精品解析：河北省衡水市部分学校2025-2026学年高一年级4月质量检测数学试卷（一）

4月高一质量检测 数学（一） 考试说明： 1.本试卷共150分.考试时间120分钟. 2.请将各题答案填在答题卡上. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则在复平面内z对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 经过两条不同直线的平面个数可能为（ ） A. 1 B. 2 C. 0或1 D. 1或2 3. 已知向量，，则与的夹角为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 120° 4. 若圆锥的底面半径为1，高为，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知复数，，在复平面内，对应的向量分别为，，则向量对应的复数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，某组合体是由选项中某个图形绕轴旋转而成，则这个图形是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，水平放置的△AOB用斜二测画法画出的直观图为△A′O′B′，其中，，，则原平面图形△AOB中，OA的长为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，E，F两点在AC边上运动，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则（ ） A. B. z的虚部为 C. 为纯虚数 D. 10. 已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 11. 已知正方体被一个平面截成两个几何体，其中一个几何体为三棱柱，则另外一个几何体可能为（ ） A. 三棱柱 B. 四棱柱 C. 四棱台 D. 五棱柱 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若，则__________. 13. 给出以下说法： ①棱锥最少有六条棱； ②圆柱的母线和轴不平行； ③长方体一定是平行六面体. 以上所有正确说法的序号是__________. 14. 如图，在圆柱中，轴截面是正方形，C在圆O的圆周上，，则异面直线与所成角的余弦值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，. （1）分别求向量，的坐标； （2）证明：向量与互相垂直. 16. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，. （1）求四棱锥的表面积； （2）四棱锥的所有顶点都在球O的球面上，求球O的体积. 17. 如图，在等腰梯形ABCD中，，E，F分别是AD，CD的中点，设，. （1）用，表示，； （2）若，求的值. 18. 如图，在正三棱柱中，E，F分别是，的中点，点G在棱上，且满足. （1）证明：平面； （2）若，求与平面所成角的正切值. 19. 以三角形的三边各向其外侧作等边三角形，这三个等边三角形的外接圆交于一点T，则点T称为托里拆利点，而三个等边三角形的外接圆叫做托里拆利圆.已知△ABC的三个托里拆利圆的半径分别为，，，点T为托里拆利点. （1）求△ABC的面积； （2）求的值； （3）求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 4月高一质量检测 数学（一） 考试说明： 1.本试卷共150分.考试时间120分钟. 2.请将各题答案填在答题卡上. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则在复平面内z对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以在复平面内z对应的点的坐标为，位于第四象限. 2. 经过两条不同直线的平面个数可能为（ ） A. 1 B. 2 C. 0或1 D. 1或2 【答案】C 【解析】 【详解】若两条直线平行或相交，则有且仅有1个平面经过两条不同直线； 若两条直线异面，则不存在经过两条不同直线的平面，即0个. 3. 已知向量，，则与的夹角为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 120° 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得， ，， 设与的夹角为， 则， 又，所以. 4. 若圆锥的底面半径为1，高为，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题知圆锥的底面半径，高， 所以母线长， 所以该圆锥的侧面积. 5. 已知复数，，在复平面内，对应的向量分别为，，则向量对应的复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的几何意义和向量的坐标运算即可求解. 【详解】由题得，， 所以， 其对应的复数为. 6. 如图，某组合体是由选项中某个图形绕轴旋转而成，则这个图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】A中图形绕轴旋转可得由一个圆台挖去一个圆柱的组合体； B中图形绕轴旋转可得圆锥； C中图形绕轴旋转可得由一个圆柱挖去两个圆台的组合体； D中图形绕轴旋转可得由两个圆台挖去一个圆柱的组合体.故选A. 7. 如图，水平放置的△AOB用斜二测画法画出的直观图为△A′O′B′，其中，，，则原平面图形△AOB中，OA的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】如图，过A′作y′轴的平行线，交x′轴于点C′，则，又，所以，，所以. 由直观图还原得△AOB，如图，则，，，由勾股定理可得. 8. 在中，，E，F两点在AC边上运动，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】取的中点M，连接BM，则，所以， 显然时，取最小值， 在中，则， 所以，此时， 由对称性可知或时，取最大值，为， 所以，即的取值范围是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则（ ） A. B. z的虚部为 C. 为纯虚数 D. 【答案】BC 【解析】 【详解】 ， 所以，z的虚部为，为纯虚数，，A、D错误，B、C正确. 10. 已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】AB 【解析】 【分析】A.利用一条直线垂直于平行平面的一个，则垂直于另一个和垂直于同一平面的两直线平行判断；B.先利用线面平行的性质定理，再利用一条直线垂直于平行直线中的一条，则垂直于另一条判断；C.利用直线与平面的位置关系判断；D.利用平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面和垂直同一直线的两平面平行判断. 【详解】因为，，所以，又因为，所以，A正确； 因为，，则， 若，所以，B正确； 因为，，，所以或或n与相交，C错误； 因为，，所以，又，则，D错误. 故选：AB. 11. 已知正方体被一个平面截成两个几何体，其中一个几何体为三棱柱，则另外一个几何体可能为（ ） A. 三棱柱 B. 四棱柱 C. 四棱台 D. 五棱柱 【答案】ABD 【解析】 【详解】在正方体中， 如图①，可得另外一个几何体也是三棱柱，A正确； 如图②，可得另外一个几何体是四棱柱，不可能是四棱台，B正确，C错误； 如图③，可得另外一个几何体是五棱柱，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以 ，解得. 13. 给出以下说法： ①棱锥最少有六条棱； ②圆柱的母线和轴不平行； ③长方体一定是平行六面体. 以上所有正确说法的序号是__________. 【答案】①③ 【解析】 【分析】根据锥体、柱体的性质，分析即可得答案. 【详解】棱锥中棱最少的是三棱锥，有六条棱，故①正确； 圆柱是以矩形的一边为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体， 母线一定和轴平行，故②错误； 长方体是底面为长方形的四棱柱，一定是平行六面体，故③正确. 14. 如图，在圆柱中，轴截面是正方形，C在圆O的圆周上，，则异面直线与所成角的余弦值为__________. 【答案】##0.7 【解析】 【详解】如图，设圆O的半径为r，延长BA至点D，使， 连接，CD，AC，则， ， 所以四边形 是平行四边形， 所以， ， 则或其补角为异面直线与所成的角， 因为 ，， 所以 ， 即异面直线与所成角的余弦值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，. （1）分别求向量，的坐标； （2）证明：向量与互相垂直. 【答案】（1）， （2）证明见解析 【解析】 【小问1详解】 ， ； 【小问2详解】 由（1）知， ， 所以 ， 所以向量与互相垂直. 16. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，. （1）求四棱锥的表面积； （2）四棱锥的所有顶点都在球O的球面上，求球O的体积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的性质及判定得平面，再由线面的性质、勾股定理求线段长，进而求四棱锥的表面积； （2）取PC的中点O，连接AC，OA，OB，OD，首先线面垂直的性质证得，再由球体体积公式求体积. 【小问1详解】 因为底面，底面，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面PAD，所以，且， 同理，且， 所以四棱锥的表面积 . 【小问2详解】 如图，取的中点O，连接，，，， 由（1）知，，根据直角三角形的性质知 . 因为底面，底面，所以， 所以，则 ， 所以球O的半径， 所以球O的体积. 17. 如图，在等腰梯形ABCD中，，E，F分别是AD，CD的中点，设，. （1）用，表示，； （2）若，求的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【小问1详解】 由，得， 又E是AD的中点，所以， 所以， 由， 又F是CD的中点，所以， 所以. 【小问2详解】 因为，所以， 两边平方得， 整理得，所以，则. 18. 如图，在正三棱柱中，E，F分别是，的中点，点G在棱上，且满足. （1）证明：平面； （2）若，求与平面所成角的正切值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取BC的中点K，连接FK交BE于点H，连接AH，首先证明四边形AGFH为平行四边形，进而有，再由线面平行的判定证明结论； （2）取AB的中点M，过M作，先证明四边形MNEC为平行四边形，则，再由线面垂直的判定证明平面，进而结合线面角的定义得是与平面所成的角，即可求. 【小问1详解】 如图，取BC的中点K，连接FK交BE于点H，连接AH， 又F是的中点，所以H是BE的中点， 所以，且，所以， 又，所以， 又，且，所以，且， 所以四边形AGFH为平行四边形，则， 又平面ABE，平面ABE，所以平面. 【小问2详解】 取AB的中点M，过M作，且，连接CM，GN，EN， 又E是的中点，所以，且，所以，且， 所以四边形MNEC为平行四边形，则， 又，所以. 因为平面ABC，平面ABC，所以， 又，平面，所以平面， 所以平面，则是与平面所成的角， 其中， 在中，， 即EG与平面所成角的正切值为. 19. 以三角形的三边各向其外侧作等边三角形，这三个等边三角形的外接圆交于一点T，则点T称为托里拆利点，而三个等边三角形的外接圆叫做托里拆利圆.已知△ABC的三个托里拆利圆的半径分别为，，，点T为托里拆利点. （1）求△ABC的面积； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1）9 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理求出三角形三边长，再由余弦定理及三角形面积公式求解； （2）根据数量积的运算及三角形的面积公式求解即可； （3）由（2）可得，再由余弦定理得， ， ，三式相加即可求解. 【小问1详解】 如图，作出符合题意的图形， 不妨设半径分别为，，的三个托里拆利圆所对应等边三角形的边长分别为a，b，c， 由正弦定理得，，， 解得，，， 所以， 所以， 所以△ABC的面积 . 【小问2详解】 由圆的性质可知 ， 所以 . 【小问3详解】 由（2）的结论知，， 即. 在△ATB中，由余弦定理得 ， 即 ， 同理可得 ， ， 以上三式相加得 ， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $