第19章《二次根式》期末单元复习卷（二）2025-2026学年人教版数学八年级下册

**基本信息** 以二次根式概念为基础，通过阅读材料引导方法提炼，构建“概念-运算-几何应用”的逻辑链条，培养抽象能力与推理意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|单选1/7|最简判断与隐含条件分析|从定义出发，结合数轴抽象数量关系| |性质运算|单选3/9/填空12|性质化简与估值技巧|通过运算律推导，形成符号意识| |几何应用|单选6/8/解答25|海伦秦九韶公式应用|构建三角形边长与二次根式的模型| |综合探究|解答19/24|无理方程转化与类比迁移|从具体实例到一般推理，发展创新意识|

…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 八年级数学下册 第19章 二次根式 期末综合复习卷 (二) 考试总分：120 分 考试时间： 120 分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上，选择题请用2B铅笔填涂。 卷Ⅰ（选择题） 一、单选题（本题共计 10 小题 ，每题 4 分 ，共计40分 ）   1.下列二次根式中，属于最简二次根式的是(        ) A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 根据最简二次根式的定义逐项判断即可解答. 【解答】 解：A选项和D选项的被开方数含有可以开的尽方的因数或因式，B选项被开方数含有分母，都不符合最简二次根式的定义，C选项符合最简二次根式的定义. 2.当时，二次根式的值为（       ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 本题考查求二次根式的值，先将代入，再利用二次根式的性质化简求解即可． 【解答】 当时， ． 故选：． 3.下列运算错误的是（     ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 本题考查二次根式的运算法则，熟练掌握基本法则是关键。 按照二次根式的加减乘除运算法则计算。 【解答】 解：A、，正确； B、，错误； C、，正确； D、，正确； 故选：B． 4.估计的值应在（     ） A.8和9之间 B.7和8之间 C.6和7之间 D.5和6之间 【答案】 A 【解析】 先利用乘法分配律化简原式，再通过比较平方数估算无理数的大小，即可得到结果的范围. 【解答】 解：先化简原式： 不等式同乘2得 不等式同减1得 原式的值在8和9之间. 5.我们把形如（，为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如是型无理数，则是（     ） A.型无理数 B.型无理数 C.型无理数 D.型无理数 【答案】 B 【解析】 本题考查完全平方公式和二次根式的化简，关键是将结果化为指定形式． 先利用完全平方公式展开，再化简二次根式，得到结果的形式后判断类型． 【解答】 解： 故为型无理数， 故选：B. 6.如果一个三角形的三边长分别为1，k，4，那么化简|2k－5|－的结果是(          ) A.3k－11 B.k＋1 C.1 D.11－3k 【答案】 A 【解析】 由于三角形的三边长分别为1、k、4，根据三角形的三边关系，1+4>k，即k<5，4-13，根据k的取值范围，再对代数式进行化简. 【解答】 ， 解得，3所以，2k-5>0，k-6<0， 故选A. 7.已知实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简式子的结果是（     ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 先利用数轴判断 和 的正负，再 进行求解. 【解答】 解：由图可知：   8.古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦秦九韶公式．如果一个三角形的三边长分别是，记，那么三角形的面积．若一个三角形的周长为16，其中两边长分别为5和6，则该三角形的面积为（     ） A.12 B. C. D.15 【答案】 A 【解析】 本题考查海伦-秦九韶公式的应用与二次根式的化简，先根据周长求出第三边长度，再计算半周长p，最后代入面积公式计算面积即可. 【解答】 解：三角形周长为16，已知两边长为5和6， 第三边长为， ， . 9.计算的结果是（       ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解： . 10.已知整式，其中n为正整数，，，，…，均为整数，且满足，且，且满足，下列结论中正确的个数是（   ） ①若，则； ②若，则满足条件的整式M之和为； ③若，则满足条件的整式M有10个； ④所有满足条件的整式M共有17个； A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】 B 【解析】 利用分类讨论思想，根据题目条件逐一判断每个结论的正误即可。 【解答】 解：由题意得，，则化为 ①当时： 又 ， 若，不满足，故，即，①正确； ②当时： 所有符合条件的整式为： 求和得，故②错误； ③当时： ，分类列举得： 当，符合条件的有共3个； 当，符合条件的有共4个； 当，符合条件的有共2个； 当，无符合条件的；总共有个，不是10个，故③错误； ④计算所有满足条件的整式个数：有1个，有4个，有9个；时，，无符合条件的整式；总共有个，不是17个，故④错误， 综上，只有1个结论正确。 卷Ⅱ（选择题） 二、 填空题（本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ）   11.在函数中，自变量的取值范围是_____且________． 【答案】 且 【解析】 本题考查了求函数自变量的取值范围，分式有意义的条件，二次根式有意义的条件． 根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件作答即可． 【解答】 解：， 且， 解得且， 故答案为：且．  12.计算： _______________． 【答案】 【解析】 本题主要考查了二次根式的乘法，二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件得出，再计算二次根式的乘法，最后根据二次根式的性质化简即可． 【解答】 解：根据题意可知：， ， 故答案为： 13.若最简二次根式与可以合并，则的值是________． 【答案】 【解析】 由最简二次根式 与 可以合并，可知二者是同类二次根式，据此建立方程求出m的值，再代入 化简即可得到结果. 【解答】 解： 最简二次根式 与 可以合并， 与 是同类二次根式， ， 解得： ， 将m=14代入 得： 14.如图，长方形内有两个相邻的白色正方形，面积分别为和，则图中两块阴影部分的面积和为_____4___．     【答案】 4 【解析】 依据题意，直接利用二次根式的性质得出正方形的边长，再利用整体面积减去白色正方形的面积，进而得出答案. 【解答】 解：由题意可得：大白色正方形的边长为 ，小白色正方形的边长为 大长方形的长为 ，宽为 大长方形的面积为 阴影部分的面积为： 15.对于任意两个正数a，b，定义运算※为：，计算的结果为________． 【答案】 【解析】 本题主要考查二次根式的混合运算，利用新定义得到 , , 然后利用乘法公式展开后合并即可. 【解答】 解：, , , , 故答案为：.  16.观察下列等式： 第个等式： ， 第个等式： ， 第个等式： ， 第个等式： ， … 按上述规律，计算_________________． 【答案】 【解析】 首先根据题意，可得： ，然后根据分母有理数化的方法，求出算式的值是多少即可． 【解答】 解：第个等式： ， 第个等式： ， 第个等式： ， 第个等式： ， … 第个等式： ， 故答案为： ． 三、 解答题（本题共计 9 小题 ，共计72分 ）   17.(6分) 计算： （1） （2） 【答案】 【解析】 此题暂无解析 【解答】 （1）解：原式 （2）解：原式 18.(7分) 已知与最简二次根式可以加减合并，是的立方根． （1）求，的值； （2）求的平方根； （3）若，求的值． 【答案】 ， 【解析】 （1）根据题意，得到和是同类二次根式，求出的值，立方根的定义求出的值即可； （2）先求出代数式的值，再根据平方根的定义进行求解即可； （3）求出的值，将转化为，再代值计算即可． 【解答】 （1）解：，由题意，得：， ， 是的立方根， ； （2）解：当，时， ， 的平方根； （3）， ．  19.(7分) 阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题， 化简：． 解：隐含条件，解得． ． ∴ 原式． 【启发应用】 （1）按照上面的解法，试化简． 【类比迁移】 （2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：． （3）已知a，b，c为的三边长，化简 【答案】 1 【解析】 （1）由题意易得 ，则有 ，然后问题可求解； （2）由数轴可得 ，且 ，然后问题可求解； （3）根据三角形三边关系及二次根式的性质可进行求解. 【解答】 （1）解：隐含条件 ，解得 . . 原式 ; （2）解：由数轴可得 ，且 , , 原式 ; （3）解：由三角形三边关系可得：, , 原式 . 20.(7分) 【阅读材料】 小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： 【类比归纳】 （1）请你仿照小明的方法将下列各式化成另一个式子的平方的形式： ①； ②； （2）请运用小明的方法化简． 【答案】 ① ② . 【解析】 （1）①根据小明的方法求解即可； ②根据小明的方法求解即可； （2）根据小明的方法求解即可. 【解答】 （1）解：(1) ① ② （2）解： 21.(7分) 在数学课外学习活动中，小浩和他的同学遇到一个问题：已知，求的值，经过思考和讨论他是这样解答的； ，，， ，． 请你根据小浩的解题过程，解决如下问题： （1）______，______； （2）求的值； （3）若，求的值． 【答案】 ， 【解析】 （1）根据分母有理化的方法求解即可； （2）根据所求把所求式子的每一项分母有理化，再计算加减法即可； （3）先求出的值，进而求出的值，再把所求式子分解因式得到，据此可得答案． 【解答】 （1）解：； ； （2）解：， ； （3）解：， ， ， ， ．  22.(8分) 阅读与思考： 数学上有一些被开方数带根号的数能通过完全平方公式及二次根式的性质化简．例如： ． 解决下列问题： （1）化简：； （2）化简并求出：的值． 【方法应用】 （3）如图，已知一正方形花圃（如图所示阴影部分）边长为4米，现增种鲜花面积为平方米，形成新正方形花圃ABCD，求出新正方形花圃ABCD的边长． 【答案】 9 【解析】 （1）将被开方数9-4凑成()的形式，再利用二次根式的性质化简即可； （2）分别将两个被开方数凑成完全平方式，再分别利用二次根式的性质化简，最后合并同类二次根式即可解答； （3）先求出新正方形花圃ABCD的面积为16+4，则边长为 ，再仿照范例解答即可。 【解答】 （1）解： . （2）解： . （3）解：由题意可得：，所以新正方形花圃ABCD的边长为 ， . 23.(9分) 小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的： ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）化简： （2）若． ①求的值． ②直接写出代数式的值  -3     ；   2025    ． 【答案】 ①-2; ②-3, 2025 【解析】 （1）先分母有理化，然后再进行二次根式的运算即可; （2）①由题意易得 , 则 , 然后可得 , 进而代入求解即可; ②由①及根据整体思想可进行求解. 【解答】 （1）解：原式 ; （2）解：, , ①=3()-5=-2; ② .  24.(10分) 小君想到了一种证明等式成立的方法． 证明过程如下： 设，，则，． 等号左边，等号右边； ，， ， 等号右边， 等号左边等号右边， 等式成立． （1）小艳利用同样的方法求出方程的解．她的想法是：将一个无理方程转化为一个整式方程（组），再利用乘法公式和二元一次方程组的解法求出方程的解．请你帮助小艳完成她的求解过程． 解：设，，则___9_____，____1____．将原无理方程转化为用、表示的整式方程（组），并完成原无理方程的求解过程如下： （2）求方程的解为． 【答案】 ；；． 【解析】 （1）依据题意，由、，则，，又，则可求出，，进而完成解答； （2）依据题意，由，从而， 则，故，然后整理后求解即可． 【解答】 （1）解：设，，， ， ， ， ， ． 联立，解得： ． ． 故答案为：；1 （2）解：， ， ， ． ，解得：． 经检验：是原方程的解． 故答案为：． 25.(11分) 问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究： 材料1．古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式（其中a、b、c为三角形的三边长，，S为三角形的面积）． 材料2．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：，其中三角形边长分别为a、b、c，三角形的面积为S． （1）利用材料1解决下面的问题： 当时，求这个三角形的面积： （2）利用材料2解决下面的问题： 已知三条边的长度分别是，记的周长为． ①当时，请直接写出中最长边的长度____3____； ②若x是满足的整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出的面积． 【答案】 ①3； ② 【解析】 (1) 求出 ，把 , , , 的值代入海伦公式计算即可求解； (2) ①把 代入计算即可求解；②根据二次根式有意义的条件求出 的取值范围，进而化简 ，根据 取最大值且 为整数，确定出 , , 的值，进而求出的值，代入秦九韶公式计算即可求解. 【解答】 (1) 解：， ， ． (2) 解：①当 时， ，，， 中最长边的长度为 ． ②， ，， ， ，， 为整数， 当 时，三边为 ，，， ， 不合题意，舍去， 当 时，三边为 , , ，符合题意，此时 取最大值， ， . 学科网（北京）股份有限公司 $…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 八年级数学下册 第19章 二次根式 期末综合复习卷 (二) 考试总分：120 分 考试时间： 120 分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上，选择题请用2B铅笔填涂。 卷Ⅰ（选择题） 一、单选题（本题共计 10 小题 ，每题 4 分 ，共计40分 ）   1.下列二次根式中，属于最简二次根式的是(        ) A. B. C. D. 2.当时，二次根式的值为（       ） A. B. C. D. 3.下列运算错误的是（     ） A. B. C. D. 4.估计的值应在（     ） A.8和9之间 B.7和8之间 C.6和7之间 D.5和6之间 5.我们把形如（，为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如是型无理数，则是（     ） A.型无理数 B.型无理数 C.型无理数 D.型无理数 6.如果一个三角形的三边长分别为1，k，4，那么化简|2k－5|－的结果是(          ) A.3k－11 B.k＋1 C.1 D.11－3k 7.已知实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简式子的结果是（     ） A. B. C. D. 8.古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦秦九韶公式．如果一个三角形的三边长分别是，记，那么三角形的面积．若一个三角形的周长为16，其中两边长分别为5和6，则该三角形的面积为（     ） A.12 B. C. D.15 9.计算的结果是（       ） A. B. C. D. 10.已知整式，其中n为正整数，，，，…，均为整数，且满足，且，且满足，下列结论中正确的个数是（   ） ①若，则； ②若，则满足条件的整式M之和为； ③若，则满足条件的整式M有10个； ④所有满足条件的整式M共有17个； A.0 B.1 C.2 D.3 卷Ⅱ（选择题） 二、 填空题（本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ）   11.在函数中，自变量的取值范围是_____________． 12.计算： ____________． 13.若最简二次根式与可以合并，则的值是________． 14.如图，长方形内有两个相邻的白色正方形，面积分别为和，则图中两块阴影部分的面积和为_______．     15.对于任意两个正数a，b，定义运算※为：，计算的结果为_______． 16.观察下列等式： 第个等式： ， 第个等式： ， 第个等式： ， 第个等式： ， … 按上述规律，计算________________． 三、 解答题（本题共计 9 小题 ，共计72分 ）   17.(6分) 计算： （1） （2） 18.(7分) 已知与最简二次根式可以加减合并，是的立方根． （1）求，的值； （2）求的平方根； （3）若，求的值． 19.(7分) 阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题， 化简：． 解：隐含条件，解得． ． ∴ 原式． 【启发应用】 （1）按照上面的解法，试化简． 【类比迁移】 （2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：． （3）已知a，b，c为的三边长，化简 20.(7分) 【阅读材料】 小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： 【类比归纳】 （1）请你仿照小明的方法将下列各式化成另一个式子的平方的形式： ①； ②； （2）请运用小明的方法化简． 21.(7分) 在数学课外学习活动中，小浩和他的同学遇到一个问题：已知，求的值，经过思考和讨论他是这样解答的； ，，， ，． 请你根据小浩的解题过程，解决如下问题： （1）______，______； （2）求的值； （3）若，求的值． 22.(8分) 阅读与思考： 数学上有一些被开方数带根号的数能通过完全平方公式及二次根式的性质化简．例如： ． 解决下列问题： （1）化简：； （2）化简并求出：的值． 【方法应用】 （3）如图，已知一正方形花圃（如图所示阴影部分）边长为4米，现增种鲜花面积为平方米，形成新正方形花圃ABCD，求出新正方形花圃ABCD的边长． 23.(9分) 小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的： ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）化简： （2）若． ①求的值． ②直接写出代数式的值       ；      ． 24.(10分) 小君想到了一种证明等式成立的方法． 证明过程如下： 设，，则，． 等号左边，等号右边； ，， ， 等号右边， 等号左边等号右边， 等式成立． （1）小艳利用同样的方法求出方程的解．她的想法是：将一个无理方程转化为一个整式方程（组），再利用乘法公式和二元一次方程组的解法求出方程的解．请你帮助小艳完成她的求解过程． 解：设，，则_______，________．将原无理方程转化为用、表示的整式方程（组），并完成原无理方程的求解过程如下： （2）求方程的解为． 25.(11分) 问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究： 材料1．古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式（其中a、b、c为三角形的三边长，，S为三角形的面积）． 材料2．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：，其中三角形边长分别为a、b、c，三角形的面积为S． （1）利用材料1解决下面的问题： 当时，求这个三角形的面积： （2）利用材料2解决下面的问题： 已知三条边的长度分别是，记的周长为． ①当时，请直接写出中最长边的长度________； ②若x是满足的整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $