第19章《二次根式》期末单元复习卷（一）2025-2026学年人教版数学八年级下册

**基本信息** 以二次根式概念为起点，通过辨析、运算、应用及探究题型，系统覆盖性质、化简、估值等核心考点，培养抽象能力与应用意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|选择1、填空11|考查二次根式定义及有意义条件|从概念生成到性质理解| |性质应用|选择2、4、7、填空15|结合数轴与双重非负性化简求值|性质推导与符号运算| |运算求解|选择5、6、解答17|涉及加减乘除及分母有理化|运算规则到技巧迁移| |几何与实际|选择9、解答22|长方形拼接与自由落体问题|几何直观与模型意识| |综合探究|选择10、填空16、解答25|规律归纳与新定义应用|知识整合与创新思维|

…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 八年级数学下册 第19章 二次根式 期末综合复习卷 (一) 考试总分：120 分 考试时间： 120 分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上，选择题请用2B铅笔填涂。 卷Ⅰ（选择题） 一、单选题（本题共计 10 小题 ，每题 4 分 ，共计40分 ）   1.下列各式一定属于二次根式的是（       ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 本题考查二次根式的识别，根据形如，这样的式子叫做二次根式，进行判断即可． 【解答】 解：、因为，则不是二次根式，不符合题意； 、当时，不是二次根式，不符合题意； 、因为，故是二次根式，符合题意； 、当时，则，不是二次根式，不符合题意； 故选：． 2.当时，二次根式的值为（       ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 本题考查求二次根式的值，将代入二次根式 中，计算被开方数的值，再求其算术平方根． 【解答】 当时， ， 故选：． 3.在平面直角坐标系中，点的坐标满足，则点在（       ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】 A 【解析】 直接利用偶次方的性质以及二次根式的性质得出，的值，进而确定其所在象限． 【解答】 解：， ，， 点， 故点在第一象限． 故选． 4.若，则的值可以是（       ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 本题主要考查了解一元二次方程．先把原式变形为，解出方程，即可求解． 【解答】 解：， ， 整理得：， 解得：， 由题意得：， ， ． 故选： 5.计算：的值为（       ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：原式为同级运算，从左到右依次计算，   6.在下列各式中，是的有理化因式的是（       ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 本题考查有理化因式的概念． 有理化因式：两个含有根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式就互为有理化因式，分别将选项代入计算看乘积是否含有根式即可． 【解答】 ．，结果不带根式，符合题意． ．，结果带根式，不符合题意． ．，结果带根式，不符合题意． ．，结果带根式，不符合题意． 故选：． 7.若二次根式是最简二次根式，则m可取的最小整数为（       ） A.1 B.0 C. D. 【答案】 D 【解析】 本题考查最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是解本题的关键 根据最简二次根式的定义，被开方数不含能开得尽方的因式或因数，不含分母，进行求解即可. 【解答】 解： ， ，当m=-3时， ，不是最简二次根式； 当m=-2时， ，是最简二次根式， 故m可取的最小整数为-2， 故选：D. 8.估计的值应在（        ） A.4和5之间 B.5和6之间 C.6和7之间 D.7和8之间 【答案】 D 【解析】 先利用二次根式乘法运算法则化简原式，再利用相邻整数的平方数估算无理数 的范围，即可得到原式的取值范围. 【解答】 首先化简原式，根据二次根式乘法运算规则： ， 又 ， ， 即 ， 不等式两边同时加2，得 ， 即 因此原式的值在7和8之间. 9.如图，在数学课上，老师用5个完全相同的小长方形在无重叠的情况下拼成了一个大长方形，已知小长方形的长为，下列是四位同学对大长方形的判断，其中不正确的是（     ） A.大长方形的长为 B.大长方形的宽为 C.大长方形的周长为 D.大长方形的面积为 【答案】 C 【解析】 本题考查二次根式的应用、长方形的性质、准确地理解题意找到等量关系是解题的关键。根据图形可知大长方形的长既是小长方形宽的3倍，又是小长方形长的2倍，大长方形的宽是小长方形长与宽的和，由此即可判断. 【解答】 解：由题意，小长方形的长为 大长方形的长为 小长方形的宽为 大长方形的宽为 即小长方形的长为 ，宽为 ；大长方形的长为 ，宽为 大长方形的周长为 大长方形的面积为 选项A、B、D正确，不符合题意；选项C错误，符合题意； 故选：C. 10.例如：．像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫作分母有理化．有下列结论： ①若是的小数部分，则的值为； ②； ③已知，，则； ④设实数，满足，则．其中说法正确的个数是（       ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 本题考查了分母有理化．熟练掌握平方差公式，有理化因式，完全平方公式变形求值，二次根式的混合运算，是解题的关键．判断四个结论的正确性，逐一分析每个结论的解题过程． ①的小数部分．得，结论①正确． ② ，结论②错误． ③可得，，得，结论③错误． ④由已知得，得，由，得，得，得．结论④正确． 【解答】 解：①， ， 的整数部分为， 小数部分． ． ①正确． ② ， ②错误． ③，， ． ，， ． ． ③错误． ④：， ． ． ， ． ． ． ． ④正确． 综上，正确结论为①和④，共个． 选：． 卷Ⅱ（选择题） 二、 填空题（本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ）   11.若代数式有意义，则字母的取值范围是___且_____。 【答案】 且 【解析】 根据代数式式有意义可知，分母不为且被开方数大于等于，即可得到的取值范围． 【解答】 且 12.___ _____． 【答案】 【解析】 本题主要考查了二次根式的化简以及运用完全平方公式进行计算，将根号内的被开方数配成完全平方形式，再利用二次根式的性质化简即可得到结果. 【解答】 解：， ， ， 13.若，，则_____2_______． 【答案】 【解析】 本题主要考查了二次根式的性质、二次根式运算等知识，首先根据题意可得，，然后根据二次根式的性质和运算法则求解即可，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 【解答】 解：，， ． 故答案为：2 14.若，，则的值为________． 【答案】 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：， ， ， . 15.实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是________ ． 【答案】 【解析】 本题考查了二次根式的性质、实数与数轴等知识点，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键. 由数轴得 ，继而得出 ，再根据二次根式的性质和绝对值化简即可. 【解答】 解：由数轴得 ， 故答案为： .  16.已知：，，，， ，其中为正整数，则____________；的值是____________． 【答案】 , 【解析】 根据求出的值，再根据算术平方根求解即可； 根据的值可得，即得到，再代入算式计算即可求解； 本题考查了算术式平方根的定义，二次根式的化简求值，由已知等式找出规律是解题的关键． 【解答】 解：， ， ， 故答案为：； ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 三、 解答题（本题共计 9 小题 ，共计72分 ）   17.(6分) 计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】 (1) (2) (3) 【解析】 此题暂无解析 【解答】 （1） ； （2） ； （3） 。 18.(6分) 已知最简二次根式与能合并． （1）求 的值； （2）若，化简：． 【答案】 5 【解析】 （1）根据同类二次根式的定义进行计算即可； （2）先推导出，得到，再进行绝对值与二次根式的化简，最后合并即可. 【解答】 （1）解：最简二次根式 与 能合并， 解得 （2）解：， 19.（6分）已知，，求下列各式的值： ①   ② （2）若，，当时，求的值 【答案】 ①3；②31；（2）3 【解析】 本题考查了二次根式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）①利用平方差公式进行计算，即可解答； ②利用完全平方公式进行计算，即可解答； （二）利用平方差公式进行计算，即可解答． 【解答】 解： ； ； （2）, ． 20.(6分) 已知x＝； （1）求x2+y2﹣xy的值； （2）若x的小数部分为a，y的小数部分为b，求（a+b）2+的值． 【答案】 13 2-2 【解析】 （1）先分母有理化，求出x、y值，求出x+y和xy的值，再代入求出即可； （2）求出a、b的值，再求出a+b和a-b的值，再代入求出即可. 【解答】 （1） （2） 21.(8分) 二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题： （1）已知，则的值为_______； （2）若为实数，且，求的值； （3）若实数满足，求的值． 【答案】 或 【解析】 （1）利用二次根式非负性，，，当时，只有才能满足题意，解出代入代数式即可得到答案； （2）由二次根式有意义的条件得到，从而确定，将代入代数式即可得到答案； （3）由二次根式有意义的条件得到，从而可化为，即，两边同时平方即可得到答案． 【解答】 （1）解：，，， ，解得， ， 故答案为：； （2）解：中；中； ，则，即， 当时，；当时，； （3）解： 中， ， 可化为，即， 将两边同时平方可得，则． 22.(9分) 物体在做自由落体运动时，下落时间t（s）和下落高度h（m）之间满足关系式，其中（不考虑空气阻力）． （1）小球从的高空自由下落，需要多长时间到达地面？ （2）小芳认为，小球从的高空下落需要的时间是从的高空下落需要的时间的2倍，你认为小芳的想法正确吗？如果不正确，请说明理由； （3）据研究，高空下落物体的动能（单位：J）物体的质量（单位：kg）×高度（单位：m），将某个质量为的皮球从高空抛下，经过后落在地上，这个皮球产生的动能是多少？ 【答案】 s 小芳的想法不正确，理由见解析 这个皮球落地产生的动能 J 【解析】 （1）把 m代入 计算即可; （2）把 m代入 求出 的值，再除以(1）中结果即可; （3）先把把 s代入 求出 的值，然后根据动能的计算方法求解即可. 【解答】 （1）将 代入 ，得 s （2）小芳的想法不正确， 将 代入 , 得 s， ， 即小球从100m的高空下落需要的时间是从50m的高空下落需要的时间的 倍， 小芳的想法不正确; （3）， ， 解得 m， 这个皮球落地产生的动能 J. 23.(10分) 问题情景：请认真阅读下列这道例题的解法并填空． （1）例：已知，求的值． 解：由得，__2022___，___2023__，___ __； （2）尝试应用 若为实数，且，化简： （3）拓展创新 ①已知，求的值． ②已知实数，在数轴上的对应点如图所示，化简． 【答案】 2022, 2023, 1 ①-7; ②b-2 【解析】 （1）根据二次根式有意义的条件可求出x的值，从而得到y的值，即可求解; （2）根据二次根式有意义的条件可求出x的值，从而得到y的值，即可求解; （3）①根据二次根式有意义的条件可求出m=10，从而得到n=17，然后代入即可求解; ②由数轴得a<0<10, 1-b<0，然后化简求解即可. 【解答】 （1）解：由 得，x=2022， ; （2）解：由 ，得x=3， ; （3）解：①由 ，得m=10， ②由数轴得，a<0<1   24.(10分) 在数学课外学习活动中，小明遇到一道题：已知，求的值．他是这样解答的：∵ ， （1）请你帮助小明接着完成这道题； （2）请你根据小明的思路，解决如下问题 ① =______； ②计算： 【答案】 ① ; ② 【解析】 （1）把 变形为 ，然后把 代入计算即可； （2）①把分子分母都乘以 化简即可； ②先分母有理化，再算加减即可. 【解答】 （1）解： （2）解： ① ② 25.(11分) 新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“整数区间”为；同理规定无理数的“整数区间”为．例如：因为，所以，所以的“整数区间”为，的“整数区间”为．请解答下列问题： （1）的“整数区间”是_____；的“整数区间”是__;__． （2）若无理数（为正整数）的“整数区间”为，的“整数区间”为，求的值； （3）实数，，满足关系式：，求的“整数区间”． 【答案】 ; 或 【解析】 （1）根据“整数区间”的定义求解即可; （2）先根据无理数 和 的“整数区间”求出 的取值范围，再根据 为正整数求出 的值，然后代入 求解即可; （3）由题意可得 和 ，得出 ，进而得出 和 ，两式相减可得 ，再根据“整数区间”的定义求解即可. 【解答】 （1）解： 的“整数区间”是 的“整数区间”是 ; （2）解： 无理数 的“整数区间”为 ，即 的“整数区间”为 ，即 为正整数, 或 当 时，; 当 时，. 综上所述， 的值为 或 . （3）解： 和 和 两式相减，得 ，即 的“整数区间”是 . 学科网（北京）股份有限公司 $…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 八年级数学下册 第19章 二次根式 期末综合复习卷 (一) 考试总分：120 分 考试时间： 120 分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上，选择题请用2B铅笔填涂。 卷Ⅰ（选择题） 一、单选题（本题共计 10 小题 ，每题 4 分 ，共计40分 ）   1.下列各式一定属于二次根式的是（       ） A. B. C. D. 2.当时，二次根式的值为（       ） A. B. C. D. 3.在平面直角坐标系中，点的坐标满足，则点在（       ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.若，则的值可以是（       ） A. B. C. D. 5.计算：的值为（       ） A. B. C. D. 6.在下列各式中，是的有理化因式的是（       ） A. B. C. D. 7.若二次根式是最简二次根式，则m可取的最小整数为（       ） A.1 B.0 C. D. 8.估计的值应在（        ） A.4和5之间 B.5和6之间 C.6和7之间 D.7和8之间 9.如图，在数学课上，老师用5个完全相同的小长方形在无重叠的情况下拼成了一个大长方形，已知小长方形的长为，下列是四位同学对大长方形的判断，其中不正确的是（     ） A.大长方形的长为 B.大长方形的宽为 C.大长方形的周长为 D.大长方形的面积为 10.例如：．像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫作分母有理化．有下列结论： ①若是的小数部分，则的值为； ②； ③已知，，则； ④设实数，满足，则．其中说法正确的个数是（       ） A. B. C. D. 卷Ⅱ（选择题） 二、 填空题（本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ）   11.若代数式有意义，则字母的取值范围是_______。 12.______． 13.若，，则_________． 14.若，，则的值为_______． 15.实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是_______ ． 16.已知：，，，， ，其中为正整数，则________；的值是___________． 三、 解答题（本题共计 9 小题 ，共计72分 ）   17.(6分) 计算： （1）； （2）； （3）． 18.(6分) 已知最简二次根式与能合并． （1）求 的值； （2）若，化简：． 19.（6分）已知，，求下列各式的值： ①   ② （2）若，，当时，求的值 20.(6分) 已知x＝； （1）求x2+y2﹣xy的值； （2）若x的小数部分为a，y的小数部分为b，求（a+b）2+的值． 21.(8分) 二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题： （1）已知，则的值为_______； （2）若为实数，且，求的值； （3）若实数满足，求的值． 22.(9分) 物体在做自由落体运动时，下落时间t（s）和下落高度h（m）之间满足关系式，其中（不考虑空气阻力）． （1）小球从的高空自由下落，需要多长时间到达地面？ （2）小芳认为，小球从的高空下落需要的时间是从的高空下落需要的时间的2倍，你认为小芳的想法正确吗？如果不正确，请说明理由； （3）据研究，高空下落物体的动能（单位：J）物体的质量（单位：kg）×高度（单位：m），将某个质量为的皮球从高空抛下，经过后落在地上，这个皮球产生的动能是多少？ 23.(10分) 问题情景：请认真阅读下列这道例题的解法并填空． （1）例：已知，求的值． 解：由得，_____，____，_____； （2）尝试应用 若为实数，且，化简： （3）拓展创新 ①已知，求的值． ②已知实数，在数轴上的对应点如图所示，化简． 24.(10分) 在数学课外学习活动中，小明遇到一道题：已知，求的值．他是这样解答的：∵ ， （1）请你帮助小明接着完成这道题； （2）请你根据小明的思路，解决如下问题 ① =_____； ②计算： 25.(11分) 新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“整数区间”为；同理规定无理数的“整数区间”为．例如：因为，所以，所以的“整数区间”为，的“整数区间”为．请解答下列问题： （1）的“整数区间”是_____；的“整数区间”是____． （2）若无理数（为正整数）的“整数区间”为，的“整数区间”为，求的值； （3）实数，，满足关系式：，求的“整数区间”． 学科网（北京）股份有限公司 $