数学3-【鱼跃龙门卷】2026年高考筑基固本卷（重庆专版）

2026年高考模拟试题— 筑基固本卷（三） 数学 本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上 无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是 符合题目要求的。 1.已知1=1十ai,之2=1-i,且之1=之2i,则实数a= A.0 B.1 C.-1 D.2 2.已知全集U={1,2,3,4,5},集合A={x∈N(x-1)(x-5)<0},CB={3,4,5},则A∩B= A.{2} B.{2,5} C.{1,2,5} D.{1,2,3,4} 3.2+x(2-2) 展开式中的常数项为 A.-16 B.16 C.-128 D.128 4.已知两个单位向量a,b的夹角为，若c=一a十b(u∈R),则c十c十a的最小值为 A.1 R月 C.3 D.2 5,如图是某正方体的平面展开图，则在该正方体中，下列说法正确的是 A.BN∥ED B.DM⊥BN C.直线CN与BE是异面直线 D.异面直线CN与BM所成的角为30° 6.若函数f(x)=2 sin xcos a十23cos2x一√3在区间[0，m]上恰有两个对称中心，则实数m的取 值范围为 A[， B) c [ D. 7π13π L12’12 筑基固本卷（三）·数学第1页（共4页） 鱼跃龙的卷 7.已知圆C:x2+(y一2)2=1，若T为直线m:4x+3y+6=0上的动点，过T作圆C的两条切线， 切点分别为G,H,则四边形TGCH面积的最小值为 A.⑦a 2W119 2 B.√74 C.19 D. 5 5 3 题x)的定义或为0，+∞)若十f'x)三f)=e-1,则不等式 的解集是 A.(0,1) B.(0,e) C.(0,ln2] D.(0,21n2] 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目 要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.在统计与概率中，以下关于数据分析与概率分布的说法正确的是 A.某项测量结果服从正态分布N(1,a2),则P(<5)=0.81,则P(≤一3)=0.19 B.一组数据55,7@，10的平均数为7，则其方差为9 C.设具有相关关系的两个变量x,y的相关系数为r,则|r|越接近于0，x和y之间的线性相关 程度越强 D.在一个2×2列联表中，由计算得X2的值，则X2的值越大，判断两个变量间有关联的把握就 越大 y2 0已知椭圆E:兰IQ>b>0)的高心率为焦距为2B,若四边形ABCD内接于椭圆 E,对角线AC,BD过原点O,且这两条对角线的斜率之积为，则下列说法正确的是 A.椭圆E的标准方程为+y=1 B.四边形ABCD为平行四边形 C.直线AB和BC的斜率之和为1 D.若直线AB的斜率为-？，则四边形ABCD面积的最大值为4 ll,已知数列{an}的各项均为正数，a1=a,a2=b,对于Hn∈N',a+2=a+1十a员-am+1an恒成 立，则 A.a<atb 、2 B.不存在a,b,使得{am}单调递增 C.若a<b,则对于Hn∈N*,都有a2m<a2m+2 D.若对于Hn∈N*,am+3=am,则{am}为常数列 筑基固本卷（三）·数学第2页（共4页） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12.物理实验课上，7组实验数据的误差值为8,9,10,11,12,13,14（单位：%），已知该实验数据误差 值互质组的实验方法差异大，需要重点分析，若从这7组中选2组对比，则实验数据需重点分析 的概率为 3.已知a0,b>0,双曲线C:2-1的离心率为e1,双曲线C2:62一2=1的离心率为2 则e?+e?的最小值为 14.如图1，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC,AB=2DC=4, ∠ABC=F,DE⊥AB于E,现将△ADE沿直线DE折起 到△PDE的位置，如图2，若PC=2√2，则四面体P-ECD D 外接球的体积为 图1 图2 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asin B一√3 bcos A=0,a+c=10. (1)求A; 2)若simc33求△ABC的面积 16.(15分) 在芯片制造过程中，光刻工序是关键步骤之一.某芯片制造厂在光刻工序中，每片芯片出现“图 形偏移”缺陷的概率为4，且互不影响，现从生产线上随机抽取4片芯片进行检验，定义随机变 量X为这4片芯片中出现“图形偏移”缺陷的芯片数量 (1)在这4片芯片中至少有1片出现“图形偏移”缺陷的情况下，求恰有2片芯片出现“图形偏 移”缺陷的概率； (2)求随机变量X的分布列及其数学期望. 筑基固本卷（三）·数学第3页（共4页） 鱼跃龙的卷 17.(15分) 如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC,AB=AC=AA1=2,E,F,D,M分别是 BC,A1C1,B1C1,A1B1的中点。 (1)证明：EF∥平面ABB1A1; (2)求平面EFA1与平面ABC夹角的余弦值； (3)求F到平面BDM的距离. 18.(17分) 已知抛物线C:y2=2px的焦点为F,G(4,2)为C内一点，M为C上的任意一点，|MG引+|MF| 的最小值为5， (1)求C的方程； (2)已知O为坐标原点，过点F的直线交C于P,Q两点，证明：OP·OQ为定值； (3)设点N在直线y=2x+1上，过点N的两条直线分别与C相切于A,B两点，记直线NA, NB的斜率分别为k1,k2,求十？的取值范围. 19.(17分) 已知函数f(x)=x2-3x+alnx,a∈R. (1)当a=1时，求f(x)的单调区间； (2)若f(x)有两个极值点x1,x2,且x1<x2: (i)求f(x2)的取值范围； (ⅱ)若不等式f(x2)一f(x1)≤k(x一x)恒成立，求实数k的最小值. 筑基固本卷（三）·数学第4页（共4页）·数学· 参考答案及解析 昏专答桌及解折 2026年高考模拟试题一筑基固本卷（三）】 一、选择题 6.C【解析】因为f(x)=2 sin xcos x十2√3cos2x 1.B【解析】因为1+ai=(1-i)i=1+i,所以a=1. 2.A【解析】由全集U={1,2,3,4,5},集合CuB =sin 2x+23.sos 2+1sin2+ 2 {3,4,5},得B={1,2},又因为A={x∈N1<x< 5}={2,3,4},所以A∩B={2). 3cos2x=2sim(2x+号）.当x∈[0，m]时，2z+ 3.A【解析】因为2+x)(2)°=2(2-)°+ g∈[子2m+],则2x<2m十吾<3，即≤ 6 x(2-)°，2(2-)°的常数项为2C2=64, 3 z(2-)的常数项为C2*(-1D=一80，放2+ 7.C【解析】由于TG,TH为圆C的两条切线，所以 x)(2-）°展开式中的常数项为64-80=-16. Sa带n=2SAc=2X2TG1·CG1-TG, 又|TG|=√CT-1,而|CTI的最小值为点C到 4.A【解析】因为两个单位向量a,b的夹角为，所 直线m的距离4，d=14X0+?X2+61-号所以 5 以a·b=0,且|a=|b|=1,所以c2=(-a十b)2= a2-2ta·b+t2b2=1-2t·0+t2=t2+1, ITGIn =119 ,故四边形TGCH面积的最小值 (c+a)2=(-a+tb+a)2=t2b2=t2,所以|c|= √2+1，c+a=√.所以|c|+|c+al=√2+1十 为①19 5 √≥1，所以(cl+|c+a)mn=1. 5.B【解析】将平面展开图复原为正方体如图. 8.D【解析】由f2+了x)-兰得f)+zfx) x e2,即f(x)十xf'(x)-e=0,设g(x)=xf(x) e,则g'(x)=f(x)十xf'(x)-e=0,所以g(x)是 常数函数.又因为f(1)=e-1,所以g(1)=1× D f(1)-e=-1,所以g(x)=xf(x)-e=-1,所 以f)-,则f()=c=Dt,令 对于A,由异面直线的定义可知，BN与ED是异面 H(x)=e(x-1)+1,x>0,则H'(x)=xe>0,故 直线，故A错误；对于B,由图知，BC⊥平面CDNM, 函数H(x)在(0，+∞)上单调递增，则H(x)> DMC平面CDNM,则BC⊥DM,又CN⊥DM,CN∩ H(0)=0,即f'(x)>0,故函数f(x)在(0，+∞)上 BC=C且CN,BCC平面BCN,则DM⊥平面 3 BCN,又BNC平面BCN,则DM⊥BN,故B正确； 单调递增，又/x≤Z品2)=2则f) 对于C,因为BC,EN平行且相等，则四边形BCNE f(ln4),故可得0<x≤ln4,故不等式的解集是(0， 为平行四边形，则BE∥CN,故C错误；对于D,由 2ln2]. AB,MN平行且相等，则四边形ABMN为平行四边 二、选择题 形，则BM∥AN,所以CN与BM所成角，即为CN 9.ABD【解析】对于A,因为服从正态分布N(1, 与AN所成角，又△ACN为等边三角形，所以CN 与AN所成角，即∠ANC为60°，故D错误. 4),且5+（一3》=1，所以≥5与≤-3关于直线 2 ·13· 筑基固本卷（三） ·数学· μ=1对称，由P(<5)=0.81可得，P(≥5)= 0.19,则P(≤-3)=P(≥5)=0.19，故A正确； 设原点到直线AB的距离为d,则d=m ，所 对于B,由题意可得5×7=5十5+7+a+10,则a 以Sam-AB·d=31+及x:-x: 8,所以方差为5[5-7)×2+(7-7)2+(8-7)2+ m m 2 √(x1十x2)2-4x1x2 0-)门-，放B正确：对于C,设具有相关关系 √1+k2 的两个变量x,y的相关系数为r,则|r|越接近于0， 274m2=4·2m2-D =√m2(2-m),又 x和y之间的线性相关程度越弱，所以C不正确；对 于D,在一个2×2列联表中，由计算得X的值，则 Vm2-m≤m+?m=1,所以Soe≤1，当 2 X2的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大， 且仅当m2=1时取等号，所以S四边形ABCD=4S△AOB≤ 所以D正确， 4.即四边形ABCD的面积的最大值为4.故 10.ABD【解析】对于选项A,由题意得e=S=3 D正确. 2c=23,则a=2,c=√3，b2=a2-c2=1,所以椭 圆的标准方程为号十)°-1，故A正确：对于运项 B,因为对角线AC,BD过原点O,所以AC与BD 相互平分，所以四边形ABCD为平行四边形，故B 11.BD 【解析】对于选项A,由题意得a+2= 正确；对于选项C,不妨设一组邻边为AB,BC, √a+1十a员-aw+1am,所以a3=√a十a-a2a A(xy),B(x2y2),则C(-x1,-y),所以兴· v+aab,要证明e,<士，只需证明6十a- 生即41=若直线AB的斜率不存在， a6<(告)，即证46+4a-ab<6+a十 此时AC,BD的斜率互为相反数，不满足4y1y2= x1x2,所以直线AB的斜率存在，设直线AB的方程 2ab,即(a-b)2<0,因为(a-b)2≥0，故A错误；对 y=k虹+m,得(1+4k2)x+ 于选项B,假设a1=a<a2=b<a3=√b2十a2-ab, 为y=x十m,联立 x2+4y2=4, 即b<√b2十a2-ab,即b2<b2+a2-ab,即a2 8kmx+4(m2-1)=0,△=(8km)2-4(4k2+1)X ab>0,即a(a-b)>0,因为a>0,所以a-b>0, 4(m2-1)=16(4k2-m2+1)>0,x1+x2= 所以a>b,与a<b矛盾，所以不存在a,b,使得 1+462,x1x2= -8km 1+,所以y2=(红1十 4(m2-1) {an}单调递增，故B正确；对于选项C,因为a+2= m)(kx2十m)=k2x1x2+km（x1+x2)+m2= a+1十a员-am+1an,设dn=am+1一an,则dn+1= 7+整，因为z1,=4y,所以4m-4X m2-4k2 a:一Xd,所以d+1与d,异号，若a<b, 1+4k2 am+2十an+1 十整，整理得4=1，=士方又因为女0 m2-4k2 则d1>0,则d2<0,d3>0,d4<0,…,则d2n= a2m+1一a2n<0,则an+2=an+1十an-a2m+1a2m,即 y十y=k十2m=k+-8m x2十x1 2m一 1 a2n+2-a2n=a2n+1-a2n+1a2n=a2n+1(a2n+1-a2n)<0, x2十x1 6,所以 1+4k2 即a2m+2<a2m,所以C错误；对于选项D,若n∈N", 人十-长一衣-“-0，所以直线AB和直 am+3=am,所以a1=a,a2=b,设a3=c,则a4=a, a5=b,a6=c,…,根据递推得a3=√b2十a2一ab= 线BC的斜率之和为0，故C错误；对于选项D,不妨 c,即b2+a2-ab=c2,a4=√b2+c2-cb=a,即 取kAB=二号则x1十x2=2m,x1x2=2(m2一D b2+c2-cb=a2,a5=√a2+c2-ac-b,即a2+ ·14· ·数学· 参考答案及解析 [b2+a2-ab=c2, 因为在△ABC中，sinB>0,则sinA=√3cosA,即 c2-ac=b2,由b2+c2-cb=a2,解得a=b=c,即 tanA=√3，又A∈(0，x), a'+c2-ac=b2, {an}为常数列，故D正确. 可得A=吾 …5分 三、填空题 12.号【解析】从8至14的7个整数中随机取2个不 (2)由A=子，得sinA=3 =2,因为Q十c=10,所以 c=10-a, 同的数，共有C号=21种不同的取法，若两数不互 质，不同的取法有：(8,10)，(8,12)，(8,14)，(9， 因为sinC=33 C 14正弦道里得s1nAsn云，代 12),(10,12),(10,14),(12,14),共7种，故所求概 率P-21-72 入 a_10-a,解得a=7,c=3, √3 33 21-3 P 14 13.4【解析】因为ei+e5=a+61a2+62 a? b2 24 a2 、由余弦定理得osA二6千b延=，代人得 2bc a2、 b2、a2 62,即a=6 b2+9-49_ b22十2z×3—4·当耳仅当2一只多， 6b 2,解得6=8或b=-5(舍)， 时取等号，所以e?十e的最小值为4. …10分 14. 8 3π【解析】如图所示，连接CE, 所以Sac=sinA-分×8X3X夏-6v5. 2 …13分 16.解：(1)记事件A为“至少有1片芯片出现缺陷”，事 件B为“恰有2片芯片出现缺陷”. 由题意，随机变量X~B(4,寻)，则恰有2片芯片出 现缺陷的概率为P(B)=P(X=2)= 在等腰梯形ABCD中，AB∥DC,AB=2DC=4, ∠ABC=,DELAB,可得AE=1,DE=5,且 c()'1-)°=6×5×品-器所以 P(AB)=P(B)=128' 27 CE=√DE2+CD=√7，则PE=1,因为PC 22,则PC2=PE2+EC2,所以PE⊥EC,又因为 事件A的概率为P(A)=1-P(X=0)=1一 PE⊥ED,且CE∩DE=E,CE,DEC平面 ()(》'=1-器-器 EBCD,所以PE⊥平面EBCD.因为△EDC为直 27 角三角形，设△EDC外接圆半径为，则，=EC- 因此所求概率为P(B|A)= P(AB)12854 2 P(A)-175175 ,设四面体P-ECD的外接球半径为R,则R= √7 256 …6分 √罗+-√任+子-，所以因面休 (2)随机变量X~B(4,),则 PECD的外接球的体积V= 3π(w2)3=8v2 3π. pX=o)=c(()‘-0 四、解答题 Px=1w-c('()'- 15.解：(1)因为asin B-√3 bcos A=0,由正弦定理得 sin Asin B=3 sin Bcos A, px=2》-()-恶 ·15· 筑基固本卷（三） ·数学· P(x=3)-c()'()'- 易知平面ABC的一个法向量为u=(0,0,1),则 u·n√5 P(X=4)= ()()”= cos(u,n)-u.n5' 因此随机变量X的分布列为 即平面EFA,与平面ABC夹角的余弦值为5 X 0 2 3 4 …9分 81 27 27 3 1 (3)解：由题意得D(1,1,2),M(1,0,2), 256 128 64 256 则MB=(1,0,-2),MD=(0,1,0),…10分 13分 设平面BDM的法向量为m=(a,b,c), 因为随机变量X~B(4,),则数学期望为E(X)= m·MB=a-2c=0, 则 令c=1,则a=2,b=0, m·MD=b=0, 4X 4 =1. …………15分 所以平面BDM的一个法向量为m=(2,0,1),又 17.（1)证明：连接MF,因为M为A1B1的中点，F为 Mf=(-1,1,0),…13分 AC1的中点， 所以F到平面BDM的距离是d=m·M m 所以MF/B,C,且r=B,C, -212w5 ,…15分 √22+1 5 因为E为BC的中点，所以BE=号BC, 所以MF∥BE,且MF=BE, 18、（(1)解：过点M作准线x=一名的垂线，垂足为M, 所以四边形BEFM为平行四边形， 因为Mc+MF=MG+MMrI≥4+号-5， 所以BM∥EF,………3分 当且仅当M,G,M'三点共线时等号成立， 又BMC平面ABB1A1,EF寸平面ABB1A1, 獬得p=2,所以C:y2=4x.…4分 所以EF∥平面ABB1A1. ……5分 (2)证明：由题知，直线斜率不为0，故可设过焦点F 的直线为x=my十1，设点P(x1y1),Q(x2y2), 2=4x,,得y-4my-4=0,则1十：= 联立 x=my+1, 4m,y1y2=-4, 1 B 则Oi.00=xx十yy:=16f·y+y:= (2)解：在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1⊥平面 -3. …8分 ABC,又AB,ACC平面ABC, (3)解：显然，过点N的切线斜率必存在，如图，可设 则AA1⊥AB,AA1⊥AC,又AB⊥AC,因此AB, 过点N(xo,yo)的切线I的方程为y=(x一 AC,AA1两两垂直， zo)+yo, 以A为坐标原点，AB,AC,AA1所在直线分别为 由/少2=4z, ,消去y,可得k2x2+[2k(y。一 x,y,之轴，建立空间直角坐标系，如图. y=k(x-zo)+yo 则A1(0,0,2),B(2,0,0),C(0,2,0),E(1,1,0), kxo)-4]x+(y0-kxo)2=0, C1(0,2,2),F(0,1,2),B1(2,0,2), 因为直线1和抛物线C相切，所以△=(2y。一 A1F=(0,1,0),EF=(-1,0,2),…6分 2k2x。-4)2-4k2(y0-kx0)2=0, 设平面EFA1的法向量为n=(x,y,z), 化简可得k2x。一y。十1=0(*)， n·A1F=y=0, 由《 依题意，k1,k:为方程（￥）的两根，则k1十2=y0 n·Ei=-x+2x=0, 取x=2,可得n=(2,0, 1 1), k1k2= …12分 ·16… ·数学· 参考答案及解析 因为y0=2x。十1，所以经十经=(k1十k2)2-2kk2 因为x∈(，），所以3-4红<0，当xe(,) )-县-(+-是-(+)°+3≥3 时，lnx<0,g'(x)>0,g(x)单调递增；当x∈（1， 当且仅当x。=一1时，等号成立， 即当N(一1，一1)时，k?+?取得最小值3. )时，ax>0,g()0,g()单调递减， 所以号十号的取值范围为[3，十∞).…17分 又6=-2s(）-n是器e(2) ,易得n+日>0，则g()>g(》, 9 所以g(x)∈(-是，-2]，即f(x:)的取值范围是 ……10分 19.解：(1)当a=1时，f(x)=x2-3x+lnx,f'(x) 3 2z-3+1-（②x-1)x-1D(x>0),…1分 （i)由()可知x1十x2=2,2xx2=a,(x2-3z:+ alnx2)-(x-3x1十alnx1)≤k(x号-x),整理 令f'(x)>0得x>1或0<z<2,所以f(x)的单 可得1一 3十anx?-nx)≤k,即k≥ x1十x2 x3-xl 调递增区间为(0,2)和(1，十6o…2分 2 4x1x2In- x1 令f'(x)<0得}<<1，所以于x)的单调递减区 -1+3(x2-x1)' …12分 设t-2,则t>1,由x1十x2= 3 3 间为（号，1………3分 x1 得x1-2(+1D' 3t (2(1)f'(x)-2x-3x+a(x>0,因为fx)有 x?-2(t+1)’ 两个极值点x1,x2,所以2x2-3x十a=0有两个不 代入可得>-1+2lnt t2-1 相等的正数根1，d=9-8a>0,即a<号 令g)=-1+24>10.g)=2 3 x1十x2= 21,一号>0所以0a<营 (t2-1)+(t2-1)lnt-2t21nt 2 (t2-1)2 …5分 (t2-1)-(t2+1)1nt 因为+=0<所以长(，2)： (t2-1)2 …15分 4t 1 …7分 令e)号ln,则)十D司 又2x-3x2十a=0,所以a=3x2-2x, (t2-1)2 f(x2)=x-3x2+(3x2-2x)lnx2, +1<0,所以h()为减函数，h()<h1)= 令g(x)=2-3z+3zlnx-2zlnx,z∈（经， 0,所以g'(t)<0,所以g(t)为减函数，g(t)< 》, g(1),而g(1)=lim 21n‘-1=0,所以k≥0，即实 1 t- g'(x)=2x-3+3lnx+3-4xlnx-2x=(3-4x) 数的最小值为0. …17分 lnx,…9分 ·17· 筑基固本卷（三） ·数学· 2026年高考模拟试题一筑基固本卷（三）·数学细目表 题号 题型 分值 考查的主要内容及知识点 难度 1 选择题 5 复数相等 易 2 选择题 5 集合的补集与交集运算 易 3 选择题 5 二项式展开式的常数项 易 4 选择题 5 平面向量模长的最值 易 5 选择题 5 直线与直线的位置关系与异面直线所成角 易 6 选择题 5 三角恒等变换与三角函数的性质 易 7 选择题 直线与圆的位置关系 易 8 选择题 5 函数与不等式 中难 9 选择题 6 数据分析与概率分布 易 10 选择题 6 椭圆的内接四边形 中难 11 选择题 6 数列的性质综合 难 12 填空题 5 事件概率的求解 易 13 填空题 5 双曲线的离心率 易 14 填空题 5 三棱锥外接球的体积 中难 15 解答题 13 解三角形 易 16 解答题 15 概率与随机变量的分布列和数学期望 易 17 解答题 15 线面平行，平面与平面夹角的余弦值，点到平面的距离 中 18 解答题 17 直线与抛物线的综合 难 19 解答题 17 函数的导函数与不等式恒成立 难 。18