9.1.1 简单随机抽样（第2课时）导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第九章 统计 9.1 随机抽样 9.1.1 简单随机抽样（第2课时） 【学习目标】 1. 理解总体平均数、样本平均数的概念及计算方法，能用样本平均数估计总体平均数，能用样本比例估计总体比例. 1. 理解样本平均数的随机性以及它与总体平均数的关系，体会用样本估计总体的合理性和局限性. 1. 从具体数据情境中抽象出各类数据概念及意义，理解本质，提升从具体到抽象的思维能力，培养数据分析的核心素养. 【学习重点】 1. 总体平均数（总体均值）与样本平均数（样本均值）的定义与计算公式. 2. 用样本平均数估计总体平均数，用样本比例估计总体比例. 3. 样本平均数的随机性及其与总体平均数的关系. 【学习难点】 1. 理解样本平均数是随机变量，总体平均数是固定常数. 2. 样本容量对估计精度的影响. 学习任务一 总体平均数与样本平均数的概念 【合作探究】 1. 问题引入： · 上一课时，我们通过简单随机抽样从树人中学高一年级712名学生中抽取了50名学生的身高，并计算出样本平均身高.能否用这个样本平均数来估计整个年级的平均身高？ · 这里涉及两个重要概念： (1) 总体平均数（总体均值）：总体中所有个体变量的平均值. (2) 样本平均数（样本均值）：样本中所有个体变量的平均值. 1. 总体平均数的计算公式： · 设总体中有 个个体，它们的变量值分别为 ，则总体平均数 (1) · 若总体中不同的值有 个，记为 ，对应的频数为 ，则 (1) 1. 样本平均数的计算公式： · 从总体中抽取一个容量为 的样本，样本数据为 ，则样本平均数 · 同样，若样本中不同值有 个，记为 ，对应频数 ，则 1. 思考： (1) 总体平均数是一个确定的数还是一个随机变量？ · （确定的数，因为总体是固定的.） (2) 样本平均数呢？ · （随机变量，因为样本是随机抽取的，每次抽到的样本不同，样本平均数也会不同.） 【自主梳理】 1. 总体平均数 反映总体集中趋势，是一个常数. 2. 样本平均数 是随机变量，随样本变化而变化. 3. 常用样本平均数 估计总体平均数 . 学习任务二 用样本平均数估计总体平均数 【合作探究】 1. 实例： · 从高一年级712名学生中抽取50名学生的身高数据（单位：cm）如下（示例）： · 162, 165, 168, …（具体略），计算得样本平均数 cm. · 我们可以估计全年级平均身高约为 cm. 1. 样本平均数的性质： (1) 样本平均数随样本的不同而不同，具有随机性. (2) 当样本容量较大时，样本平均数会在总体平均数附近波动. (3) 一般来说，样本容量越大，估计越精确（波动越小）. 1. 多次抽样实验： · 对同一总体重复进行20次简单随机抽样（每次样本量 ），计算每次的样本平均数，画出折线图（文字描述：点围绕总体平均数上下波动，大部分离总体平均数不远）.若将样本量增大到 ，波动幅度明显减小. · 结论：增加样本量可以提高估计的准确性. 1. 思考： (1) 能否用一次抽样的样本平均数就断言总体平均数就是它？ · （不能，因为存在抽样误差，但可以把它作为估计值.） (2) 为什么样本量越大估计越准？ · （样本量越大，样本代表总体的能力越强，随机误差越小.） 【自主梳理】 1. 用样本平均数估计总体平均数是合理的，但存在误差. 2. 样本容量越大，估计效果越好. 3. 样本平均数的波动性反映了估计的可靠性. 学习任务三 用样本比例估计总体比例 【合作探究】 1. 问题情境： · 树人中学全校2174名学生中，视力不低于5.0的学生所占的比例是多少？ · 我们可以通过简单随机抽样，抽取一部分学生，计算样本中视力不低于5.0的比例，并以此估计总体的比例. 1. 总体比例 ： · 设总体有 个个体，其中具有某种属性（如视力≥5.0）的个体数为 ，则总体比例 1. 样本比例 ： · 从总体中抽取容量为 的样本，样本中具有该属性的个体数为 ，则样本比例 · 样本比例 是随机变量，其值随样本变化而变化.常用 估计总体比例 . 1. 思考： (1) 总体比例与样本比例的关系类似于总体平均数与样本平均数的关系. (2) 增大样本容量同样可以提高估计精度. 1. 例题： · 为了解某市所有家庭每年丢弃塑料袋的个数，随机抽取200户家庭，调查某日丢弃塑料袋个数，得到数据如下： 丢弃个数 0 1 2 3 4 户数 20 50 80 30 20 · (1) 求当日这200户家庭平均每户丢弃塑料袋的个数（样本平均数）； · (2) 若该市有100万户家庭，估计全市所有家庭每年（365天）丢弃塑料袋的总个数. · 解： · (1) （个）. · (2) 全市每天丢弃总数估计为 万个，每年总数估计为 万个. 【自主梳理】 1. 总体比例 是常数，样本比例 是随机变量. 2. 用 估计 ，样本容量越大估计越准确. 3. 估计总量时，用 总体容量即可. 学习任务四 样本平均数的随机性与估计的局限性 【合作探究】 1. 随机性： · 每次简单随机抽样得到的样本平均数可能不同，它们围绕总体平均数波动. · 例如，重复抽取样本量50的样本20次，计算出的20个样本平均数互不相同，但都在总体平均数附近. 1. 估计的合理性： · 虽然单个样本平均数和总体平均数可能有一定偏差，但随着样本容量增大，偏差会变小，估计越来越可靠. 1. 局限性： (1) 样本平均数不能完全等同于总体平均数，总会存在抽样误差. (2) 样本量过小可能导致估计严重失真. (3) 抽样方式必须科学（如简单随机抽样），否则估计可能偏差很大（如1936年美国大选预测失误，因抽样框偏倚）. 【自主梳理】 1. 样本平均数是随机变量，总体平均数是常数. 2. 样本容量越大，样本平均数越稳定，估计越精确. 3. 估计结果仅是对总体的近似，不能完全替代普查. 【自查自纠】（正误判断） 1. 总体平均数是一个确定的数，样本平均数是一个随机变量. （ ） 1. 样本容量越大，样本平均数越接近总体平均数. （ ） 1. 用样本比例估计总体比例时，样本比例是常数. （ ） 1. 只要抽样方法是科学的，样本平均数就等于总体平均数. （ ） 1. 增加样本容量可以完全消除抽样误差. （ ） 答案：1.√ 2.√ 3.× 4.× 5.× 【典例分析】 例1：某工厂抽取50个机械零件检验其直径（单位：mm），得到如下数据（频数分布）： 直径 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 频数 5 12 18 10 5 估计这批零件的平均直径（保留整数）. 解：样本平均数 mm. 保留整数得 mm.所以估计这批零件的平均直径约为 mm. 例2：某校组织知识竞赛，随机抽取100名学生的答题情况，答对题数分布如下： 答对题数 5 6 7 8 9 10 人数 10 30 30 15 10 5 估计该校每位学生答对的平均题数. 解： . 故估计平均每位学生答对 题. 【习题巩固】 1. 某工厂人员及工资构成如下： 人员 人数 周工资（元） 管理人员 5 8000 技工 20 5000 学徒 5 2000 · 则表中周工资的平均数是（ ） · A. 5000 B. 5200 C. 5400 D. 5600 1. 从一群玩游戏的孩子中随机抽出 人，一人分一个苹果后，让他们返回继续游戏.过了一会儿，再从中抽出 人，发现其中有 个孩子分到过苹果，估计玩游戏的孩子的人数为（ ） · A.  B.  C.  D. 1. 某校为了解高一年级学生的视力情况，从高一1000名学生中抽取100人，测得视力不低于5.0的有28人.则估计高一年级视力不低于5.0的学生人数约为（ ） · A. 28 B. 280 C. 1000 D. 2800 1. 已知总体有 个个体，其变量值总和为 ，则总体平均数 ______.若从总体中抽取一个容量为 的样本，样本数据之和为 ，则样本平均数 ______. 1. （选做）为了估计某水库中鱼的总数，第一次捕获 条鱼，做上标记后放回.一段时间后，第二次捕获 条鱼，发现其中有 条带有标记.估计该水库中鱼的总数. 【参考答案】 自查自纠：1.√ 2.√ 3.× 4.× 5.× 习题巩固： 1. B（？计算有误：8000×5=40000，5000×20=100000，2000×5=10000，总和=150000，人数30，平均数=5000，选A.但选项A是5000，答案是A.注意题目选项A为5000，正确选A. 1. B（由标记比例 ，得 ） 1. B（样本比例 ，总体估计 ） 1. ， 1. 解：设鱼总数为 ，则标记比例为 ，第二次捕获中标记比例为 ，由 ，得 （条）. 学科网（北京）股份有限公司 $