴点的坐标为，， ∵，，，，， ∴，，， 在中，， ∵， ∴， 在中，， 在中，， 在中，， ∵， ∴，解得， ∴， 由勾股定理可得，， ∴点的坐标为， 设直线的函数表达式为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴直线的函数表达式为， 联立直线与反比例函数，得， ， 解得或， ∴点的坐标为，即； 综上所述，的值为或． 24. 已知矩形，点为直线上的一个动点（点不与点重合），连接，以为一边构造矩形（，，，按逆时针方向排列），连接，若（为常数），请完成下列问题： （1）如图1，当时，线段与线段的数量关系为______；位置关系为______； （2）如图2，当时，请猜想线段与线段的数量关系与位置关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，取线段的中点，连接，若，求线段的最小值． 【答案】（1）； （2）解：，，理由如下： ∵四边形和四边形是矩形， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，即； （3） 【解析】 【分析】（1）容易判断四边形和四边形都是正方形，则，，容易证明，则，，从而判断； （2）由矩形的性质可得，从而得到，结合可证明，则，，因此，即； （3）取的中点，作直线交于点，过点作直线的垂线，垂足为点，由中位线的性质可得，结合可得，因此点在的垂直平分线上，由垂线段最短可知，线段的最小值为．由勾股定理可得，容易证明，计算得，，最后通过计算出即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， 又∵四边形和四边形是矩形， ∴四边形和四边形都是正方形， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，取的中点，作直线交于点，过点作直线的垂线，垂足为点， ∵为的中点，为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴点在的垂直平分线上， ∵， ∴当点和点重合时，取得最小值， ∵， 又∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，， 在中， ， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴线段的最小值为． 25. 如图，二次函数经过点，点是第一象限内抛物线上一点，其横坐标为，连接并延长至点，使，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，这两条垂线交于点． （1）求二次函数的表达式及顶点坐标； （2）当的边经过此抛物线的最低点时，求点的坐标； （3）当此抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而增大时，求的取值范围． 【答案】（1），顶点坐标为 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）将点代入二次函数的表达式，求出，将一般式化为顶点式，并求出顶点坐标； （2）设交轴于点，交轴于点，根据题意可得，，容易证明，则，从而计算出点，根据题意，经过抛物线的顶点，则，求解出的值即可； （3）根据题意可知，抛物线在内部的点需要在对称轴的右侧．分类讨论，点在抛物线内部或者抛物线上，由（2）可得，则，结合点在第一象限求出的取值范围；当点在抛物线的外部时，设交抛物线于点，先求出的表达式，再联立求出点的坐标，结合题意可得不等式，从而求出的取值范围． 【小问1详解】 解：将点代入，得， ∴二次函数的表达式为， ， ∴顶点坐标为； 【小问2详解】 解：如图，设交轴于点，交轴于点， ∵点是第一象限内抛物线上一点，且横坐标为， ∴点的坐标为， ∵轴， ∴，，， ∵轴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ，， ∵点在第三象限， ∴点的坐标为， 根据题意可知，经过抛物线的顶点， ∴， 整理，得， 解得或（负值舍去）， ∴点的坐标为； 【小问3详解】 解：， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大， ①当点在抛物线的内部或者抛物线上时，如图，设抛物线交轴于点、， 由图可知，此时抛物线在内部的点都在对称轴的右侧，符合题意， 将代入，得， ， 解得或， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∵点在第一象限， ∴， 由（2）可知，点， 将代入，得， ∵点在抛物线内部或者抛物线上， ∴， 整理，得， ∵， ∴； ②当点在抛物线的外部时，如图，设交抛物线于点， 设直线的函数表达式为， 将点代入，得， ∴直线的函数表达式为， 联立直线与抛物线，并消去，得， ， 整理，得 ， 因式分解，得 ， 解得或， ∴点的横坐标为， ∵抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而增大， ∴，即， 解得； 综上所述，的取值范围为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年九年级学业水平模拟测试（二）数学试题 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列四个数中，最小的数为（ ） A. 3 B. C. D. 2. 下列几何体中，左视图是三角形的为（ ）． A. B. C. D. 3. 人工智能模型的参数量越大，理解能力越强：模型参数可达6710亿个，其中数据“6710亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，下列不等式一定成立的是（　　） A. B. C. D. 5. 围棋是中华民族发明的博弈活动．下列用棋子摆放的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的方程有一个根为2，则另一个根为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 8. “舜耕历山”是济南标志性历史文化符号．某学校开展大舜文化主题活动，制作了正面印有“孝、亲、仁、善”四张卡片，卡片除文字外完全相同．将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取两张，则这两张卡片恰好是“仁”和“善”的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，，的平分线与相交于点．在线段上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，与射线相交于点和点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，与相交于点，连接．则的周长为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 10. 定义：在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．若，，其中为常数，且，则称点是点的“级变换点”．例如，点是点的“级变换点”．则下列结论中，正确的个数是（ ） ①函数的图象上存在点的“级变换点”； ②点是函数的图象上一点，是点的“1级变换点”，则的最小值为； ③点与其“2级变换点”分别在直线，上，在，上分别取点，，若，则； ④关于的二次函数的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线上，则的取值范围为且． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．） 11. 分解因式：__________． 12. 正方形地板由9块边长均相等的小正方形组成，米粒随机地撒在如图所示的正方形地板上，那么米粒最终停留在黑色区域的概率是____． 13. 如图，是正五边形的对角线．若过点A作直线，则的大小是_____度． 14. 甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离（米）与甲出发的时间（分）之间的关系如图所示，则乙比甲早到______分钟． 15. 如图，在矩形中，，，点在边上，点在边上．连接，将矩形沿翻折，点，，的对应点分别为，，，线段恰好经过点．若，则的长等于_____． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. 计算：． 17. 解不等式组并写出它的所有正整数解． 18. 如图，点，分别在菱形的边，上，且．求证：． 19. 在科技飞速发展的当下，智能机器人成为了热门研究领域．某科研团队研发了三款智能机器人．为测试这三款机器人在图象识别能力和运动能力方面的综合表现，该团队对它们进行了全面测试．在图象识别能力测试中，三款机器人的得分（满分为100分）分别为87分、85分、90分．运动能力测试由10位专业测试员根据一系列动作任务进行打分（满分为10分）．现对三款机器人的运动能力测试数据进行详细分析，以评估哪款机器人的综合性能更优． 【数据收集与整理】 三款机器人运动能力测试情况统计表 机器人 测试员打分的中位数 测试员打分的众数 运动能力测试成绩 方差 9和10 85 1.85 8.5 8 87 8 83 2.01 （1）填空：_____，_____； （2）通过比较方差，判断测试员对_____（填“”“”或“”）款机器人运动能力测试表现评价的一致性程度更高； （3）按图象识别能力测试成绩占，运动能力测试成绩占计算综合成绩，请你通过计算判断三款机器人中综合成绩最高的是哪一款？ 20. “这么近，那么美，周末到河北”成为河北旅游最响亮最脍炙人口的宣传口号，正定南城门的旅游人数屡创新高，某中学数学兴趣小组用无人机测量正定南城门城楼的高度，测量方案如图：在坡底处测得楼顶的仰角为，沿坡比为的斜坡前行13米到达平台处，在处测得楼顶的仰角为．（参考数据：，，） （1）求坡顶到地面的距离； （2）计算南城门城楼的高度（结果保留一位小数）． 21. 如图，在中，，以为直径的交边于点，点在上，连接，，． （1）证明：是的切线； （2）若的直径为，，求的长． 22. 依据《济南市深化体教融合促进青少年健康发展实施方案》要求，我市推进校园足球、排球普及工程，某中学计划采购一批足球与排球，已知足球单价是排球单价的1.5倍，用960元购买足球的数量比用360元购买排球的数量多7个． （1）求足球和排球的单价各是多少元？ （2）该校计划购买足球和排球共50个，其中排球个，足球数量不少于排球数量的，设购买总费用为元，求与的函数关系式，并求出最少购买费用． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，过点作直线交轴于点，直线交反比例函数图象于另一点． （1）求值和直线的函数表达式； （2）连接，求的面积； （3）若点是反比例函数上一点，点的横坐标为，当时，请直接写出的值． 24. 已知矩形，点为直线上的一个动点（点不与点重合），连接，以为一边构造矩形（，，，按逆时针方向排列），连接，若（为常数），请完成下列问题： （1）如图1，当时，线段与线段的数量关系为______；位置关系为______； （2）如图2，当时，请猜想线段与线段的数量关系与位置关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，取线段的中点，连接，若，求线段的最小值． 25. 如图，二次函数经过点，点是第一象限内抛物线上一点，其横坐标为，连接并延长至点，使，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，这两条垂线交于点． （1）求二次函数的表达式及顶点坐标； （2）当的边经过此抛物线的最低点时，求点的坐标； （3）当此抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而增大时，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $