河北邯郸市大名县第一中学2025-2026学年高一下学期第二次月考数学试题

**基本信息** 高一月考数学试卷聚焦复数、向量、立体几何、统计与概率等核心知识，通过正四棱台表面积计算、频率分布直方图分析等问题，融合空间观念、数据意识与运算能力，实现基础巩固与能力提升的梯度考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数运算、向量投影、频率分布直方图|第3题结合“右拖尾”直方图辨析众数、中位数、平均数，培养数据分析能力| |多选题|3/18|复数命题、正方体线面关系|第10题以正方体为载体，考查线面角、面面垂直，发展空间观念| |填空题|3/15|正四棱锥体积、复数模、三棱锥外接球|第14题通过三棱锥外接球表面积计算，强化直观想象与运算能力| |解答题|5/77|解三角形、正四棱台证明、统计应用|第18题分层抽样与方差计算，体现数据观念；第19题正三棱柱二面角求解，深化逻辑推理|

数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B D C C C D BCD ABD 题号 11 答案 BCD 1．B 【分析】利用复数除法法则计算出答案. 【详解】，. 故选：B. 2．D 【分析】由空间向量平行的坐标表示求解. 【详解】向量，，由，得， 解得，，所以. 故选：D. 3．B 【分析】根据平均数，中位数，众数的概念结合图形分析判断. 【详解】由频率直方图可得，单峰不对称且“右拖尾”，最高峰偏左，众数最小， 平均数易受极端值的影响，与中位数相比，平均数总是在“拖尾”那边， 故平均数大于中位数，所以众数中位数平均数. 故选：B 4．D 【分析】利用投影向量公式得到，利用及向量数量积运算法则计算出答案. 【详解】由题意可得，且，则， 所以. 故选：D. 5．C 【分析】设，从而得到，结合已知有，应用三角形面积公式得，最后由向量数量积的运算律、基本不等式求向量模长的最值. 【详解】设，则， 所以，解得， ，则， ，当且仅当时，等号成立， 的最小值为． 故选：C 6．C 【分析】根据题意，利用百分位数和众数的定义和计算方法，求得第70百分位数与中位数，即可求解. 【详解】由一组样本数据：8，9，9，11，12，13，15，16，17，18，18，20，共有12个， 可得，所以第9个数据为第70百分位数，即为17， 又由中位数的定义和计算方法，可得中位数为， 所以这组样本数据的第70百分位数与中位数之和是. 故选:C. 7．C 【分析】根据棱台的体积公式可由体积直接计算出水深. 【详解】设水深为，则， 解得，故此时水深为. 故选：C. 8．D 【分析】设三人能力分别为强、中、弱，然后列举出三人参加面试的所有次序，再分别找出该公司录用到能力最强的人和录用到能力中等的人的情况，利用古典概型的概率公式可求出. 【详解】设三人能力分别为强、中、弱，则三人参加面试的次序为： （强、中、弱），（强、弱、中），（中、强、弱），（中、弱、强），（弱、中、强），（弱、强、中），总数， 按“不录用第一个接受面试的人，如果第二个接受面试的人比第一个能力强，就录用第二个人，否则就录用第三个人”的规定， 该公司录用到能力最强的人包含的结果有：（中、强、弱），（中、弱、强），（弱、强、中），共3种情况， 所以该公司录用到能力最强的人的概率， 该公司录用到能力中等的人包含的结果有：（强、弱、中），（弱、中、强），共2种情况， 所以该公司录用到能力中等的人的概率. 故选：D 9．BCD 【分析】令，则求出和，即可判断选项A；设，则根据共轭复数的概念及复数的模长公式即可判断选项B，C；根据复数的几何意义，可得复数在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆，而则表示复数在复平面内对应的点到点的距离，求出圆上的点到点的最大距离，即可判断选项D. 【详解】令，则，，显然，故选项A错误； 设，则，所以， 所以，故选项B，C正确； 根据复数的几何意义，可得复数在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆， 而则表示复数在复平面内对应的点到点的距离， 故的最大值即为圆上的点到点的最大距离，即，故选项D正确. 故选：BCD. 10．ABD 【分析】利用平移法可求出直线与所成的角，判断A；根据线面平行的判定定理可判断B；采用反证法可判断C；根据线面角的定义求出直线与平面所成角的正弦值，判断D. 【详解】对于A，连接，则，即为正三角形， 又，分别为，的中点，故， 故直线与所成的角即为所成角或其补角，而， 故直线与所成的角的大小为，A正确； 对于B，由于，故四边形为平行四边形， 故，而，故, 又平面，平面，故平面，B正确； 对于C，取EF中点为M，连接DM，显然，故， 假设平面平面，而平面平面， 平面，则平面，又平面， 则，这与二者交于D点矛盾，C错误； 对于D，不妨设正方体棱长为2，点C到平面的距离为d， 则， 而， 则，解得， 设直线与平面所成角为，则，D正确， 故选：ABD 11．BCD 【分析】A选项，计算出，⊥，同理可得⊥，⊥，则点为的垂心；B选项，作出辅助线，得到，故点在中线上，故向量一定经过的重心；C选项，作出辅助线，得到，从而得到所以，故；D选项，作出辅助线，得到，故⊥，并得到在的平分线上，同理可得，在的平分线上. 【详解】A选项，，即，故⊥， 同理可得⊥，⊥，则点为的垂心，A错误； B选项，过点作⊥于点，取的中点，连接， 则，， 则， 故点在中线上，故向量一定经过的重心，B正确； C选项，如图，分别为的中点， ， 则，故， 所以， 故，C正确； D选项，分别表示方向上的单位向量， 故， ，故⊥， 由三线合一可得，在的平分线上，同理可得，在的平分线上， 则点是的内心，D正确. 故选：BCD 【点睛】结论点睛：点为所在平面内的点，且，则点为的重心， 点为所在平面内的点，且，则点为的垂心， 点为所在平面内的点，且，则点为的外心， 点为所在平面内的点，且，则点为的内心， 12．/ 【分析】利用正四棱锥的侧面积是底面积的2倍求出侧面的高，进而求出锥体的高，代入体积公式求解即可. 【详解】如图，在正四棱锥中，为四棱锥的高，为侧面的高， 因为正四棱锥的底面边长为4，且侧面积是底面积的2倍， 所以，解得，所以， 所以. 故答案为： 13．/ 【分析】根据复数的运算法则，求得，得到，即可求解. 【详解】由复数，则，所以. 故答案为：. 14． 【分析】利用空间点、线、面的位置关系，根据三棱锥的特点计算其外接球的半径. 【详解】在等腰中，易知，所以，的外接圆的半径为，所以三棱锥P－ABC的外接球的半径为. 所以其表面积为. 故答案为： 15．(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理得，由余弦定理得，求出； （2）求出，平方得，从而得到的长度. 【详解】（1）在中，由及正弦定理， 得， 即，由余弦定理得， 而，所以. （2）由，得，故， 又，，由（1）知. 则， 故，所以的长为. 16．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，交于点，连接.根据三角形中位线定理证明，再利用线面平行的判定定理即可证明； （2）在梯形中，过作交于点，根据平面几何知识可求出，进而可求，即可求解正四棱台的表面积. 【详解】（1）（1）连接，交于点，连接，如图所示. 在正四棱台中，底面为正方形，所以为中点. 又为的中点，. 又平面，平面，平面. （2）由题可知：在梯形中，，，， 过作交于点，，， 所以， 正四棱台的表面积为 . 17．(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用向量的加减运算求出即可； （2）先利用向量的加减运算求出，根据三点共线以及基本不等式求出； （3）利用三点共线得出，再根据四点共圆得出，求一元二次函数的值域即可. 【详解】（1）因为点是的中点，所以， 因为，所以， 所以，. （2）因为，， 所以， 又O，P，Q三点共线，所以，， 所以， 当且仅当时取等号，可得，时取等号. （3）， 又O，P，Q三点共线，所以，即； 因为是边长为1的等边三角形，D是的中点，所以， 因为， 则， 则， 同理可得，， 因为四点共圆，，所以， 所以， 则， 因为，所以， 所以， 因为，，得, 故实数的取值范围为. 18．(1)众数为；平均数为 (2)平均数为；方差为 【分析】（1）根据频率分布直方图的众数和平均数的定义和计算方法，即可求解； （2）根据题意，得到分数在区间的学生为10人，分别为，得到，设第三组分别为，得到，设第四组分别为，其平均数和方差为，求得，结合，即可求解. 【详解】（1）解：根据频率分布直方图的众数的定义，可得这800名学生成绩的众数为， 这800名学生成绩的平均数为： （分）. （2）解：根据题意，采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取40人， 各段抽取的人生分别为：12人，16人，6人，4人和2人， 其中分数在区间的学生为10人，分别为， 其中平均成绩与方差分别为，则， 设第三组学生实际成绩分别为，其平均数和方差为，则， 设第四组学生实际成绩分别为，其平均数和方差为， 由，可得， 由， 可得，解得， 所以第四组的学生实际成绩的平均数为与方差为. 19．(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）设交于点O，连接DO，根据棱柱性质及三角形中位线，利用线面平行的判定定理证明即可； （2）先根据正方形的性质证得，进而利用线面垂直的判定定理证得平面，，利用线面垂直的性质定理证得，然后利用线面垂直的判定定理证得平面BDE，最后利用面面垂直的判定定理证明即可. （3）根据二面角的平面角的定义可得即为所求二面角的平面角，然后在直角三角形内求解即可 【详解】（1）设交于点O，连接DO， 在正三棱柱中，且， 所以四边形是平行四边形，则O为的中点， 因为D为AC的中点，所以OD为的中位线，所以， 因为平面，平面，所以平面； （2）在正三棱柱中，且， 因为，，所以四边形是正方形，所以， 因为D，E分别是AC，的中点，所以DE是的中位线， 所以，又因为，所以， 在正三棱柱中平面ABC，平面ABC，所以， 在正三角形ABC中，D为AC的中点，所以， 因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，，BD，平面BDE， 所以平面BDE，因为平面，所以平面平面BDE. （3）设正三棱柱底边边长为2a， 取BC的中点，连接AF，取CF中点，连接DG，过作GH垂直BE于点H，连接DH， 因为三角形ABC为正三角形，且F为BC中点，所以， 又因为此多面体为正三棱柱，所以平面平面， 且平面平面，所以平面， 因为为AC中点，为FC中点，所以，所以平面， 又平面，所以， 又，，平面HGD，平面HGD， 所以平面DHG，又平面DHG，所以， 由此，即为所求二面角的平面角， 在直角三角形DGC中，，则， 在直角三角形BCE中，， 又，所以在直角三角形BHG中，， 则， 又因为平面，且平面，所以， 所以. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一月考数学试卷 命题人 王建洪 审题人 张来芬 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知复数，那么（   ） A． B． C． D． 2．已知向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 3．如图，已知某频率分布直方图形成“右拖尾”形态，则下列结论正确的是（    ）    A．众数平均数中位数 B．众数中位数平均数 C．众数平均数中位数 D．中位数平均数众数 4．设，为单位向量，在上的投影向量为，则（   ） A．1 B． C． D． 5．如图，在中，为上一点，且满足，若，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C． D． 6．已知一组样本数据：8，9，9，11，12，13，15，16，17，18，18，20，则这组样本数据的第70百分位数与中位数之和是（    ） A．29 B．30 C．31 D．32 7．一个正四棱台形状的鱼塘，灌满水时，蓄水量为，若它的两底面边长分别为和，则此时鱼塘的水深（    ） A． B． C． D． 8．有能力互异的3人应聘同一公司，他们按照报名顺序依次接受面试，经理决定“不录用第一个接受面试的人，如果第二个接受面试的人比第一个能力强，就录用第二个人，否则就录用第三个人”，记该公司录用到能力最强的人的概率为，录用到能力中等的人的概率为，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知，为复数，则下列命题正确的是（   ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则的最大值为 10．如图，在正方体中，，分别为，的中点，则下列结论正确的是（    ） A．直线与所成的角的大小为 B．直线平面 C．平面平面 D．直线与平面所成角的正弦值为 11．点在所在的平面内，则以下说法正确的有（    ） A．若，则点为的外心（外接圆圆心） B．若，则动点的轨迹一定通过的重心 C．若，，分别表示，的面积，则 D．若，则点是的内心 3、 填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知正四棱锥的底面边长为4，且其侧面积是底面积的2倍，则此正四棱锥的体积为______. 13．复数，则__________. 14．已知在三棱锥P－ABC中，PA＝4，，PB＝PC＝3，平面PBC，则三棱锥P－ABC的外接球的表面积是________. 4、 解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，，. (1)求角； (2)若为线段上一点，且，求的长度. 16．如图，正四棱台中，上底面边长为，下底面边长为，E为的中点，侧棱长为6. (1)证明：平面； (2)求该正四棱台的表面积. 17．如图，在中，是的中点，是线段上的动点，；过点的直线与边，分别相交于点P，Q.设，. (1)若，.求x，y的值； (2)若，求的最小值； (3)若是边长为1的等边三角形，四点共圆，求实数的取值范围. 18．对800名参加竞赛选拔学生的成绩作统计（满分：100分），将数据分成五组，从左到右依次记为，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图估计这800名学生成绩的众数和平均数（求平均数时同一组数据用该组区间的中点值作代表）； (2)现从以上各组中采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取40人.若分数在区间的学生实际成绩的平均数与方差分别为78分和，第三组的学生实际成绩的平均数与方差分别为72分和1，求第四组的学生实际成绩的平均数与方差. 19．如图，在正三棱柱中，D为棱AC的中点，E为棱中点，. (1)证明：平面； (2)证明：平面平面BDE； (3)求二面角的正切值. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $