河北郑口中学2025-2026学年高一下学期6月阶段检测数学试题

高一数学 参考答案 1.C【解析】=V22+62=2√10.故选c 2B【解析】因为AB,P(A)=0.3,P(B)=0.6,所以P(AUB)=P(B)=0.6.故选B. 3.A【解析】因为a/∥b,所以-6=2×3，解得2=-1.故选A 4A【解析】设该班女生人数为x,则49x=4, =-,解得x=21.故选A 497 5.D【解析】设圆锥的底面半径为r,高为h,母线长为1，则m2=3元，解得r=√3，所以h=√P-2=3, 所以该圆锥的体积V=×3π×3=3元，故选D. 3 6C【解折1由已知及正弦定理得m4s血C-imC,因为C∈(0x,所以mC>0,所以nA- 又A∈(0，)，所以A=或5”故选C 66 7.C【解析】如图，构造长方体，使三棱锥P-ABC的所有顶点均为长方体的四个顶点， a2+b2=22, 设长方体从同一个顶点出发的三条棱长分别为α，b,c,球0的半径为R,则b2+c=3,相加得 c2+a2=32, 2(a2+b2+c2)=22,所以a2+b2+c2=11,所以4R2=a2+b2+c2=11,所以球0的表面积 S=4πR2=11元.故选C 8D【解析】如图，取CF=2,过C作CG⊥AB于点G,过F作DE的平行线，在半平面B内过G作 平行线的垂线，垂足为H,连接CH,所以∠CFH是异面直线DE与CF所成的角或其补角.因为二面角 -AB-B为直二面角，所以CG⊥B,又FHcB,所以CG⊥FH,又CG∩GH=G,所以FH⊥ 平面CGH,又CHc平面CGH,所以CH⊥FH,在Rt△CGF中，FG=CF cos60°=1，在 △GH中，PH=Gcos60在Rt△CPH中，cos∠CH C行4，即异面直线DB与CF 第1页共8页 所成角的余弦值为二.故选D. 4 9BCD【解析】由题得z=1-i,A错误；在复平面内22对应的点为(2，-3)，在第四象限，B正确： 42-2=4(1+i)-(2-3i)=2+7i,C正确： 三2-3i_2-301-1-15i.-】51,D正 211+i(1+i)1-i)222 确.故选BCD. 10.ACD【解析】如图，连接B,E,CE,则F平面BCE,B,CC平面B,CE,且EEB,C,所以直线EF 与BC为异面直线，A正确；三棱锥E-FCC,的体积等于三棱锥F-ECC,的体积，又△ECC的面积为 定值√2，点F到平面ECC,的距离不是定值，所以三棱锥E-FCC,的体积不为定值，B错误：取AA的 中点G,连接EG,AB,则EG∥AB,又AB∥CD,所以EG∥CD,所以当点F与点G重合时， ZF/CD,C正确；若EF-,连接AR,因为4BL侧面ADDA,4BC侧面ADD4,所以 B上B,所8AP=VEnA区-行所以点F的轨迹为以A为园心，半径为】的风周的子抗 2 1 迹长度为二×2π×二 4 24,D正确.故选ACD 0 E 11.ABD【解析】设样本数据X,x,3的平均数为x,方差为S2,选项A:若x1=x2=x3,则x=X=x3=X3, 则=[(x-x)+(x-+(s-x)]=0,不符合思意，所以x,,不可能都相等，A正确： 选项B:出+飞，为+无，+k的平均数为+k+七+k+西+飞 =x+k,所以x+k,x十k,x+k的方差 3 第2页共8页 产-[5+k--k矿+(6+k-元-+(s+k-文-][(s-明+(3-+(s-门3 即方差也为3，B正确：选项C:由选项B可得，数据x,x,x3的方差与x+k,x+k,x+k的方差相同，由 k具有任意性可知，该组样本数据的平均数无最值，C错误；选项D:由 -[(-列矿+(s-旷+（乌-门-3，得(s到+(x-+(s到-9，所以 x2-2x下+2+x22-2x2x+x2+52-2x下+2=9，所以x2+62+2-3x2=9,即 x2+x2+x32=9+3x2≥9，当且仅当x=0时取等号，D正确故选ABD. 12-2【解折】由题知-1，且a,6b-26,所以4：b-2,所以a-6=-2 lo 13.3【解析】如图，取两底面中心分别为O,O,连接OO,O41,OA,则OO1⊥底面4B,C1,即OO为 正三棱台ABC-AB,C1的高，又OAC底面AB,C1，所以OO⊥OA,且OA∥OA,又 04=号48m60-5,Q4=号4品ū60-25，过4作4D104于点D,可得AD分00， 3 AD=OO,在△A4D中，A,D=V3,所以AD=VA4?-A,D2=3,所以OO=AD=3,所以正三 棱台ABC-ABC,的高为3. 14也可写成06）解析】若取1,23，则a+2+3=6.b=4x520,则<b:若取124 则a=1+2+4=7,b=3×5=15,则a<b;若取1,2,5，则a=1+2+5=8,b=3×4=12,则a<b: 若取1,3,4，则a=1+3+4=8,b=2×5=10,则a<b:若取1,3,5，则a=1+3+5=9,b=2×4=8, 则a>b;若取1,4,5，则a=1+4+5=10,b=2×3=6,则a>b:若取2,3,4，则 a=2+3+4=9,b=1×5=5,则a>b;若取2,3,5，则a=2+3+5=10,b=1×4=4,则a>b；若 取2,4,5，则a=2+4+5=11,b=1×3=3,则a>b;若取3,4,5，则a=3+4+5=12,b=1×2=2, 第3页共8页 则a>b,故a>b的概率为 63 0-5 （也可写成0.6). 15.(1)证明：如图，连接B,C. B E A 因为E,F分别为A,C,AB,的中点，所以EF∥B,C 2分 又EF丈平面BCC,B,B,CC平面BCC,B,, 所以EF∥平面BCC,B, .6分 (2)解：由(1)知EF∥B,C, 所以直线EF与平面AB,C所成的角等于直线B,C与平面AB,C所成的角. 8分 又因为CC1⊥平面AB,C1, 所以∠CB,C,是直线B,C与平面AB,C,所成的角， ..10分 在△BCC中，CC,=A4=2V3,所以tan∠CBC,= CC-_2y5=5, B.C 2 又0°<∠CB,C1≤90°， 所以∠CB,C1=60°. .12分 即直线EF与平面AB,C,所成的角为60°. .....13分 16.解：(1)由题可得(0.01+a+0.03+0.03+0.01)×10=1, 解得1=0.02.... 。。。。。。。。。。 。。。。。。。。 。。。。。。。。。。 3分 前3组的频率之和为(0.01+0.02+0.03)×10=0.6<0.75,4分 前4组的频率之和为(0.01+0.02+0.03+0.03)×10=0.9>0.75,5分 第4页共8页 所以样本成绩的第75百分位数落在[80,90)内，设为x, 则0.6+(x-80)×0.03=0.75,解得x=85, 即样本成绩的第75百分位数为85. .7分 (2)样本成绩落在[60,70)的频率为0.02×10=0.2，人数为200×0.2=40， 样本成绩落在[80,90)的频率为0.03×10=0.3，人数为200×0.3=60,9分 两组成绩合并后的平均数为，40 ×65+60 -×85=77, ..12分 40+60 40+60 两组成绩合并后的方差为一 57时小0”网 40 60 ×[(85-7）}2+22]=104.8.15分 17.(1)证明：因为底面ABCD为菱形，AC交BD于点O, 所以O为AC,BD的中点. 1分 因为△PAC为等边三角形，所以PA=PC,所以POLAC.3分 又PB=PD,所以PO⊥BD. 5分 又AC,BDC平面ABCD,所以PO⊥平面ABCD. .7分 A D B (2)解：由(1)知PO⊥平面ABCD,又CDC平面ABCD,所以PO⊥CD. 如图，过O作OE⊥CD于点E,连接PE, 又PO∩OE=O,则CD⊥平面POE.…9分 又因为PEC平面POE,所以CD⊥PE, 所以∠PEO为二面角P-CD-A的平面角 11分 因为底面ABCD为菱形，所以AB=AC,且AC⊥BD. 又∠ABC=60°，所以△ABC为等边三角形， 所以AC=AB=2. 又△PAC为等边三角形，O为AC的中点， 所以P0=PAsin60°=V3,12分 第5页共8页 在Rt△OCD中，OE= OC.OD .13分 CD 2 所以tan∠PEO= PO 3 OE 5 =2,即二面角P-CD-A的正切值为2. .15分 2 18.解：(1)设∠BAD=,则∠CAD=2 因为D为BC的中点，所以BD=CD, 所以△BAD的面积与△4CD的面积相等，.2分 所以n∠B4D-ADsn∠C4D. 所u分3 AD sna-方2x40sn2a,即3ma-2n2a, 2 .6分 所以3sina=4 sina cos a. 又sna>0,所以osa=3 ，即cos∠B4D=3 ..8分 (2)因为D为BC的中点，所以BD=CD, 在△ABD中，由余弦定理得BD2=C2+AD-2CADc0s,11分 在△ACD中，由余弦定理得CD2=b2+AD2-2b·ADc0S2,..........14分 所以c2+AD2-2c·AD cosa=b2+AD-2b·4D cos2a, 可得9-64Dc0sa=4-44D(2c0sw-1）,即9-9AD=4-AD,16分 2 解得AD= 17分 19.解：(1)由离散曲率的定义以及直四棱柱ABCD-AB,C,D的性质可得 ①4+④B+①c+ΦD= 1经01得Ac1-好0-径2ac月 4-1(4r+∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠ADC)=4-(4r+2m)=1 4分 2元 2 (2)(i) 第6页共8页 +0=1经01经子m-2点+200 2 可得∠BAD+∠BCD=π. …6分 又∠BAD=∠BCD,所以∠BAD=∠BCD=T 又直四棱柱ABCD-AB,C1D的所有棱长都相等， 所以直四棱柱ABCD-ABCD为正方体.7分 如图①，正六边形EFSTPG为平面PEF截直四棱柱ABCD-AB,CD,所得截面，其中6个顶点分别为 所在棱的中点，正六边形EFSTPG的边长为√2， ….10分 图① 共积为6雪4小同-35 11分 (i)如图②，作点P关于平面ABCD的对称点P,则PM=PM, B P .M B 图② 过B作⊥平面ABD,垂足为P,所以PM+N=M+MN≥PP,....14分 即PM+MN的最小值为点P到平面ABD,的距离，即垂线段PP的长. 第7页共8页 由想6-4可符4PR-48, 3 3 1 ×3×2×2 所以P= S△A2AB S△ABD ,×2W2x22x5 3, 2 所以PM+MN的最小值为√5 .17分 第8页共8页高一数学 考试说明：1.本试卷共150分。考试时间120分钟。 2.请将各题答案填在答题卡上。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的 1.已知之=2+6i,则之= A.40 B.4√10 C.210 D.√10 2.已知事件A,B满足A二B,P(A)=0.3,P(B)=0.6,则P(AUB)= A.0.9 B.0.6 C.0.3 D.0.18 3.已知向量a=(-6,2),b=(3,入)，若a∥b,则入= A.-1 B.1 C.-9 D.9 4.某班有49名同学，现按男生、女生进行分层，通过分层随机抽样的方法，从该 班选出了7人参加学校公益社团，其中男生4人，则该班女生人数为 A.21 B.24 C.28 D.32 5.已知某圆锥的底面积为3π，母线长为2√3，则该圆锥的体积为 A.6π B.5π C.4π D.3π 6.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a sinC= 2c,则A= A.晋 7.在三棱锥P一ABC中，AB=PC=2,其余棱长均为3，若三棱锥P一ABC的所 有顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为 A.9π B.10元 C.11元 D.12π 8.如图，在直二面角α一AB一3中，E,F两点都在直线AB上，C,D两点分别在 两个半平面内，∠AED=∠AFC=60°，则异面直线DE与CF所成角的余弦值 为 A. 4 2 B. B 3 1 D C. 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分 高一数学第1页共4页 9.已知复数之1=1十i,之2=2-3i,则 A.x1=-1+i B.在复平面内之2对应的点在第四象限 C.4x1-之2=2+7i D.2=-15 之122 10.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=1,AD=2,AB=4,E为AB 的中点，点F为侧面ADD1A,内的动点（含边界)，则下列说法正确的是 D A B F D A.直线EF与B,C为异面直线 B.三棱锥E一FCC1的体积为定值 C.有且只有一个点F,使得EF∥CD, n.若EF-区，则点F的轨迹长度为子 11.已知一组样本数据x1,x2,x3的方差为3，则 A.x1,x2,x3不可能都相等 B.x1十k,x2十k,x3十k的方差也为3 C.该组样本数据的平均数有最值 D.x十x2十x3的最小值为9 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知向量a在单位向量b上的投影向量为一2b,则a·b的值为 13.在正三棱台ABC一A1B1C1中，A1B1=6,AB=3,AA1=2√3，则正三棱台 ABC一A1B,C1的高为 14.从1,2,3,4,5中随机取出3个数，其和记为a,其余两个数之积为b,则 a>b的概率为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分) 如图，在直三棱柱ABC一A1B,C1中，E,F分别为A,C,A1B,的中点，B1C =2,AA1=2√. (1)求证：EF∥平面BCC1B1; (2)求直线EF与平面A1B,C1成的角. B 高一数学第2页共4页 16.(本小题满分15分) 为了解学生航空知识掌握的情况，某航空学校对全体学生进行航空知识问卷调 查（满分100分），并从中随机抽取200份答卷作为样本，将样本成绩分成5 组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，得到如图所示 的频率分布直方图. 频率/组距个 0.03 0.01-- 0 5060708090100分数 (1)求a的值以及样本成绩的第75百分位数； (2)已知样本成绩落在[60,70)的平均数是65，标准差是4，落在[80,90)的 平均数是85，标准差是2，求这两组成绩合并后的平均数和方差. 17.(本小题满分15分)》 如图，四棱锥P一ABCD的底面ABCD为菱形，AC交BD于点O,∠ABC= 60°，△PAC为等边三角形，PB=PD,AB=2. B--- (1)求证：PO⊥平面ABCD; (2)求二面角P一CD一A的正切值， 高一数学第3页共4页 18.(本小题满分17分) 记△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,D为BC的中点， ∠BAC=3∠BAD,b=2,c=3. (1)求cos∠BAD的值； (2)求AD的长. 19.(本小题满分17分) 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标.设P为多面体M 的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为 B Dp=12z∠QPQ:+∠Q,PQ++∠Q-iPQ+∠Q.PQ), 其中Q:(i=1,2,…,k,k≥3)为多面体M中所有与 F 点P相邻的顶点，且平面Q1PQ2,平面Q2PQ3,…,平 面Qk-1PQs和平面QPQ,为多面体M中所有以P为顶点 的面.如图，已知直四棱柱ABCD一A,B,C,D1的所有棱长均为2. (1)求直四棱柱ABCD一A1B,C1D1在顶点A,B,C,D处的离散曲率和； (2)若直四棱柱ABCD-ABCD,在顶点A,C处的离散曲率和为2，P为 DD,的中点. (i)E,F分别为A1B1,BB1的中点.作出平面PEF截直四棱柱ABCD一 A,B,C,D1所得截面（保留作图痕迹，不需写作图过程），并求该截面的面 积； (i)M,N分别为底面ABCD和△AB,D,的边界及其内部的两动点，求 PM+MN的最小值. 高一数学第4页共4页