精品解析：湖北省武汉市黄陂区第二中学2023-2024学年高二下学期五月调研考试数学试题

黄陂二中2023-2024学年高二下学期五月调研考试 数学试题 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足，则（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的乘、除法运算可得，则，结合复数的几何意义即可求解. 【详解】由，得， 所以，故. 故选：C 2. 集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数的性质及一元二次不等式的解法，结合交集的定义即可求解. 【详解】由，得，所以， 由，得，解得， 所以. 故选：B. 3. 设是空间中的一个平面，是三条不同的直线，则下列说法对的是（ ） A. 若，，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由，，，，只有直线与相交时，可得，所以A不正确； 对于B中，由，，，则与平行、相交或异面，所以B错误； 对于C中，由，，，则，所以C错误； 对于D中，由，，可得，又因，所以，所以D正确. 故选：D. 4. 设，随机变量的分布列是： 0 1 则当在内增大时（ ） A. 增大 B. 减小 C. 先增大后减小 D. 先减小后增大 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用分布列求出数学期望，进一步求出方差的值，再根据函数的性质的应用求出结果． 【详解】根据随机变量的分布列， 则 ＝ ＝ 由于函数的图象为关于的开口方向向下的抛物线，且，函数的对称轴为， 故增大. 故选：A. 【点睛】本题考查的知识要点：数学期望和方差的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力． 5. 的展开式中的系数为（ ） A. B. 17 C. D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】求出二项式的展开式的通项公式，然后分别令x的指数为6和3，进而可以求解. 【详解】二项式的展开式的通项公式为， 令，则；令，则， 所以多项式的展开式中含的系数为. 故选：C. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用构造函数结合函数的单调性比较大小即可. 【详解】 设 当时，，则函数在上单调递增， 当时，，则函数在上单调递减， 则则，则则 则则. 故选：A. 7. 互不相同的5盆菊花，其中2盆为白色，2盆为黄色，1盆为红色，现要摆成一排，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，共有摆放方法（    ） A. 24种 B. 36种 C. 42种 D. 48种 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得对红菊花所处位置进行分类，每一类根据分步计数原理可得. 【详解】红菊花在正中间位置时，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻， 即红菊花两边各一盆白色，黄色菊花，故有； 红菊花在首位或者尾端时，先排好白菊花，产生三个空再对黄菊花分类排即可， 故； 红菊花在第2或者第4位置时，先给首位或者尾端任意放一种，剩下的3盆花位置就确定了，故； 综上，共有种摆放方法. 故选：D 8. 已知函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别讨论，，时的零点个数，求出恰有两个零点时实数的取值范围即可. 【详解】， ①当时，令，解得， 若在内有零点，则，解得， 即当时，在内有一个零点； ②当时，令，解得， 若在内有零点，则，解得， 即当时，在内有一个零点； ③当时，令，即， 令，则， 令，得， 当时，，在上单调递减， 当时，，上单调递增， ， 当时，方程有一个实数根，即函数在内有一个零点， 当时，方程有两个实数根，即函数在内有两个零点， 综上所述，当时，函数无零点； 当时，函数在内有一个零点； 当时，函数在和内分别有一个零点，即有两个零点； 当时，函数在内有一个零点； 当时，函数在和内分别有一个零点，即有两个零点； 当时，函数在内有一个零点，在内有两个零点，即有三个零点. 函数恰有两个零点， 实数的取值范围是. 故选：D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的，答案为2个选项的，每选对一个得3分；答案为3个选项的，每选对一个得2分. 9. 已知甲口袋中装有3个红球，1个白球，乙口袋中装有2个红球，1个白球，这些球只有颜色不同. 先从甲口袋中随机取出1个球放入乙口袋，再从乙口袋中随机取出1个球. 记从甲口袋中取出的球是红球、白球分别为事件、，从乙口袋中取出的球是红球为事件B，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】直接使用古典概型方法可以计算得出，，，，即可判断A选项，再结合条件概率公式和全概率公式即可确定B，C，D选项的正确性. 【详解】对于A，由于甲口袋中装有4个球，其中有3个红球，所以，故A正确； 对于B，若从甲口袋中取出的球是白球，则此时乙口袋中有2个红球，2个白球，从而此条件下从乙口袋中取出的球是红球的概率为，故B错误； 对于C，若从甲口袋中取出的球是红球，则此时乙口袋中有3个红球，1个白球，从而此条件下从乙口袋中取出的球是红球的概率为，所以，故C正确； 对于D，由于甲口袋中装有4个球，其中有1个白球，所以，结合以上分析， 所以，故D正确. 故选：ACD 10. 如图，已知正方体的棱长为2，，，分别为，，的中点，以下说法正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为 B. 平面 C. 平面 D. 二面角余弦值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，由向量法证明面，平面，转换后求棱锥的体积，由空间向量法求二面角，从而判断各选项． 【详解】如图，分别以为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，，， ，，分别为，，的中点，则，，， ，， 易知，所以共面， 又平面，所以面，C正确； ，A正确； ，，同理， 所以是平面的一个法向量，即平面，B正确； 平面的一个法向量是， ，因此二面角的余弦值为，D错误． 故选：ABC． 11. 已知函数，下列命题正确的是（ ） A. 若是函数的极值点，则 B. 若在上单调递增，则 C. 若，则恒成立 D. 若在上恒成立，则 【答案】AD 【解析】 【分析】利用导数结合极值点求出判断A；利用导数结合单调性求出的范围判断B；利用函数最小值判断C；利用恒成立的不等式求出的范围判断D. 【详解】函数的定义域为， 对于A，，由是函数的极值点，得，解得， 此时，显然是在上的变号零点，因此，A正确； 对于B，在上单调递增，则，， 而函数在上单调递增，恒成立，因此，B错误； 对于C，由，得，，， 当时，，递减，当时，，递增， 因此，而，C错误； 对于D，，， 令，求导得，当且仅当取等号， 因此函数在上单调递增，，所以，D正确. 故选：AD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量，若，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用正态分布的对称性计算可得答案. 【详解】因为随机变量，若， 所以， 故答案为： 13. 某次排球比赛采用五局三胜制，在甲女排俱乐部与乙女排俱乐部的某场比赛中，甲女排俱乐部每局获胜的概率都为，则甲女排俱乐部最终不超过四局便赢得比赛的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得甲女排俱乐部最终不超过四局便赢得比赛的情况包括连胜三局和前三局输一局且第四局获胜两种情况，分别计算出两概率再相加即可. 【详解】甲女排俱乐部最终不超过四局便赢得比赛的情况包括以下两种情况： 第一种：甲女排俱乐部经过三局便赢得比赛，则三局比赛均为甲女排俱乐部获胜， 其概率为； 第二种：甲女排俱乐部经过四局便赢得比赛，则前三局比赛中甲女排俱乐部赢两局输一局，第四局比赛甲女排俱乐部获胜； 其概率为， 综上可知，甲女排俱乐部最终不超过四局便赢得比赛的概率为. 故答案为： 14. 过点的直线交抛物线于A，B两点，抛物线在A，B两点处的切线交于点Q，若，则______. 【答案】4 【解析】 【分析】设，设直线的方程为：，代入抛物线方程，由韦达定理可得，设过点的切线方程为，与抛物线方程联立，利用判别式得，则过点A的切线方程分别为：，同理可得过点的切线斜率为，过点B的切线方程为：，可得，从而得到和的斜率，再根据就可得出的值. 【详解】设，直线， 联立，整理得，则． 设过点的切线方程为， 联立，整理得， 由，可得， 则过点A的切线方程分别为：，即，即，即， 同理可得过点的切线斜率为，过点B的切线方程为：， 联立，解得， ，可得， ，又因为直线的斜率为， ，，解得. 故答案为：． 四､本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若为边的中点，求的长. 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边化角，再结合两角和差公式求解； （2）根据余弦定理求出边，再根据向量运算求. 【小问1详解】 因为， 根据正弦定理，得， 化简得，因为，所以， 因为，所以. 【小问2详解】 在中，由余弦定理得， 所以，解得． 因为为的中线，所以， 所以， 因为，所以，解得. 16. 设函数． （1）若时，函数取得极值，求函数的图像在处的切线方程； （2）若函数在区间内不单调，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据题意求得，得到和，进而结合导数的几何意义，即可求得切线的方程； （2）根据题意转化为在有解，令，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解. 【详解】（1）由题意，函数，可得， 因为时，函数取得极值，所以，解得， 所以，且， 令，可得，且， 所以函数的图像在处的切线方程，即. （2）因为函数在区间内不单调，即在有解， 即方程在有解，即在有解， 令，可得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 又由， 所以，即，即， 解得，即实数的取值范围是. 17. 李先生家住小区，他工作在科技园区，从家开车到公司上班路上有两条路线（如图），路线上有三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；路线上有两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为. （Ⅰ）若走路线，求最多遇到1次红灯的概率； （Ⅱ）若走路线，求遇到红灯次数的数学期望； （Ⅲ）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助李先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由. 【答案】（1）（2）（3）选择路线上班最好. 【解析】 【详解】【试题分析】（1）走线路相当于次独立重复试验，按照二项分布的计算公式，计算恰好发生次和恰好发生次的概率，相加即可.（2）走线路，则遇到红灯次数的可能取值为，按照独立事件概率计算公式计算对应的概率，写出并求其期望.（3）线路是二项分布，利用公式计算出期望，由于的期望小，故选线路. 【试题解析】 （Ⅰ）设“走路线最多遇到1次红灯”为事件，  则　　，　　　　　   所以走路线，最多遇到1次红灯的概率为.　　　   （Ⅱ）依题意，的可能取值为0，1，2.　　　 　　        .  随机变量的分布列为： 0 1 2 所以.　　　　　　   （Ⅲ）设选择路线遇到红灯次数为，随机变量服从二项分布～，所以.    因为，所以选择路线上班最好. 【点睛】本题主要考查二项分布的分布列即数学期望，考查相互独立事件概率计算，考查期望值的在现实生活中的指导意义.对比两条线路，第一条线路每次遇到红灯的概率是一样的，都为，所以可以看成是次独立重复试验，符合二项分布的概念.线路二用的就是相互独立事件概率公式了. 18. 已知等差数列的前项和为，，，等比数列满足，是，的等比中项. （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求数列前项的和. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合等差数列可得，可得，根据等比数列通项公式结合等比中项可得，即可得； （2）由（1）可知：，利用分组求和结合并项求和分析求解. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由题意可知：，解得， 所以. 设等比数列的公比为，则， 由题意可知：，则，解得， 所以或. 【小问2详解】 由（1）可知：， 设前项的和为，前项的和为， 可知， 对任意， 因为， ， ， ， 则 ， 所以， 又因， ， ， ， 则 ， 所以， 所以. 19. 已知函数， （1）讨论函数的单调性； （2）若函数与函数有相同的最小值，求a的值； （3）证明：对于任意正整数n，（为自然对数的底数 【答案】（1）答案见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求，讨论导数正负，可得函数单调性； （2）由（1）得：，且，讨论正负，可得函数最值，则有，构造函数利用导数即可求得的值； （3）由（1）分析得，利用对数运算与裂项相消法求和，可证不等式. 【小问1详解】 的定义域：，， ①当时，，在上单调递减； ②当时，令，则， 此时，当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增； 综上可得：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 【小问2详解】 由（1）得：，且， ，令，则， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， ， 函数与函数有相同的最小值， ，转化为：， 令，则， 所以，在上单调递增， 又； 【小问3详解】 令，此时由（1）得：， 令，则， ，， ， 故. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 黄陂二中2023-2024学年高二下学期五月调研考试 数学试题 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足，则（ ） A. B. 2 C. D. 1 2. 集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 设是空间中的一个平面，是三条不同的直线，则下列说法对的是（ ） A. 若，，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 4. 设，随机变量的分布列是： 0 1 则当在内增大时（ ） A. 增大 B. 减小 C. 先增大后减小 D. 先减小后增大 5. 的展开式中的系数为（ ） A. B. 17 C. D. 13 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 互不相同的5盆菊花，其中2盆为白色，2盆为黄色，1盆为红色，现要摆成一排，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，共有摆放方法（    ） A. 24种 B. 36种 C. 42种 D. 48种 8. 已知函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的，答案为2个选项的，每选对一个得3分；答案为3个选项的，每选对一个得2分. 9. 已知甲口袋中装有3个红球，1个白球，乙口袋中装有2个红球，1个白球，这些球只有颜色不同. 先从甲口袋中随机取出1个球放入乙口袋，再从乙口袋中随机取出1个球. 记从甲口袋中取出的球是红球、白球分别为事件、，从乙口袋中取出的球是红球为事件B，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知正方体的棱长为2，，，分别为，，的中点，以下说法正确的是（ ） A. 三棱锥体积为 B. 平面 C. 平面 D. 二面角的余弦值为 11. 已知函数，下列命题正确的是（ ） A. 若是函数的极值点，则 B. 若在上单调递增，则 C. 若，则恒成立 D. 若上恒成立，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量，若，则__________. 13. 某次排球比赛采用五局三胜制，在甲女排俱乐部与乙女排俱乐部的某场比赛中，甲女排俱乐部每局获胜的概率都为，则甲女排俱乐部最终不超过四局便赢得比赛的概率为______． 14. 过点的直线交抛物线于A，B两点，抛物线在A，B两点处的切线交于点Q，若，则______. 四､本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若为边的中点，求的长. 16. 设函数． （1）若时，函数取得极值，求函数的图像在处的切线方程； （2）若函数在区间内不单调，求实数的取值范围． 17. 李先生家住小区，他工作在科技园区，从家开车到公司上班路上有两条路线（如图），路线上有三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；路线上有两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为. （Ⅰ）若走路线，求最多遇到1次红灯的概率； （Ⅱ）若走路线，求遇到红灯次数的数学期望； （Ⅲ）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助李先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由. 18. 已知等差数列的前项和为，，，等比数列满足，是，的等比中项. （1）求数列通项公式； （2）设数列满足，求数列前项和. 19. 已知函数， （1）讨论函数的单调性； （2）若函数与函数有相同的最小值，求a的值； （3）证明：对于任意正整数n，（为自然对数的底数 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$