专题02 实数全章核心知识与题型（暑假复习讲义）新八年级数学新教材湘教版

专题02 实数 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 开方计算 题型2 实数分类 题型3 无理数估算 题型4 实数大小比较 题型5 实数与数轴 题型6 实数混合运算 题型7 平方根解方程 题型8 开方应用 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. 平方根、算术平方根的概念、表示及求法 2. 平方根、算术平方根的性质与非负性应用 2. 立方根的概念、表示、求法及性质 3. 平方根与立方根的区别、辨析与混合计算 5. 无理数的识别、实数的分类 6. 实数与数轴的对应关系、实数大小比较 7. 实数的四则运算、简单混合运算 7. 利用算术平方根、绝对值、平方的非负性求值 9 平方根、立方根相关规律探究与简单应用 1. 算术平方根：理解定义与符号表示，掌握求值方法，重点考查其双重非负性。 2. 平方根：掌握定义、性质及求解方法，辨析平方根与算术平方根的区别与联系。 3. 立方根：熟记概念、符号和运算性质，能正确求正数、负数、0的立方根。 4. 开方基础运算：单纯求平方根、算术平方根、立方根，以及简单开方口算与列式计算。 5. 实数分类：依据定义区分有理数与无理数，对给定数字进行实数归类。 6. 实数与数轴：利用实数和数轴上点一一对应的关系，比较数的大小、化简代数式。 7. 无理数估算：估算无理数取值范围，确定无理数的整数部分与小数部分。 9. 8实数大小比较：运用估算法、平方法、作差法等，比较含根号实数的大小。 9. 非负性综合应用：结合算术平方根、绝对值、平方的非负性，利用“几个非负数和为0，则每一项都为0”求字母的值。 10.实数混合运算：遵循运算顺序，综合开方、乘方、加减乘除进行计算。 11. 利用开方解方程：根据平方根、立方根的定义，求解简单一元方程。 12. 实数实际应用：结合正方形面积、正方体体积等实际场景，运用开方知识解题。 考情解码： 实数是七年级数系扩充的核心内容，承接有理数，是初中数系知识的最终完善，贯穿初中代数全部学习内容。本章以平方根、立方根、无理数为基础，延伸实数的性质与运算，相关概念辨析、开方运算、实数混合运算属于期中期末必考基础题型，同时非负性求值、无理数估算、实数大小比较为高频重难点题型。 本章知识是后续二次根式、一元二次方程、函数、几何图形边长计算的必备基础，根式运算掌握薄弱、概念混淆，极易造成后续题型大面积失分。在中考中，实数相关考题难度偏低，以选择题、填空题、简单计算题为主，属于必得基础分值；学好本章，既能完善学生的数感，也能筑牢初中阶段代数运算与几何计算的底层根基。 知识点一 平方根 平方根的定义：如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x就叫做a的平方根，也叫做二次方根。 平方根的性质：（1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数；（2）0的平方根是0本身；（3）负数没有平方根。 算术平方根的定义：正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作，读作“根号a”；0的算术平方根是0。 开平方的定义：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方，开平方与平方互为逆运算。 【易错提醒】 （1）忽略平方根的存在条件：只有非负数才有平方根，遇到形如−3的表达式，直接判定其无意义，部分同学容易忽略负数没有平方根的性质，错误计算结果； （2）混淆平方根与算术平方根：正数有两个平方根，而算术平方根只是其中正的那个，例如求9的平方根时，容易错写为3，正确结果是±3； （3）对化简错误：，当a的符号不确定时，需要分情况讨论，部分同学直接化简为a，忽略a为负数时结果应为(-a)。 即时即练1．下列实数中，是无理数的是（     ） A． B． C． D． 2．16的平方根是（    ） A． B．8 C． D．2 3．若，则的值为（    ） A．25 B． C． D． 4．的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 5．下列四个数中，最大的数是（     ） A． B．0 C． D． 知识点二 立方根 立方根的定义：如果一个数x的立方等于a，即，那么这个数x就叫做a的立方根，也叫做三次方根，记作，读作“三次根号a”，其中a叫做被开方数，3叫做根指数。 立方根的性质：1）正数的立方根是正数；2）负数的立方根是负数；3）0的立方根是0。 开立方的定义：求一个数的立方根的运算叫做开立方，开立方与立方互为逆运算。 立方根的重要性质：，即求负数的立方根时，可以先求出这个负数绝对值的立方根，再取其相反数。 【易错提醒】 （1）混淆立方根与平方根的性质：错误认为负数没有立方根，实际上任何实数都有且只有一个立方根，只有负数没有平方根； （2）根指数遗漏：写立方根时容易省略根指数3，错将写为，只有平方根的根指数2可以省略； （3）计算出错：对任意实数a都成立，部分同学错误仿照平方根的性质添加绝对值，反而出错 即时即练1．下列四个选项中，为无理数的是（   ） A． B． C． D．3.14159 2．平方根和立方根是七年级下学期学习的两个重要概念．根据相关的定义，8的立方根是（   ） A． B． C．2 D． 3．估计的值在（    ） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 4．27的立方根是（    ） A． B． C．3 D． 5．下列各数中，是正数的是（     ） A． B． C． D． 知识点三 实数 无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数，常见的无理数有三类： 实数的定义：有理数和无理数统称为实数，即实数可以分为有理数和无理数。 实数的分类：（1）按定义分类：实数分为有理数和无理数（2）按正负分类：实数分为正实数、0、负实数 实数与数轴的关系：实数和数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。 实数的运算： （1）有理数的运算法则和运算律（加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律）在实数范围内仍然适用； （2）运算顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的，同级运算从左到右依次进行； 【易错提醒】 （1）误判无理数：认为带根号的数都是无理数，实际上是有理数，判断无理数不能只看形式，要看化简之后的结果是否为无限不循环小数； （2）混淆“一一对应”关系：错误认为有理数和数轴上的点一一对应，实际上只有实数和数轴上的点一一对应； （3）求含字母的绝对值时忽略分类讨论：例如化简，当没有给出a的范围时，需要分(a>2)、、(a<2)三种情况讨论，部分同学直接化简为(a-2)，忽略a小于2的情况； （4）运算顺序错误：计算含有开方、乘方的混合运算时，容易提前计算加减，违反运算顺序导致错误。 即时即练1．在，，，，，这个数中，无理数共有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．如图，数轴上点表示的数可能是（    ） A． B． C． D． 3．下列四个实数中，比大的无理数是（    ） A． B．0 C． D． 4．实数的相反数是（    ） A．5 B． C． D． 5．实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D． 题型1 开方计算 例1．9的平方根是（    ） A．3 B． C． D． 例2．下列各式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【技巧总结】 正数有一正一负两个平方根，算术平方根仅取非负根；负数没有平方根，但一定有立方根，且立方根符号与原数一致；0 的平方根、立方根均为 0，计算时看清题目要求，避免混淆两种开方运算。 【变式训练1】计算：______． 【变式训练2】计算：______． 题型2 实数分类 例1．下列各数中，是无理数的是（     ） A． B． C． D． 例2．下列各数中，既是有理数又是负数的是（  ） A． B． C． D．0 【技巧总结】 牢记定义，无限不循环小数才是无理数，含根号但能开尽方的数属于有理数；对比三类根的个数、符号、取值范围，逐一分析语句细节，巧用举反例快速判断正误。 【变式训练1】在实数，3，，，0中，负数有_____个． 【变式训练2】在实数3.1415926，，，，0，，中，无理数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 题型3 无理数估算 例1．估计的值在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 例2．估计的值在（     ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【技巧总结】 找到紧邻该被开方数的两个完全平方数或完全立方数，锁定无理数区间；整数部分取区间内较小整数，用原无理数减去整数部分，即可得到小数部分。 【变式训练1】如果，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】若n为正整数，且满足，则n=_____． 题型4 实数大小比较 例1．下列各数中，最小的是（） A． B． C．0 D． 例2．下列四个数中，最小的数是（     ） A． B． C． D． 【技巧总结】 同号含根式正数，可同时平方 / 立方后比较有理数大小；也可估算出无理数近似小数，直观对比；负数比较时，绝对值大的数反而小，灵活选用方法简化判断。 【变式训练1】比较大小：____（填“”或“或”）． 【变式训练2】比较大小：________（填“”“”“”）． 题型5 实数与数轴 例1．实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D． 例2实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（     ） A． B． C． D． 【技巧总结】 实数与数轴上的点一一对应，依据点的位置可判断数的大小与式子正负。结合数轴能计算两点距离，再根据绝对值、根式性质完成化简与求值。 【变式训练1】如图，若数轴上的点，分别与实数，对应，用圆规在数轴上画点，则与点对应的实数是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】如图，面积为7的正方形的顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，以A为圆心，长为半径画弧，交于A右侧数轴于点E，则点E所表示的数为___________． 题型6 实数混合运算 例1．计算：的结果是（    ） A．16 B．14 C．2 D．1 例2．计算：_________． 【技巧总结】 严格遵循运算顺序，先开方、乘方，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号内，全程注意正负符号，分步计算降低出错率，最终结果化为最简形式。 【变式训练1】计算：______． 【变式训练2】计算：_____． 题型7 平方根解方程 例1．若， 则x的值为（  ）． A． B．0 C．2 D． 例2．方程的根是______． 【技巧总结】 解这类方程时，先把含未知数的项单独分离出来，再两边同时开平方或开立方。开平方会得到两个互为相反数的解，开立方仅有一个解，最后检验结果即可。 【变式训练1】求下列各式中x的值． ； 【变式训练2】求该式子中x的值． 题型8 开方应用 例1．已知一个正方体的体积是，现在要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去后余下部分的体积为，则截去的每个小正方体的棱长是______． 例2．一个正方体的体积是8，则这个正方体的边长是______． 【技巧总结】 解方程时先将含未知数的项单独放一侧，再整体开方求解；实际问题结合面积、体积公式列式，求出根后根据生活实际，舍去负数等不符合题意的解。 【变式训练1】如图，长方形内的两个正方形和正方形的面积分别为16、4，则图中两块阴影部分的面积之和为（   ） 【变式训练2】一个物体从静止开始做自由落体运动，下落距离（米）与时间（t）的关系为（g为重力加速度，）．物体从125米自由下落时，下落的时间为（  ） A．3秒 B．4秒 C．5秒 D．6秒 1．下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D． 3．估计的大小应在（   ） A．8与9之间 B．6与7之间 C．7与8之间 D．9与10之间 4．在，，，，，这个数中，无理数共有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 5．如图，数轴上点表示的数可能是（    ） A． B． C． D． 6．一个数的两个平方根分别是与，则这个数是（   ） A． B．25 C．5 D． 7．计算：______． 8．若与是正数n的两个平方根，则_______． 9．计算：______． 10．比较大小：________（填“”“”或“”）． 11．计算：． 12．计算：． 13．求下列各式中的值． (1)； (2) 14．陕北剪纸是国家非物质文化遗产，是扎根黄土高原、流传千年的经典民间传统艺术．它历史悠久，多在春节、婚嫁等民俗活动中用作窗花、喜花装饰．风格粗犷古朴、造型简练夸张、大红喜庆，题材涵盖花鸟瑞兽、民俗生活、吉祥纹样，承载着陕北人民对美好生活的祝愿，是黄土地独有的文化瑰宝．现有一张长方形红色宣纸，长、宽之比为，宣纸面积为． (1)求宣纸的周长； (2)剪纸匠人想利用这张宣纸裁出一张面积为的完整圆形纸胚来创作花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由．（取3） 15．在如图所示的数轴上表示下列各数：，并用“”把它们连接起来． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 实数 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 开方计算 题型2 实数分类 题型3 无理数估算 题型4 实数大小比较 题型5 实数与数轴 题型6 实数混合运算 题型7 平方根解方程 题型8 开方应用 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. 平方根、算术平方根的概念、表示及求法 2. 平方根、算术平方根的性质与非负性应用 2. 立方根的概念、表示、求法及性质 3. 平方根与立方根的区别、辨析与混合计算 5. 无理数的识别、实数的分类 6. 实数与数轴的对应关系、实数大小比较 7. 实数的四则运算、简单混合运算 7. 利用算术平方根、绝对值、平方的非负性求值 9 平方根、立方根相关规律探究与简单应用 1. 算术平方根：理解定义与符号表示，掌握求值方法，重点考查其双重非负性。 2. 平方根：掌握定义、性质及求解方法，辨析平方根与算术平方根的区别与联系。 3. 立方根：熟记概念、符号和运算性质，能正确求正数、负数、0的立方根。 4. 开方基础运算：单纯求平方根、算术平方根、立方根，以及简单开方口算与列式计算。 5. 实数分类：依据定义区分有理数与无理数，对给定数字进行实数归类。 6. 实数与数轴：利用实数和数轴上点一一对应的关系，比较数的大小、化简代数式。 7. 无理数估算：估算无理数取值范围，确定无理数的整数部分与小数部分。 9. 8实数大小比较：运用估算法、平方法、作差法等，比较含根号实数的大小。 9. 非负性综合应用：结合算术平方根、绝对值、平方的非负性，利用“几个非负数和为0，则每一项都为0”求字母的值。 10.实数混合运算：遵循运算顺序，综合开方、乘方、加减乘除进行计算。 11. 利用开方解方程：根据平方根、立方根的定义，求解简单一元方程。 12. 实数实际应用：结合正方形面积、正方体体积等实际场景，运用开方知识解题。 考情解码： 实数是七年级数系扩充的核心内容，承接有理数，是初中数系知识的最终完善，贯穿初中代数全部学习内容。本章以平方根、立方根、无理数为基础，延伸实数的性质与运算，相关概念辨析、开方运算、实数混合运算属于期中期末必考基础题型，同时非负性求值、无理数估算、实数大小比较为高频重难点题型。 本章知识是后续二次根式、一元二次方程、函数、几何图形边长计算的必备基础，根式运算掌握薄弱、概念混淆，极易造成后续题型大面积失分。在中考中，实数相关考题难度偏低，以选择题、填空题、简单计算题为主，属于必得基础分值；学好本章，既能完善学生的数感，也能筑牢初中阶段代数运算与几何计算的底层根基。 知识点一 平方根 平方根的定义：如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x就叫做a的平方根，也叫做二次方根。 平方根的性质：（1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数；（2）0的平方根是0本身；（3）负数没有平方根。 算术平方根的定义：正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作，读作“根号a”；0的算术平方根是0。 开平方的定义：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方，开平方与平方互为逆运算。 【易错提醒】 （1）忽略平方根的存在条件：只有非负数才有平方根，遇到形如−3的表达式，直接判定其无意义，部分同学容易忽略负数没有平方根的性质，错误计算结果； （2）混淆平方根与算术平方根：正数有两个平方根，而算术平方根只是其中正的那个，例如求9的平方根时，容易错写为3，正确结果是±3； （3）对化简错误：，当a的符号不确定时，需要分情况讨论，部分同学直接化简为a，忽略a为负数时结果应为(-a)。 即时即练1．下列实数中，是无理数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题根据无理数的定义判断，无理数是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，包含有限小数和无限循环小数，化简各选项后即可得出答案． 【详解】解： A选项 是整数，属于有理数； B选项 ， 是整数，属于有理数； C选项 开方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数； D选项 是有限小数，属于有理数． 2．16的平方根是（    ） A． B．8 C． D．2 【答案】A 【详解】解： 的平方根是 3．若，则的值为（    ） A．25 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴的算术平方根是， ∴． 4．的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， 的算术平方根是． 5．下列四个数中，最大的数是（     ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】先化简每个选项中的式子，再比较有理数的大小，即可得到最大的数． 【详解】解：，，， ∵， ∴最大的数是． 知识点二 立方根 立方根的定义：如果一个数x的立方等于a，即，那么这个数x就叫做a的立方根，也叫做三次方根，记作，读作“三次根号a”，其中a叫做被开方数，3叫做根指数。 立方根的性质：1）正数的立方根是正数；2）负数的立方根是负数；3）0的立方根是0。 开立方的定义：求一个数的立方根的运算叫做开立方，开立方与立方互为逆运算。 立方根的重要性质：，即求负数的立方根时，可以先求出这个负数绝对值的立方根，再取其相反数。 【易错提醒】 （1）混淆立方根与平方根的性质：错误认为负数没有立方根，实际上任何实数都有且只有一个立方根，只有负数没有平方根； （2）根指数遗漏：写立方根时容易省略根指数3，错将写为，只有平方根的根指数2可以省略； （3）计算出错：对任意实数a都成立，部分同学错误仿照平方根的性质添加绝对值，反而出错 即时即练1．下列四个选项中，为无理数的是（   ） A． B． C． D．3.14159 【答案】B 【分析】无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称，包含有限小数和无限循环小数，据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A、是分数，是有理数； B、开方开不尽，是无理数； C、是整数，是有理数； D、3.14159是有限小数，是有理数． 2．平方根和立方根是七年级下学期学习的两个重要概念．根据相关的定义，8的立方根是（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【详解】解：∵ ∴ 8的立方根是2. 3．估计的值在（    ） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 【答案】A 【分析】找到介于5两侧的完全立方数，即可确定的取值范围． 【详解】解：， ， ， 即的值在1到2之间． 4．27的立方根是（    ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【详解】解：∵ ， ∴ 27的立方根是3； 5．下列各数中，是正数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据正数的定义，大于0的数为正数，其中，为正数，其余选项中的数，都带有负号，为负数． 知识点三 实数 无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数，常见的无理数有三类： 实数的定义：有理数和无理数统称为实数，即实数可以分为有理数和无理数。 实数的分类：（1）按定义分类：实数分为有理数和无理数（2）按正负分类：实数分为正实数、0、负实数 实数与数轴的关系：实数和数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。 实数的运算： （1）有理数的运算法则和运算律（加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律）在实数范围内仍然适用； （2）运算顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的，同级运算从左到右依次进行； 【易错提醒】 （1）误判无理数：认为带根号的数都是无理数，实际上是有理数，判断无理数不能只看形式，要看化简之后的结果是否为无限不循环小数； （2）混淆“一一对应”关系：错误认为有理数和数轴上的点一一对应，实际上只有实数和数轴上的点一一对应； （3）求含字母的绝对值时忽略分类讨论：例如化简，当没有给出a的范围时，需要分(a>2)、、(a<2)三种情况讨论，部分同学直接化简为(a-2)，忽略a小于2的情况； （4）运算顺序错误：计算含有开方、乘方的混合运算时，容易提前计算加减，违反运算顺序导致错误。 即时即练1．在，，，，，这个数中，无理数共有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据无理数的定义，即无限不循环小数是无理数，逐个化简判断每个数的类型，统计无理数的个数即可． 【详解】解： 是整数，属于有理数； 是整数，属于有理数；   ，是无限不循环小数， ∴是无理数； 是有限小数，属于有理数； ，开次方开不尽，是无限不循环小数， ∴是无理数； 中是无限不循环小数， ∴是无理数； ∴ 无理数共有个． 2．如图，数轴上点表示的数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察数轴可知点A位于2和3之间，将2和3分别转化为和，通过比较被开方数的大小即可确定答案． 【详解】解：由数轴可知，点A表示的数在和之间， ，， 点A表示的数满足， A、，，不符合题意； B、，，不符合题意； C、，，符合题意； D、，，不符合题意． 3．下列四个实数中，比大的无理数是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A．是分数，属于有理数，不符合要求，排除； 选项B．是整数，属于有理数，不符合要求，排除； 选项C．是无限不循环小数，属于无理数，且，满足所有条件； 选项D．是无理数，但，不满足要求，排除． 4．实数的相反数是（    ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，任意实数的相反数为， 的相反数是． 5．实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由数轴可知，， ∴，，， 故只有选项D正确. 题型1 开方计算 例1．9的平方根是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平方根的定义直接计算，即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴的平方根是． 例2．下列各式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平方根和算术平方根的求解方法，逐个判断即可． 【详解】解：是的算术平方根，为，A选项错误，不符合题意； 是的平方根，为，B选项错误，不符合题意； ，C选项正确，符合题意； ，D选项错误，不符合题意． 【技巧总结】 正数有一正一负两个平方根，算术平方根仅取非负根；负数没有平方根，但一定有立方根，且立方根符号与原数一致；0 的平方根、立方根均为 0，计算时看清题目要求，避免混淆两种开方运算。 【变式训练1】计算：______． 【答案】 【详解】解：． 【变式训练2】计算：______． 【答案】 【详解】解：． 题型2 实数分类 例1．下列各数中，是无理数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】无限不循环小数是无理数，逐一判断各选项即可得到答案． 【详解】解：A、是分数，属于有理数，不符合题意； B、是有限小数，属于有理数，不符合题意； C、，是整数，属于有理数，不符合题意； D、是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数，符合题意． 例2．下列各数中，既是有理数又是负数的是（  ） A． B． C． D．0 【答案】C 【详解】解：A．是无理数，不符合题意； B．是无理数，不符合题意； C．是有理数且为负数，符合题意； D．0是有理数但不是负数，不符合题意． 【技巧总结】 牢记定义，无限不循环小数才是无理数，含根号但能开尽方的数属于有理数；对比三类根的个数、符号、取值范围，逐一分析语句细节，巧用举反例快速判断正误。 【变式训练1】在实数，3，，，0中，负数有_____个． 【答案】2 【分析】根据负数的定义，即小于的实数是负数，逐个判断给定实数，统计负数的个数即可． 【详解】解：根据负数的定义逐个判断：，是负数；，不是负数；，是负数；，不是负数；既不是正数也不是负数， 因此负数共有个． 【变式训练2】在实数3.1415926，，，，0，，中，无理数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据整数、分数、有限小数、无限循环小数都属于有理数，无理数是无限不循环小数，逐个判断给定的数，即可得到无理数的个数． 【详解】解：∵ 3.1415926 是有限小数，是无限循环小数，是分数，0是整数，以上都是有理数； 是开平方开不尽的数，是无限不循环小数，是开立方开不尽的数，这三个都是无理数． ∴ 无理数共有3个． 题型3 无理数估算 例1．估计的值在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】D 【详解】解：， ， 则估计的值在4和5之间． 例2．估计的值在（     ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】B 【分析】先估算的取值范围，再推导的范围即可得到结果 【详解】解：，，，且， ∴，即， 则， 的值在4和5之间 【技巧总结】 找到紧邻该被开方数的两个完全平方数或完全立方数，锁定无理数区间；整数部分取区间内较小整数，用原无理数减去整数部分，即可得到小数部分。 【变式训练1】如果，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查估算无理数的大小，利用被开方数越大，对应的算术平方根越大的性质，先确定的取值范围，再推导的取值范围． 【详解】解：， ， 即， 不等式三边同时减1得. ， 即． 【变式训练2】若n为正整数，且满足，则n=_____． 【答案】 4 【详解】解：∵， ∴， ∵为正整数，且满足， ∴． 题型4 实数大小比较 例1．下列各数中，最小的是（） A． B． C．0 D． 【答案】A 【分析】利用“负数小于0，0小于正数”的比较规则即可求解． 【详解】解：∵是负数，和都是正数，根据“负数小于0，0小于正数”， ∴四个数中最小的是． 例2．下列四个数中，最小的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用“负数小于，小于正数”的比较规则，即可得出最小的数． 【详解】解：∵是负数，其余三个数都是非负数， ∴， ∴四个数中最小的数是． 【技巧总结】 同号含根式正数，可同时平方 / 立方后比较有理数大小；也可估算出无理数近似小数，直观对比；负数比较时，绝对值大的数反而小，灵活选用方法简化判断。 【变式训练1】比较大小：____（填“”或“或”）． 【答案】< 【分析】本题考查负数的大小比较，解题思路为先求出两个负数的绝对值，比较绝对值的大小，再根据“两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”得到结果． 【详解】解：∵ ，，， ． 【变式训练2】比较大小：________（填“”“”“”）． 【答案】 【分析】两个正分数分母相同，只需比较分子的大小，先估算的取值范围，推导分子的范围，即可比较两个数的大小． 【详解】解：两个分数分母均为，且均为正数，因此只需比较分子大小. ， ， ． 题型5 实数与数轴 例1．实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由数轴可知，， ∴，，， 故只有选项D正确. 例2实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由数轴可知：，； ∴，， ∴ ，故B选项错误； ∵，，且， ∴，故C选项正确. ，. 又∵， ∴，故 A 选项错误； ∵， ∴； 又， ∴ ， 故 D 选项错误. 【技巧总结】 实数与数轴上的点一一对应，依据点的位置可判断数的大小与式子正负。结合数轴能计算两点距离，再根据绝对值、根式性质完成化简与求值。 【变式训练1】如图，若数轴上的点，分别与实数，对应，用圆规在数轴上画点，则与点对应的实数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴，根据实数与数轴上的点一一对应，先求出，再根据半径相等得到，即可求出与点对应的实数． 【详解】解：数轴上的点，分别与实数，对应， ， ， 与点对应的实数是：， 故选：． 【变式训练2】如图，面积为7的正方形的顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，以A为圆心，长为半径画弧，交于A右侧数轴于点E，则点E所表示的数为___________． 【答案】/ 【分析】根据题意得出，结合数轴即可求解． 【详解】解：正方形的面积为， 正方形的边长为， 则由题意可知， 点表示的数为， 点所表示的数为． 题型6 实数混合运算 例1．计算：的结果是（    ） A．16 B．14 C．2 D．1 【答案】C 【分析】先求出的值，再计算减法得到最终结果． 【详解】解：∵ 根据算术平方根的定义，可得， ∴， 因此计算结果为2． 例2．计算：_________． 【答案】6 【详解】解：原式． 【技巧总结】 严格遵循运算顺序，先开方、乘方，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号内，全程注意正负符号，分步计算降低出错率，最终结果化为最简形式。 【变式训练1】计算：______． 【答案】 【详解】解：． 【变式训练2】计算：_____． 【答案】 【分析】先分别计算算术平方根与立方根的值，再根据有理数减法法则计算最终结果. 【详解】解： . 题型7 平方根解方程 例1．若， 则x的值为（  ）． A． B．0 C．2 D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴． 例2．方程的根是______． 【答案】 【分析】利用平方根解方程即可． 【详解】解：移项，得 开平方，得. 【技巧总结】 解这类方程时，先把含未知数的项单独分离出来，再两边同时开平方或开立方。开平方会得到两个互为相反数的解，开立方仅有一个解，最后检验结果即可。 【变式训练1】求下列各式中x的值． ； 【答案】或 【分析】首先将原方程整理为，根据平方根的性质可得，进一步求解即可获得答案． 【详解】解：， ， ， ∴， ∴或． 【变式训练2】求该式子中x的值． 【答案】或 【分析】根据平方根的定义，得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案； 【详解】解：， ， 或， ∴或． 题型8 开方应用 例1．已知一个正方体的体积是，现在要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去后余下部分的体积为，则截去的每个小正方体的棱长是______． 【答案】3 【分析】本题考查了立方根的应用，设截去的每个小正方体的棱长是，由题意得出，整理得，再利用立方根的定义解方程即可得出答案． 【详解】解：设截去的每个小正方体的棱长是， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 截去的每个小正方体的棱长是． 例2．一个正方体的体积是8，则这个正方体的边长是______． 【答案】2 【分析】根据正方体体积公式列方程，求解正的立方根即可得到正方体的边长． 【详解】解：设这个正方体的边长为，由边长为正数可得，根据正方体体积公式得：， ， ． 【技巧总结】 解方程时先将含未知数的项单独放一侧，再整体开方求解；实际问题结合面积、体积公式列式，求出根后根据生活实际，舍去负数等不符合题意的解。 【变式训练1】如图，长方形内的两个正方形和正方形的面积分别为16、4，则图中两块阴影部分的面积之和为（   ） A．6 B．4 C． D．3 【答案】B 【分析】设正方形的边长为a，正方形的边长为b，根据正方形的面积公式可得到，再根据列式求解即可． 【详解】解：设正方形的边长为a，正方形的边长为b， ∵长方形内两个正方形的面积分别为16，4， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 【变式训练2】一个物体从静止开始做自由落体运动，下落距离（米）与时间（t）的关系为（g为重力加速度，）．物体从125米自由下落时，下落的时间为（  ） A．3秒 B．4秒 C．5秒 D．6秒 【答案】C 【分析】将已知的下落距离h和重力加速度g代入给定公式，解关于t的方程，结合时间为正数即可得到结果． 【详解】解：由题意，，，代入公式得 化简得 整理得 ∵时间为正数 ∴， 答：物体从125米自由下落时，下落的时间为5秒． 1．下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．，故错误； B．，故错误； C．，正确； D．，故错误． 2．实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：对于A，，，，故A错误； 对于B，，，，又，，故B错误； 对于C，，，又，，故C正确； 对于D，，，，故D错误． 3．估计的大小应在（   ） A．8与9之间 B．6与7之间 C．7与8之间 D．9与10之间 【答案】A 【详解】∵ ，， 又∵ ， ∴ ，即， 因此的大小在8与9之间． 4．在，，，，，这个数中，无理数共有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据无理数的定义，即无限不循环小数是无理数，逐个化简判断每个数的类型，统计无理数的个数即可． 【详解】解： 是整数，属于有理数； 是整数，属于有理数；   ，是无限不循环小数， ∴是无理数； 是有限小数，属于有理数； ，开次方开不尽，是无限不循环小数， ∴是无理数； 中是无限不循环小数， ∴是无理数； ∴ 无理数共有个． 5．如图，数轴上点表示的数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察数轴可知点A位于2和3之间，将2和3分别转化为和，通过比较被开方数的大小即可确定答案． 【详解】解：由数轴可知，点A表示的数在和之间， ，， 点A表示的数满足， A、，，不符合题意； B、，，不符合题意； C、，，符合题意； D、，，不符合题意． 6．一个数的两个平方根分别是与，则这个数是（   ） A． B．25 C．5 D． 【答案】B 【分析】本题利用平方根的性质解题，一个正数的两个平方根互为相反数，据此先求出的值，再计算得到原数即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根互为相反数 ∴ 整理得 解得 将代入其中一个平方根，得 ∵ ∴这个数是． 7．计算：______． 【答案】 【分析】先计算，再根据有理数减法法则计算最终结果. 【详解】解：． 8．若与是正数n的两个平方根，则_______． 【答案】 【分析】根据一个正数的两个平方根的和为0，求出x的值，然后求出正数n的值解答即可． 【详解】解：∵与是正数n的两个平方根， ∴， 解得， ∴正数n为． 9．计算：______． 【答案】/ 【分析】先判断绝对值内的正负性，再根据绝对值的性质化简计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，即， 根据正数的绝对值等于它本身，可得． 10．比较大小：________（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】无理数的大小比较，可利用乘方运算去掉根号，转化为有理数比较大小，据此即可求解． 【详解】解：和的最小公倍数为，给两个正数同时取次方， 得，， ， ． 11．计算：． 【答案】 【分析】先计算立方根，算术平方根，绝对值，再加减即可． 【详解】解： ． 12．计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 13．求下列各式中的值． (1)； (2) 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴或； （2）解：∵， ∴， ∴． 14．陕北剪纸是国家非物质文化遗产，是扎根黄土高原、流传千年的经典民间传统艺术．它历史悠久，多在春节、婚嫁等民俗活动中用作窗花、喜花装饰．风格粗犷古朴、造型简练夸张、大红喜庆，题材涵盖花鸟瑞兽、民俗生活、吉祥纹样，承载着陕北人民对美好生活的祝愿，是黄土地独有的文化瑰宝．现有一张长方形红色宣纸，长、宽之比为，宣纸面积为． (1)求宣纸的周长； (2)剪纸匠人想利用这张宣纸裁出一张面积为的完整圆形纸胚来创作花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由．（取3） 【答案】(1) (2)能够裁出来，理由如下： 设圆形纸胚的半径为， 由题意得：， 解得：， ∵圆形纸胚的直径为，宣纸的宽为，且， ∴， ∴能够裁出来 【分析】（1）设这张宣纸的长为，宽为，由题意易得，然后进行求解即可； （2）设圆形纸胚的半径为，由题意易得，然后问题可求解． 【详解】（1）解：设这张宣纸的长为，宽为，由题意得： ， 解得：（负根舍去）， ∴这张宣纸的长为，宽为， ∴这张宣纸的周长为； 答：宣纸的周长为 （2）略 15．在如图所示的数轴上表示下列各数：，并用“”把它们连接起来． 【答案】图见解析，． 【分析】在数轴上表示出各数，再根据数轴比较大小即可． 【详解】解：， 各数在数轴上表示为： 由数轴可得：． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $