第20章《勾股定理》期末单元复习卷（一）2025-2026学年人教版数学八年级下册

**基本信息** 以勾股定理为核心，通过基础概念辨析、几何直观应用及综合问题解决，构建从定义到实际应用的逻辑链条，突出几何直观与模型意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|选择1-5、填空11|勾股数识别、直角三角形性质|从勾股定理定义出发，建立三边数量关系认知| |几何应用|选择6-10、填空12-15|网格计算、正方形面积、折叠问题|结合图形直观，深化定理在几何变换中的应用| |综合拓展|解答17-25|动态问题、实际应用（梯子/风筝）|通过情境建模，体现从数学思维到现实表达的转化|

…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 八年级数学下册 第20章 勾股定理 期末综合复习卷 (一) 考试总分：120 分 考试时间： 120 分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上，选择题请用2B铅笔填涂。 卷Ⅰ（选择题） 一、单选题（本题共计 10 小题 ，每题 4 分 ，共计40分 ）   1.下列各组数中，是“勾股数”的是（        ） A. B. C.、、 D.、、 2.在网格中的位置如图所示，若每个小方格的边长均为，则的长为（     ） A. B. C. D. 3.已知直角三角形的三边为边向外作三个正方形，作大正方形的面积为，则其余两个正方形和的面积和为（     ）． A. B. C. D.无法知道 4.如图，的顶点分别在第一，二象限内，，则n的值为（       ） A.6 B.5 C.4 D.3 5.在中，斜边，则的值为（       ） A. B. C. D.无法计算 6.在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4的值为（       ） A.6 B.5 C.4 D.3 7.如图，，，，点A在点O的北偏西方向，则点B在点O（       ） A.北偏东的方向上 B.北偏东的方向上 C.南偏东的方向上 D.南偏东的方向上 8.如图，为内一点，，，，，，则图中阴影部分的面积为（       ） A.12 B.14 C.24 D.26 9.如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是3，高是4，上底面中心有一个小圆孔，则一条长的直吸管露在罐外部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（     ） A. B. C. D. 10.如图，已知正方形边长为8，E为中点，将沿翻折得到，P，Q分别为边，上一点，将沿翻折使点对应点落在边上，若，则（     ） A. B. C. D. 卷Ⅱ（选择题） 二、 填空题（本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ）   11.在中，a，b，c分别是，，的对边，若，则________． 12.如图，每个小正方形的边长都是1，，，是小正方形的顶点，则_______． 13.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形E的边长为cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为_______cm2． 14.如图，在中，，垂足为D，M为上任意一点，则_______． 15.如图，长为的梯子斜靠在竖直的墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为0.7m，梯子顶端到地面的距离为_______． 16.我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的一个大正方形，如图，若拼成的大正方形为正方形，面积为9，中间的小正方形为正方形，面积为2，连接，交于点P，交于点M，①，②；③，④，以上说法正确的是________．（填写序号） 三、 解答题（本题共计 9 小题 ，共计72分 ）   17.（5分）观察下列勾股数：，，；，，；，，；…；，，根据你的发现，求出当时，，的值. 18.（5分）如图，在的网格中，每个小正方形边长都为，的顶点均在格点（网格线的交点）上．求证：是直角三角形． 19.(6分) 如图，． （1）点A表示的数是______，点A表示的数______（填“”、“”或“”）； （2）在数轴上作出所对应的点（保留作图痕迹）； （3）这种研究和解决问题的方式，体现了_____的数学思想． A.数形结合     B.方程    C.分类讨论     D.化归 20.（8分）如图和都是等腰直角三角形，，，顶点在的斜边上，求证：． 21.(8分) 如图，在中，D是边上一点，． （1）求证：； （2）若，求的长．  22.(8分) 如图，在中，，点D在边上，，． （1）猜想的度数，并说明理由； （2）若，求的面积． 23.(10分) 如图，在中，． （1）求证：； （2）当，，时，求的值． 24.(10分) 放风筝是一项娱乐性运动，无论是与家人还是朋友一起放风筝，都能增进彼此之间的关系．如图，小刚同学站在A处，风筝在C处，先测得他抓线的地方与地面的垂直距离为，然后测得他与风筝的水平距离为，最后根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小刚想风筝沿方向下降，则他应该往回收线多少？ 25.(12分) 在中，是上的动点，点在的三边上移动． （1）如图1，当是的中点，点在上，时．若，求的长． （2）如图2，当点在上，将沿折叠，点恰好落在边上的点处时．若，求的长． （3）如图3，当点在上，时，若，，求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 八年级数学下册 第20章 勾股定理 期末综合复习卷 (一) 考试总分：120 分 考试时间： 120 分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上，选择题请用2B铅笔填涂。 卷Ⅰ（选择题） 一、单选题（本题共计 10 小题 ，每题 4 分 ，共计40分 ）   1.下列各组数中，是“勾股数”的是（        ） A. B. C.、、 D.、、 【答案】 A 【解析】 勾股数需满足两个条件：一是三个数均为正整数，二是两个较小数的平方和等于最大数的平方，据此逐项判断即可求解。 【解答】 解：A、 ，且3，4，5均为正整数，这组数是勾股数，符合题意； B、 ，这组数不是勾股数，不符合题意； C、 不是正整数，不满足勾股数定义，这组数不是勾股数，不符合题意； D、0.5，1.2，1.3都不是正整数，不满足勾股数定义，这组数不是勾股数，不符合题意． 2.在网格中的位置如图所示，若每个小方格的边长均为，则的长为（     ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 本题考查求根据勾股定理网格中的线段长，由图形可知AC=3，BC=2利用勾股定理求解即可. 【解答】 解：由图形可知AC=3，BC=2，且 是直角三角形， 则斜边 , 故选A.  3.已知直角三角形的三边为边向外作三个正方形，作大正方形的面积为，则其余两个正方形和的面积和为（     ）． A. B. C. D.无法知道 【答案】 B 【解析】 利用勾股定理得出 ，正方形A的面积+正方形B的面积=EF²，即可得出结果. 【解答】 解：如图所示， 根据题意得： 是直角三角形， ， 正方形A的面积为 ，正方形B的面积为 正方形A的面积+正方形B的面积 4.如图，的顶点分别在第一，二象限内，，则n的值为（       ） A.6 B.5 C.4 D.3 【答案】 C 【解析】 利用勾股定理求解即可。 【解答】 解：Rt 的顶点 解得 故选C. 5.在中，斜边，则的值为（       ） A. B. C. D.无法计算 【答案】 C 【解析】 本题考查了勾股定理．先由勾股定理求得，即可求得的值． 【解答】 解：在中，斜边， ， ， 故选：． 6.在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4的值为（       ） A.6 B.5 C.4 D.3 【答案】 C 【解析】 此题暂无解析 【解答】 S1左侧和S2右侧部分的两个直角三角形是全等三角形，根据勾股定理的几何意义可知 故选C 7.如图，，，，点A在点O的北偏西方向，则点B在点O（       ） A.北偏东的方向上 B.北偏东的方向上 C.南偏东的方向上 D.南偏东的方向上 【答案】 A 【解析】 本题考查了方向角，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键. 先利用勾股定理的逆定理证明 是直角三角形，求出 ，然后再求出 的余角即可解答. 【解答】 解： ， 是直角三角形， ， 由题意得：， 点B在点O的北偏东 方向上， 故选：A. 8.如图，为内一点，，，，，，则图中阴影部分的面积为（       ） A.12 B.14 C.24 D.26 【答案】 D 【解析】 本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形面积，熟练掌握勾股定理是解题关键。在直角三角形ADB中， AB=10，再利用勾股定理逆定理证明 是直角三角形，从而求出 即可得出阴影部分的面积. 【解答】 解： 解： 是直角三角形， 图中阴影部分的面积为 故选：D 9.如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是3，高是4，上底面中心有一个小圆孔，则一条长的直吸管露在罐外部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（     ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 分别考虑直吸管在罐体内两种极端情况：当直吸管下端位于底面圆周上时，罐内的部分最长；当直吸管与圆柱形饮料罐的底面垂直时，直吸管在饮料罐内的部分最短；结合勾股定理求解即可。 【解答】 解：由题意可知，当直吸管下端位于底面圆周上时，罐内的部分最长， 最大值为 ， 此时直吸管露在罐外部分a的长度最小，最小值为10-5=5； 由垂线段最短可知，当直吸管与圆柱形饮料罐的底面垂直时，直吸管在饮料罐内的部分最短，最小值等于圆柱形饮料罐的高， 此时直吸管露在罐外部分a的长度最大，最大值为10-4=6； 综上，a的范围是5≤a≤6. 10.如图，已知正方形边长为8，E为中点，将沿翻折得到，P，Q分别为边，上一点，将沿翻折使点对应点落在边上，若，则（     ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 连接EG，作GH CD．由正方形的性质可得AB=CD=AD=8， 由折叠的性质可得BF=BA=8，EF=AE=4， 进而可得 ，AB EG， ，从而可得四边形EGHD是矩形.设DQ=x，则QH=5-x， GQ=CQ=8-x，根据勾股定理列方程求出x的值即可得解. 本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，折叠的性质以及勾股定理，熟练掌握以上知识，正确地作出辅助线是解题的关键. 【解答】 解：如图，连接EG，作GH CD. 四边形ABCD是正方形， 为AD中点， 将 沿BE翻折得到 又 四边形EGHD是矩形， 设DQ=x，则QH=5-x 将 沿PQ翻折使C点对应点G落在边BF上， 在Rt 中， 解得x 故选：A. 卷Ⅱ（选择题） 二、 填空题（本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ）   11.在中，a，b，c分别是，，的对边，若，则___90°_____． 【答案】 90° 【解析】 先利用平方差公式化简已知等式，再根据勾股定理的逆定理判断 的形状，即可得到 的度数. 【解答】 解：对已知等式利用平方差公式展开得： 移项得： 根据勾股定理的逆定理可知， 是直角三角形， 为斜边， 是 所对的角， 因此 . 12.如图，每个小正方形的边长都是1，，，是小正方形的顶点，则___45°_____． 【答案】 45° 【解析】 连接AC，利用勾股定理求出 各边的长度，再根据勾股定理的逆定理判断三角形的形状，进而求出 的度数. 【解答】 【详解】解：连接AC，如图. 由题意得 ， ， 是等腰直角三角形.   13.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形E的边长为cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为________cm2． 【答案】 【解析】 根据勾股定理计算即可. 【解答】 解：最大的正方形E的边长为 面积为： 由勾股定理和正方形的性质可知， 正方形F,G的面积之和为正方形E的面积， 正方形A,B的面积之和为正方形F的面积， 正方形C,D的面积之和为正方形G的面积， 正方形A、B、C、D的面积之和为正方形E的面积为：   14.如图，在中，，垂足为D，M为上任意一点，则____60____． 【答案】 60 【解析】 本题主要查了勾股定理，理解并灵活运用勾股定理是解题的关键. 根据勾股定理可得 ，从而得到 ，再代入相关数据即可解答. 【解答】 解： AD BC， ， 故答案为：60.   15.如图，长为的梯子斜靠在竖直的墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为0.7m，梯子顶端到地面的距离为__2.4______． 【答案】 2.4 【解析】 根据题意可知梯子、墙面与地面构成直角三角形，已知斜边和一条直角边的长度，利用勾股定理即可求出另一条直角边的长度. 【解答】 解：由题意可知，梯子、墙面与地面构成直角三角形，且斜边长为 2.5m，一条直角边长为 0.7m， 根据勾股定理，得梯子顶端到地面的距离为：. 故答案为：2.4. 16.我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的一个大正方形，如图，若拼成的大正方形为正方形，面积为9，中间的小正方形为正方形，面积为2，连接，交于点P，交于点M，①，②；③，④，以上说法正确的是___①③_____．（填写序号） 【答案】 ①③ 【解析】 根据正方形得性质、勾股定理、平行线的性质、全等三角形的判定与性质和梯形面积的计算逐项判断即可。 【解答】 解： 四边形EFGH为正方形， ，EM∥PF，AF∥CH，AD=BC， ， 由题意得，RtAED≌RtCGB， ， 在 和 中， ， （ASA），故①正确； 由①得 , EM=PG, 即 故②错误； 用x,y表示直角三角形的两条边(x大正方形面积为9，小正方形面积为2， ， 直角三角形的面积和为 于是得到 解得x+y=4； 即 ，故③正确； , , , 故④正确， 故答案为：①③ 三、 解答题（本题共计 9 小题 ，共计72分 ）   17.（5分）观察下列勾股数：，，；，，；，，；…；，，根据你的发现，求出当时，，的值. 【答案】 ， 【解析】 时，，，；时，，，…得出，，（，为正整数），满足勾股数． 【解答】 时,，时,， 时,，… 勾股数(⩾为正整数). 当时,,则， 故答案为， 18.（5分）如图，在的网格中，每个小正方形边长都为，的顶点均在格点（网格线的交点）上．求证：是直角三角形． 【答案】 见解析 【解析】 根据勾股定理求得, , , 进而根据勾股定理的逆定理，即可得证. 【解答】 证明：, , ， ， 是直角三角形. 19.(6分) 如图，． （1）点A表示的数是______，点A表示的数______（填“”、“”或“”）； （2）在数轴上作出所对应的点（保留作图痕迹）； （3）这种研究和解决问题的方式，体现了__A____的数学思想． A.数形结合     B.方程    C.分类讨论     D.化归 【答案】 见解析 A 【解析】 （1）根据勾股定理得到 ，即可求解点A表示的数，再根据无理数的估算方法比较大小； （2）以点 为圆心画弧，交原点右侧数轴于点 ，则可得 ，那么点 表示的数即为 ； （3）根据题干以及解析即可确定解题思想. 【解答】 （1）解： ，且A在原点左侧， 点A表示的数是 即 点A表示的数 > -3, 故答案为： （2）解：点 表示的数即为 ； （3）解：这种研究和解决问题的方式，体现了数形结合的数学思想，故答案为：A. 20.（8分）如图和都是等腰直角三角形，，，顶点在的斜边上，求证：． 【答案】 证明见解析. 【解析】 连结BD，易证 ，即BD=AE、AC=BC. 又可证明出 ，再结合勾股定理即可得到所要证明的等式是成立的. 【解答】 证明：如图，连结BD， 在 和 中， 又 在Rt 中， 在Rt 中， 21.(8分) 如图，在中，D是边上一点，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】 见解析 14 【解析】 （1）根据勾股定理逆定理可得 是直角三角形，从而得出结论; （2）先求出 ，再根据勾股定理求出BD的长，结合题意根据求出结果即可. 【解答】 （1）证明： ， 是直角三角形， ， ; （2）解： 的长为14.  22.(8分) 如图，在中，，点D在边上，，． （1）猜想的度数，并说明理由； （2）若，求的面积． 【答案】 90°；理由见解析 68 【解析】 （1）利用股定理逆定理得到 ∠BDC=90°，从而求出结果； （2）利用勾股定理求出AD的长，利用AC=AD+CD求出AC的长，最后求三角形面积即可. 【解答】 （1）解：∠ADB=90°，理由如下： （2）在Rt△ABD中， 由勾股定理得AD= 23.(10分) 如图，在中，． （1）求证：； （2）当，，时，求的值． 【答案】 证明见解析； ； 【解析】 （1）在和中，分别运用勾股定理可得，，利用边相等，联立两式移项即得证． （2）根据第一问的结论，可求出的值，利用平方差公式，结合，可求得，而，由此可求得、，由勾股定理即可求出． 【解答】 （1）解：证明： ， 在和中，根据勾股定理得， ，， ， 移项得：． 故． （2）解： ，， ， ， ，即， ， ，解得， ， ． 24.(10分) 放风筝是一项娱乐性运动，无论是与家人还是朋友一起放风筝，都能增进彼此之间的关系．如图，小刚同学站在A处，风筝在C处，先测得他抓线的地方与地面的垂直距离为，然后测得他与风筝的水平距离为，最后根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小刚想风筝沿方向下降，则他应该往回收线多少？ 【答案】 风筝的垂直高度CE为21.6m 他应该往回收线8m 【解析】 （1）利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度； （2）根据勾股定理求出BM的长，即可得到结论. 【解答】 （1）解：如下图： 由题意得： ，BD=AE=15m， DE=AB=1.6m，BC=25m， 即：风筝的垂直高度CE为21.6m； （2）解：如下图所示，设风筝沿 方向下降 至点 ，连接BM， 即：他应该往回收线8m.  25.(12分) 在中，是上的动点，点在的三边上移动． （1）如图1，当是的中点，点在上，时．若，求的长． （2）如图2，当点在上，将沿折叠，点恰好落在边上的点处时．若，求的长． （3）如图3，当点在上，时，若，，求证：． 【答案】 DE=4.8 BE=5 见解析 【解析】 （1）根据等腰三角形的性质得 ， ，运用勾股定理得 ，再结合等面积法列式计算，即可作答. （2）先根据勾股定理得AB=10，又因为将 沿AE折叠，点C恰好落在边AB上的点D处，得出 ， ，CE=DE，运用勾股定理列式计算，即可作答. （3）先过点C作CF CE，且CF=CE，根据 ，AC=BC，证明 ，整理得 ， ，再运用 证明 ，得出DF=DE，在Rt 中，运用勾股定理列式分析，即可作答. 【解答】 （1）解：如图1，连接CD. ，D是AB的中点， ， 由勾股定理，得 （2）解： 由题意，知 AD = AC = 6, CE = DE， BD = AB - AD = 10-6 = 4. 设 BE = x，则 在Rt 中， 解得 x = 5, （3）证明：如图2，过点C作CF CE，且 连接BF，DF. 图2 ， 又 ， 在Rt 中， 学科网（北京）股份有限公司 $