9.1.1 简单随机抽样 导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学导学案聚焦“简单随机抽样”，引导学生理解随机抽样目的与要求，掌握抽签法、随机数法及样本估计总体平均数。课堂导入通过“儿子尝苹果”笑话和灯泡寿命检测等实例，对比普查与抽样调查差异，搭建从生活情境到抽象概念的学习支架。 以问题链驱动探究，结合小球抽样等情境培养学生用数学眼光观察现实世界。例题涵盖概念辨析、方法操作与实际应用，如牛奶质量检验的均值计算，锻炼数学思维的逻辑性和数学语言的表达能力，助力形成数据分析观念与应用意识。

9.1.1简单随机抽样 【学习目标】 理解随机抽样的目的和基本要求. 【学习重难点】 1. 理解简单随机抽样中的抽签法、随机数法．（重点） 2. 掌握用样本平均数估计总体平均数的方法．（难点） 【学习过程】 一、新知引入 灯泡工厂质检部门检测某一批次灯泡使用寿命、一批种子的发芽率，高考后学校统计本校高三学生的高考成绩，应当如何收集数据呢?这两种数据的收集有不同吗? 二、探究新知 问题1　一天，爸爸叫儿子去买苹果．临出门前，爸爸嘱咐儿子要买甜的．儿子拿着钱出门了，过了好一会儿，儿子才回到家． “都甜吗？”爸爸问． “都甜．” “你这么肯定？” 儿子把一袋苹果递过来，兴奋地说：“我每颗都尝过啦．” 在这则笑话中，儿子采用的是什么调查方式？这种调查方式好不好？适宜采用什么方法调查？ 问题2　假设口袋中有红色和白色共1 000个小球，除颜色外，小球的大小、质地完全相同．你能通过抽样调查的方式估计袋中红球所占的比例吗？ 问题3　学校要从某班选取5人参加某项活动，应如何选取？若要从全校学生中选5人，还可以采用上述方法吗？ 结论形成： 1．全面调查和抽样调查 调查方式 普查(全面调查) 抽查 定义 对每一个调查对象都进行调查的方法，称为全面调查，又称普查 从全体调查对象中，按照一定的方法__ _ 对象作为代表进行调查分析，并以此推断全体调查对象的状况 相关 概念 总体：在一个调查中，我们把 的全体称为总体． 个体：组成总体的 调查对象称为个体 样本：我们把从总体中 的那部分个体称为样本． 样本量：样本中包含的个体的数量称为 ，简称样本量 注意点： (1)全面调查的优点是 ，缺点是 ，需要耗费巨大的财力、物力． (2)抽样调查的优点是 、 ， ，缺点是 ． 2．简单随机抽样的概念 放回简单随机抽样 不放回简单随机抽样 一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中 抽取n(1≤n＜N)个个体作为样本 如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都 _，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样 如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内__ __被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样 简单随机抽样：放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样．通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本 简单随机抽样的特点：① ；② ；③ ． 3．抽签法 1)确定总体容量N并编号； (2)制签并放入不透明容器中； (3)充分搅拌均匀； (4)不放回地逐个抽取n次，得到容量为n的样本． 4．随机数法 (1)确定总体容量N并编号，例如按0,1,2，…，N－1编号； (2)利用随机数工具产生0～N－1 范围内的整数随机数； (3)把产生的随机数作为抽中的编号，使与编号对应的个体进入样本； (4)重复上述过程，直到抽足样本所需的数量． 5．总体均值和样本均值 (1)总体均值：一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，则 ＝ _＝ __为总体均值，又称总体平均数． (2)总体均值加权平均数的形式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1，2，…，k)，则总体均值还可以写成加权平均数的形式＝_ _． (3)样本均值(或样本平均数)：如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y1，y2，…，yn，则称＝__ __＝_ _为样本均值(或样本平均数). 三、例题解析 例1. (1) 从某年级的500名学生中抽取60名学生进行体重的统计分析，下列说法正确的是(　　) A．500名学生是总体 B．每名学生是个体 C．学生的体重是变量 D．抽取的60名学生的体重是样本容量 (2)（多选题） 下列问题中最适合用简单随机抽样方法的是(　　) A．某学校有学生1 320人，卫生部门为了了解学生身体发育情况，准备从中抽取一个容量为300的样本 B．为了准备省政协会议，某政协委员计划从1 135个村庄中抽取50个进行收入调查 C．从全班30名学生中，任意选取5名进行家访 D．为了解某地区癌症的发病情况，从该地区的5 000人中抽取200人进行统计 练习1. 下面的抽样中适合用简单随机抽样的有哪些？ (1)某电影院有32排座位，每排有40个座位，座位号是1～40，有一次报告会坐满了听众，报告会结束后为听取意见，要留下32名听众进行座谈； (2)从10台冰箱中抽出3台进行质量检查； (3)某学校有在编人员160人，其中行政人员16人，教师112人，后勤人员32人，教育部门为了解在编人员对学校机构改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本； (4)某乡农田有：山地800公顷，丘陵1 200公顷，平地2 400公顷，洼地400公顷，现抽取农田48公顷估计全乡农田平均每公顷产量． 例2. 某校高一年级有43名足球运动员，要从中抽出5人调查学习负担情况．用抽签法设计一个抽样方案． 练习2. 在社区公益活动中，某单位共有100名志愿者参与了报名，现要从中随机抽出6人参加一项活动，请用抽签法进行抽样，并写出过程． 例3. 某市质监局要检查某公司某个时间段生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从500袋牛奶中抽取10袋进行检验， (1)利用随机数法抽取样本时，应如何操作？ (2)如果用随机试验生成部分随机数如下所示，据此写出应抽取的袋装牛奶的编号： 162，277，943，949，545，354，821，737，932，354，873，520，964，384，263，491，648，642，175，331，572，455，068，877，047，447，672，172，065，025，834，216，337，663，013，785，916，955，567，199，810，507，175，128，673，580，667. (3)质监局对该公司生产的袋装牛奶检验的质量指标有两个：一是每袋牛奶的质量满足500±5 g，二是10袋质量的平均数≥500(g)，同时满足这两个指标，才认为公司生产的牛奶为合格，否则为不合格．经过检测得到10袋袋装牛奶的质量(单位：g)为：502，500，499，497，503，499，501，500，498，499. 计算这个样本的平均数，并按照以上标准判断牛奶质量是否合格． 变式 1．该公司对质监部门的这种检验方法并不认可，公司自己抽取了100袋牛奶按照例3(3)检验标准，统计得到这100袋袋装牛奶的质量都满足500±5 g，平均数为500.4 g，你认为质监局和公司的检验结果哪一个更可靠？为什么？ 变式2．为进一步加强公司生产牛奶的质量，规定袋装牛奶的质量变量值为Yi＝1，质量不低于500 g，0，质量低于500 g， 公司质监部门又抽取了一个容量为50的样本，其质量变量值如下： 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1. 据此估计该公司生产的袋装牛奶质量不低于500 g的比例. 练习3. 总体由编号为01，02，…，39，40的40个个体组成，从中选取5个个体．利用科学计算器依次生成一组随机数如下： 66　06　58　61　54　35　02　42　35　48　96　32　14　52　41　52　48. 则选出来的第5个个体的编号为(　　) A．54　　　　　　　 B．14 C．35 D．32 四、布置作业 课本177页1-4题 五、课后反思 第 4 页 共 5页 学科网（北京）股份有限公司 $ 9.1.1简单随机抽样教师版 【学习目标】 理解随机抽样的目的和基本要求. 【学习重难点】 1. 理解简单随机抽样中的抽签法、随机数法．（重点） 2. 掌握用样本平均数估计总体平均数的方法．（难点） 【学习过程】 一、新知引入 灯泡工厂质检部门检测某一批次灯泡使用寿命、一批种子的发芽率，高考后学校统计本校高三学生的高考成绩，应当如何收集数据呢?这两种数据的收集有不同吗? 二、探究新知 问题1　一天，爸爸叫儿子去买苹果．临出门前，爸爸嘱咐儿子要买甜的．儿子拿着钱出门了，过了好一会儿，儿子才回到家． “都甜吗？”爸爸问． “都甜．” “你这么肯定？” 儿子把一袋苹果递过来，兴奋地说：“我每颗都尝过啦．” 在这则笑话中，儿子采用的是什么调查方式？这种调查方式好不好？适宜采用什么方法调查？ 提示　全面调查；不好；抽样调查． 问题2　假设口袋中有红色和白色共1 000个小球，除颜色外，小球的大小、质地完全相同．你能通过抽样调查的方式估计袋中红球所占的比例吗？ 提示　这里袋中所有小球是调查的总体，每一个小球是个体，小球的颜色是所关心的变量． 方案一：我们可以从袋中随机地摸出一个球，记录颜色后放回，摇匀后再摸出一个球，如此重复，即可用红球出现的频率估计出红球所占的比例． 方案二：采用不放回地摸球去估计红球所占的比例． 问题3　学校要从某班选取5人参加某项活动，应如何选取？若要从全校学生中选5人，还可以采用上述方法吗？ 提示　抽签．不可以，人数太多． 结论形成： 1．全面调查和抽样调查 调查方式 普查(全面调查) 抽查 定义 对每一个调查对象都进行调查的方法，称为全面调查，又称普查 从全体调查对象中，按照一定的方法__抽取一部分__对象作为代表进行调查分析，并以此推断全体调查对象的状况 相关 概念 总体：在一个调查中，我们把调查对象的全体称为总体． 个体：组成总体的每一个调查对象称为个体 样本：我们把从总体中抽取的那部分个体称为样本． 样本量：样本中包含的个体的数量称为样本容量，简称样本量 注意点： (1)全面调查的优点是精确，缺点是不宜经常进行，需要耗费巨大的财力、物力． (2)抽样调查的优点是花费少、效率高，易操作，缺点是不够精确． 2．简单随机抽样的概念 放回简单随机抽样 不放回简单随机抽样 一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中__逐个__抽取n(1≤n＜N)个个体作为样本 如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都__相等__，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样 如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内__未进入样本的各个个体__被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样 简单随机抽样：放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样．通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本 简单随机抽样的特点：①有限性；②逐一性；③等可能性． 3．抽签法 1)确定总体容量N并编号； (2)制签并放入不透明容器中； (3)充分搅拌均匀； (4)不放回地逐个抽取n次，得到容量为n的样本． 4．随机数法 (1)确定总体容量N并编号，例如按0,1,2，…，N－1编号； (2)利用随机数工具产生0～N－1 范围内的整数随机数； (3)把产生的随机数作为抽中的编号，使与编号对应的个体进入样本； (4)重复上述过程，直到抽足样本所需的数量． 5．总体均值和样本均值 (1)总体均值：一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，则 ＝____＝__Yi__为总体均值，又称总体平均数． (2)总体均值加权平均数的形式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1，2，…，k)，则总体均值还可以写成加权平均数的形式＝__fiYi__． (3)样本均值(或样本平均数)：如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y1，y2，…，yn，则称＝____＝__yi__为样本均值(或样本平均数). 三、例题解析 例1. (1) 从某年级的500名学生中抽取60名学生进行体重的统计分析，下列说法正确的是(　　) A．500名学生是总体 B．每名学生是个体 C．学生的体重是变量 D．抽取的60名学生的体重是样本容量 (2)（多选题） 下列问题中最适合用简单随机抽样方法的是(　　) A．某学校有学生1 320人，卫生部门为了了解学生身体发育情况，准备从中抽取一个容量为300的样本 B．为了准备省政协会议，某政协委员计划从1 135个村庄中抽取50个进行收入调查 C．从全班30名学生中，任意选取5名进行家访 D．为了解某地区癌症的发病情况，从该地区的5 000人中抽取200人进行统计 解析　ABC C(1) 样本容量为60，D错误． (2)A中不同年级的学生身体发育情况差别较大，B，D的总体容量较大，C的总体容量较小，适宜用简单随机抽样． 练习1. 下面的抽样中适合用简单随机抽样的有哪些？ (1)某电影院有32排座位，每排有40个座位，座位号是1～40，有一次报告会坐满了听众，报告会结束后为听取意见，要留下32名听众进行座谈； (2)从10台冰箱中抽出3台进行质量检查； (3)某学校有在编人员160人，其中行政人员16人，教师112人，后勤人员32人，教育部门为了解在编人员对学校机构改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本； (4)某乡农田有：山地800公顷，丘陵1 200公顷，平地2 400公顷，洼地400公顷，现抽取农田48公顷估计全乡农田平均每公顷产量． 解析　(1)的总体容量较大，用简单随机抽样法比较麻烦； (2)的总体容量较少，用简单随机抽样法比较方便； (3)由于学校各类人员对这一问题的看法可能差异很大，不宜采用简单随机抽样法； (4)总体容量大，且各类田地的差别很大，也不宜采用简单随机抽样法． 例2. 某校高一年级有43名足球运动员，要从中抽出5人调查学习负担情况．用抽签法设计一个抽样方案． 解析 第一步：编号，把43名运动员编号为1～43； 第二步：制签，做好大小、形状相同的号签，分别写上这43个数； 第三步：搅拌，将这些号签放在暗箱中，进行均匀搅拌； 第四步：抽签入样，每次从中抽取一个，连续抽取5次(不放回抽取)，从而得到容量为5的入选样本． 练习2. 在社区公益活动中，某单位共有100名志愿者参与了报名，现要从中随机抽出6人参加一项活动，请用抽签法进行抽样，并写出过程． 解析　第一步，将100名志愿者编号，号码为01，02，03，…，99. 第二步，将号码分别写在大小、形状、质地都相同的纸条上，揉成团，制成号签． 第三步，将所有号签放入一个不透明的箱子中，搅拌均匀． 第四步，一次取出1个号签，连取6次(不放回抽取)，并记录其编号． 第五步，将对应编号的志愿者选出即可． 例3. 某市质监局要检查某公司某个时间段生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从500袋牛奶中抽取10袋进行检验， (1)利用随机数法抽取样本时，应如何操作？ (2)如果用随机试验生成部分随机数如下所示，据此写出应抽取的袋装牛奶的编号： 162，277，943，949，545，354，821，737，932，354，873，520，964，384，263，491，648，642，175，331，572，455，068，877，047，447，672，172，065，025，834，216，337，663，013，785，916，955，567，199，810，507，175，128，673，580，667. (3)质监局对该公司生产的袋装牛奶检验的质量指标有两个：一是每袋牛奶的质量满足500±5 g，二是10袋质量的平均数≥500(g)，同时满足这两个指标，才认为公司生产的牛奶为合格，否则为不合格．经过检测得到10袋袋装牛奶的质量(单位：g)为：502，500，499，497，503，499，501，500，498，499. 计算这个样本的平均数，并按照以上标准判断牛奶质量是否合格． 解析 (1)第一步，将500袋牛奶编号为001，002，…，500. 第二步，用随机数工具产生1～500范围内的随机数． 第三步，把产生的随机数作为抽中的编号，使编号对应的袋装牛奶进入样本 第四步，重复上述过程，直到产生的不同编号等于样本所需要的数量． (2)应抽取的袋装牛奶的编号为： 162，277，354，384，263，491，175，331，455，068. (3) ＝502＋500＋499＋497＋503＋499＋501＋500＋498＋49910 ＝499.8＜500，所以该公司的牛奶质量不合格． 变式 1．该公司对质监部门的这种检验方法并不认可，公司自己抽取了100袋牛奶按照例3(3)检验标准，统计得到这100袋袋装牛奶的质量都满足500±5 g，平均数为500.4 g，你认为质监局和公司的检验结果哪一个更可靠？为什么？ 解析　该公司的质检部门的检验结果更可靠．因为质监局抽取的样本较少，不能很好地反映总体，该公司的质检部门抽取的样本量较大，一般来说，样本量大的会好于样本量小的．尤其是样本量不大时，增加样本量可以较好地提高估计的效果． 变式2．为进一步加强公司生产牛奶的质量，规定袋装牛奶的质量变量值为Yi＝1，质量不低于500 g，0，质量低于500 g， 公司质监部门又抽取了一个容量为50的样本，其质量变量值如下： 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1. 据此估计该公司生产的袋装牛奶质量不低于500 g的比例. 解析　由样本观测数据，计算可得样本平均数为y－＝0.56，据此估计该公司生产的袋装牛奶质量不低于500 g的比例约为0.56. 练习3. 总体由编号为01，02，…，39，40的40个个体组成，从中选取5个个体．利用科学计算器依次生成一组随机数如下： 66　06　58　61　54　35　02　42　35　48　96　32　14　52　41　52　48. 则选出来的第5个个体的编号为(　　) A．54　　　　　　　 B．14 C．35 D．32 解析　生成的随机数中落在编号01，02，…，39，40内的有06，35，02，35(重复)，32，14.故第5个个体的编号为14. 四、布置作业 课本177页1-4题 五、课后反思 第 6 页 共 5页 学科网（北京）股份有限公司 $