期末复习：利用an与Sn的关系求数列通项、构造法求数列通项 专项训练-2025-2026学年高二下学期数学人教B版选择性必修第三册

**基本信息** 聚焦数列通项两大核心方法，通过区域典型考题系统训练an与Sn关系转化及构造法，渗透推理能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |利用an与Sn的关系求数列通项|3例+3变式|已知Sn求an，涉及前n项和、最值及通项推导|体现从Sn到an的分类转化（n=1与n≥2），强化概念生成逻辑| |构造法求数列通项|3例+3变式|递推关系构造新数列（如等比），含证明及求和|展现递推式向等差/等比模型的转化，突出推理与模型构建|

期末复习：利用an与Sn的关系求数列通项、构造法求数列通项专项训练 期末复习：利用an与Sn的关系求数列通项、构造法求数列通项专项训练 考点目录 利用an与Sn的关系求数列通项 构造法求数列通项 例1。(2s26商二下北京顺义期中)已知数列a的前”项和为 n=2n2-30n+1 考点一 利用an与Sn的关系求数列通项 0)写出数列a,的前3项：4,4,4， (2)当°"取最小值时，求”的值： (③)求出a}的通项公式 例2.(2526高二下广东江门阶段检测)已知数列0，前”项和为5，且=， )求a,的通项公式 6s2 (②)设”a,a1,求数列也.}的前n项和T. 1 期末复习：利用an与Sn的关系求数列通项、构造法求数列通项专项训练 例3.(2526高二下安徽卓阳阶段检测)已知数列a,的前”项和为5，且S=n+1 ()求数列a,} 的通项公式 (2) b. a 4Sn+49 ①求数列，的通政公式 ②求数列的最大现 变式1.(2425高二上甘肃甘南期末)已知数列a,满足4+a,++a,=n(∈N) (1)求数列 的通项公式： 1 b=- (②)令。aa1,求数列也.}的前n项和S. 2 期末复习：利用an与Sn的关系求数列通项、构造法求数列通项专项训练 变式2.(2s因川套阳一黄)数列9道项公式80-2训得，长}的日项公式5=+小份.且 a,=c-c(uER,nEN) (1)求元，“的值： ②求a的前”项和 变式3。〔2s26离二上江苏缩迁期中)已知数列a}的前n项和8-多。 ()求a的通项公式 ②是否存在正整数k,使a=(@)成立？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由 期末复习：利用an与Sn的关系求数列通项、构造法求数列通项专项训练 考点二 构造法求数列通项 11=2n+1 例1.(25-26高二下湖北黄冈期中)己知数列满足4=1，a1a, ta (1)求n’的通项公式： 2nπ ②)若a,b=sn3,记数列b,}的前n项和为S, Sso ①求99： ②求". 例2.(2526高二下江西南昌阶段检测)在数列a,中，4=1(a-a,=nau≥2) 少求数列a的通项公式： ②四没么-h-9,求数列么的前10项和7m 期末复习：利用an与Sn的关系求数列通项、构造法求数列通项专项训练 例3.(2026山西晋中模拟预测)己知数列a,的前”项和为9，且2 a,j 。2Sn-3an=4n-3 )证明a2斗是等比数列， ②设=a,-2列，求数列亿，}的前”项和 变式1.（2425离二下河南阶段检测)已知数列a清足“=2.4=4a,+2 1)证明：口，+2是等比数列，并求出数列a,的通项公式 2)设b,=1oga,+29)-L,求数可b的前n项和 期末复习：利用an与Sn的关系求数列通项、构造法求数列通项专项训练 变式2.(2425商=下安搬阜阳期中)已知正顶数列a,满足4-2，且a,+2+aa2)=0neN). {an}、 (1)求 an} 的通项公式； 20刊 pS+q (2)设数列{an}的前n项和为S,是否存在p、q,使得2”=3n-3恒成立？若存在，求出p,q的值若不存在， 请说明理由。 变式3.（2025青海西宁二模)设为数列到/的前项和.≥2时，5：58-85+4权，已加 a1=1,a2=4,%3=12 0)证明：数列a2a} 为等比数列： (2)求数列 的通项公式： ③)若不等式2(，-刂小-n+1≥0 任意正整数n都成立，求实数人的最小值. 6期末复习：利用an与Sn的关系求数列通项、构造法求数列通项专项训练 期末复习：利用an与Sn的关系求数列通项、构造法求数列通项专项训练 考点目录 利用an与Sn的关系求数列通项 构造法求数列通项 考点一 利用an与Sn的关系求数列通项 例1．（25-26高二下·北京顺义·期中）已知数列的前项和为. (1)写出数列的前3项：，，； (2)当取最小值时，求的值； (3)求出的通项公式. 【答案】(1),, (2)当或时，取最小值. (3) 【分析】（1），再利用退位相减法可求，， （2）根据对称轴可求取最小值时的值； （3）根据可求通项. 【详解】（1），， . （2）， 故当或时，取最小值. （3）当时，， 故. 例2．（25-26高二下·广东江门·阶段检测）已知数列前n项和为，且， (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以当时，， 两式作差得， 又符合上式，故的通项公式为. （2）由（1）知，， 则. 例3．（25-26高二下·安徽阜阳·阶段检测）已知数列的前项和为，且 (1)求数列的通项公式. (2)设. ①求数列的通项公式; ②求数列的最大项. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）注意验证首项是否满足通项 （2）代入得到数列的通项公式，从函数的角度观察数列的单调性，从而将几个特殊的值比较一下即可. 【详解】（1）当时，， 当时， 所以 （2）①当时， 当时，，所以 ②设，所以， 所以 当时，单调递增;当时，单调递减. 因为，，经比较可知，， 所以数列的最大项为，. 变式1．（24-25高二上·甘肃甘南·期末）已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用降序相减求解即可； （2）利用裂项相消法即可得解. 【详解】（1）①， 当时②， ①-②得， 当时，，符合上式， 综上：，. （2）， 则 . 变式2．（2025·四川德阳·一模）数列的通项公式，的通项公式，且. (1)求，的值； (2)求的前项和. 【答案】(1)， (2)，. 【分析】（1）根据求出关于的表达式，再与已知对比系数求解； （2）利用巧妙结合. 【详解】（1）由题意得，， 又 ，即，，. （2）依题意： 由（1）可得，， ，. 变式3．（25-26高二上·江苏宿迁·期中）已知数列的前项和，. (1)求的通项公式； (2)是否存在正整数，使成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，过程见解析 【分析】（1）根据计算； （2）将通项公式代入化简求. 【详解】（1）， 则时，， 两式作差得， 又符合上式，故； （2）假设存在正整数，使成立，即， 化简得，得或，均不是正整数， 故不存在正整数，使成立. 考点二 构造法求数列通项 例1．（25-26高二下·湖北黄冈·期中）已知数列满足，. (1)求的通项公式； (2)若，记数列的前项和为. ①求； ②求. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）变形给定等式，利用构造法求出通项公式. （2）①由（1）的结论求出，利用并项求和法，结合正弦函数的周期求解；②按整除3、除以3余2、除以3余1分类求和即可. 【详解】（1）由，得，即， 因此数列是常数列，，则， 所以数列的通项公式是. （2）①由（1）及，得，而数列是以3为周期的数列， 又， 因此，所以. ②当时， 当时， 当时， 故 例2．（25-26高二下·江西南昌·阶段检测）在数列中，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前100项和. 【答案】(1)； (2)4222. 【分析】（1）将递推关系式变形，构造常数列，从而求得通项公式； （2）由（1）的结论求出，再分组并结合等差数列前项和公式求解. 【详解】（1）当时，由，得，因此数列是常数列，，则， 时，，也满足, 则，所以数列的通项公式为. （2）由（1）知，则， 所以. 例3．（2026·山西晋中·模拟预测）已知数列的前项和为，且. (1)证明：是等比数列； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）当时，可得的值，当时，根据，代入求解，整理变形，根据等比数列的定义，即可得证. （2）由（1）可得表达式，根据错位相减求和法，即可得答案. 【详解】（1）证明：因为， 所以当时，，解得， 当时，， 所以，即. 所以， 又， 所以是以为首项，3为公比的等比数列. （2）由（1）知，. 所以， 则，① ，② ①减去②，得： 所以. 变式1．（24-25高二下·河南·阶段检测）已知数列满足，. (1)证明：是等比数列，并求出数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析，； (2). 【分析】（1）根据已知有、，应用等比数列的定义证明结论，并写出通项公式； （2）应用裂项相消法求即可. 【详解】（1）由，则，又，则， 所以是首项、公比都为4的等比数列，则，故； （2）由（1）及已知有， 所以， 所以. 变式2．（24-25高二下·安徽阜阳·期中）已知正项数列满足，且（）. (1)求的通项公式; (2)设数列{}的前n项和为，是否存在p、q，使得恒成立?若存在，求出p，q的值;若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)存在. 【分析】（1）根据已知可得，进而有，写出通项公式，即可得； （2）由（1）得，应用错位相减法、等比数列前n项和公式求得，进而有恒成立，即可得结论并求出参数值. 【详解】（1）∵， ∴，则， ∴，又数列为正项数列， ∴，即， ∴数列是以为首项，为公差的等差数列， ∴，则； （2）∵，则， 故 ∴， 则，故恒成立， ∴，解得， ∴存在满足条件. 变式3．（2025·青海西宁·二模）设为数列的前n项和，时，，已知． (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)若不等式对任意正整数n都成立，求实数的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）结合变形给定等式，再利用构造法推理得证. （2）由（1）求出，再利用构造法求出通项公式. （3）利用错位相减法求和，再借助恒成立的不等式求出的范围即可. 【详解】（1）当时，，即， 则，而，则， 于是时，，整理得，又， 所以数列是首项和公比都是2的等比数列. （2）由（1）知，数列是首项和公比都是2的等比数列，则， 因此，数列是首项为，公差为的等差数列，， 所以数列的通项公式. （3）由（2）知，， ， 两式相减得，， 则．不等式， 当时，为任意实数；当时，恒成立，而，因此， 所以实数的取值范围是，的最小值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $