专题02平行四边形同步讲义(知识梳理+题型精析+考点突破）2025-2026学年湘教版八年级数学下册

专题02平行四边形同步讲义 【题型01 利用平行四边形的性质求解】....................................2 【题型02 利用平行四边形的性质证明】....................................5 【题型03 平行四边形性质的其他应用】....................................9 【题型04 判断能否构成平行四边形】.....................................12 【题型05 添条件成为平行四边形】.......................................15 【题型06 数平行四边形的个数】.........................................17 【题型07 已知三点.求可构成平行四边形的点的个数】.......................20 【题型08 证明四边形是平行四边形】......................................22 【题型09 利用平行四边形的判定与性质求解】..............................25 【题型10 利用平行四边形的判定与性质证明】..............................29 【题型11 平行四边形的判定与性质的应用】................................33 【解答题5题】..........................................................36 ★知识梳理 知识点01:基本概念 1. 定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 几何语言：在四边形ABCD中，若AB∥CD且AD∥BC，则四边形ABCD是平行四边形。 表示方法：记作□ABCD，读作 “平行四边形ABCD”，顶点需按顺时针或逆时针顺序排列。 2. 相关概念 对边：相对的边，如AB与CD、AD与BC。 对角：相对的角，如∠A与∠C、∠B与∠D。 邻边：相邻的边，如AB与BC、AD与AB。 邻角：相邻的角，如∠A与∠B、∠B与∠C。 对角线：连接不相邻两个顶点的线段，如AC、BD。 知识点02:平行四边形的性质（已知□，推结论） 设□ABCD，对角线AC、BD交于点O。 维度 性质 几何语言 边 对边平行且相等 AB∥CD，AB=CD；AD∥BC，AD=BC 角 对角相等，邻角互补 ∠A=∠C，∠B=∠D；∠A+∠B=180∘ 对角线 互相平分 AO=OC，BO=OD 面积 S=底×对应高（S=ah） 同底等高的平行四边形面积相等 知识点03:平行四边形的判定 设在四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 O。. 判定方法 文字条件 几何语言 定义法 两组对边分别平行 ∵AB∥CD, AD∥BC∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 两组对边分别相等 两组对边分别相等 ∵AB=CD, AD=BC∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 一组对边平行且相等 一组对边平行且相等 ∵AB∥CD 且 AB=CD∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 对角线互相平分 对角线互相平分 ∵OA=OC, OB=OD∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 易错点提醒 1.平行四边形的判定需满足一组条件即可，不可混淆性质与判定的逻辑方向（性质：由平行四边形推结论；判定：由结论推平行四边形）。 2.一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形（可能是等腰梯形）。 3.表示平行四边形时，顶点字母顺序必须正确，不可打乱。 【题型1.利用平行四边形的性质求解】 【典例】在中，若，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质，利用平行四边形的对角相等求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形对角相等的性质，结合已知求出的度数，再利用邻角互补的性质计算的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴． ∴． 【跟踪专练2】如图，E，F分别是的边，上的点，与相交于点P，与相交于点．若的面积为2，的面积为4，的面积为26，则阴影部分的面积为_______． 【答案】7 【分析】连接、两点，过点作于点．根据平行四边形的性质得出，进而减去公共的的面积可得，同理，得出，进而即可求解． 【详解】解：如图，连接、两点，过点作于点． ∵，， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴的边上的高与的边上的高相等， ∴， ∴， 同理， ∴． ∵，， ∴， 故阴影部分的面积． 故答案为：7． 【跟踪专练3】如图，在中，，的平分线与的延长线交于点，与交于点，且是边的中点，，垂足为．若，则的长为（   ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】由角平分线的性质得到，由平行线的性质得到，继而解得，证明，由全等三角形的对应边相等得到，再结合线段中点的性质解得，最后在中，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵为的平分线， ∴， 在中，则，， ∴， ∴， ∴， 又F为的中点， ∴， ， ， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 在中，则， ∴， 在中，． 故选：A． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、平行四边形的性质、线段中点的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，掌握相关知识是解题关键． 【题型2.利用平行四边形的性质证明】 【典例】如图，平行四边形的对角线，相交于点O，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平行四边形的性质容易得出结论． 【详解】 解：四边形是平行四边形， ； 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质；熟记平行四边形的对角线互相平分是解决问题的关键． 【跟踪专练1】如图，在中，的平分线交于E，交的延长线于点F，则______． 【答案】4 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题． 根据平行四边形的对边相等且平行和利用平行四边形的性质以及平行线的基本性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵的平分线交于点E， ， ， ， 故答案为：4． 【跟踪专练2】如图，经过对角线的交点，交于点，交于点．有下列结论：①图中共有4对全等三角形；②若，，则；③．其中正确的有（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，面积转化知识点，掌握平行四边形对角线互相平分和全等三角形面积相等的性质是解题的关键． 逐个分析三个结论：①通过列举全等三角形的对数判断是否为4对；②利用平行四边形对角线互相平分和三角形三边关系求出的范围；③通过全等三角形的面积相等，将四边形的面积转化为的面积． 【详解】解：∵四边形是平行四边形 ∴对角线互相平分，即 ∵ ∴ 在和中， ∴ 同理可证 此外，还有 ，，， ∴图中共有6对全等三角形，结论①错误； ∵四边形是平行四边形 ∴ 在中，根据三角形三边关系： ∵ ∴，结论②正确 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴，结论③正确 综上所述，正确的结论是②和③． 故选：C． 【跟踪专练3】如图所示，在平行四边形中，，，平分交于点E，则_____． 【答案】3 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定、角平分线的概念，根据平行四边形的性质及角平分线的性质得，进而可得，根据即可求解，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 故答案为：3． 【题型3.平行四边形性质的其他应用】 【典例】如图，在ABCD中，AC与BD交于O点，则下列结论中不一定成立的是（   ） A．AB=CD B．AO=CO C．AC=BD D．BO=DO 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，对角线互相平分即可作出判断． 【详解】解：A、根据平行四边形的对边相等可得AB＝CD正确； B、根据平行四边形的对角线互相平分可得AO＝CO正确； C、平行四边形的对角线不一定相等，则AC＝BD错误； D、根据平行四边形的对角线互相平分可得BO＝DO正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，对角线互相平分，理解性质定理是关键． 【跟踪专练1】平行四边形两邻边分别是4和6，其中一边上的高是3，则平行四边形的面积是______． 【答案】12或18/18或12 【分析】分两种情况讨论：①3是长为4的边上的高，②3是长为6的边上的高，再根据平行四边形的面积公式求解即可． 【详解】解：当3是长为4的边上的高时，平行四边形的面积为：3×4=12； 当3是长为6的边上的高时，平行四边形的面积为：3×6=18； 故答案为：12或18． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的面积计算，解题的关键是掌握平行四边形的面积公式，当高不知道是哪条边上的高时，要进行讨论． 【跟踪专练2】如图，中，点O是对角线、的交点，过点O的直线分别交、于点M、N，若的面积为3，的面积为5，则的面积是（    ） A．16 B．24 C．32 D．40 【答案】C 【分析】根据，计算出的面积，再根据的面积是的面积的4 倍计算出最后的答案． 【详解】 过点O做EF垂直于BC，交BC于点F，交AD于点E ∵在中，AO=OC， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的相关知识． 【跟踪专练3】如图，在中，、分别是、边上的点，与交于点，与交于点，若，，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】50 【分析】连接E、F两点，由三角形的面积公式我们可以推出S△EFC=S△BCF，S△EFD=S△ADF，所以S△EFQ=S△BCQ，S△EFP=S△APD，因此可以推出阴影部分的面积就是S△APD+S△BQC． 【详解】解：如图，连接E、F两点， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴△EFC的FC边上的高与△BCF的FC边上的高相等， ∴S△EFC=S△BCF， ∴S△EFC－S△QFC =S△BCF－S△QFC， 即S△EFQ=S△BCQ， 同理：S△EFD=S△ADF， ∴S△EFP=S△APD， ∵S△APD=20cm2，S△BQC=30cm2， ∴S四边形EPFQ= S△APD + S△BQC =50cm2， 故答案为：50． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，解答此题关键是作出辅助线，找出同底等高的三角形． 【题型4.判断能否构成平行四边形】 【典例】如图，在四边形中，，添加下列一个条件后，一定能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，进行解答，即可． 【详解】解：∵， ∴当时，四边形是平行四边形，A正确，符合题意； 当，无法判定四边形是平行四边形，B不正确，不符合题意； 当，无法判定四边形是平行四边形，C不正确，不符合题意； 当，可得，无法判定四边形是平行四边形，D不正确，不符合题意； 故选：A． 【跟踪专练1】顺次连接平面上，，，四点得到一个四边形，从①，②，③，④，⑤，⑥六个条件中选取其中两个，在①②、③④、①③、⑤⑥、③⑥组合中不能得出“四边形是平行四边形”这一结论的是___________（填序号）． 【答案】③⑥/⑥③ 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟悉平行四边形的判定是解题的关键；根据平行四边形的判定逐一进行判断即可． 【详解】解：由两组对边分别平行的四边形是平行四边形知，①②组合可判定四边形是平行四边形； 由两组对边分别相等的四边形是平行四边形知，③④组合可判定四边形是平行四边形； 由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形知，①③组合可判定四边形是平行四边形； 由两组对角相等的四边形是平行四边形知，⑤⑥组合可判定四边形是平行四边形； 一组对边相等，一组对角相等的四边形不能判定为平行四边形，即③⑥组合不能得出四边形是平行四边形； 故答案为：③⑥． 【跟踪专练2】如图，直线，，．若的面积是，则四边形的面积为__________． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与面积公式，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握平行四边形的判定与面积公式是解答本题的关键． 过点作于点，根据的面积是，得到，再根据题意证明四边形是平行四边形，求出四边形的面积即可． 【详解】解：过点作于点，如图： 的面积是， ， ， ，， 四边形是平行四边形， 四边形的面积为：， 故答案为：． 【跟踪专练3】点A，B，C，D在同一平面内，有以下条件：①；②；③；④．从四个条件中任章选取两个，能使四边形是平行四边形的选法有（    ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】C 【分析】由，，可根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形是平行四边形，故选择（1）、（2），能使四边形是平行四边形；由，，可根据平行四边形的定义证明四边形是平行四边形，故选择（1）、（3），能使四边形是平行四边形；由，，可根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”证明四边形是平行四边形，故选择（2）、（4），能使四边形是平行四边形；由，，可根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形是平行四边形，故选择（3）、（4），能使四边形是平行四边形；再说明由，或，不能确定四边形是平行四边形，可知选择（1）、（4）或选择（2）、（3）不能使四边形是平行四边形，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵，， 四边形是平行四边形， 选择（1）、（2），能使四边形是平行四边形； ∵，， 四边形是平行四边形， 选择（1）、（3），能使四边形是平行四边形； ，， 四边形是平行四边形， 选择（2）、（4），能使四边形是平行四边形； ∵，， 四边形是平行四边形， 选择（3）、（4），能使四边形是平行四边形； 由，不能确定四边形是平行四边形， 选择（1）、（4）不能使四边形是平行四边形； 由，不能确定四边形是平行四边形， 选择（2）、（3）不能使四边形是平行四边形； 综上，共有4种， 故选：C． 【点睛】此题重点考查平行四边形的定义和判定定理的应用，适当选择平行四边形的定义或判定定理证明四边形是平行四边形是解题的关键． 【题型5.添条件成为平行四边形】 【典例】如图，已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，，添加一个条件______，使四边形ABCD为平行四边形（填一个即可）． 【答案】AD＝BC（答案不唯一） 【分析】由条件可得，然后根据平行四边形的判定添加条件即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵AD＝BC， ∴四边形ABCD为平行四边形． 故答案为：AD＝BC（答案不唯一）． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是熟练掌握平行四边形的判定定理． 【跟踪专练1】如图，在四边形中，，添加一个条件，能使四边形成为平行四边形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．根据已知条件以及各个选项中所给的条件，逐项分析即可得出答案． 【详解】A.已知，添加条件，则四边形有可能是等腰梯形，不符合题意； B. 已知可得，故添加条件，不能判定四边形为平行四边形，不符合题意； C. 已知，添加条件，不能判定四边形为平行四边形，不符合题意； D. 已知可得,添加条件，则可得，由此可证得，因此可判定四边形为平行四边形，符合题意． 故选D． 【跟踪专练2】如图，在等边中，，射线，点从点出发沿射线以的速度运动，点从点出发沿射线以的速度运动．如果点同时出发，设运动时间为，则当_____时，以为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】或 【分析】本题考查了平行四边形的判定、一元一次方程的应用，分两种情况：当点在的右侧时；当点在的左侧时；由当时，四边形是平行四边形，建立一元一次方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：当点在的右侧时， 由题意得：，，则， ， 当时，四边形是平行四边形，即， 解得：； 当点在的左侧时， 由题意得：，，则， ， 当时，四边形是平行四边形，即， 解得：； 综上所述，当或时，以为顶点的四边形是平行四边形， 故答案为：或． 【跟踪专练3】在四边形中，，相交于点，，，，．要使四边形为平行四边形，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质和二元一次方程组的求解，掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键． 利用平行四边形对角线互相平分的性质，建立关于和的方程并求解． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴对角线与互相平分，即， ∴，即；且，即， 联立方程得： 解得： 故选：A． 【题型6.数平行四边形的个数】 【典例】如图所示，在中，，，分别是，，上的点，且，，，则图中平行四边形共有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定，根据平行四边形的定义即可得到平行四边形有：平行四边形，平行四边形，平行四边形．解题的关键是掌握：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． 【详解】解：∵，，， ∴四边形，四边形和四边形都是平行四边形， ∴图中平行四边形共有个． 故选：C． 【跟踪专练1】如图，和都可以由平移得到，则图中共有____________个平行四边形． 【答案】3 【详解】解：∵和都可以由平移得到， ∴，，， ∴图中的平行四边形有，共三个， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，每一图中有若干个大小不同的平行四边形，第1幅图中有1个平行四边形，第2幅图中有3个平行四边形，第3幅图中有5个平行四边形，则第100幅图中有平行四边形的个数是（   ） A．200 B．201 C．199 D．198 【答案】C 【分析】本题考查了图形的变化规律，根据题中信息找出规律，得到第n幅图的通式是解题关键． 根据后一幅图比前一幅图多出2个平行四边形，求出第n幅图中的平行四边形个数的通式，再代入100即可求出答案． 【详解】解：第1幅图中有1个， 第2幅图中有3个， 第3幅图中有5个， 第4幅图中有7个， 则第n幅图中有个， ∴第100幅图中共有：， 故选：C． 【跟踪专练3】如图①，在中，，则图①中的平行四边形有_____个；如图②，作，则图②中的平行四边形有_____个． 【答案】 3 9 【分析】本题考查了平行四边形的判定与有序计数．掌握“两组对边分别平行”的判定定理，并能有条理、不重不漏地识别图形中的所有平行四边形是解题的关键． 在已知平行四边形中，增加条件．利用平行四边形对边平行的性质，可推导出，由此，图形中被分割出的三个四边形、以及原四边形均满足两组对边分别平行，因此都是平行四边形，共有3个．在①的基础上，再作，此条件与原有平行关系结合，产生了更多平行线组，从而划分出更多小的平行四边形．计数时，需从不同大小、不同位置系统性地识别，包括由新交点G产生的小平行四边形（如）、原有的大平行四边形（如）以及新组合成的平行四边形（如）．通过有序枚举，共得到9个平行四边形． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， 又∵， ∴, ∴四边形、、均为平行四边形， 故图①中的平行四边形有3个． 设线段与线段交于点G， ∵， ∴， ∴四边形、、、、、、、、均为平行四边形， 故图②中的平行四边形有9个． 故答案为：3；9． 【题型7.已知三点.求可构成平行四边形的点的个数】 【典例】以不在同一直线上的三点为顶点作平行四边形，最多能作____个不同的平行四边形． 【答案】3 【分析】连接三点，分别以三边作为平行四边形的对角线，作图即可得3个平行四边形． 【详解】解：如图， 以点，，能做三个平行四边形：，，． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法． 【跟踪专练1】如图，在的正方形网格图中有、、三点，网格中以、、三点为顶点的平行四边形有（   ）个 A． B． C． D．无数 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的定义，解题的关键是掌握平行四边形的性质．分别以、为对角可画平行四边形． 【详解】解：如图，以为对角可画平行四边形，以为对角线可画平行四边形，共两个， 故选：B． 【跟踪专练2】已知以A，B，C，D四个点为顶点的平行四边形中，顶点A，B，C的坐标分别为，则顶点D的坐标为___________． 【答案】 【分析】分别在平面直角坐标系中确定出A、B、C的位置，再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可确定D的位置． 【详解】解：由图可知，满足条件的点D坐标为 故答案为： 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 【跟踪专练3】.在下面的网格图中有三个点，其中点和点在网格线的交点处，点在网格线上．请在本网格图中找出点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，符合要求的点有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形解答即可求解，掌握平行四边形的判定是解题的关键． 【详解】解：当为平行四边形的对角线时，点的位置如图所示： 当为平行四边形的对角线时，点的位置如图所示： ∴符合要求的点有个， 故选：． 【题型8.证明四边形是平行四边形】 【典例】在四边形ABCD中，O是对角线交点，下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．逐一判定即可求解． 【详解】解：A、根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可以判定，故正确； B、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形；可以判定，故正确； C、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可以判定．故正确． D、一组对边平行，另一组对边相等的四边形，等腰梯形满足条件．故该选项错误． 故选：D． 【点睛】此题主要考查对平行四边形的判定掌握的熟练程度．平行四边形共有五种判定方法，记忆时要注意技巧；这五种方法中，一种与对角线有关，一种与对角有关，其他三种与边有关． 【跟踪专练1】如图，在四边形中，，动点P从点A开始沿边向点D以的速度运动，动点Q从点C开始沿边以的速度向点B运动，P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为，连接，当______时，四边形是平行四边形． 【答案】6 【分析】本题考查平行四边形的判定，根据平行四边形的判定方法，得到当时，四边形是平行四边形，列出方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，， ∴， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴，解得； 故答案为：6． 【跟踪专练2】如图，在平行四边形中，，，且，相交于点O，则图中的平行四边形有（    ） A．4个 B．5个 C．8个 D．9个 【答案】D 【分析】此题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 根据平行四边形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴，，，， ∴四边形，四边形，四边形，四边形，四边形，四边形，四边形，四边形均为平行四边形． ∴图中共有个平行四边形9个． 故选：D． 【跟踪专练3】已知：线段，，求作：平行四边形，以下是甲、乙两同学的作业．    甲：①以点为圆心，长为半径作弧； ②以点为圆心，长为半径作弧； ③两弧在上方交于点，连接，． 四边形即为所求平行四边形．（如图1） 乙：①连接，作线段的垂直平分线，交于点； ②连接并延长，在延长线上取一点，使，连接，． 四边形即为所求平行四边形．（如图2） 老师说甲、乙同学的作图都正确，你更喜欢__________的作法，他的作图依据是：_________． 【答案】甲；两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 【分析】根据平行四边形的判定解决问题即可． 【详解】甲，两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 乙，对角线互相平分的四边形是平行四边形. 由甲图可知：，， ∴四边形是平行四边形. 由乙图可知：，， ∴四边形是平行四边形. 我喜欢甲的作法．作图理由：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 故答案为：甲；两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，平行四边形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【题型9.利用平行四边形的判定与性质求解】 【典例】如图，平行四边形的面积为10，点P在对角线上，E、F分别在、上，且，，连接，图中阴影部分的面积为________．    【答案】5 【分析】根据平行四边形的性质得到阴影部分的面积=原平行四边形的面积的一半，据此求解即可． 【详解】解：如图，设交于点O，    ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：5． 【点睛】考查了平行四边形的判定与性质以及三角形面积，熟记平行四边形的对角线将其面积分为相等的四部分是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，是某街心公园地面上的其中一个图案，图案是由两种不同形状的三角形镶嵌而成的正六边形．若这个正六边形的面积为9，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B．4 C．4.5 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质，平行四边形的判定与性质，正多边形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意得，，再证明四边形是平行四边形，得出它们之间的面积关系，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：如图： 依题意，图案是由两种不同形状的三角形镶嵌而成的正六边形． ∴，， 即 ∴四边形是平行四边形， ∴ 数出整个正六边形共有8个阴影三角形，10个白色的三角形， 即 ∵这个正六边形的面积为9， ∴图中阴影部分的面积是， 故选：B 【跟踪专练2】如图，在中，，连接，过点作，交射线于点，过点作延长线于点．若，则的长为_____． 【答案】 【分析】此题考查平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质得出，，进而利用平行四边形的判定得出四边形是平行四边形，进而解答即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ∴， ， 由勾股定理可得，， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在中，，，，点D、E分别是、的中点，交的延长线于F，则四边形的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 由于，从而易证，所以，从而可证四边形是平行四边形，所以，再根据，得到，于是可得到，从而求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵点E是的中点， ∴． 在与中， ， ∴． ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故选：C． 【题型10.利用平行四边形的判定与性质证明】 【典例】如图所示，四边形是平行四边形，点在线段的延长线上，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据补角的定义求，再利用平行四边形对角相等的性质求解即可． 【详解】∵ ∴ ∵四边形是平行四边形 ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了补角的定义和平行四边形的性质．平行四边形的性质，对边相等，对角相等，对角相互相平分． 【跟踪专练1】如图，在等腰中，，，E，M，F分别是，，上的点，并且，，则四边形的周长是_______． 【答案】26 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，解题的关键是掌握以上知识点． 根据题意得出四边形是平行四边形，进而根据等边对等角以及平行线的性质可得，得出，则，进而根据平行四边形的性质，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ， ∵， ， ， ， ， ， ， ， ∴平行四边形的周长为， 故答案为：26． 【跟踪专练2】如图，四边形的对角线交于点O，，过O作直线分别交于E，F两点，若，则四边形周长的最小值为___________． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短，推出当时，四边形周长的最小是解题的关键．先证明四边形是平行四边形，得到，再推出四边形周长，然后求出的最小值即可． 【详解】解：， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 四边形周长 ， 四边形周长最小时，只要最小即可， 过点O作交于点，交于点，如图， 此时的最小值为，四边形周长的最小值， ， 由勾股定理，得， ， ， 四边形周长的最小值， 故答案为： 【跟踪专练3】在中，，为锐角．要在对角线上找点，，使四边形是平行四边形．如图，有甲、乙、丙三种方案，其中正确的方案有（    ） A．甲、乙、丙 B．甲、乙 C．甲、丙 D．乙、丙 【答案】A 【分析】甲方案：连接交于点O，证明，即可，乙方案：证明，且即可，丙方案的思路与乙方案相似求解． 【详解】解：甲方案：连接交于点O， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 乙方案：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴     ∴， ∴四边形是平行四边形． 丙方案：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴     ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，三角形全等的性质和判定，角平分线的概念等知识，能正确的利用全等三角形的证明得到线段相等，结合平行四边形的判定是解题关键． 【题型11.平行四边形的判定与性质的应用】 【典例】如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B、C，分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D，分别连结AB、AD、CD．则四边形ABCD是平行四边形，其依据是___． 【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 【分析】(1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． (2)定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形． (3)定理2∶两组对边分别相等的四边形是平行四边形． (4）定理3∶对角线互相平分的四边形是平行四边形． (5)定理4∶一组对边平行且相等的四边形是． 【详解】两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 【点睛】此题考查的是平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，在平行四边形中，cm，cm，点在边上以的速度从点向点运动，点在边上，以的速度从点出发，在上运动到点后返回点，其中一点到达终点时，两点同时停止运动，在运动过程中，当以，，，四点为顶点的四边形为平行四边形时，点运动的时间为（   ） A．2s B．s C．4s D．5s 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，进行分类讨论是解题的关键． 根据平行四边形的性质得出，分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：设经过t秒，以点，，，为顶点组成平行四边形， ∵在边上运动， ∴， ∵以点，，，为顶点组成平行四边形， ∴， 分以下情况：①点Q的运动路线是 由题意得：， 解得：，不符合题意． ②点Q的运动路线是 由题意得：， 解得：；符合题意． 点Q的运动路线是 由题意得：， 解得：；不合题意． 点Q的运动路线是 由题意得：， 解得：，不合题意． 故选：B． 【跟踪专练2】如图，在中，点D是斜边的中点，过点D作于点E，连接，过点E作的平行线，交    的延长线于点F．若，则的长为______． 【答案】5 【分析】根据平行四边形特性、直角三角形特性、中位线特性求解即可 【详解】∵，， ∴， 又 ∴四边形为平行四边形 又为直角三角形斜边中线 ∴ ∴ 故答案为：5 【点睛】本题考查平行四边形特性、直角三角形斜边中线为斜边一半，掌握这些是本题关键． 【跟踪专练3】如图，在平行四边形中，过对角线上一点，作EFBC，HGAB，若四边形和四边形的面积分别为和，则与的大小关系为（  ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】先证明△ABD≌△CDB，△BEP≌△PGB，△HPD≌△FDP，再利用全等三角形的面积相等，得出 ，即． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，EFBC，HGAB， ∴AD=BC，AB=CD，ABGHCD，ADEFBC， ∴四边形GBEP、HPFD是平行四边形， ∵在△ABD和△CDB中，AB=CD，BD=BD，AD=BC， ∴△ABD≌△CDB， ∴； 同理可得：，，， ∴ 即，也即． 故选A． 【点睛】本题考查平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，利用全等三角形的面积相等结合面积做差得出结论是解题的关键． 【解答题】 1．已知：如图，在中，E，F分别是，的中点． . 求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，，，进而得到，即可证明； （2）根据平行四边形的性质得到，，进而得到，即可证明四边形是平行四边形． 【详解】（1）证明：∵， ∴，，， ∵E，F分别是，的中点， ∴，， 即， ∴； （2）证明：∵， ∴，， ∵E，F分别是，的中点， ∴，， 即， ∴四边形是平行四边形． 2．如图，在中，，于点E，点P是上的动点，连接． (1)若，，，求的长； (2)过点P作交于点F，过点B作于点H，交于点N，若，，求证：． 【答案】(1)的长为1 (2)证明见解析 【分析】（1）设，则，在中，，在中，，建立方程即可求解； （2）连接，证明，可得，，有，再证明，可得，则，则由即可得结论． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， 设，则， ∵， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴的长为1． （2）证明：连接， ∵， ， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，，， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．如图，在中，，，，点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是．过点作于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当为何值时，为直角三角形？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)或时，为直角三角形 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质及含角的直角三角形的性质，熟练掌握角所对的直角边是斜边的一半是解题关键． （1）由题意可知，，，根据含角的直角三角形的性质得出，根据，得出，即可证明四边形是平行四边形； （2）分和两种情况，画出图形，根据含角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：由题意得：，，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图所示：当时，则， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：； 如图所示，当时， 由（1）可得：四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， 解得：； 综上所述：或，为直角三角形． 4．问题探究 （1）如图1，在四边形中，点在直线上，且，求作，使得点，在直线上，边，，分别经过点，，（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并直接写出的值； 问题解决 （2）如图2，某市郊野公园现有一块四边形草坪，顶点，，，处均有一棵荔枝古树，点处有一座八角观景亭，园林管理部门准备扩建草坪，想使草坪面积扩大一倍，又想保持棵荔枝古树、八角观景亭在草坪边不动，并要求扩建后的草坪成平行四边形的形状．请问能否实现这一设想？若能，请你设计出所要画的图形；若不能，请说明理由． 【答案】（1）图见解析，；（2）能，图见解析． 【分析】本题考查了作图——基本作图，平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）连接，过点作的平行线，再过点、点分别作的平行线，四条线的交点为、、、，则四边形即为所求，根据平行四边形的性质可得出的值； （2）连接，过点和分别作的平行线，再连接分别交过点、过点的直线于点、，最后过点作的平行线分别交过点、过点的直线于点、，则四边形即为所求． 【详解】解（1）如图，即为所求， ，， 四边形和四边形均是平行四边形， ， 直线与间的距离处处相等，与间的距离处处相等， ，， ， ； （2）能实现这一设想，如图，连接，过点和分别作的平行线，再连接分别交过点、过点的直线于点、，最后过点作的平行线分别交过点、过点的直线于点、，则四边形即为所求， 理由如下： ，， 四边形、四边形和四边形均是平行四边形， ， 直线与间的距离处处相等，与间的距离处处相等， ，， ， ． 5．如图，在平行四边形中，点，是对角线上的两点，请添加一个不同于“”的条件，使四边形是平行四边形，并写出证明的过程． 【答案】添加的条件为：；证明见解析 【分析】添加的条件为：，证明，得到，即可得证． 【详解】添加的条件为：． 证明：∵ ∴ ∴ ∵四边形为平行四边形 ∴，， ∴ ∴ ∴， 又∵ ∴四边形为平行四边形． 【点睛】本题考查平行四边形的判定．熟练掌握平行四边形的判定方法，是解题的关键．. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02平行四边形同步讲义 【题型01 利用平行四边形的性质求解】....................................2 【题型02 利用平行四边形的性质证明】....................................3 【题型03 平行四边形性质的其他应用】....................................4 【题型04 判断能否构成平行四边形】......................................5 【题型05 添条件成为平行四边形】........................................6 【题型06 数平行四边形的个数】..........................................6 【题型07 已知三点.求可构成平行四边形的点的个数】........................7 【题型08 证明四边形是平行四边形】......................................8 【题型09 利用平行四边形的判定与性质求解】..............................9 【题型10 利用平行四边形的判定与性质证明】.............................10 【题型11 平行四边形的判定与性质的应用】...............................11 【解答题5题】.........................................................12 ★知识梳理 知识点01:基本概念 1. 定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 几何语言：在四边形ABCD中，若AB∥CD且AD∥BC，则四边形ABCD是平行四边形。 表示方法：记作□ABCD，读作 “平行四边形ABCD”，顶点需按顺时针或逆时针顺序排列。 2. 相关概念 对边：相对的边，如AB与CD、AD与BC。 对角：相对的角，如∠A与∠C、∠B与∠D。 邻边：相邻的边，如AB与BC、AD与AB。 邻角：相邻的角，如∠A与∠B、∠B与∠C。 对角线：连接不相邻两个顶点的线段，如AC、BD。 知识点02:平行四边形的性质（已知□，推结论） 设□ABCD，对角线AC、BD交于点O。 维度 性质 几何语言 边 对边平行且相等 AB∥CD，AB=CD；AD∥BC，AD=BC 角 对角相等，邻角互补 ∠A=∠C，∠B=∠D；∠A+∠B=180∘ 对角线 互相平分 AO=OC，BO=OD 面积 S=底×对应高（S=ah） 同底等高的平行四边形面积相等 知识点03:平行四边形的判定 设在四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 O。. 判定方法 文字条件 几何语言 定义法 两组对边分别平行 ∵AB∥CD, AD∥BC∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 两组对边分别相等 两组对边分别相等 ∵AB=CD, AD=BC∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 一组对边平行且相等 一组对边平行且相等 ∵AB∥CD 且 AB=CD∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 对角线互相平分 对角线互相平分 ∵OA=OC, OB=OD∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 易错点提醒 1.平行四边形的判定需满足一组条件即可，不可混淆性质与判定的逻辑方向（性质：由平行四边形推结论；判定：由结论推平行四边形）。 2.一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形（可能是等腰梯形）。 3.表示平行四边形时，顶点字母顺序必须正确，不可打乱。 【题型1.利用平行四边形的性质求解】 【典例】在中，若，则的度数为______． 【跟踪专练1】如图，在中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，E，F分别是的边，上的点，与相交于点P，与相交于点．若的面积为2，的面积为4，的面积为26，则阴影部分的面积为_______． 【跟踪专练3】如图，在中，，的平分线与的延长线交于点，与交于点，且是边的中点，，垂足为．若，则的长为（   ） A．1 B．2 C． D．3 【题型2.利用平行四边形的性质证明】 【典例】如图，平行四边形的对角线，相交于点O，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在中，的平分线交于E，交的延长线于点F，则______． 【跟踪专练2】如图，经过对角线的交点，交于点，交于点．有下列结论：①图中共有4对全等三角形；②若，，则；③．其中正确的有（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【跟踪专练3】如图所示，在平行四边形中，，，平分交于点E，则_____． 【题型3.平行四边形性质的其他应用】 【典例】如图，在ABCD中，AC与BD交于O点，则下列结论中不一定成立的是（   ） A．AB=CD B．AO=CO C．AC=BD D．BO=DO 【跟踪专练1】平行四边形两邻边分别是4和6，其中一边上的高是3，则平行四边形的面积是______． 【跟踪专练2】如图，中，点O是对角线、的交点，过点O的直线分别交、于点M、N，若的面积为3，的面积为5，则的面积是（    ） A．16 B．24 C．32 D．40 【跟踪专练3】如图，在中，、分别是、边上的点，与交于点，与交于点，若，，则图中阴影部分的面积为________． 【题型4.判断能否构成平行四边形】 【典例】如图，在四边形中，，添加下列一个条件后，一定能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】顺次连接平面上，，，四点得到一个四边形，从①，②，③，④，⑤，⑥六个条件中选取其中两个，在①②、③④、①③、⑤⑥、③⑥组合中不能得出“四边形是平行四边形”这一结论的是___________（填序号）． 【跟踪专练2】如图，直线，，．若的面积是，则四边形的面积为__________． 【跟踪专练3】点A，B，C，D在同一平面内，有以下条件：①；②；③；④．从四个条件中任章选取两个，能使四边形是平行四边形的选法有（    ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【题型5.添条件成为平行四边形】 【典例】如图，已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，，添加一个条件______，使四边形ABCD为平行四边形（填一个即可）． 【跟踪专练1】如图，在四边形中，，添加一个条件，能使四边形成为平行四边形的是（ ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在等边中，，射线，点从点出发沿射线以的速度运动，点从点出发沿射线以的速度运动．如果点同时出发，设运动时间为，则当_____时，以为顶点的四边形是平行四边形． 【跟踪专练3】在四边形中，，相交于点，，，，．要使四边形为平行四边形，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【题型6.数平行四边形的个数】 【典例】如图所示，在中，，，分别是，，上的点，且，，，则图中平行四边形共有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【跟踪专练1】如图，和都可以由平移得到，则图中共有____________个平行四边形． 【跟踪专练2】如图，每一图中有若干个大小不同的平行四边形，第1幅图中有1个平行四边形，第2幅图中有3个平行四边形，第3幅图中有5个平行四边形，则第100幅图中有平行四边形的个数是（   ） A．200 B．201 C．199 D．198 【跟踪专练3】如图①，在中，，则图①中的平行四边形有_____个；如图②，作，则图②中的平行四边形有_____个． 【题型7.已知三点.求可构成平行四边形的点的个数】 【典例】以不在同一直线上的三点为顶点作平行四边形，最多能作____个不同的平行四边形． 【跟踪专练1】如图，在的正方形网格图中有、、三点，网格中以、、三点为顶点的平行四边形有（   ）个 A． B． C． D．无数 【跟踪专练2】已知以A，B，C，D四个点为顶点的平行四边形中，顶点A，B，C的坐标分别为，则顶点D的坐标为___________． 【跟踪专练3】.在下面的网格图中有三个点，其中点和点在网格线的交点处，点在网格线上．请在本网格图中找出点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，符合要求的点有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【题型8.证明四边形是平行四边形】 【典例】在四边形ABCD中，O是对角线交点，下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【跟踪专练1】如图，在四边形中，，动点P从点A开始沿边向点D以的速度运动，动点Q从点C开始沿边以的速度向点B运动，P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为，连接，当______时，四边形是平行四边形． 【跟踪专练2】如图，在平行四边形中，，，且，相交于点O，则图中的平行四边形有（    ） A．4个 B．5个 C．8个 D．9个 【跟踪专练3】已知：线段，，求作：平行四边形，以下是甲、乙两同学的作业．    甲：①以点为圆心，长为半径作弧； ②以点为圆心，长为半径作弧； ③两弧在上方交于点，连接，． 四边形即为所求平行四边形．（如图1） 乙：①连接，作线段的垂直平分线，交于点； ②连接并延长，在延长线上取一点，使，连接，． 四边形即为所求平行四边形．（如图2） 老师说甲、乙同学的作图都正确，你更喜欢__________的作法，他的作图依据是：_________． 【题型9.利用平行四边形的判定与性质求解】 【典例】如图，平行四边形的面积为10，点P在对角线上，E、F分别在、上，且，，连接，图中阴影部分的面积为________．    【跟踪专练1】如图，是某街心公园地面上的其中一个图案，图案是由两种不同形状的三角形镶嵌而成的正六边形．若这个正六边形的面积为9，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B．4 C．4.5 D．5 【跟踪专练2】如图，在中，，连接，过点作，交射线于点，过点作延长线于点．若，则的长为_____． 【跟踪专练3】如图，在中，，，，点D、E分别是、的中点，交的延长线于F，则四边形的面积为（　　） A． B． C． D． 【题型10.利用平行四边形的判定与性质证明】 【典例】如图所示，四边形是平行四边形，点在线段的延长线上，若，则（ ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在等腰中，，，E，M，F分别是，，上的点，并且，，则四边形的周长是_______． 【跟踪专练2】如图，四边形的对角线交于点O，，过O作直线分别交于E，F两点，若，则四边形周长的最小值为___________． 【跟踪专练3】在中，，为锐角．要在对角线上找点，，使四边形是平行四边形．如图，有甲、乙、丙三种方案，其中正确的方案有（    ） A．甲、乙、丙 B．甲、乙 C．甲、丙 D．乙、丙 【题型11.平行四边形的判定与性质的应用】 【典例】如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B、C，分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D，分别连结AB、AD、CD．则四边形ABCD是平行四边形，其依据是___． 【跟踪专练1】如图，在平行四边形中，cm，cm，点在边上以的速度从点向点运动，点在边上，以的速度从点出发，在上运动到点后返回点，其中一点到达终点时，两点同时停止运动，在运动过程中，当以，，，四点为顶点的四边形为平行四边形时，点运动的时间为（   ） A．2s B．s C．4s D．5s 【跟踪专练2】如图，在中，点D是斜边的中点，过点D作于点E，连接，过点E作的平行线，交    的延长线于点F．若，则的长为______． 【跟踪专练3】如图，在平行四边形中，过对角线上一点，作EFBC，HGAB，若四边形和四边形的面积分别为和，则与的大小关系为（  ） A． B． C． D．不能确定 【解答题】 1．已知：如图，在中，E，F分别是，的中点． . 求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 2．如图，在中，，于点E，点P是上的动点，连接． (1)若，，，求的长； (2)过点P作交于点F，过点B作于点H，交于点N，若，，求证：． 3．如图，在中，，，，点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是．过点作于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当为何值时，为直角三角形？请说明理由． 4．问题探究 （1）如图1，在四边形中，点在直线上，且，求作，使得点，在直线上，边，，分别经过点，，（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并直接写出的值； 问题解决 （2）如图2，某市郊野公园现有一块四边形草坪，顶点，，，处均有一棵荔枝古树，点处有一座八角观景亭，园林管理部门准备扩建草坪，想使草坪面积扩大一倍，又想保持棵荔枝古树、八角观景亭在草坪边不动，并要求扩建后的草坪成平行四边形的形状．请问能否实现这一设想？若能，请你设计出所要画的图形；若不能，请说明理由． 5．如图，在平行四边形中，点，是对角线上的两点，请添加一个不同于“”的条件，使四边形是平行四边形，并写出证明的过程． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $