专题08分式的运算、分式方程 专项训练(26大核心题型精讲+分层精练突破)-2025-2026学年北师大版数学八年级下学期.

**基本信息** 以27类细分题型为框架，覆盖分式运算到分式方程全链条，通过分层精练实现从基础到应用的能力递进，培养运算能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |分式运算|题型1-16|涵盖乘除、加减、混合运算及化简求值，包含参数问题与最值求解|从单运算到混合运算，构建“定义-性质-运算”逻辑链，强化代数变形能力| |分式方程|题型17-26|涉及定义辨析、求解、参数讨论及行程/工程等实际应用|遵循“概念-解法-应用”递进，突出验根与建模思想，培养应用意识| |综合应用|分层精练15题|选择、填空、解答题结合，覆盖易错点与高频考点|整合运算与方程知识，实现从知识掌握到问题解决的能力迁移|

专题08分式的运算、分式方程 专项训练 题型梳理归纳 题型1.分式乘法计算 题型2.分式除法计算 题型3.分式乘除混合运算化简 题型4.分式乘方运算 题型5.含乘方的分式乘除混合运算 题型6.同分母分式加减法计算 题型7.求分式最简公分母 题型8.分式通分 题型9.异分母分式加减法计算 题型10.整式与分式相加减化简 题型11.利用分式恒等，求分子分母参数 题型12.分式加减混合运算化简 题型13.分式加减实际应用 题型14.分式加减乘除混合运算化简 题型15.分式化简求值 题型16.分式最值求解 题型17.分式方程定义辨析 题型18.解分式方程 题型19.根据分式方程解的情况求参数 题型20.分式方程无解求参数 题型21.根据题意列分式方程 题型22.分式方程行程问题 题型23.分式方程工程问题 题型24.分式方程经济问题 题型25.分式方程和差倍分问题 题型26.分式方程其他实际问题 题型27.分层精练15道题 核心题型精讲 题型1.分式乘法计算 1．计算：（   ） A．3 B． C． D．0 2．化简：_____． 3．计算：． 题型2.分式除法计算 1．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 2．化简：______． 3．周末，小颖跟妈妈到水果批发市场去买苹果．那里有两种苹果，甲种苹果每箱净重，售价a元；乙种苹果每箱净重，售价b元．请问：甲种苹果的单价是乙种苹果的多少倍？ 题型3.分式乘除混合运算化简 1．化简的结果为（   ） A． B． C． D． 2．计算：______． 3．计算： (1)； (2)． 题型4.分式乘方运算 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．计算：（其中n为正整数）________． 3．计算： (1)______；______． (2)． 题型5.含乘方的分式乘除混合运算 1．下列等式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．计算：_________． 3．计算： (1)； (2)． 题型6.同分母分式加减法计算 1．计算：的结果（    ） A． B． C． D． 2．计算的结果是______． 3．计算： (1)； (2)． 题型7.求分式最简公分母 1．计算 的结果等于（   ） A． B． C． D． 2．分式与的最简公分母是__________． 3．求出下列各组分式的最简公分母． (1)； (2)； (3)； (4)． 题型8.分式通分 1．化简的结果为（   ）． A． B． C． D． 2．若分式的分母经通分后变为，则分子应变为_______． 3．先化简，再求值：，其中． 题型9.异分母分式加减法计算 1．化简的结果是（    ） A． B． C． D．3 2．嘉嘉计算时，由于错将分式前的“”抄成了“”，得到的错误结果为，则正确的计算结果应是__________． 3．下面是某同学计算的解题过程． 解：原式…………第一步        ………………………………………第二步 ．        ………………………………………第三步 (1)上述解题过程从第_____步开始出现了错误； (2)请写出正确的解答过程． 题型10.整式与分式相加减化简 1．化简的结果为（   ） A． B． C． D． 2．化简：______． 3．定义：如果一个分式能够化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和美分式”， 如： (1)下列分式中，属于“和美分式”的是 （填序号）； ①②③④ (2)请将“和美分式”化为一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (3)若为整数，且“和美分式”的值也为整数，求符合条件的整数x的所有取值． 题型11.利用分式恒等，求分子分母参数 1．若，则的值是（   ） A．3 B．2 C． D． 2．若，则________． 3．如果分式与分式的差等于它们的积，即，那么称分式是分式的“智慧分式”，如分式与，因为，，所以是的“智慧分式”． (1)分式_____分式的“智慧分式”．（填“是”或“不是”） (2)已知关于的分式是关于的分式的“智慧分式”，求的值． (3)已知分式是分式的“智慧分式”，求分式． 题型12.分式加减混合运算化简 1．已知：，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．化简的结果是__________ 3．求证：． 题型13.分式加减实际应用 1．某商家常将单价不同的A、B两种糖混合成“什锦糖”出售，记“什锦糖”的单价为：A、B两种糖的总价与A、B两种糖的总质量的比．现有两种“什锦糖”：一种是由相同千克数的A种糖和B种糖混合而成的“什锦糖”甲，另一种是由相同金额数的A种糖和B种糖混合而成的“什锦糖”乙．则下列判断正确的是（   ） A．“什锦糖”甲的单价比“什锦糖”乙的单价贵 B．“什锦糖”甲的单价比“什锦糖”乙的单价便宜 C．“什锦糖”甲的单价和“什锦糖”乙的单价相同 D．无法判断“什锦糖”甲的单价和“什锦糖”乙的单价谁更便宜 2．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a米的大正方形减去一个边长为1米的小正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，若两块试验田都收获了m千克小麦，则“丰收2号”试验田的单位面积产量比“丰收1号”试验田的单位面积产量多______． 3．林林家与学校的距离为，林林骑自行车从家到学校需要．某天，林林从家骑自行车出发后，爸爸才从家骑自行车出发，结果爸爸与林林同时到达学校．爸爸每分钟比林林多骑多少千米？ 题型14.分式加减乘除混合运算化简 1．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 2．计算的结果为______． 3．计算： (1)因式分解： (2)计算： 题型15.分式化简求值 1．如果，那么代数式的值为（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 2．当时，计算的结果是__________． 3．先化简，再求值：，其中，． 题型16.分式最值求解 1．已知，为实数，且，，则下列关于的说法正确的是（   ）． A．有最大值，且最大值为 B．有最小值，且最小值为 C．有最大值，且最大值为 D．有最小值，且最小值为 2．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如，，则和都是“和谐分式”． （1）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：______； （2）分式的最小值为______． 3．【阅读材料】我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现： 当时： ∵， ∴． ∴，当且仅当时取等号，即当时，有最小值为． 【学以致用】根据上面材料回答下列问题： (1)____________，式子的最小值为____________；（用或填空） (2)求分式的最小值； (3)应用：小明同学要做一个面积为平方厘米，对角线互相垂直的四边形风筝（如图所示），则用来做对角线（）的竹条至少要多长？ 题型17.分式方程定义辨析 1．岳龙某红瑶红薯种植基地改进红薯种植技术后，每亩红瑶红薯产量增加，原来产红薯的一块土地，现在总产量增加了，现在平均每亩红薯的产量是（   ）． A． B． C． D． 2．已知方程：①，②，③，④，⑤，⑥，其中分式方程有_________________． 3．下列哪些是分式方程？哪些是可化为一元二次方程的分式方程？ （1） （2） （3） （4） 题型18.解分式方程 1．若为正整数，则分式的值可能为（） A．0 B． C．1 D． 2．对于实数a，b，定义一种新运算“☆”：☆，则方程☆的解是______． 3．解下列方程∶ (1)； (2)． 题型19.根据分式方程解的情况求参数 1．已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．若关于的分式方程的解为正整数，则正数的值为________． 3．若关于的方程有解，求实数的取值范围． 题型20.分式方程无解求参数 1．已知关于x的分式方程无解，则m的值是（    ） A． B．1 C．或2 D．或 2．若方程无解，则的值为______． 3．关于的方程． (1)当时，求该方程的解； (2)若该方程无解，求的值． 题型21.根据题意列分式方程 1．为落实“每日一节体育课”的倡议，九年级一班拟购置一批羽毛球拍，预算总额设定为1200元．已知W品牌每副球拍的单价比Y品牌便宜20元，如果全部购买W品牌，可比全部购买Y品牌多买3副．设Y品牌每副羽毛球拍的单价为元，则根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．完成一项工程，甲单独完成比乙单独完成少用3天，两人合作4天后，还剩下工程的未完成．设甲单独完成需要x天，则根据题意列出的方程是________． 3．海南省首个省级科技馆于2025年12月18日开启试运行，是海南自贸港重要的科普教育地标．某校八年级学生前往距学校15千米的海南省科技馆参观，一部分学生乘大巴先出发，过了10分钟，其余学生乘坐中巴出发，结果他们同时到达，已知中巴的平均速度是大巴平均速度的1.5倍，求大巴的平均速度． 题型22.分式方程行程问题 1．小王乘公共汽车从甲地到相距60千米的乙地办事，然后乘出租车原路返回，出租车的平均速度是公共汽车的1.5倍，回来时路上所花时间比去时节省了半小时，设公共汽车的平均速度为千米/时，则下面列出的方程中正确的是（     ） A． B． C． D． 2．我国古代数学著作中有这样一个问题：现有一份文书需递送，递送路程总长里．若用慢马递送，送达时长比规定时长多天；若用快马递送，送达时长比规定时长少天．已知快马的日行速度是慢马日行速度的倍，设规定时间为天，可列方程为________． 3．从阜新到沈阳铁路里程约为千米．已知高铁平均速度是快车平均速度的倍，乘坐高铁比乘坐快车所用时间少小时． (1)求高铁的平均速度； (2)我校共有名师生从阜新前往沈阳参加夏季研学活动，为了便于管理，所有人须乘坐同一列高铁，因二等座剩余座次有限，研学团需购买一部分一等座车票和一部分二等座车票，已知高铁单程一等座位票价为元，二等座位票价为元，学校预计提供交通补助费单程不超过元，请问学校至少购买多少张二等座位的车票． 题型23.分式方程工程问题 1．为了提升城市形象，武汉市某区计划对辖区内60万平方米的土地进行绿化．为了尽快完成任务，实际施工时平均每月的绿化面积是原计划的1.5倍，结果提前2个月完成了全部任务．设原计划平均每月的绿化面积为万平方米，根据题意，下列所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 2．我国古代数学名著《九章算术》记载：某工匠制作器物，改进工艺后，每日制作数量为原来的1.5倍，制作90件器物比原来少用3天．设原来每天制作件，则可列方程为______． 3．某车间承接一批零件加工任务，原计划每天加工若干个零件，可按期完成．实际工作时，每天加工数量比原计划多，结果提前5天完成任务．已知这批零件总数为600个，求原计划每天加工多少个零件？ 题型24.分式方程经济问题 1．我国古代数学名著中有一题，其大意为：“现在有绫布和罗布，它们的长共丈（丈尺），已知绫布和罗布分别出售均能收入文，■”．设绫布有尺，则可得方程为．根据此情境，题中“■”表示缺失的条件，下列可以作为补充条件的是（     ） A．买一尺绫布和一尺罗布一共需要文 B．每尺绫布比每尺罗布便宜文 C．绫布的总价比罗布的总价便宜文 D．每尺绫布比每尺罗布贵文 2．若商品的进价为100元，毛利率为（），则该商品的售价是________元． 3．某校为了丰富学生学习内容，开设智能机器人编程的校本课程，拟购买A、B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同，学校准备购买A型和B型机器人模型共 40台，购买的总费用预算不超过15000元． (1)A型、B型机器人模型的单价分别是多少元？ (2)若要A型机器人模型尽可能的多，求满足条件的购买方案． 题型25.分式方程和差倍分问题 1．李老师去文具店购买学习用品．他先用96元买了笔记本若干本，又用120元买了绘画本若干本．已知所买绘画本的单价是笔记本单价的1.5倍，李老师所买笔记本比绘画本多2本．设购买一本笔记本需x元，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．山西省宁武县被中国粮食行业协会命名为“中国高原莜麦之乡”，莜麦是世界公认的营养价值很高的粮种之一．某莜麦标准化种植基地在改良前总产量为，改良后总产量不变，但种植面积减少了25亩，平均亩产量为原来的1.5倍，则改良前的平均亩产量为_______ 3．某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器．若购买甲种滑动变阻器用了1620元，购买乙种用了3600元，购买的乙种滑动变阻器的数量是甲种的2倍，乙种滑动变阻器单价比甲种单价贵5元． (1)求甲、乙两种滑动变阻器的单价； (2)该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共100个，总费用不超过4800元，那么该校最少购买多少个甲种滑动变阻器？ 题型26.分式方程其他实际问题 1．某单位将沿街的一部分房屋出租．每间房屋的租金第二年比第一年多300元，所有房屋的租金第一年为1.2万元，第二年为1.56万元．设第一年每间房屋的租金为 x元，根据题意，所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 2．科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘、净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少，一年滞尘所需的银杏树叶的片数与一年滞尘所需的国槐树叶的片数相同．则一片国槐树叶一年的平均滞尘量为______． 3．2026年，某办公设备公司积极响应国家绿色办公号召，推广高效节能的打印机产品．上半年，该公司A，B两款打印机的墨盒销量表现突出．已知用400毫升墨水量可灌满甲型墨盒的次数与用500毫升墨水量可灌满乙型墨盒的次数相同（墨水量恰好够灌满整数次），且甲型墨盒每次灌满比乙型墨盒每次灌满少用10毫升墨水． (1)求一个甲型墨盒和一个乙型墨盒每次灌满各需多少毫升墨水； (2)已知某办公设备专卖店共有A、B型打印机30台，其中A型打印机的数量至少是B型数量的，打印机的进价与售价如下表所示，若所有打印机全部售出，求该专卖店的最大利润为多少元？ A B 进价（元） 1200 2000 售价（元） 1400 2300 分层精练 一、单选题 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．若且，则的结果为（     ） A．1 B．3 C．6 D． 3．把分式，，通分，下列结论不正确的是（　　） A．最简公分母是 B． C． D． 4．已知：是整数，．设．则符合要求的的正整数值共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．下列关于x的方程中，整式方程的个数是（　　） （1）（2）；（3）+x＝；（4）+1＝x． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 6．方程的解为________． 7．已知关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围_____． 8．若关于x的方程无解，则m的值为______． 9．化简：_______． 10．端午节是中国的传统节日，某商店销售甲、乙两种礼盒的粽子，经调查发现：用880元购进的甲礼盒数量是用400元购进的乙礼盒数量的2倍，且每个甲礼盒的进价比乙礼盒贵4元，设每个乙礼盒的进价为x元，则列方程为：___________ ． 三、解答题 11．已知，求代数式的值． 12．通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，这样的分式就是假分式；这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如． 解决下列问题： (1)分式是 分式（填“真”或“假”）； (2)将假分式化为带分式； (3)若分式的值为整数，x为整数，求分式的值． 13．甲、乙两个工程队分别承担一条公路的维修任务，甲队有一半时间每天维修公路，另一半时间每天维修；乙队维修前公路时，每天维修，维修后公路时，每天维修． (1)试用含、的式子分别表示甲、乙两队完成任务所用的时间和； (2)请问甲、乙两队谁先完成任务？并说明理由． 14．配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大（小）值．对于任意正实数，可作如下变形（提示：） ， 又， ，即． 当且仅当，即时等号成立． (1)若，代数式的最小值为 ，此时 ． (2)某园林设计师用篱笆围一个面积为81平方米的长方形花圃，所用的篱笆至少为多少米？ (3)如图，四边形的对角线、相交于点，、的面积分别为12和3，求四边形面积的最小值． 15．年春节，智能健康手表成为热门“孝心年货”，其中、两款手表深受市民喜爱．某商店专营该两款手表，已知款手表的进价比款手表每块多元．该商店用元购进款手表的数量，与用元购进款手表的数量相等． (1)求款、款手表每块的进价分别为多少元？ (2)该商店计划购进这两款手表(两种都要购进）共块，且进货总费用不超过元．已知每块款手表利润元，每块款手表利润元．求全部售出后可获得的最大总利润． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08分式的运算、分式方程 专项训练 题型梳理归纳 题型1.分式乘法计算 题型2.分式除法计算 题型3.分式乘除混合运算化简 题型4.分式乘方运算 题型5.含乘方的分式乘除混合运算 题型6.同分母分式加减法计算 题型7.求分式最简公分母 题型8.分式通分 题型9.异分母分式加减法计算 题型10.整式与分式相加减化简 题型11.利用分式恒等，求分子分母参数 题型12.分式加减混合运算化简 题型13.分式加减实际应用 题型14.分式加减乘除混合运算化简 题型15.分式化简求值 题型16.分式最值求解 题型17.分式方程定义辨析 题型18.解分式方程 题型19.根据分式方程解的情况求参数 题型20.分式方程无解求参数 题型21.根据题意列分式方程 题型22.分式方程行程问题 题型23.分式方程工程问题 题型24.分式方程经济问题 题型25.分式方程和差倍分问题 题型26.分式方程其他实际问题 题型27.分层精练15道题 核心题型精讲 题型1.分式乘法计算 1．计算：（   ） A．3 B． C． D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式乘法运算，熟练掌握分式乘法运算法则是解题的关键．根据分式乘法运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 2．化简：_____． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘方与乘法运算，解题的关键是熟练掌握分式的乘方和乘法运算法则． 先根据分式乘方法则计算，得到；再按分式乘法法则，将与相乘，约分后得出结果． 【详解】解： 故答案为：． 3．计算：． 【答案】 【详解】解：． 题型2.分式除法计算 1．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： 2．化简：______． 【答案】 【分析】先对分子分母进行因式分解，再根据分式乘除法的运算法则计算即可． 【详解】解：原式． 3．周末，小颖跟妈妈到水果批发市场去买苹果．那里有两种苹果，甲种苹果每箱净重，售价a元；乙种苹果每箱净重，售价b元．请问：甲种苹果的单价是乙种苹果的多少倍？ 【答案】 倍 【分析】本题先根据“单价=总价÷质量”分别求出甲、乙两种苹果的单价，再用甲的单价除以乙的单价，结合分式除法运算法则计算即可得到倍数结果． 【详解】解：由题意得，甲种苹果的单价为元， 乙种苹果的单价为元 ， 计算倍数可得： ． 答：甲种苹果的单价是乙种苹果的倍． 题型3.分式乘除混合运算化简 1．化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的乘除运算，因式分解，掌握分式乘除运算的步骤是解题的关键． 将除法转化为乘法，并对各多项式进行因式分解，然后约分化简． 【详解】解： 原式 = = ∵ ，， ∴ 原式 = =   =   = ∴ 化简结果为，对应选项A． 故选：A． 2．计算：______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘除混合运算，根据分式的乘除混合运算法则即可求解，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】按照分式混合运算的顺序计算．先算乘方．再算乘除．有括号先计算括号内的．最后约分得到最简结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： 题型4.分式乘方运算 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的乘方与乘法运算，掌握这两个运算法则是关键；先计算乘方，再计算乘法即可． 【详解】解：， 故选：A． 2．计算：（其中n为正整数）________． 【答案】 【详解】解：． 3．计算： (1)______；______． (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了分式的乘方．根据分式的乘方法则计算即可求解． 【详解】（1）解：；； 故答案为：；； （2） 解：． 题型5.含乘方的分式乘除混合运算 1．下列等式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； 根据分式的乘法和分式的乘方计算法则逐项计算即可． 【详解】解：A．，原式计算正确，故本选项符合题意； B． ，原式计算错误，故本选项不符合题意； C．，原式计算错误，故本选项不符合题意； D．，原式计算错误，故本选项不符合题意； 故选：A． 2．计算：_________． 【答案】 【分析】根据分式乘方的法则先分别对两个分式进行乘方运算，再将除法转化为乘法，最后进行约分计算． 【详解】解：原式= ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的乘方和除法运算，解题关键是熟练掌握分式乘方、除法的运算法则，先乘方，再将除法转化为乘法进行计算． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先算乘方，把除法变成乘法，最后算乘法即可； （2）先将括号内通分，变成同分母的分式，再根据同分母的分式相减法则对括号内的式子进行化简，最后计算乘法求出答案即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 题型6.同分母分式加减法计算 1．计算：的结果（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 2．计算的结果是______． 【答案】a 【分析】根据同分母分式的减法法则计算，再因式分解约分得到最简结果． 【详解】解：． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型7.求分式最简公分母 1．计算 的结果等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先变形统一分母，将异分母分式化为同分母分式，再合并分子，利用平方差公式分解因式后，约分化简即可． 【详解】解：原式 ． 2．分式与的最简公分母是__________． 【答案】 【分析】确定最简公分母的方法为，取各分母系数的最小公倍数，凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式，同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母，据此求解即可． 【详解】解：分式与的分母分别是，，系数的最小公倍数是，的最高次幂是，单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的因式，因此最简公分母是． 3．求出下列各组分式的最简公分母． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了最简公分母，掌握确定最简公分母的方法是本题的关键． 根据确定最简公分母的方法是：取各分母系数的最小公倍数；凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母分别找出最简公分母． （1）分母和，系数和的最小公倍数，的最高次，的最高次，所以最简公分母是； （2）分母，，，系数、3、4的最小公倍数是12，的最高次3，的最高次1，的最高次2，所以最简公分母； （3）分母、、，统一为的幂，取最高次幂，所以最简公分母是； （4）分解后的分母是，，和，因此，它们的最简公分母是． 【详解】（1）解：和的最简公分母是； （2）解：的最简公分母是； （3）解：的最简公分母是； （4）解：的最简公分母是． 题型8.分式通分 1．化简的结果为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的化简，先统一分母，再合并分子化简后约分即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴ 原式． 故选：． 2．若分式的分母经通分后变为，则分子应变为_______． 【答案】 【分析】本题考查分式的通分，分母变为，乘了，根据分式的基本性质，分子也应乘以． 【详解】解：， 因此分子应变为：， 故答案为：． 3．先化简，再求值：，其中． 【答案】 ； 【分析】先对括号内通分计算，再约分，约分得到最简结果，将的值代入计算即可求出值. 【详解】解： ， 当时， 原式． 题型9.异分母分式加减法计算 1．化简的结果是（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【详解】解： 2．嘉嘉计算时，由于错将分式前的“”抄成了“”，得到的错误结果为，则正确的计算结果应是__________． 【答案】 【分析】根据错误计算列出关于的等式，求出的化简结果，再将代入正确的分式算式，通分化简即可得到正确结果． 【详解】解：由题意可知，错算的等式为 移项得 ， ∴ ； 3．下面是某同学计算的解题过程． 解：原式…………第一步        ………………………………………第二步 ．        ………………………………………第三步 (1)上述解题过程从第_____步开始出现了错误； (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)二 (2)过程见详解 【分析】（1）根据题意可直接进行求解； （2）根据分式的加法运算可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：上述解题过程从第二步开始出现了错误； （2）解：原式 ． 题型10.整式与分式相加减化简 1．化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式化简．先由平方差公式因式分解，再约分，最后由整式减法运算求解即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：B． 2．化简：______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简，先通分，根据同分母分式加减法法则计算，最后约分． 【详解】解：． 故答案为：． 3．定义：如果一个分式能够化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和美分式”， 如： (1)下列分式中，属于“和美分式”的是 （填序号）； ①②③④ (2)请将“和美分式”化为一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (3)若为整数，且“和美分式”的值也为整数，求符合条件的整数x的所有取值． 【答案】(1)①②③ (2) (3)，，， 【分析】本题考查了分式的加减，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据和美分式的定义，进行计算即可解答； （2）根据和美分式的定义，进行计算即可解答； （3）先把化为，根据为整数，也为整数，可得，或，即可求出答案． 【详解】（1）解：①， ②， ③， ④不能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式， 上列分式中，属于“和美分式”的是①②③， 故答案为：①②③； （2） ； （3） 为整数，也为整数， ，或， 或或或． 题型11.利用分式恒等，求分子分母参数 1．若，则的值是（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式加法运算，利用异分母分式加法运算法则计算等式右边，比较分子系数即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∴， 故的值为3． 故选：A． 2．若，则________． 【答案】 2 【分析】先对等式右边进行通分，根据分式相等的性质得到分子相等，再利用多项式相等对应系数相等建立方程组，求解得到B的值． 【详解】解：对等式右边通分，得， 已知， 分母相同且分式相等，因此分子相等，即， 将等式右边整理为多项式的形式，得， 根据多项式相等，对应项的系数相等，可得方程组， 将， 代入第二个方程，得， ， 解得． 3．如果分式与分式的差等于它们的积，即，那么称分式是分式的“智慧分式”，如分式与，因为，，所以是的“智慧分式”． (1)分式_____分式的“智慧分式”．（填“是”或“不是”） (2)已知关于的分式是关于的分式的“智慧分式”，求的值． (3)已知分式是分式的“智慧分式”，求分式． 【答案】(1)是 (2) (3) 【分析】（1）分别求出分式与的差和积，然后根据“智慧分式”的定义判断即可； （2）分别求出分式与的差和积，然后根据“智慧分式”的定义列方程求解即可； （3）根据“智慧分式”的定义可得，再将代入运用分式的混合运算法则化简即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴，即分式是分式的“智慧分式”． （2）解：∵关于的分式是关于的分式的“智慧分式”， ∴， ， ， ，解得：． （3）解：∵分式是分式的“智慧分式”， ∴，即， ， ， ∵ ． 题型12.分式加减混合运算化简 1．已知：，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】已知等式两边除以，求出的值，再代入即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查分式的混合运算，化简求值，运用了整体代入的思想方法．解题的关键是利用了等式的两边同时除以不为零的数，等式仍然成立． 2．化简的结果是__________ 【答案】 【分析】先通分，再用平方差公式计算，再合并同类项即可求出最终结果． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式的加减混合运算，平方差公式等知识，熟练掌握运算法则和公式是解题的关键． 3．求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查分式的混合运算，掌握运算法则和将等式左边每个分式拆项是解题关键； 首先将左式向右式变形，根据等式右边的特点，将等式左边每个分式拆成两个分式的和或差形式，可得可得可得；然后将拆项后的左边各式相加，证得结论即可． 【详解】证明：∵， 同理， ， 原式左边 右边． 故原等式成立． 题型13.分式加减实际应用 1．某商家常将单价不同的A、B两种糖混合成“什锦糖”出售，记“什锦糖”的单价为：A、B两种糖的总价与A、B两种糖的总质量的比．现有两种“什锦糖”：一种是由相同千克数的A种糖和B种糖混合而成的“什锦糖”甲，另一种是由相同金额数的A种糖和B种糖混合而成的“什锦糖”乙．则下列判断正确的是（   ） A．“什锦糖”甲的单价比“什锦糖”乙的单价贵 B．“什锦糖”甲的单价比“什锦糖”乙的单价便宜 C．“什锦糖”甲的单价和“什锦糖”乙的单价相同 D．无法判断“什锦糖”甲的单价和“什锦糖”乙的单价谁更便宜 【答案】A 【分析】设A种糖的单价为x元/千克，B种糖的单价为元/千克，得出取质量为m的两种糖混合而成的“什锦糖”甲的单价为元/千克，取价格为n元的两种糖混合而成的“什锦糖”乙的单价为元/千克，然后再比较大小即可． 【详解】解：设A种糖的单价为x元/千克，B种糖的单价为元/千克，取质量为m的两种糖混合而成的“什锦糖”甲的单价为： （元/千克）， 取价格为n元的两种糖混合而成的“什锦糖”乙的单价为： （元/千克）， ∵， 又∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴“什锦糖”甲的单价比“什锦糖”乙的单价贵． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了分式混合运算的应用，解决本题的关键是根据题意求出甲、乙两种“什锦糖”的单价． 2．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a米的大正方形减去一个边长为1米的小正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，若两块试验田都收获了m千克小麦，则“丰收2号”试验田的单位面积产量比“丰收1号”试验田的单位面积产量多______． 【答案】 【详解】解： 3．林林家与学校的距离为，林林骑自行车从家到学校需要．某天，林林从家骑自行车出发后，爸爸才从家骑自行车出发，结果爸爸与林林同时到达学校．爸爸每分钟比林林多骑多少千米？ 【答案】 【分析】根据速度等于路程除以时间，求出两人的速度，作差即可. 【详解】解：由题意，林林的速度为，爸爸的速度为， 故爸爸每分钟比林林多骑的路程为； 答：爸爸每分钟比林林多骑． 题型14.分式加减乘除混合运算化简 1．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：原式 2．计算的结果为______． 【答案】3 【分析】先对分式约分，再合并同类项即可得到结果． 【详解】解：． 3．计算： (1)因式分解： (2)计算： 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型15.分式化简求值 1．如果，那么代数式的值为（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先通过通分、因式分解约分化简代数式，再利用已知条件整体代入计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， 将代入得，原式． 2．当时，计算的结果是__________． 【答案】/ 【分析】先对原式通分化简为最简分式，再代入计算结果． 【详解】解：原式， 当时，原式． 3．先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】先通分运算括号内的分式，再利用因式分解进行化简运算，再把，代入运算即可． 【详解】解：      ， 当，时， 原式． 题型16.分式最值求解 1．已知，为实数，且，，则下列关于的说法正确的是（   ）． A．有最大值，且最大值为 B．有最小值，且最小值为 C．有最大值，且最大值为 D．有最小值，且最小值为 【答案】D 【分析】本题考查不等式的性质、代数式的消元变形，通过消元将二元问题转化为一元问题，再结合不等式范围推导最值，是解题的关键． 由得，代入得，进而将表示为，分析其取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴， 代入，得， 即， 整理得， ∴解得， ∵， 又∵， ∴， ∴， 当时，等号成立，即取得最小值， ∴有最小值． 故选：． 2．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如，，则和都是“和谐分式”． （1）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：______； （2）分式的最小值为______． 【答案】 3+ 3 【分析】此题考查分式的变形计算，分式的四则混合运算，同分母分式加法逆运算． （1）将分子化为分母的倍数与常数的和，然后拆分分式； （2）先将分式化为整式与常数分子的分式的和，再利用分母求最小值． 【详解】（1）解：； （2）解：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，分式取得最小值3． 3．【阅读材料】我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现： 当时： ∵， ∴． ∴，当且仅当时取等号，即当时，有最小值为． 【学以致用】根据上面材料回答下列问题： (1)____________，式子的最小值为____________；（用或填空） (2)求分式的最小值； (3)应用：小明同学要做一个面积为平方厘米，对角线互相垂直的四边形风筝（如图所示），则用来做对角线（）的竹条至少要多长？ 【答案】(1)， (2) (3)厘米 【分析】（）根据阅读材料解答即可求解； （）把分式转化为，根据阅读材料解答即可求解； （）根据四边形的面积可得 ，再根据阅读材料解答即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，，， ∴式子的最小值为， 故答案为：，； （2）解：， ∴分式的最小值为； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， 答：用来做对角线的竹条至少要厘米长． 题型17.分式方程定义辨析 1．岳龙某红瑶红薯种植基地改进红薯种植技术后，每亩红瑶红薯产量增加，原来产红薯的一块土地，现在总产量增加了，现在平均每亩红薯的产量是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的应用，读懂题目的意思，找出合适的等量关系，列出方程是解题关键． 设原来红薯平均每亩产量是，则现在红薯平均每亩产量是．由于种植红薯地的面积=这块地的总产量÷平均每亩产量，根据改良红薯品种前后种植红薯地的面积不变列方程求解，用含a、m的代数式表示出x即可． 【详解】解：设原来红薯平均每亩产量是，则现在红薯平均每亩产量是． ∵总产量增加了， ∴， 解得：， 经检验符合题意， 所以现在平均每亩红薯的产量是． 故选：B． 2．已知方程：①，②，③，④，⑤，⑥，其中分式方程有_________________． 【答案】③④⑤ 【分析】本题考查分式方程的定义，熟练掌握“分母中含有未知数的方程叫做分式方程”是解题的关键．根据分式方程的定义，逐个判断即可，要注意分式方程中分母是关于未知数的整式． 【详解】解：①②分母中不含未知数，不是分式方程；③④⑤分母中含有未知数，是分式方程；⑥根号下含有未知数，是无理方程，不是分式方程， 故答案为：③④⑤． 3．下列哪些是分式方程？哪些是可化为一元二次方程的分式方程？ （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）、（2）、（4）是分式方程，（4）是可化为一元二次方程的分式方程． 【分析】按照分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．逐一判断，去分母后再来判断是否能化成一元二次方程． 【详解】（1）是分式方程，去分母可转化为3x+3=2，不是一元二次方程， （2）是分式方程，去分母可转化为3x=x-1，不是一元二次方程， （3）是分式，不是分式方程， （4）是分式方程，去分母可转化为x2+x=2，是可化为一元二次方程的分式方程， ∴（1）、（2）、（4）是分式方程，（4）是可化为一元二次方程的分式方程． 【点睛】本题考查了分式方程的定义，分母中含有未知数的方程叫做分式方程；熟练掌握分式方程的定义是解题的关键． 题型18.解分式方程 1．若为正整数，则分式的值可能为（） A．0 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】先对分式因式分解约分，再根据x为正整数的条件，结合选项验证得到正确结果． 【详解】解：原式， A．若，解得，不符合x为正整数，排除； B．若，∴，解得，是正整数，符合条件； C．若，整理得，方程无解，排除； D．若，∴，解得，不是正整数，排除． 2．对于实数a，b，定义一种新运算“☆”：☆，则方程☆的解是______． 【答案】 【分析】根据新定义将原方程转化为分式方程，再按照分式方程的解法求解并检验． 【详解】解：根据新定义☆，代入，， 方程☆ 可转化为： ， 整理得 ， 解得， 检验：当时， ， 所以是原方程的解． 3．解下列方程∶ (1)； (2)． 【答案】(1)原方程无解 (2) 【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程，求解整式方程后，检验所得根是否使原方程分母不为0，即可得到原方程的解． 【详解】（1）解：， 方程变形为， 方程两边同时乘以，得 ， 解得， 检验：当时，， 因此是原方程增根， ∴原方程无解； （2）解：， 方程两边同时乘以，得 ， 解得， 检验：当时，， 因此是原方程的解． 题型19.根据分式方程解的情况求参数 1．已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解一元一次不等式，分式方程的解，将原方程去分母后化为整式方程并整理，然后根据题意列出关于m的不等式，解不等式即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得， ∵关于x的分式方程的解是非负数， ∴且， ∴且， 解得：且． 2．若关于的分式方程的解为正整数，则正数的值为________． 【答案】 【分析】先按照解分式方程的步骤求出，再根据结合分式方程的解为正整数进行求解即可． 【详解】解：，即 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵，即， ∴， ∴， ∵是正整数且 ∴且， ∴． 3．若关于的方程有解，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】先解方程得到，再根据分母不为零的取值条件得到，再代入运算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， 解得：． 题型20.分式方程无解求参数 1．已知关于x的分式方程无解，则m的值是（    ） A． B．1 C．或2 D．或 【答案】D 【分析】由分式方程解法，先去分母得到，分类讨论求解整式方程，再由分式方程无解的条件列方程求解即可得到答案． 【详解】解：， ，则， 若，即时，整式方程无解，则分式方程无解； 若，即时，整式方程解为， 当，即时，则分式方程分母为0，分式方程无解； 综上所述，的值是或． 2．若方程无解，则的值为______． 【答案】6 或 9 或 12 【分析】本题考查分式方程无解的条件，需考虑整式方程无解或整式方程的解为增根两种情况，先去分母化为整式方程，再分别讨论即可． 【详解】解： 两边同乘最简公分母，得 ， 整理得 ， 当 时，即时，整式方程无解，故原方程无解， 当 ，整式方程的解为增根，则 ， 当 时，， 当 时，， 故答案为6或9或12． 3．关于的方程． (1)当时，求该方程的解； (2)若该方程无解，求的值． 【答案】(1) (2)的值为或 【分析】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的方式及分式方程无解的情况是解题关键． （1）代入k的值，解分式方程并检验即可； （2）通过解分式方程的方法，用含k的式子表示x，利用方程无解的情况确定x的值，进而确定k的值． 【详解】（1）解：当时，关于的方程为， 化为整式方程，得，     去括号，得， 移项，合并同类项，得． 经检验：当时，， 因此该方程的解为； （2）解：等号两边同时乘以，得：， ∴， 若该方程无解，有两种情况： ①该整式方程无解，则，解得； ②分式方程增根导致无解，则，即，解得； 综上可知，的值为或． 题型21.根据题意列分式方程 1．为落实“每日一节体育课”的倡议，九年级一班拟购置一批羽毛球拍，预算总额设定为1200元．已知W品牌每副球拍的单价比Y品牌便宜20元，如果全部购买W品牌，可比全部购买Y品牌多买3副．设Y品牌每副羽毛球拍的单价为元，则根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式方程在实际问题中的应用，解题关键是根据 “数量差为3副” 这一等量关系，用含的代数式表示出两种球拍的购买数量，进而列出方程． 【详解】解：设Y品牌每副羽毛球拍的单价为元，则W品牌每副球拍的单价为元，由等量关系如果全部购买W品牌，可比全部购买Y品牌多买3副，列出方程： ． 2．完成一项工程，甲单独完成比乙单独完成少用3天，两人合作4天后，还剩下工程的未完成．设甲单独完成需要x天，则根据题意列出的方程是________． 【答案】 【分析】先根据甲单独完成需要的天数得到乙单独完成需要的天数，再根据两人合作4天完成的工作量等于总工作量减去未完成的工作量，找出等量关系列出方程即可． 【详解】解：由题意得，甲单独完成需要天，甲单独完成比乙少用天，则乙单独完成需要天， 甲的工作效率为，乙的工作效率为． 根据等量关系可列方程为． 3．海南省首个省级科技馆于2025年12月18日开启试运行，是海南自贸港重要的科普教育地标．某校八年级学生前往距学校15千米的海南省科技馆参观，一部分学生乘大巴先出发，过了10分钟，其余学生乘坐中巴出发，结果他们同时到达，已知中巴的平均速度是大巴平均速度的1.5倍，求大巴的平均速度． 【答案】 【分析】设大巴的平均速度是，，则中巴的平均速度是，根据中巴用的时间比大巴少10分钟，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设大巴的平均速度是，则中巴的平均速度是，根据题意得： ， 解得：， 经检验是原方程的解， 答：大巴的平均速度是． 题型22.分式方程行程问题 1．小王乘公共汽车从甲地到相距60千米的乙地办事，然后乘出租车原路返回，出租车的平均速度是公共汽车的1.5倍，回来时路上所花时间比去时节省了半小时，设公共汽车的平均速度为千米/时，则下面列出的方程中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据路程、速度、时间的关系，分别表示出去程和回程的用时，再根据题目给出的时间差等量关系列方程即可． 【详解】解：设公共汽车的平均速度为千米/时，则出租车的平均速度为千米/时， 根据题意，得． 2．我国古代数学著作中有这样一个问题：现有一份文书需递送，递送路程总长里．若用慢马递送，送达时长比规定时长多天；若用快马递送，送达时长比规定时长少天．已知快马的日行速度是慢马日行速度的倍，设规定时间为天，可列方程为________． 【答案】 【分析】设规定时间为天，根据题意分别表示出慢马和快马的行驶时间，结合总路程得到两者的日行速度，再根据快马日行速度是慢马日行速度的倍建立等量关系，即可列出方程． 【详解】解：已知规定时间为天，由题意可得，慢马送达用时为天， 列方程得：， 整理得． 3．从阜新到沈阳铁路里程约为千米．已知高铁平均速度是快车平均速度的倍，乘坐高铁比乘坐快车所用时间少小时． (1)求高铁的平均速度； (2)我校共有名师生从阜新前往沈阳参加夏季研学活动，为了便于管理，所有人须乘坐同一列高铁，因二等座剩余座次有限，研学团需购买一部分一等座车票和一部分二等座车票，已知高铁单程一等座位票价为元，二等座位票价为元，学校预计提供交通补助费单程不超过元，请问学校至少购买多少张二等座位的车票． 【答案】(1)高铁的平均速度为千米/小时； (2)学校至少购买张二等座位的车票 【分析】（1）设快车的平均速度为x千米/小时，则高铁平均速度为千米/小时，根据“乘坐高铁比乘坐快车所用时间少小时”列方程求解即可； （2）设学校为师生购买m张高铁二等座位的车票，根据“学校预计提供交通补助费单程不超过3600元”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设快车的平均速度为x千米/小时，则高铁的平均速度为千米/小时， 依题意，得 ， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， （千米/小时）． 答：高铁的平均速度为240千米/小时． （2）解：设学校为师生购买m张高铁二等座位的车票，依题意，得 ， 解得 ， 答：学校至少购买28张二等座位的车票． 题型23.分式方程工程问题 1．为了提升城市形象，武汉市某区计划对辖区内60万平方米的土地进行绿化．为了尽快完成任务，实际施工时平均每月的绿化面积是原计划的1.5倍，结果提前2个月完成了全部任务．设原计划平均每月的绿化面积为万平方米，根据题意，下列所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用工作时间工作总量工作效率的关系，根据原计划完成时间比实际完成时间多2个月的等量关系列方程，即可解题． 【详解】解：∵原计划平均每月绿化面积为万平方米，总绿化面积为60万平方米， ∴原计划完成任务的时间为个月， ∵实际平均每月绿化面积是原计划的倍， ∴实际平均每月绿化面积为万平方米，实际完成任务的时间为个月， ∵实际提前2个月完成任务，即原计划时间比实际时间多2个月， ∴可得方程． 2．我国古代数学名著《九章算术》记载：某工匠制作器物，改进工艺后，每日制作数量为原来的1.5倍，制作90件器物比原来少用3天．设原来每天制作件，则可列方程为______． 【答案】 【分析】设原来每天制作件，先表示出改进工艺后每天的制作数量，再分别求出原来和改进后制作90件器物所用的时间，根据改进后制作90件比原来少用3天的等量关系列方程即可． 【详解】解：设原来每天制作件，则改进工艺后每天制作件， 原来制作件器物所用时间为天，改进工艺后制作件器物所用时间为天， 由题意可得等量关系：原来所用时间改进后所用时间， 列方程得：． 3．某车间承接一批零件加工任务，原计划每天加工若干个零件，可按期完成．实际工作时，每天加工数量比原计划多，结果提前5天完成任务．已知这批零件总数为600个，求原计划每天加工多少个零件？ 【答案】原计划每天加工20个零件 【分析】设原计划每天加工个零件，根据题意列出分式方程，求解并检验即可． 【详解】解：设原计划每天加工个零件，则实际每天加工个零件， 根据题意，可列方程：， 解得， 经检验，是原方程的解，符合题意． 答：原计划每天加工20个零件． 题型24.分式方程经济问题 1．我国古代数学名著中有一题，其大意为：“现在有绫布和罗布，它们的长共丈（丈尺），已知绫布和罗布分别出售均能收入文，■”．设绫布有尺，则可得方程为．根据此情境，题中“■”表示缺失的条件，下列可以作为补充条件的是（     ） A．买一尺绫布和一尺罗布一共需要文 B．每尺绫布比每尺罗布便宜文 C．绫布的总价比罗布的总价便宜文 D．每尺绫布比每尺罗布贵文 【答案】A 【分析】设绫布有尺，根据设出的未知数表示出两种布的单价，再结合给出的方程判断缺失条件． 【详解】解：设绫布有尺，由题意可知绫布和罗布总长为尺， 罗布的长度为尺， 绫布和罗布的总价均为文， 每尺绫布的价格为文，每尺罗布的价格为文， 已知方程为， 该方程的意义为：每尺绫布的价格与每尺罗布的价格之和为文，即买一尺绫布和一尺罗布一共需要文． 2．若商品的进价为100元，毛利率为（），则该商品的售价是________元． 【答案】125 【分析】设该商品的售价为x元，根据列分式方程求解即可． 本题考查了列分式方程解应用题，根据题意正确的列出方程是解题的关键． 【详解】解：设该商品的售价为x元，根据题意得 ， ， ， ， 经检验：是所列方程的解． ∴该商品的售价为125元． 故答案为：125． 3．某校为了丰富学生学习内容，开设智能机器人编程的校本课程，拟购买A、B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同，学校准备购买A型和B型机器人模型共 40台，购买的总费用预算不超过15000元． (1)A型、B型机器人模型的单价分别是多少元？ (2)若要A型机器人模型尽可能的多，求满足条件的购买方案． 【答案】(1)A型机器人模型单价为500元，B型机器人模型单价为300元 (2)满足条件的方案是购买A型机器人模型15台，B型机器人模型25台 【分析】（1）利用“两种模型购买数量相同”的等量关系列分式方程求解单价； （2）根据总费用不超过预算列不等式，结合A型尽可能多的要求确定购买方案． 【详解】（1）解：设B型机器人模型单价为元，则A型机器人模型单价为元， 根据题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：A型机器人模型单价是500元，B型机器人模型单价是300元； （2）解：设购买A型机器人模型台，则购买B型机器人模型台， 根据题意得， 解得， 为非负整数，要求A型机器人模型尽可能多， ， 此时， 答：满足条件的购买方案为购买A型机器人模型15台，B型机器人模型25台． 题型25.分式方程和差倍分问题 1．李老师去文具店购买学习用品．他先用96元买了笔记本若干本，又用120元买了绘画本若干本．已知所买绘画本的单价是笔记本单价的1.5倍，李老师所买笔记本比绘画本多2本．设购买一本笔记本需x元，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题根据“数量=总价÷单价”，分别表示出笔记本和绘画本的购买数量，再根据“笔记本数量比绘画本多2本”的等量关系列方程即可． 【详解】解：∵设购买一本笔记本需元，绘画本单价是笔记本单价的倍， ∴绘画本的单价为元． ∵用96元买了笔记本若干本，又用120元买了绘画本， ∴笔记本数量为本，绘画本数量为本． ∵笔记本比绘画本多本， ∴可列方程为． 2．山西省宁武县被中国粮食行业协会命名为“中国高原莜麦之乡”，莜麦是世界公认的营养价值很高的粮种之一．某莜麦标准化种植基地在改良前总产量为，改良后总产量不变，但种植面积减少了25亩，平均亩产量为原来的1.5倍，则改良前的平均亩产量为_______ 【答案】168 【分析】本题考查了分式方程的应用，设改良前的平均亩产量为，根据“改良后总产量不变，但种植面积减少了25亩”列分式方程求解即可． 【详解】解：设改良前的平均亩产量为， 根据题意，得， 解得， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， 所以改良前的平均亩产量为． 3．某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器．若购买甲种滑动变阻器用了1620元，购买乙种用了3600元，购买的乙种滑动变阻器的数量是甲种的2倍，乙种滑动变阻器单价比甲种单价贵5元． (1)求甲、乙两种滑动变阻器的单价； (2)该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共100个，总费用不超过4800元，那么该校最少购买多少个甲种滑动变阻器？ 【答案】(1)甲种滑动变阻器的单价为45元/个，乙种滑动变阻器的单价为50元/个 (2)最少可以购买40个甲种滑动变阻器 【分析】（1）列分式方程解决问题； （2）列一元一次不等式解决实际问题． 【详解】（1）解：设甲种滑动变阻器的单价为x元/个， 由题意得， 解得， 经检验：是原方程的根，并符合题意， 元/个， 答：甲种滑动变阻器的单价为45元/个，乙种滑动变阻器的单价为50元/个； （2）解：设购买甲种滑动变阻器m个， 由题意得， 解得， 答：最少可以购买40个甲种滑动变阻器． 题型26.分式方程其他实际问题 1．某单位将沿街的一部分房屋出租．每间房屋的租金第二年比第一年多300元，所有房屋的租金第一年为1.2万元，第二年为1.56万元．设第一年每间房屋的租金为 x元，根据题意，所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据出租房屋的总间数不变，列方程解答即可． 【详解】解：∵ 第一年总租金为1.2万元，即12000元，第二年总租金为1.56万元，即15600元， 设第一年每间房屋的租金为元，则第二年每间房屋的租金为元， ∵出租房屋总间数不变， ∴可得方程 ． 2．科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘、净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少，一年滞尘所需的银杏树叶的片数与一年滞尘所需的国槐树叶的片数相同．则一片国槐树叶一年的平均滞尘量为______． 【答案】22 【分析】本题考查列分式方程解决实际问题．设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为，则一片银杏树叶一年的平均滞尘量为，再根据“一年滞尘所需的银杏树叶的片数与一年滞尘所需的国槐树叶的片数相同”，列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为，则一片银杏树叶一年的平均滞尘量为． 由题意得：． 方程两边同时乘以，得： ． 化简得：． 移项得：． 即． 解得：． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 即一片国槐树叶一年的平均滞尘量为． 故答案为：22． 3．2026年，某办公设备公司积极响应国家绿色办公号召，推广高效节能的打印机产品．上半年，该公司A，B两款打印机的墨盒销量表现突出．已知用400毫升墨水量可灌满甲型墨盒的次数与用500毫升墨水量可灌满乙型墨盒的次数相同（墨水量恰好够灌满整数次），且甲型墨盒每次灌满比乙型墨盒每次灌满少用10毫升墨水． (1)求一个甲型墨盒和一个乙型墨盒每次灌满各需多少毫升墨水； (2)已知某办公设备专卖店共有A、B型打印机30台，其中A型打印机的数量至少是B型数量的，打印机的进价与售价如下表所示，若所有打印机全部售出，求该专卖店的最大利润为多少元？ A B 进价（元） 1200 2000 售价（元） 1400 2300 【答案】(1)甲型墨盒每次灌满需40毫升，乙型墨盒每次灌满需50毫升 (2)该专卖店的最大利润为7800元 【分析】（1）根据题意列出分式方程即可求解； （2）设A型打印机有m台，B型打印机有台，可得，由题意列出利润关于m的一次函数表达式即可求解． 【详解】（1）解：设甲型墨盒每次灌满需x毫升墨水，则乙型墨盒每次灌满需毫升墨水， 由题意可得， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， ∴甲型墨盒每次灌满需40毫升，乙型墨盒每次灌满需50毫升． （2）解：设A型打印机有m台，B型打印机有台， 由题意得，， 解得， 设利润为， 由题意得， ∵， ∴随m增大而减小， 当时，取最大值为元， 答：该专卖店的最大利润为7800元． 分层精练 一、单选题 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该题考查了合并同类项、单项式除以单项式、积的乘方、分式乘除法，根据相关运算法则逐项验证运算即可． 【详解】解：A：∵中没有同类项，不能合并，∴原运算错误． B：∵，∴原运算正确． C：∵，∴原运算错误． D：∵，∴原运算错误． 故选：B． 2．若且，则的结果为（     ） A．1 B．3 C．6 D． 【答案】D 【分析】先根据同分母分式加减法则计算原式，再利用平方差公式因式分解约分，最后代入已知条件计算结果即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 3．把分式，，通分，下列结论不正确的是（　　） A．最简公分母是 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的知识点是分式的通分，根据分式找取最简公分母的方法：一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作最简公分母，再按照通分的方法依次验证各个选项，找出不正确的答案即可，解题的关键是明确通分的概念：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分，难点是掌握找取分式最简公分母的方法：一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作最简公分母． 【详解】解：A、最简公分母为，故A正确，不符合题意； B、根据分数的基本性质，，故B正确，不符合题意； C、根据分数的基本性质，，故C正确，不符合题意； D、根据分数的基本性质，，故D错误，符合题意， 故选：D． 4．已知：是整数，．设．则符合要求的的正整数值共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】先求出y的值，再根据x，y是整数，得出x＋1的取值，然后进行讨论，即可得出y的正整数值． 【详解】解：∵ ∴． ∵x，y是整数， ∴是整数， ∴x＋1可以取±1，±2． 当x＋1＝1，即x＝0时＞0； 当x＋1＝−1时，即x＝−2时，（舍去）； 当x＋1＝2时，即x＝1时，＞0； 当x＋1＝−2时，即x＝−3时，＞0； 综上所述，当x为整数时，y的正整数值是4或3或1． 故选：C． 【点睛】此题考查了分式的加减法，熟练掌握分式的加减运算法则，求出y的值是解题的关键． 5．下列关于x的方程中，整式方程的个数是（　　） （1）（2）；（3）+x＝；（4）+1＝x． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据整式方程与分式方程的定义解答.分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断. 【详解】解：（1）； （2）； （3）+x＝都符合整式方程的定义； （4）+1＝x属于分式方程. 故选：C. 【点睛】本题考查了整式方程，分式方程，熟练掌握各自的定义，并灵活准确判断是解题的关键． 二、填空题 6．方程的解为________． 【答案】 【分析】先将分式方程转化为整式方程求解，再对结果进行检验即可． 【详解】解： 移项得： 方程两边同乘最简公分母得： 去括号得： 移项合并同类项得： 系数化为得： 检验：当时， 因此是原分式方程的解． 7．已知关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围_____． 【答案】且 【分析】先解分式方程，再结合解为非负数和分母不为零的条件，列不等式组求解即可． 【详解】解：， 方程两边同乘最简公分母，得： 解得：， ∵分式方程的解为非负数， ∴， 解得：且． 8．若关于x的方程无解，则m的值为______． 【答案】3 【分析】先将分式方程化为整式方程，再根据分式方程无解可知方程存在增根，将增根代入整式方程即可求出的值． 【详解】解：将原方程变形，得， 去分母，得， 整理得， 原分式方程无解， 原方程的增根为， 把代入，得，解得． 9．化简：_______． 【答案】 【分析】先利用分式的基本性质将原式化为同分母分式，再根据同分母分式的加法法则计算， 对分子因式分解后约分即可得到结果． 【详解】解：． 10．端午节是中国的传统节日，某商店销售甲、乙两种礼盒的粽子，经调查发现：用880元购进的甲礼盒数量是用400元购进的乙礼盒数量的2倍，且每个甲礼盒的进价比乙礼盒贵4元，设每个乙礼盒的进价为x元，则列方程为：___________ ． 【答案】 【分析】本题考查从实际问题中抽象出分式方程，理解题意是关键． 设每个乙礼盒的进价为x元，则每个甲礼盒的进价为元，根据用880元购进的甲礼盒数量是用400元购进的乙礼盒数量的2倍即可列出方程． 【详解】解：根据题意得， 故答案为：． 三、解答题 11．已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】先利用分式运算法则化简所求代数式，再根据已知等式结合分式有意义的条件确定的值，最后代入计算得到结果； 【详解】解： ， ∵， ∴或， ∵分式有意义，分母和除式均不为， ∴且， ∴， 将代入化简后的式子，得原式． 12．通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，这样的分式就是假分式；这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如． 解决下列问题： (1)分式是 分式（填“真”或“假”）； (2)将假分式化为带分式； (3)若分式的值为整数，x为整数，求分式的值． 【答案】(1)真 (2) (3)4或6 【分析】（1）利用真分式和假分式的定义解答即可； （2）利用题干中的方法化简运算即可； （3）利用整数和整除的意义讨论解答即可． 【详解】（1）解：∵的次数小于的次数， ∴分式是真分式． （2）解：． （3）解：， ∵分式的值为整数，x为整数， ∴， ∴ 当时，原式； 当时，原式； 当时，原式； 当时，原式． 综上，分式的值为4或6． 13．甲、乙两个工程队分别承担一条公路的维修任务，甲队有一半时间每天维修公路，另一半时间每天维修；乙队维修前公路时，每天维修，维修后公路时，每天维修． (1)试用含、的式子分别表示甲、乙两队完成任务所用的时间和； (2)请问甲、乙两队谁先完成任务？并说明理由． 【答案】(1)； (2)甲队谁先完成任务，理由见详解 【分析】本题考查了分式加减运算，完全平方公式．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （1）根据题意可得出，解出即可．则 （2）用比较出大小即可． 【详解】（1）解：甲共用时间为天，，解得， 乙用的时间为， （2）解：甲队先完成任务，理由如下： ， ∵，且， ∴，， ∴ ∴乙的时间更长，即甲队先完成任务， ∴甲队先完成任务． 14．配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大（小）值．对于任意正实数，可作如下变形（提示：） ， 又， ，即． 当且仅当，即时等号成立． (1)若，代数式的最小值为 ，此时 ． (2)某园林设计师用篱笆围一个面积为81平方米的长方形花圃，所用的篱笆至少为多少米？ (3)如图，四边形的对角线、相交于点，、的面积分别为12和3，求四边形面积的最小值． 【答案】(1)8，4 (2) (3) 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形，分式求最值，算术平方根，正确理解题意并举一反三是解题关键． （1）依据题意，设，则由，得，进而当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为8，故可得解； （2）设花圃的宽为米，则长为米，所用的围栏，据此即可求解； （3）设，由三角形的面积公式可知，若两三角形底边上的高相等，则其面积比等于底边之比，由此可将表示出来．写出四边形的面积的表达式，利用题中结论求其最小值即可． 【详解】（1）解：（1）由题意，设，且， 由， 得， 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为8． 故答案为：8，4； （2）解：由题意，设花圃的宽为米，则长为米， 所用的围栏， ． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为， 答：所用的围栏至少为米． （3）由题意，设， △与△底边上的高相等，△与△底边上的高相等， ， ． ． ． 又， 当时，即时取等号， ． 四边形面积的最小值存在，最小值为． 15．年春节，智能健康手表成为热门“孝心年货”，其中、两款手表深受市民喜爱．某商店专营该两款手表，已知款手表的进价比款手表每块多元．该商店用元购进款手表的数量，与用元购进款手表的数量相等． (1)求款、款手表每块的进价分别为多少元？ (2)该商店计划购进这两款手表(两种都要购进）共块，且进货总费用不超过元．已知每块款手表利润元，每块款手表利润元．求全部售出后可获得的最大总利润． 【答案】(1)款手表每块进价元，款手表每块进价元 (2)元 【分析】（1）设款手表每块进价元，款手表每块进价元，根据“用元购进款手表的数量，与用元购进款手表的数量相等”可列出关于的分式方程，求解并检验后可得答案； （2）设购进款手表（为正整数）块，则购进款手表块，全部售出的利润为元，根据“进货总费用不超过元”列出关于的不等式，求解后确定的取值范围；根据“每块款手表利润元，每块款手表利润元”可确定关于的一次函数，根据一次函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：设款手表每块进价元，款手表每块进价元， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴（元）， ∴款手表每块进价元，款手表每块进价元； （2）解：设购进款手表（为正整数）块，则购进款手表块，全部售出的利润为元， ∵进货总费用不超过元， ∴， 解得：， 又∵购进款手表块， ∴， 解得：， ∴（为正整数）， 全部售出后可获得的利润为：， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最大值，最大值为（元）， ∴全部售出后可获得的最大总利润为元． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $