专题09平行四边形 专项训练（19大核心题型精讲+分层精练突破）-2025-2026学年北师大版数学八年级下学期.

**基本信息** 本专项以平行四边形性质与判定为核心，覆盖等腰梯形、三角形中位线及动点折叠等综合问题，题型从基础应用到综合探究，逻辑递进，注重几何直观与推理能力培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |性质应用|3题型|性质直接应用与计算证明|从平行四边形定义出发，通过边、角、对角线性质解决基础问题| |判定应用|4题型|判定条件添加与证明|结合性质逆向推导判定方法，形成性质与判定的双向逻辑链| |三角形中位线|3题型|中位线性质及实际应用|链接三角形与平行四边形，体现知识迁移与实际应用意识| |综合问题|3题型|动态几何与最值探究|动点、折叠、最值问题综合考查空间观念与推理能力，呼应中考命题趋势|

专题09平行四边形 专项训练 题型梳理归纳 题型1.利用平行四边形的性质求解 题型2.利用平行四边形的性质证明 题型3.平行四边形性质的其他应用 题型4.（等腰）梯形的定义 题型5.等腰梯形的性质定理 题型6.数图形中平行四边形的个数 题型7.判断能否构成平行四边形 题型8.添一个条件成为平行四边形 题型9.求与已知三点组成平行四边形的点的个数 题型10.证明四边形是平行四边形 题型11.利用平行四边形的的判定与性质求解 题型12.利用平行四边形性质和判定证明 题型13.平行四边形性质和判定的应用 题型14.与三角形中位线有关的求解问题 题型15.与三角形中位线有关的证明 题型16.三角形中位线的实际应用 题型17.平行四边形的动点问题 题型18.平行四边形的折叠问题 题型19.平行四边形的最值问题 题型20.分层精练14道题 核心题型精讲 题型1.利用平行四边形的性质求解 1．如图，平行四边形中，，，平分交边于点E，则等于（ 　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．平行四边形相邻两个内角的度数之比为，则其中较小内角的度数为___________． 3．如图，的对角线相交于点O，过点O作，交的延长线于点E，连接，求的长． 题型2.利用平行四边形的性质证明 1．如图，的对角线、相交于点，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，的对角线，相交于点O，点E，F在上，添加一个条件使，这个条件可以是______（写出一个即可）． 3．如图，在中，为对角线，是边上一点，连接并延长交的延长线于点，且，连接． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)过点作于点G，若，，求四边形的面积． 题型3.平行四边形性质的其他应用 1． 平行四边形具备多种独特的几何性质，在普通平行四边形中，下列说法错误的一项是（    ） A．两组对边互相平行 B．两组对边长度相等 C．相邻两个内角角度相等 D．对角线互相平分 2．如图，在中，、分别是、边上的点，与交于点，与交于点，若，，则图中阴影部分的面积为________． 3．按要求作图：下面三幅网格图中的小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点称为格点． (1)在图1中作一个边长都为整数的格点直角； (2)在图2中作一个边长分别为，，的格点； (3)在图3中作一个有一边长为且面积为6的格点平行四边形． (4)请判断图2中所作的形状，并说明理由． 题型4.（等腰）梯形的定义 1．下列选项中，能与如图所示残缺的图形拼成一个梯形的是（   ） A． B． B． C． D． 2．如图所示（长度单位：），梯形是由一张长方形纸折叠而成的． （1）这个梯形的高是______________. （2）梯形的面积是___________． （3），则 _____． 3．为构建“五育并举”的教育体系，培育德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人，某学校在校园内开辟了一块四边形的劳动教育基地，如图，量得，，． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，求四边形的面积． 题型5.等腰梯形的性质定理 1．如图，在等腰梯形中，，，对角线、相交于点，那么下列结论一定成立的是（   ） A． B． B． C． D． 2．如图，若一个图案是由6个全等的等腰梯形拼成的，则图中的______________°． 3．如图，在梯形中，为上任意一点，，垂足分别为，求证：． 题型6.数图形中平行四边形的个数 1．如图，在中，，分别是，的中点，则图中的平行四边形一共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．如图，在四边形中，，，则图中共有____个平行四边形，它们分别是_________________（有符号表示）． 3．已知（如图），将它沿方向平移，平移的距离为． (1)作出经平移后所得的图形． (2)写出与构成的图形中所有的平行四边形（不必证明）． 题型7.判断能否构成平行四边形 1．下列四组条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（     ） A．， B．， C．， D．， 2．如图，在四边形中，对角线、相交于点，，，，，则四边形的面积为___________． 3．已知，在下列网格中，每个小正方形的边长都为1． (1)在图1中，画一个斜边长为，面积为的直角三角形； (2)在图2中，画一个有一条边长为，面积为的平行四边形． 题型8.添一个条件成为平行四边形 1．如图，在四边形中，对角线，相交于点O，下列条件能判定四边形为平行四边形的是（     ） A． B． C． D．， 2．如图，在四边形中，，请添加一个条件使四边形是平行四边形，可添加的条件是_____（只填一个即可）． 3．如图，在平行四边形中，点E，F是对角线上两个不同点．连接，，，，添加一个条件使得四边形是平行四边形． (1)请在以下选项中选择所有符合条件的选项，将其序号填写在下方横线上． ①，，E、F为垂足；②；③． 符合条件的选项有： ． (2)选择其中一个条件，写出证明过程：我选择 ， 证明过程如下： 题型9.求与已知三点组成平行四边形的点的个数 1．如图，在平面直角坐标系中，，，，D是平面内一点，若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D不可能在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．平面直角坐标系中一个平行四边形的三个顶点的坐标分别，则第四个顶点的坐标可能是______． 3．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点分别是，，． (1)画出绕点C顺时针旋转所得的此时点坐标为______． (2)以点A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，此时点D坐标为______． 题型10.证明四边形是平行四边形 1．下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．如图，是直线外一点，在上取两点，，连接，分别以点，为圆心，以，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，，则四边形是平行四边形，依据是：_________的四边形是平行四边形． 3．如图，在四边形中，，对角线相交于点O，过点O交于点E，交于点F，且．求证：四边形是平行四边形． 题型11.利用平行四边形的的判定与性质求解 1．如图，在梯形中，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，四个内角的角平分线，，，交于E，F两点，，，，则的长为______． 3．如图，在中，，P是底边上的一动点，且，，求证：． 题型12.利用平行四边形性质和判定证明 1．如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中一张纸条，重合的部分构成了一个四边形，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，将平行四边形纸片折叠，使得点落在边上的处，折痕为．再将翻折，点恰好落在的中点处，连接，若，则线段的长为_______． 3．如图，在四边形中，M是边的中点，、互相平分并交于点O．求证：且． 题型13.平行四边形性质和判定的应用 1．在中，，满足下列条件，不一定能构成平行四边形的是（     ） A．四个内角平分线围成的四边形 B．过四个顶点作对边的高线围成的四边形 C．以对角线的交点把对角线分成的四部分的中点为顶点的四边形 D．以一条对角线上的两点，与另两个顶点为顶点的四边形． 2．如图，，，，的面积为6，则四边形的面积为_____． 3．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点均在格点上．按要求仅用无刻度的直尺作图，不要求写作法，只要保留作图痕迹． (1)作一条线段，使； (2)连接，作的中线． 题型14.与三角形中位线有关的求解问题 1．如图，在四边形中，E，F，G，H分别是边的中点，对角线，则四边形的周长为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AB，AO的中点，连接EF，若EF＝3，则OB的长为_____ ． 3．如图，在中，，E，F分别是，的中点，延长到点D，使，连接，，，，交于点O． (1)求证：与互相平分． (2)若，，求的长． 题型15.与三角形中位线有关的证明 1．如图， 的两个外角的平分线、相交于点，过点作，分别交、于点、，连接，则下列结论：①是等腰三角形；②；③；④平分．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，对“三角形中位线定理” 进行拓展思考，可以提出以下三个命题： ①若，则． ②若，则是的中位线． ③若，则． 以上命题是假命题有__________________(填序号) 3．证明三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分． 已知：如图，在中，，，． 求证：与互相平分． 题型16.三角形中位线的实际应用 1．如图，A、B两地被池塘隔开，在没有任何测量工具的情况下，小强通过下面的方法估测出A、B间的距离：先在外选一点，然后步测出、的中点、．为了测出之间的距离，需要步测出哪段长度（     ） A． B． C． D． 2．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D为BC边上中点，EC＝3AE，AE＝2，AB＝6，则＝________ 3．综合与实践 【教材再现】 三角形的中位线定理是八年级下册中的一个重要命题，如图①，是的中位线，则，且． 【回顾证法】 (1)证明三角形的中位线定理的方法有很多，但多数都要通过添加辅助线完成，如图②，延长到点F，使，连接，，．如图③，取中点G，连接并延长到点F，使，连接．请你选择其中一种证法，继续完成证明过程． 【实践应用】 (2)如图④，B，C两地被池塘隔开，在无法直接测量的情况下，小明通过下面的方法测出了B，C间的距离：先在池塘外选一点A，连接，，然后测出，的中点D，E，并测出的长度为12米，则B，C两点间的距离 米． 【深入探究】 (3)如图⑤，是的中位线，是边上的中线．与是否互相平分？请证明你的结论． 题型17.平行四边形的动点问题 1．如图，点P是平行四边形边上一动点，沿的路径移动，设点经过的路径长为，的面积是，图（）是点运动时随变化的关系图象，则与间的距离是（   ） A．5 B．4 C．3 D．6 2．如图1，中，连接，动点P从点A出发沿折线匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，则__________，的面积为___________． 3．如图，直角三角形在平面直角坐标系中，直角边与轴重合，直角边与轴重合，，，将折叠，使它落在轴上，得到，折痕为，动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线段运动，点P运动到点B时停止．设运动时间为秒（）． (1)求D点坐标； (2)设的面积为，求与的关系式，并直接写出自变量的取值范围； (3)在平面内是否存在点Q，使以，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型18.平行四边形的折叠问题 1．如图，在平行四边形中，E为边上一点，将沿折叠至处，与交于点F，若，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 2．如图，将沿对折，使点落在点处，若，，，则的面积为______． 3．在平行四边形纸片上，E为边上一点，将沿折叠，点D的对应点为． (1)如图1，当点恰好落在边上时，判断四边形的形状，并说明理由； (2)如图2，当E，F为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试猜想线段与的数量关系，并加以证明； (3)如图3，当，时，连接并延长，交边于点H．若平行四边形的面积为12，，直接写出线段的长． 题型19.平行四边形的最值问题 1．如图，在中，，，过点D作于点E，且．点P在上，连接，过点D作于点F，则的最大值为（　　）       A．4 B． C． D． 2．如图，中，，，，则______，点P为上任意一点，连接，以、为邻边作平行四边形，连接，则的最小值______． 3．【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边中，，点M、N分别在边上，且，试探究线段长度的最小值． 【问题分析】小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题． 【问题解决】如图②、过点C、M分别作的平行线，并交于点P．作射线． 在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： (1)证明：； (2)的大小为_______度，线段长度的最小值为_______ (3)如图③，长方形中，，G是的中点，线段在边上左右滑动，若，求的最小值． 分层精练 一、单选题 1．如图，在中，于点E，，则等于（     ） A． B． C． D． 2．如图，在四边形中，与相交于点E，，要判定四边形是平行四边形，能添加的条件是（   ） A． B． C．D． 3．如图，是的角平分线，，，过点作，交的延长线于点，的垂直平分线交 于点，连接 ，则的长为（    ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 4．如图，是的边上的点，是中点，连接并延长交于点，连接与交于点，若，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 5．如图，中，是的中点，在上，且，则等于（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．如图，在平行四边形中，过对角线的交点O，若，，，则四边形的周长是______．    7．已知高为的梯形中，， 是锐角，，，，那么梯形的面积为________． 8．如图，在中，，点，分别从点，同时出发，沿，方向以相同的速度运动（分别运动到点，即停止），与相交于点，与相交于点．则在此运动过程中，线段的长始终等于______． 9．如图，O是等边内任意一点，，点D，E，F分别在上．若，则等边的面积为_________． 三、解答题 10．如图，在梯形中，，． (1)尺规作图：在线段上截取．连接（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，，求的长度． 11．如图，是的中点，，交于点，，且． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，连接．求的长． 12．如图，在平行四边形中，对角线交于点，，，垂足分别为．求证：． 13．如图，将平行四边形放置在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上位于原点O左侧，点，点，并且实数a，b满足，连接． (1)求出点D的坐标及的面积； (2)如图1，过点作交于点E，在上取一点F，使， ①求的度数； ②证明：； (3)如图2，若点M、N在直线上，且，连接，请直接写出的最小值． 14．如图，在中，，，，过点A作，且点D在点A的右侧．点P从点A出发沿射线方向以每秒的速度运动，同时点Q从点C出发沿射线方向以每秒的速度运动，在线段上取点E，使得，连接，设点P的运动时间为t秒． (1)① （用含t的式子表示） ②若，求的长； (2)请问是否存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09平行四边形 专项训练 题型梳理归纳 题型1.利用平行四边形的性质求解 题型2.利用平行四边形的性质证明 题型3.平行四边形性质的其他应用 题型4.（等腰）梯形的定义 题型5.等腰梯形的性质定理 题型6.数图形中平行四边形的个数 题型7.判断能否构成平行四边形 题型8.添一个条件成为平行四边形 题型9.求与已知三点组成平行四边形的点的个数 题型10.证明四边形是平行四边形 题型11.利用平行四边形的的判定与性质求解 题型12.利用平行四边形性质和判定证明 题型13.平行四边形性质和判定的应用 题型14.与三角形中位线有关的求解问题 题型15.与三角形中位线有关的证明 题型16.三角形中位线的实际应用 题型17.平行四边形的动点问题 题型18.平行四边形的折叠问题 题型19.平行四边形的最值问题 题型20.分层精练14道题 核心题型精讲 题型1.利用平行四边形的性质求解 1．如图，平行四边形中，，，平分交边于点E，则等于（ 　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的性质可以推导出等角，进而得到等腰三角形，推得 ，根据 、的值，求出的值． 【详解】解：∵平行四边形， ∴，， ， 平分， ， ， ， ． 2．平行四边形相邻两个内角的度数之比为，则其中较小内角的度数为___________． 【答案】 【分析】根据平行四边形邻角互补，结合比例进行计算即可． 【详解】解：∵平行四边形邻角互补， 又∵相邻两个内角的度数之比为， ∴较小内角的度数为． 3．如图，的对角线相交于点O，过点O作，交的延长线于点E，连接，求的长． 【答案】2 【分析】根据平行四边形的性质得到，，证明是的垂直平分线，即可求解． 【详解】解：∵的对角线相交于点O ∴， ∵ ∴ ∴． 题型2.利用平行四边形的性质证明 1．如图，的对角线、相交于点，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，，故A，B，C正确， 而属于菱形特有的性质，一般平行四边形不一定具有，故D错误． 2．如图，的对角线，相交于点O，点E，F在上，添加一个条件使，这个条件可以是______（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形全等的判定．由平行四边形的性质得到，又，结合三角形全等的判定方法即可解答． 【详解】添加条件：． 理由：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ， ∴． 故答案为：（答案不唯一） 3．如图，在中，为对角线，是边上一点，连接并延长交的延长线于点，且，连接． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)过点作于点G，若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质和平行线的性质，可得，，进而判定，再利用全等三角形的性质可证四边形为平行四边形． （2）根据线段的和差，勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形； （2）解：由（1）得，，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴在中，由勾股定理，得， ∴． 题型3.平行四边形性质的其他应用 1． 平行四边形具备多种独特的几何性质，在普通平行四边形中，下列说法错误的一项是（    ） A．两组对边互相平行 B．两组对边长度相等 C．相邻两个内角角度相等 D．对角线互相平分 【答案】C 【分析】根据平行四边形的定义和性质，判断各选项说法的正误即可. 【详解】解：∵根据平行四边形的定义和性质，平行四边形的两组对边互相平行，两组对边长度相等，对角线互相平分， ∴选项A 、B 、D说法均正确. ∵平行四边形相邻两个内角互补，和为，普通平行四边形不满足相邻内角相等，只有特殊平行四边形才具备该性质， ∴选项C说法错误. 2．如图，在中，、分别是、边上的点，与交于点，与交于点，若，，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】50 【分析】连接E、F两点，由三角形的面积公式我们可以推出S△EFC=S△BCF，S△EFD=S△ADF，所以S△EFQ=S△BCQ，S△EFP=S△APD，因此可以推出阴影部分的面积就是S△APD+S△BQC． 【详解】解：如图，连接E、F两点， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴△EFC的FC边上的高与△BCF的FC边上的高相等， ∴S△EFC=S△BCF， ∴S△EFC－S△QFC =S△BCF－S△QFC， 即S△EFQ=S△BCQ， 同理：S△EFD=S△ADF， ∴S△EFP=S△APD， ∵S△APD=20cm2，S△BQC=30cm2， ∴S四边形EPFQ= S△APD + S△BQC =50cm2， 故答案为：50． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，解答此题关键是作出辅助线，找出同底等高的三角形． 3．按要求作图：下面三幅网格图中的小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点称为格点． (1)在图1中作一个边长都为整数的格点直角； (2)在图2中作一个边长分别为，，的格点； (3)在图3中作一个有一边长为且面积为6的格点平行四边形． (4)请判断图2中所作的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)见解析 (3)见解析 (4)为直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查了格点作图，勾股定理及其逆定理，平行四边形的定义，根据相关知识点正确作图即可． （1）利用勾股定理，在网格中作直角边长和，斜边长为的直角三角形即可； （2）利用勾股定理作图即可； （3）先利用勾股定理作长度为的线段，再作平行四边形即可； （4）利用勾股定理逆定理证明即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作； （2）解：如图，即为所求作； （3）解：如图，平行四边形即为所求作； （4）解：由题意可知，，，， ，， ， 为直角三角形． 题型4.（等腰）梯形的定义 1．下列选项中，能与如图所示残缺的图形拼成一个梯形的是（   ） A． B． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据梯形只有一组对边平行的定义，利用两直线平行同旁内角互补的性质，计算出与残缺图形已知角互补的两个拼接角，匹配对应角度的选项即可． 【详解】解：∵梯形的定义为只有一组对边平行的四边形，且平行线的性质为：两直线平行，同旁内角互补， ∴要使残缺图形与选项图形拼接成梯形，拼接后需形成一组平行对边，对应拼接的同旁内角需互补， ∵与角互补的角为， 与角互补的角为， ∴选项C中的图形有可能与上面残缺的图形拼成一个梯形． 2．如图所示（长度单位：），梯形是由一张长方形纸折叠而成的． （1）这个梯形的高是______________. （2）梯形的面积是___________． （3），则 _____． 【答案】 40 【分析】本题考查梯形的特征、长方形的特征、折叠的性质，（1）由图可得，长方形的宽和梯形的高相等，即可求解； （2）由图可得，梯形的底和长方形的长相同，再利用梯形的面积公式计算即可； （3）由折叠的性质，，即可求解． 【详解】解：（1）由图可得，这个梯形的高是， 故答案为：； （2）由图可得，， 故答案为：40； （3）由折叠的性质可得，， ∴， 故答案为：． 3．为构建“五育并举”的教育体系，培育德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人，某学校在校园内开辟了一块四边形的劳动教育基地，如图，量得，，． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)四边形是梯形，理由见解析 (2) 【分析】（1）证明，且与不平行，即可判断四边形是梯形； （2）作于点E，作于点F．在求出，，得出．在求出，，得出，然后根据梯形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． 同理可求：， ∴， ∴， ∵， ∴与不平行， ∴四边形只有一组对边平行， ∴四边形是梯形； （2）解：如图，作于点E，作于点F． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积． 题型5.等腰梯形的性质定理 1．如图，在等腰梯形中，，，对角线、相交于点，那么下列结论一定成立的是（   ） A． B． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等腰梯形的性质证明，进而可以解决问题． 【详解】解：四边形是等腰梯形，， ，， 在和中， ∵， ， ， 结论一定成立的是． 故选D． 【点睛】本题考查了等腰梯形的性质和全等三角形判定和性质，熟练掌握等腰梯形的性质、全等三角形的判定和性质证明线段或角相等是解题的关键． 2．如图，若一个图案是由6个全等的等腰梯形拼成的，则图中的______________°． 【答案】 120 【分析】观察图形可知，图案的外轮廓是正六边形，根据正多边形内角和公式求出正六边形的内角度数，再根据图形拼接特点，可知正六边形的一个内角由两个全等的等腰梯形的底角组成，从而求出梯形的锐角底角度数，利用等腰梯形同一腰上的两个角互补求出钝角底角度数，结合图形判断的度数 【详解】解：正六边形的内角和为 每个内角为 因为图案由 个全等的等腰梯形拼成 所以正六边形的每个内角由两个等腰梯形的底角拼接而成 所以等腰梯形的锐角底角为 因为等腰梯形同一腰上的两个角互补 所以等腰梯形的钝角底角为 观察图形可知， 是等腰梯形的钝角 所以． 3．如图，在梯形中，为上任意一点，，垂足分别为，求证：． 【答案】见解析 【分析】延长，，利用等腰梯形的性质，得到两个底角相等，从而得到一个等腰三角形，利用三角形的面积关系推导即可． 【详解】证明：如图，延长，，交于点M，连接， ∵， ∴梯形是等腰梯形， ∴， （因教材版本，无等腰梯形的性质，此处补充证明： 如图，作，， ∵， ∴， 又， ∴， ∴，） ∴， ∵，， ∴，， 又， ∴， 又， ∴． 题型6.数图形中平行四边形的个数 1．如图，在中，，分别是，的中点，则图中的平行四边形一共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，掌握利用中点条件结合平行四边形性质，有序找出所有满足判定的四边形是解题的关键． 利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合中点条件，有序找出所有满足平行四边形判定的四边形，避免遗漏． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，分别是的中点 ∴ ， ， ， ∴ 根据平行四边形的判定定理，图中的平行四边形有： 四边形：已知条件； 四边形：∵且； 四边形：∵且； 四边形：∵且； 四边形：且； 四边形：且； 综上，图中共有个平行四边形． 故选：D． 2．如图，在四边形中，，，则图中共有____个平行四边形，它们分别是_________________（有符号表示）． 【答案】 3 ，， 【分析】本题考查了平行四边形的判定，解题的关键是掌握有两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 根据平行四边形的判定数出平行四边形的个数即可． 【详解】解：，， ∴四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， 则图中共有个平行四边形，它们分别是，，， 故答案为：；，，． 3．已知（如图），将它沿方向平移，平移的距离为． (1)作出经平移后所得的图形． (2)写出与构成的图形中所有的平行四边形（不必证明）． 【答案】(1)图见解析； (2)，，，，，． 【分析】（1）根据图形平移的性质画出平移后的即可； （2）根据图形平移的性质以及平行四边形的判定定理即可得出结论． 【详解】（1）解：如图所示； （2）解：由图可知，与构成的图形中所有的平行四边形有：，，，，，． 【点睛】本题考查的是作图－平移变换，平行四边形的判定定理，熟知图形平移不变性的性质以及平行四边形的判定定理是解答此题的关键． 题型7.判断能否构成平行四边形 1．下列四组条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】解∶如图， A．，，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可判定四边形是平行四边形，故A不符合题意． B．，，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可判定四边形是平行四边形，故B不符合题意． C．，，一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，不能判定四边形是平行四边形，故C符合题意． D．， ， ， ， ，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可判定四边形是平行四边形，故D不符合题意． 2．如图，在四边形中，对角线、相交于点，，，，，则四边形的面积为___________． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的判定，利用勾股定理证得对角线互相平分是解题的关键． 利用勾股定理得出的长度，可发现四边形对角线互相平分，可证四边形为平行四边形，利用平行四边形公式计算面积即可． 【详解】在中，∵，，， 由勾股定理得，解得， 又∵， ∴，故对角线互相平分， ∴四边形为平行四边形， ， ∴四边形的面积为， 故答案为：． 3．已知，在下列网格中，每个小正方形的边长都为1． (1)在图1中，画一个斜边长为，面积为的直角三角形； (2)在图2中，画一个有一条边长为，面积为的平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）取格点、、，连接、、即可； （2）取格点、、、，连接、、、即可； 【详解】（1）解：如图，即为所求； 由图可知，，，， ∴，的面积为； （2）解：如图，四边形即为所求． 由图及勾股定理可知，，， ∴四边形是平行四边形， ∵的底，边上的高为 ∴的面积为． 题型8.添一个条件成为平行四边形 1．如图，在四边形中，对角线，相交于点O，下列条件能判定四边形为平行四边形的是（     ） A． B． C． D．， 【答案】D 【分析】由平行四边形的判定定理逐项验证即可． 【详解】解：A、当时，不能判定四边形是平行四边形，不符合题意； B、当时，不能判定四边形是平行四边形，不符合题意； C、当时，不能判定四边形是平行四边形，不符合题意； D、当，时，由对角线互相平分的四边形是平行四边形即可判定四边形是平行四边形，符合题意． 2．如图，在四边形中，，请添加一个条件使四边形是平行四边形，可添加的条件是_____（只填一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据平行四边形的判定定理解答即可． 【详解】解：添加， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 3．如图，在平行四边形中，点E，F是对角线上两个不同点．连接，，，，添加一个条件使得四边形是平行四边形． (1)请在以下选项中选择所有符合条件的选项，将其序号填写在下方横线上． ①，，E、F为垂足；②；③． 符合条件的选项有： ． (2)选择其中一个条件，写出证明过程：我选择 ， 证明过程如下： 【答案】(1)①② (2)①，证明见解析（答案不唯一） 【分析】根据平行四边形的性质和判定解答即可． 【详解】（1）解：符合条件的选项有：①②； （2）解：我选择①，证明过程如下： ∵，， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 我选择②，证明过程如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 题型9.求与已知三点组成平行四边形的点的个数 1．如图，在平面直角坐标系中，，，，D是平面内一点，若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D不可能在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】先根据题意画出符合条件的三种情况，然后根据图形判断即可． 【详解】解：如图，分别过点A、B、C作对边的平行线，分别交于点， ∴可得， 由图可知，点D不可能在第三象限． 2．平面直角坐标系中一个平行四边形的三个顶点的坐标分别，则第四个顶点的坐标可能是______． 【答案】 或或 【分析】本题分三种情况讨论，利用平行四边形的对边平行且相等，利用平移思想进行求解即可. 【详解】解：设已知三个顶点分别为，如图， 当以为平行四边形的一条边时，根据平行四边形的对边平行且相等， 可知，将点向左或向右移动3个单位长度，得到第四个点，分别为或； 当以为对角线时，则为平行四边形的一条边，将点先向左移动1个单位，再向下移动3个单位，得到点， 故点先向左移动1个单位，再向下移动1个单位，得到第四个点； 综上：第四个点的坐标可能为或或. 3．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点分别是，，． (1)画出绕点C顺时针旋转所得的此时点坐标为______． (2)以点A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，此时点D坐标为______． 【答案】(1)画图见解析， (2)或或 【分析】（1）画出绕点C顺时针旋转所得的，即可写出点坐标； （2）画出以点A、B、C、D为顶点的平行四边形，即可写出点D坐标． 【详解】（1）解：如图，绕点C顺时针旋转所得的，点坐标为． （2）解：如图，四边形，四边形，四边形都是平行四边形， ∴点D坐标为，，． 题型10.证明四边形是平行四边形 1．下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据平行四边形的判定方法，逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A、，，即两组对边分别平行，故四边形是平行四边形，本选项不符合题意； B、由，，四边形可能为等腰梯形，不能判定四边形是平行四边形，本选项符合题意； C、，，即一组对边平行且相等，故四边形是平行四边形，本选项不符合题意； D、，，即两组对边分别相等，故四边形是平行四边形，本选项不符合题意． 2．如图，是直线外一点，在上取两点，，连接，分别以点，为圆心，以，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，，则四边形是平行四边形，依据是：_________的四边形是平行四边形． 【答案】两组对边分别相等 【分析】根据平行四边形的判定方法，得出答案即可． 【详解】解：根据作图可知：，， 因此根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可以判定四边形是平行四边形． 3．如图，在四边形中，，对角线相交于点O，过点O交于点E，交于点F，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明：∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； 【分析】根据平行线的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，根据平行四边形的判定定理即可得到结论； 【详解】略． 题型11.利用平行四边形的的判定与性质求解 1．如图，在梯形中，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点A作交于点E，则可证明四边形是平行四边形，得到，再证明是等边三角形，得到，则． 【详解】解：如图所示，过点A作交于点E， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 2．如图，在中，四个内角的角平分线，，，交于E，F两点，，，，则的长为______． 【答案】 【分析】先利用平行四边形性质与角平分线证明为直角三角形，求出的长度；再证明、，通过证明得，证明四边形是平行四边形，从而求出的长度． 【详解】解：如图，延长交于， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，，， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分，平分，， ∴， ∴， 同理可得， 又∵ ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 3．如图，在中，，P是底边上的一动点，且，，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，得到，根据等腰三角形的性质和平行线的性质得到，于是得到结论． 【详解】证明：∵，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ∵， ， ， ， ． 题型12.利用平行四边形性质和判定证明 1．如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中一张纸条，重合的部分构成了一个四边形，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可知，，，推出四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质即可求解． 【详解】解：由题意可知，，， 四边形为平行四边形， ，，，不能得到， 故选：C． 2．如图，将平行四边形纸片折叠，使得点落在边上的处，折痕为．再将翻折，点恰好落在的中点处，连接，若，则线段的长为_______． 【答案】 【分析】根据折叠的性质和平行四边形的性质证出，而，进而得到四边形是平行四边形，由折叠可得，垂直平分，即可得出是直角三角形，再证明，得到，即，最后在中，运用勾股定理进行计算即可得到的长． 【详解】解：由折叠可得，，， 平行四边形中，， ， ， ， ，而， 四边形是平行四边形， ， 由折叠可得，垂直平分， ， 又， ， 是直角三角形， ， ， 又，， ， ， ， 又是的中点，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了折叠问题，平行四边形的判定与性质，等角对等边以及勾股定理的运用，解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 3．如图，在四边形中，M是边的中点，、互相平分并交于点O．求证：且． 【答案】证明：连接， 、互相平分并交于点，即，， 四边形为平行四边形， ，． 又为的中点， ， ， 四边形为平行四边形， ∴且． 【分析】连接，证明四边形为平行四边形，得到，，继而推出，四边形为平行四边形，即可得到结论. 【详解】略 题型13.平行四边形性质和判定的应用 1．在中，，满足下列条件，不一定能构成平行四边形的是（     ） A．四个内角平分线围成的四边形 B．过四个顶点作对边的高线围成的四边形 C．以对角线的交点把对角线分成的四部分的中点为顶点的四边形 D．以一条对角线上的两点，与另两个顶点为顶点的四边形． 【答案】D 【详解】解：A、的四个内角平分线围成的四边形是平行四边形，不符合题意，选项错误； B、过四个顶点作对边的高线围成的四边形是平行四边形，不符合题意，选项错误； C、以对角线的交点把对角线分成的四部分的中点为顶点的四边形是平行四边形，不符合题意，选项错误； D、以一条对角线上的两点与另两个顶点为顶点的四边形不一定是平行四边形，符合题意，选项正确． 2．如图，，，，的面积为6，则四边形的面积为_____． 【答案】20 【分析】本题考查了平行线间的距离、三角形面积公式及梯形面积公式的应用，解题的关键是通过三角形面积求出平行线间的距离，进而计算四边形的面积． 由点B、C、E的排列顺序及已知长度求出的长；利用的面积和的长度求出与之间的距离（高）；根据与平行，确定四边形为梯形，结合梯形面积公式计算其面积． 【详解】∵点B、C、E在同一直线上且顺次排列，，， ∴． 设与之间的距离为（即的高）， ∵的面积为6，由三角形面积公式得：， 即，解得． ∵，在上， ∴，又, 四边形是平行四边形，其中，，高为． 由平行四边形面积公式得：四边形的面积． 故答案为：． 3．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点均在格点上．按要求仅用无刻度的直尺作图，不要求写作法，只要保留作图痕迹． (1)作一条线段，使； (2)连接，作的中线． 【答案】(1)所作线段如图所示（答案不唯一，符合条件即可）： (2)连接，所作的中线如下图所示（答案不唯一，符合条件即可）： 【分析】（1）利用网格特点，以及勾股定理分析求解，即可解题； （2）连接，利用网格特点构造平行四边形，再利用平行四边形对角线互相平分作出的中线即可． 【详解】（1）解：根据，即利用网格特点构造直角边长分别为和，其中一条直角边端点为的直角三角形，这个直角三角形的斜边即为所作线段； （2）解：由网格特点可知，， 四边形为平行四边形， ， 为的中线． 题型14.与三角形中位线有关的求解问题 1．如图，在四边形中，E，F，G，H分别是边的中点，对角线，则四边形的周长为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据三角形中位线定理分别求出、、、的长，根据四边形的周长公式计算即可． 【详解】解：、、、分别是、、、的中点， 、、、分别是、、、的中位线， ，， ，， 四边形的周长． 2．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AB，AO的中点，连接EF，若EF＝3，则OB的长为_____ ． 【答案】 6 【详解】解：∵点E、F是、的中点， ∴在中，， 且， ∴． 3．如图，在中，，E，F分别是，的中点，延长到点D，使，连接，，，，交于点O． (1)求证：与互相平分． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明是的中位线，得出，，结合题意可得，，进而得出四边形为平行四边形，即可得证； （2）由勾股定理可得，由（1）可得，，求出，，再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵E，F分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴与互相平分． （2）解：∵在中，，，， ∴， 由（1）可得：，， ∴， 在中，，， ∴． 题型15.与三角形中位线有关的证明 1．如图， 的两个外角的平分线、相交于点，过点作，分别交、于点、，连接，则下列结论：①是等腰三角形；②；③；④平分．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由平行线的性质得出，由角平分线定义得出，推出，得出，①正确； 只有为中位线时，才能，②不一定正确； 由角平分线的性质得出点到边，，的距离相等，即点到两边的距离相等，得出点在的平分线上，即是角平分线，④正确； 由角平分线的定义得出，由平行线性质得出，推出，由等腰三角形的性质得出，证出，即，③正确． 【详解】， ， ， ， ， 是等腰三角形，①正确； ， 只有为中点时，即为中位线时，才能，所以结论②不一定正确； 的两个外角平分线相交于点， 点到边，，的距离相等，即点到两边距离相等， 平分，④正确； 是角平分线， ， ， ， ， ， ， ， 即，③正确； 综上，正确为①③④共3个． 2．如图，对“三角形中位线定理” 进行拓展思考，可以提出以下三个命题： ①若，则． ②若，则是的中位线． ③若，则． 以上命题是假命题有__________________(填序号) 【答案】③ 【分析】本题考查了命题与定理以及三角形中位线定理，掌握平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． ①是真命题，过点作交边于点，连接，证明四边形是平行四边形得，，再证明四边形是平行四边形得，，然后证明四边形是平行四边形可证结论成立； ②是真命题，作交的延长线于点，证明四边形是平行四边形得，．再证明得，，进而可证结论成立； ③是假命题，画出图形说明即可． 【详解】解：命题①是真命题，理由： 证明：过点作交边于点，连接， 又， 四边形是平行四边形， ，， ∵， ， 四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， ，， ， 四边形是平行四边形， ∴， ∴， 命题②是真命题，理由： 证明：如图，作交的延长线于点， ∵， ∴四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）， ，． ∵， ∴， ， ∵， ∴， ， ，， ∴ 是的中位线． ③是假命题，如图，满足，但．故③是假命题． 故答案为：③． 3．证明三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分． 已知：如图，在中，，，． 求证：与互相平分． 【答案】 证明：如图，连接，， 在中，，，， ∴点，，分别是，，边上的中点， ∴，，， ∴四边形是平行四边形， ∴与互相平分． 【分析】由三角形中位线定理得到，，，四边形是平行四边形，从而证得与互相平分，平行四边形对角线互相平分． 【详解】略． 题型16.三角形中位线的实际应用 1．如图，A、B两地被池塘隔开，在没有任何测量工具的情况下，小强通过下面的方法估测出A、B间的距离：先在外选一点，然后步测出、的中点、．为了测出之间的距离，需要步测出哪段长度（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：、分别是、的中点， 是的中位线， ∴， ∴为了测出之间的距离，需要步测出长度． 2．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D为BC边上中点，EC＝3AE，AE＝2，AB＝6，则＝________ 【答案】3 【分析】作DF⊥AC，垂足为F，然后证明DF是中位线，得到，再利用面积公式进行计算，即可得到答案． 【详解】解：作DF⊥AC，垂足为F，如图 ∵∠BAC＝90°，DF⊥AC， ∴∠BAC＝∠DFC， ∴AB∥DF， ∵D为BC边上中点， ∴AD=BD=CD， ∴点F是AC的中点， ∴， ∵AE＝2， ∴； 故答案为：3． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形中位线的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行解题 3．综合与实践 【教材再现】 三角形的中位线定理是八年级下册中的一个重要命题，如图①，是的中位线，则，且． 【回顾证法】 (1)证明三角形的中位线定理的方法有很多，但多数都要通过添加辅助线完成，如图②，延长到点F，使，连接，，．如图③，取中点G，连接并延长到点F，使，连接．请你选择其中一种证法，继续完成证明过程． 【实践应用】 (2)如图④，B，C两地被池塘隔开，在无法直接测量的情况下，小明通过下面的方法测出了B，C间的距离：先在池塘外选一点A，连接，，然后测出，的中点D，E，并测出的长度为12米，则B，C两点间的距离 米． 【深入探究】 (3)如图⑤，是的中位线，是边上的中线．与是否互相平分？请证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)24 (3)与互相平分，证明见解析 【分析】（1）选择方法一：延长到点F，使，连接，，，证明四边形是平行四边形，得出，，证明四边形是平行四边形，得出，，即可证明结论； 选择方法二：取中点G，连接并延长到点F，使，连接，证明，得出，，证明四边形为平行四边形，得出，，证明四边形为平行四边形，得出，； （2）直接根据中位线性质进行求解即可； （3）连接，，证明四边形是平行四边形即可． 【详解】（1）解：选择方法一： 如图，延长到点F，使，连接，，， ∵E是的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵D是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即，且； 选择方法二： 如图，取中点G，连接并延长到点F，使，连接， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵G为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵D为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，； （2）解：∵D、E分别为，的中点， ∴， ∵的长度为12米， ∴米； （3）解：与互相平分；理由如下： 如图，连接，， ∵是的中位线，是边上的中线， ∴D、E、F分别是、、的中点， ∴，且， 又， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， ∴与互相平分． 题型17.平行四边形的动点问题 1．如图，点P是平行四边形边上一动点，沿的路径移动，设点经过的路径长为，的面积是，图（）是点运动时随变化的关系图象，则与间的距离是（   ） A．5 B．4 C．3 D．6 【答案】A 【分析】根据点运动和三角形的面积变化得出线段长度是解题关键．根据点运动，可得，再根据三角形的面积公式可得出结论． 【详解】解：在平行四边形中， ， 根据点运动，可得 当时，点P在点D处， ∴ 当时，点P在点C处， ∴， 设与间的距离是， 当点在上时，， 解得． 2．如图1，中，连接，动点P从点A出发沿折线匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，则__________，的面积为___________． 【答案】 22 【分析】此题主要考查点的移动距离及函数图象的关系，理解题意，确定关键点的对应关系是解题关键． 作，垂足为E，在下图中标注点M、N，且，结合运动轨迹及运动图象得出，然后利用等腰三角形的性质得出，结合勾股定理求出平行四边形的高，即可求解面积． 【详解】解：如图所示，作，垂足为E， 在下图中标注点M、N，且， 当点P从点A运动到点B时，对应于线段， ∴， 当点P从点B运动到点D时，对应于曲线， ∴， ∴， 当点P到点D时，对应于图中的点N， ∴， ∴， 在中， ， ∴， 在中， ， ∴平行四边形的面积为：， 故答案为：，． 3．如图，直角三角形在平面直角坐标系中，直角边与轴重合，直角边与轴重合，，，将折叠，使它落在轴上，得到，折痕为，动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线段运动，点P运动到点B时停止．设运动时间为秒（）． (1)求D点坐标； (2)设的面积为，求与的关系式，并直接写出自变量的取值范围； (3)在平面内是否存在点Q，使以，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）设，则，根据勾股定理，得，故，求解即可； （2）设运动时间为秒，则，根据三角形的面积公式，分类求解即可； （3）根据平行四边形的性质，中点坐标公式求解即可 【详解】（1）解：，， ， 根据题意，得，， 故， 故，，， 设，则， 根据勾股定理，得， 故， 解得， 故； （2）解：设运动时间为秒，根据题意，得， 当时，； 当时，过点D作于点M，连接，根据题意，得，， 故， ； 综上所述，． （3）解：根据题意，设点与点构成一个平行四边形， 当为对角线时，由中点坐标公式得： 解得：， ∴； 当为对角线时，由中点坐标公式得： 解得：， ∴； 当为对角线时，由中点坐标公式得： 解得：， ∴； 综上所述，满足条件的点Q的坐标为或或． 题型18.平行四边形的折叠问题 1．如图，在平行四边形中，E为边上一点，将沿折叠至处，与交于点F，若，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，则可得，，再根据折叠的性质可得，由此即可得． 【详解】解：∵在平行四边形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∴． 2．如图，将沿对折，使点落在点处，若，，，则的面积为______． 【答案】19 【分析】过点作交的延长线于点，根据平行四边形的性质求出的度数，利用含30度角的直角三角形性质和勾股定理求出和的长，根据折叠的性质可得，设，在中利用勾股定理列出方程求出的值，再根据平行线的性质和折叠的性质证得，最后利用三角形面积公式求解． 【详解】过点作交的延长线于点． 在中，，，，． ， ， ． 在中，， ． 由勾股定理可知：． 由折叠的性质可知，． 设，则，， ． 在中，由勾股定理得：， 即， 解得． ． ， ． 由折叠可知， ， ． ． 3．在平行四边形纸片上，E为边上一点，将沿折叠，点D的对应点为． (1)如图1，当点恰好落在边上时，判断四边形的形状，并说明理由； (2)如图2，当E，F为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试猜想线段与的数量关系，并加以证明； (3)如图3，当，时，连接并延长，交边于点H．若平行四边形的面积为12，，直接写出线段的长． 【答案】(1)四边形是平行四边形，理由见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）利用平行四边形的性质及折叠的性质可得，，可得四边形是菱形，可知，继而可知，即可求解； （2）利用折叠的性质可得，，结合三等分点可知，进而可得，利用三角 形外角性质可得，进而可知，可得四边形是平行四边形，再结合平行四边形的性质即可得与的 数量关系； （3）首先，由四边形是平行四边形，得，再由，，得，由折叠可知：，易知为等腰直角三角形，延长交于M，可知 ，由平行四边形的性质可得，，，进而可知，由平行四边形的面积为12，，得，求得，可得，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴ ，，则， 由折叠可知：，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：，证明如下： ∵ 四边形是平行四边形， ∴，， 又∵为边的三等分点， ∴， 由折叠可知，，则， ∴， 由三角形外角性质可知，， ∴， ∴ ， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴，则 ， ∴ ； （3）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， 由折叠可知， ∴ ， ∴为等腰直角三角形， ∴， 如图，延长交于，则， ∵四边形是平行四边形， ∴， ，，即， ∴， ∵平行四边形的面积为12，，即， ∴ ，则， ∴． 题型19.平行四边形的最值问题 1．如图，在中，，，过点D作于点E，且．点P在上，连接，过点D作于点F，则的最大值为（　　）       A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出，由勾股定理可得，连接，由平行四边形的性质可得无论点在上何处，的面积始终是平行四边形面积的一半，表示出，则，要使最大，需要最小，由图可得，当点与点重合时，最小，为，由此即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 连接，如图：    ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴无论点在上何处，的面积始终是平行四边形面积的一半， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴要使最大，需要最小， 由图可得，当点与点重合时，最小，为， ∴的最大值为． 2．如图，中，，，，则______，点P为上任意一点，连接，以、为邻边作平行四边形，连接，则的最小值______． 【答案】 5 【分析】根据勾股定理可得的长，设与交于点，过点作，由题意易得，要使的值为最小，则需满足的值也为最小，根据点到直线，垂线段最短可知：当时，的值为最小，即为的长，然后问题可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 设与交于点，过点作，如图所示： ∵四边形是平行四边形， ∴， 要使的值为最小，则需满足的值也为最小，根据点到直线，垂线段最短可知：当时，的值为最小，即为的长， 连接，设，则， ∴， 在中，由勾股定理得：；在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值为． 3．【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边中，，点M、N分别在边上，且，试探究线段长度的最小值． 【问题分析】小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题． 【问题解决】如图②、过点C、M分别作的平行线，并交于点P．作射线． 在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： (1)证明：； (2)的大小为_______度，线段长度的最小值为_______ (3)如图③，长方形中，，G是的中点，线段在边上左右滑动，若，求的最小值． 【答案】(1)证明：∵过点C、M分别作的平行线，并交于点P， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴. (2)； (3)10 【分析】（1）根据平行四边形的性质，得到，结合已知条件即可得证； （2）根据平行线的性质，结合三角形的外角的性质，等边对等角，求出，根据垂线段最短得到当时，最短，根据含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可； （3）过点作，交于点，延长至点，使，连接，则即为的最小值，利用勾股定理进行求解即可. 【详解】（1）证明：略. （2）解：∵在等边中，， ∴， ∵， ∴， 由（1）知：，， ∴， ∵， ∴， ∴点在射线上运动， ∴当时，最短，此时的值最小， ∵， ∴当时，， ∴线段长度的最小值为； （3）解：过点作，交于点，延长至点，使，连接， ∵长方形，，G是的中点， ∴，，，，， ∴四边形是平行四边形，垂直平分， ∴，，， ∴，， ∴当三点共线时，的值最小为的长， 在中，， ∴， ∴的最小值为. 分层精练 一、单选题 1．如图，在中，于点E，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平行四边形的性质可得，由余角的性质可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ． 2．如图，在四边形中，与相交于点E，，要判定四边形是平行四边形，能添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合题中的条件，根据平行四边形的判定方法，对选项逐个判断即可． 【详解】解：由题意可得，， A、，则四边形是平行四边形，选项正确，符合题意； B、，得不出四边形是平行四边形，选项错误，不符合题意； C、，得不出四边形是平行四边形，选项错误，不符合题意； D、，得不出四边形是平行四边形，选项错误，不符合题意． 3．如图，是的角平分线，，，过点作，交的延长线于点，的垂直平分线交 于点，连接 ，则的长为（    ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【答案】A 【分析】延长交延长线于点，证明得，由计算得，由题推理得是的中位线，得，计算即可． 【详解】解：如图，延长交延长线于点， 是角平分线，， ，， ， ， ，， ， ， 的垂直平分线交于点， ， 是的中位线， ． 4．如图，是的边上的点，是中点，连接并延长交于点，连接与交于点，若，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，如图，先根据平行四边形的性质得到，再证明得到，则可判定四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质得到，接着证明四边形为平行四边形，所以，然后计算得到阴影部分的面积． 【详解】解：连接，如图， ∵四边形为平行四边形， ， ， ∵是中点， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， 即， ， ∴四边形为平行四边形， ， ∴阴影部分的面积． 5．如图，中，是的中点，在上，且，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、平行线的性质等知识，解题关键是正确作出辅助线，熟练掌握相关知识并灵活运用．在上取点，使得，连接，易得为的中位线，所以，再证明为等腰三角形，可得，然后由可得答案． 【详解】解：如图，在上取点，使得，连接， 则， ∵是的中点，， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 二、填空题 6．如图，在平行四边形中，过对角线的交点O，若，，，则四边形的周长是______．    【答案】12 【分析】先根据平行四边形的性质和三角形全等的判定定理证出，再根据全等三角形的性质可得，从而求出，然后利用四边形的周长公式计算即可． 【详解】解：四边形是平行四边形，且， ，，， ， 在和中，， ， ， ， 则四边形的周长 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质等知识点，正确找出两个全等三角形是解题关键． 7．已知高为的梯形中，， 是锐角，，，，那么梯形的面积为________． 【答案】或 【分析】本题考查了梯形的性质，勾股定理；根据题意分两种情况讨论，分别画出图形，求得的长，根据梯形的面积公式，即可． 【详解】解：如图所示，过点作于点，过点作于点， 梯形中，， 四边形是矩形， ，， ， ， ． ∴ 如图，． 故答案为：或． 8．如图，在中，，点，分别从点，同时出发，沿，方向以相同的速度运动（分别运动到点，即停止），与相交于点，与相交于点．则在此运动过程中，线段的长始终等于______． 【答案】 【分析】由平行四边形的性质得出，，得出四边形和四边形都是平行四边形，则，，由三角形中位线定理可得出答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， 点，分别从点A，同时出发，沿，方向以相同的速度运动， ， ， 四边形和四边形都是平行四边形， ，， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，证明四边形和四边形是平行四边形是解题的关键． 9．如图，O是等边内任意一点，，点D，E，F分别在上．若，则等边的面积为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查等边三角形的判定与性质，平等四边形的判定与性质，延长交于点G，过点A作于点H，证明，是等边三角形，四边形是平行四边形，得，由勾股定理得，再由三角形面积公式求出结论． 【详解】解：如图，延长交于点G，过点A作于点H， ∵是等边三角形， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴是等边三角形， 同理可证，是等边三角形， ∴， ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴， 故答案为： 三、解答题 10．如图，在梯形中，，． (1)尺规作图：在线段上截取．连接（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，，求的长度． 【答案】(1)画图见解析 (2) 【分析】（1）根据题意尺规作图即可； （2）先证明四边形是平行四边形，得到，，再根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图，就是所求作的图形； （2）解：，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ． 11．如图，是的中点，，交于点，，且． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，连接．求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形中位线定理得，即，然后结合得到四边形是平行四边形； （2）根据三角形中位线定理，由平行四边形的性质可得，而，，根据勾股定理得． 【详解】（1）证明：∵，交于点，， ∴是的中点， ∵是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵是的中位线，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴． 12．如图，在平行四边形中，对角线交于点，，，垂足分别为．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】利用平行四边形的性质证明即可求证． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 13．如图，将平行四边形放置在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上位于原点O左侧，点，点，并且实数a，b满足，连接． (1)求出点D的坐标及的面积； (2)如图1，过点作交于点E，在上取一点F，使， ①求的度数； ②证明：； (3)如图2，若点M、N在直线上，且，连接，请直接写出的最小值． 【答案】(1)， (2)①；②见解析 (3) 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件得出的值，确定点的坐标，求出相关线段的长度即可求解； （2）①根据等腰直角三角形的性质求出角的度数； ②利用全等三角形的判定和性质证明； （3）以为邻边作平行四边形，则，过点作轴于点，连接，利用平行四边形的性质以及两点之间线段最短求出最值． 【详解】（1）解：∵实数a，b满足， ∴，， ∴， ∴，则， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴； （2）解：①由（1）可知是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； ②在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解： 如图，以为邻边作平行四边形，则，过点作轴于点，连接， ∵ ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 当G，M，C三点共线时，最小， ∴此时最小为． 14．如图，在中，，，，过点A作，且点D在点A的右侧．点P从点A出发沿射线方向以每秒的速度运动，同时点Q从点C出发沿射线方向以每秒的速度运动，在线段上取点E，使得，连接，设点P的运动时间为t秒． (1)① （用含t的式子表示） ②若，求的长； (2)请问是否存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2)存在，或12 【分析】（1）①由运动知，即可得出结论； ②作于M，由已知条件得出，由等腰三角形的性质得出，由直角三角形斜边上的中线性质得出，证出和是等腰直角三角形，得出，，由得出方程，解方程即可； （2）分两种情况：当点Q、E在线段上时；当点Q、E在线段的延长线上时，由平行四边形的判定得出，得出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：①由运动知，， ∵在线段上取点E，使得， ∴， 故答案为：； ②作于M，如图所示， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴和是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：存在，或；理由如下： 分以下两种情况讨论： （ⅰ）当点Q、E在线段上时， 若以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形， 则， ∴， 解得：； （ⅱ）当点Q、E在线段的延长线上时， 若以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形， 则， ， 解得：． ∴存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，或12秒． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $