精品解析：湖北武汉市黄陂区第七高级中学等校2025-2026学年高二下学期5月数学训练试题

高二5月数学训练卷 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 若函数在点处的切线斜率为，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的定义及几何意义，并将所求极限变形计算可得. 【详解】由导数的几何意义可知，函数在点处的切线斜率等于，因此. 根据导数的定义：, 令 ，当 时， ，，且 因此 . 即 . 2. 口袋内有大小、质地相同的红球2个，黄球、蓝球各3个．依次不放回地从中摸取2个球（每次取1个球）、记“第一次摸到红球”为事件，“第二次摸到黄球”为事件，则（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，， 故. 3. 已知甲箱中有3个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从乙箱中取出的球是黑球”为事件，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，条件概率及全概率公式可得答案. 【详解】记“从甲箱中取出的球恰有个红球”为事件， 根据题意可得， ， 所以 . 4. 记，则（    ） A. 1023 B. 2047 C. 2024 D. 4048 【答案】B 【解析】 【分析】通过赋值法，分别令，，，进而可求解. 【详解】对于， 令，可得. 令，可得①， 令，可得②， ①+②得， 即. 5. 放射性元素的特征是不断发生同位素衰变，而衰变的结果是放射性同位素母体的数目不断减少，子体的数目不断增加，假设在某放射性同位素的衰变过程中，同位素含量N（单位：贝克）与时间t（单位：天）满足函数关系（e为自然对数的底数），其中为时该同位素的含量，已知当时，该放射性同位素含量的瞬时变化率为，则（ ） A. 贝克 B. 贝克 C. 贝克 D. 贝克 【答案】C 【解析】 【分析】求导，由求得，再计算即可． 【详解】求导得：， 因为， 所以，所以 所以， 故选：C 6. 某校人工智能社团有小李、小赵等5位同学，他们计划对DeepSeek、豆包、通义千问这3种人工智能模型展开学习调研，要求：每种模型至少有1人负责，每人必须且只能选择1种模型．若小李和小赵不能调研同一种模型，则不同的安排方案总数为（   ） A. 600 B. 264 C. 207 D. 114 【答案】D 【解析】 【分析】先将5人分成3组，再求出小李和小赵不同组的情况，然后再排列. 【详解】先将5位同学分成三组有“2人组+2人组+1人组”和“3人组+1人组+1人组”两种情况，共有种方法， 其中小李和小赵同一组的情况有种方法，所以小李和小赵不同组的情况有种； 再将这三组分给DeepSeek、豆包、通义千问这3种人工智能模型，有种排列方式， 所以共有种方法. 7. 已知，，，则的大小关系正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，构造函数，即可判断的大小关系，构造函数，即可判断的大小关系，从而得到结果. 【详解】因为，，构造函数，， 则，当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增，所以为的极小值点， 所以，则， 即，所以，即，又， 构造函数，， 则，所以在单调递增， 则，即， ，所以，则. 8. 已知函数，若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】的零点问题转化为的图象的交点问题，画出的图象，分,和结合图象求解即可. 【详解】由题意画出函数的图象， 恰有三个零点转化为的图象恰有三个交点， 当和时，由图可知函数的图象恰有三个交点， 当时，由，得， 所以在处切线斜率为， 设过原点与相切的直线为，切点为， 由，得，则，解得， 由图可知当时，只有时，函数图象有3个交点， 综上，实数的取值范围是. 故选：D. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 乘积展开后有项 B. C. 个班分别从个景点中选择一处游览，有种不同选法 D. 老师把张相同的游园门票分给甲乙丙丁名学生，每名学生至少分得张，则不同分法有种 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A根据多项式乘法的特征及乘法计数原理可得；对B二项式系数的性质可得；对C直接由分步乘法计数原理可得；对D直接用隔板法计算可得. 【详解】选项A：根据分步乘法计数原理，展开式的每一项需从三个括号中各选个元素相乘， 三个括号分别有种选法，总项数为，A正确； 选项B：由二项式系数性质， ， 且， 因此，B正确； 选项C：每个班都有种景点可选，根据分步乘法计数原理，总选法为种，而非，C错误； 选项D：相同门票分配且每人至少张，用隔板法：张相同门票之间有个空隙， 插入个隔板即可分成份，总分法为种，D正确. 10. 已知随机变量的概率分布为，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 当最大时， 【答案】AC 【解析】 【详解】因为随机变量的概率分布为， 所以的分布列为： 由，解得：，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，因为在上单调递减， 所以当时，，故D错误. 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，为增函数 B. ， C. ， D. ， 【答案】ACD 【解析】 【详解】函数的定义域为，求导可得， 选项A：当时，因为对任意恒成立， 所以，为增函数； 选项B：当时，令，即，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 因此，函数在处取得极小值，也是最小值，无最大值； 选项C：当时，的最小值为， 令，因为， 所以化简可得，解得， 当时，的最小值为； 选项D：设函数，求导可得， 令，即，解得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 因此，在处取得极大值， 所以对任意，. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 若随机变量X服从两点分布，其数学期望，则方差______． 【答案】## 【解析】 【详解】因为随机变量X服从两点分布，所以 所以，所以， 所以. 13. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数解析式先写出切点坐标，再对函数求导根据导数的几何意义写出切线的斜率，最后由点斜式写出直线方程. 【详解】因为函数，所以， 故切点坐标为， ， 切点处的导数值为切线的斜率，所以， 用点斜式写出切线方程：， 整理得：. 故答案为： 14. 已知，且展开式中只有第项二项式系数最大． （1），且，若能被20整除，则a的值为______； （2）的值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一空，使用二项式定理求解；第二空，将展开后求导，使用赋值法求解． 【详解】第一空： 因为展开式中只有第项二项式系数最大，所以，解得， 所以，， ， 除了第一项外，其余各项都能被整除， 若能被整除，则能被整除， 因为，且，所以，解得； 第二空： ， ， 令，得①， ②， ①②得， 所以， 即． 四、解答题（共77分） 15. 以下各小题要求列出算式，并计算出结果．某高校组织1位老师带领3名男生、3名女生参加志愿服务活动． （1）活动开始前7人排成一排合影留念 ①若要求老师站在中间，甲、乙两位学生均与老师相邻，共有多少种不同的排法？ ②若老师站在队列的排头或排尾且女生互不相邻，共有多少种不同的排法？ （2）现从6名学生中选1人与老师留在原地，其余5人分配到3个服务站点进行志愿服务． 要求每个站点至少一名学生，每名学生只能分配到一个站点，共有多少种分配方式？ 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】本题主要考查排列组合的综合应用，涉及特殊元素定位、相邻问题、不相邻问题、分组分配等问题. （1）①老师位置固定在中间，甲乙两位学生必须与老师相邻，先安排甲乙两人的位置，再对其余无限制的4名学生进行全排列，根据分步乘法计数原理求解； ②先安排老师在排头或排尾，再排男生，最后利用插空法安排互不相邻的女生，分步完成后用乘法计数原理计算； （2）先从6名学生中选出1人与老师留在原地，再将剩余5名学生按，，或，，两种人数分组方式进行分组，最后将各组分配到个服务站点，利用先分组后分配的方法求解. 【小问1详解】 ①因为老师站在最中间，甲、乙两名学生站在老师的两侧， 所以老师站在第4个位置，甲、乙两名学生的排序有种． 再排其他学生，有种，由分步乘法计数原理，不同的排法有种． ②老师排在排头或排尾有种方法,其余6个位置用插空法处理：先排3名男生有种排法，形成4个空位；再将3名女生排入这4个空位，有种排法由分步乘法计数原理，不同的排法有种． 【小问2详解】 因为要从6名学生中选出1名与老师留在原地，有种选法． 其余5名同学分配到3个站点，可分为1人、2人、2人，或分为1人、1人、3人． 如果分为1人、2人、2人，有种， 如果分为1人、1人、3人，有种， 再将这3组对应3个站点进行全排列， 不同的分配方式有种． 16. 将编号为1，2，3，4，5的五个小球随机放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子中，每个盒子恰好放一个球．设随机变量X表示放完后球的编号与盒子编号相同的个数（即匹配数）． （1）求X的分布列； （2）求X的数学期望及方差． 【答案】（1） 0 1 2 3 5 （2），【解析】 【分析】（1）写出随机变量X的可能值以及取各值的概率，即可得到分布列 （2）根据期望和方差的公式，结合（1）可求解. 【小问1详解】 将5个小球随机放入五个盒子中，每个盒子恰好放一个球共有，即120种不同的放法. 随机变量X的可能值为0，1，2，3，5. , , , , 所以X的分布列： 0 1 2 3 5 【小问2详解】 X的数学期望; 方差 17. 已知函数． （1）若在上单调递增，求的取值范围； （2）若关于的不等式有解，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由原函数在区间上单调递增，转化为导函数大于等于0恒成立问题，分离参数后求最值； （2）将不等式有解转化为存在性问题，分离参数后求对应函数的最大值，即可确定参数范围. 【小问1详解】 函数，求导得：， 在上单调递增，等价于对任意恒成立， 即，. 由于在上单调递增，所以在上单调递减，所以， 最大值为，则，所以的取值范围为． 【小问2详解】 由有解，即， 化简可得有解． 令，则， 令，得，即； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以在处取得最大值： ， 所以，故的取值范围为． 18. 已知甲手里有3张卡片分别标有数字1，3，5，同样乙手里也有3张卡片分别标有数字2，4，6，若在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张（不放回），并比较所选卡片上数字的大小，数字大的一方获胜并得1分，数字小的一方得0分，两人共进行三轮比赛． （1）求第一轮甲获胜的概率； （2）在第一轮甲获胜的条件下，第二轮甲获胜的概率； （3）若甲按照卡片数字从小到大出牌，乙随机出牌，三轮比赛结束，求甲的总得分的期望． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先确定甲、乙各自选卡片的所有可能结果数，再找出甲卡片数字大于乙的结果数，最后用古典概型概率公式计算； （2）先明确第一轮甲获胜概率，再确定事件“第一轮甲获胜且第二轮甲获胜”包含两种互斥情况，最后用条件概率公式计算； (3)乙的出牌顺序总共有6种，分析每种出牌情况时甲的得分，再结合期望公式求解. 【小问1详解】 根据题意:第一轮两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，有种： ， 甲获胜的情况是甲的数字大于乙的数字有3种，所以甲获胜的概率为． 【小问2详解】 设“第一轮甲获胜”为事件，“第二轮甲获胜”为事件， 由(1)可知第一轮甲获胜的概率为， 事件“第一轮甲获胜且第二轮甲获胜”（记为）包含两种情况： 第一轮甲出3胜乙出2且第二轮甲出5胜乙出4；或第一轮甲出5胜乙出4且第二轮甲出3胜乙出2, 每种情况的概率均为， 故， 根据条件概率公式． 【小问3详解】 甲的出牌顺序为1，3，5.乙的出牌顺序有. 记甲的总得分为，则可能的取值有:0,1,2. , , , 所以甲的总得分的期望 19. 已知函数有两个零点，且． （1）求a的取值范围； （2）证明：． 【答案】（1）的取值范围是； （2）由是的零点，得，，所以， 令，则，代入上式得，所以，： 要证，即证， 因为，等价于证明： 令，， 令，， 时，，故在单调递增，所以， 所以在单调递增，故，即， 所以． 【解析】 【分析】（1）先对函数求导，分析单调性，找到极小值点；函数有两个零点等价于极小值小于，结合极限趋势，解得； （2）利用为零点的条件，通过两式相除引入参数，将转化为关于的表达式；构造函数并求导，证明该表达式恒大于，完成极值点偏移类问题的证明． 【小问1详解】 函数有两个零点，即方程有两个不同的实根， 当时，， 所以在上为增函数，最多只有一个零点，不符合题意， 当时，， 令，解得， 时，，单调递减；时，，单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，且， 因为有两个零点，所以，即，解得， 又当时，，，故； 当时，增长速度远大于，故， 所以，当时，有两个零点， 综上，的取值范围是； 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二5月数学训练卷 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 若函数在点处的切线斜率为，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 口袋内有大小、质地相同的红球2个，黄球、蓝球各3个．依次不放回地从中摸取2个球（每次取1个球）、记“第一次摸到红球”为事件，“第二次摸到黄球”为事件，则（    ） A. B. C. D. 3. 已知甲箱中有3个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从乙箱中取出的球是黑球”为事件，则（ ） A. B. C. D. 4. 记，则（    ） A. 1023 B. 2047 C. 2024 D. 4048 5. 放射性元素的特征是不断发生同位素衰变，而衰变的结果是放射性同位素母体的数目不断减少，子体的数目不断增加，假设在某放射性同位素的衰变过程中，同位素含量N（单位：贝克）与时间t（单位：天）满足函数关系（e为自然对数的底数），其中为时该同位素的含量，已知当时，该放射性同位素含量的瞬时变化率为，则（ ） A. 贝克 B. 贝克 C. 贝克 D. 贝克 6. 某校人工智能社团有小李、小赵等5位同学，他们计划对DeepSeek、豆包、通义千问这3种人工智能模型展开学习调研，要求：每种模型至少有1人负责，每人必须且只能选择1种模型．若小李和小赵不能调研同一种模型，则不同的安排方案总数为（   ） A. 600 B. 264 C. 207 D. 114 7. 已知，，，则的大小关系正确的是（    ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 乘积展开后有项 B. C. 个班分别从个景点中选择一处游览，有种不同选法 D. 老师把张相同的游园门票分给甲乙丙丁名学生，每名学生至少分得张，则不同分法有种 10. 已知随机变量的概率分布为，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 当最大时， 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，为增函数 B. ， C. ， D. ， 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 若随机变量X服从两点分布，其数学期望，则方差______． 13. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为_________． 14. 已知，且展开式中只有第项二项式系数最大． （1），且，若能被20整除，则a的值为______； （2）的值为______． 四、解答题（共77分） 15. 以下各小题要求列出算式，并计算出结果．某高校组织1位老师带领3名男生、3名女生参加志愿服务活动． （1）活动开始前7人排成一排合影留念 ①若要求老师站在中间，甲、乙两位学生均与老师相邻，共有多少种不同的排法？ ②若老师站在队列的排头或排尾且女生互不相邻，共有多少种不同的排法？ （2）现从6名学生中选1人与老师留在原地，其余5人分配到3个服务站点进行志愿服务． 要求每个站点至少一名学生，每名学生只能分配到一个站点，共有多少种分配方式？ 16. 将编号为1，2，3，4，5的五个小球随机放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子中，每个盒子恰好放一个球．设随机变量X表示放完后球的编号与盒子编号相同的个数（即匹配数）． （1）求X的分布列； （2）求X的数学期望及方差． 17. 已知函数． （1）若在上单调递增，求的取值范围； （2）若关于的不等式有解，求的取值范围． 18. 已知甲手里有3张卡片分别标有数字1，3，5，同样乙手里也有3张卡片分别标有数字2，4，6，若在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张（不放回），并比较所选卡片上数字的大小，数字大的一方获胜并得1分，数字小的一方得0分，两人共进行三轮比赛． （1）求第一轮甲获胜的概率； （2）在第一轮甲获胜的条件下，第二轮甲获胜的概率； （3）若甲按照卡片数字从小到大出牌，乙随机出牌，三轮比赛结束，求甲的总得分的期望． 19. 已知函数有两个零点，且． （1）求a的取值范围； （2）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $