专题01 整式的乘法全章核心知识与题型（暑假复习讲义）新八年级数学新教材湘教版

专题01 整式的乘法 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 同底数幂乘法计算 题型2 幂的乘方运算 题型3 积的乘方运算 题型4 科学计数法 题型5 整式乘法混合运算 题型6 平方差公式应用 题型7 完全平方公式的应用 题型8 多项式乘法的规律性问题 题型9 乘法公式与几何图形 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. 同底数幂的乘法 2. 幂的乘方 3. 积的乘方 4. 单项式乘单项式 5. 单项式乘多项式 6. 多项式乘多项式 7. 平方差公式 8. 完全平方公式 9. 整式混合运算 10. 整式乘法化简求值 11. 科学计数法 1. 幂的运算：考查同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方的基础计算与正误判断，同时涉及公式逆用，用于代数式求值、幂的大小比较。 2. 基础整式乘法：涵盖单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式运算，重点考查运算法则、符号处理与同类项合并。 3. 平方差公式：包含公式直接计算、符号/系数变式应用，也会设置题型让学生辨别式子是否符合公式结构特征。 4. 完全平方公式：除常规展开计算外，侧重配方变形、知二求一题型，同时考查和、差公式的区分与符号辨析。 5. 整式混合运算：综合幂的运算、各类整式乘法与乘法公式，进行多步化简，侧重运算顺序与公式灵活运用。 6. 化简求值：先对整式整体化简，再代入数字或间接给出的字母数值计算，是高频解答题型。 7. 代数几何综合：借助正方形、长方形等图形面积的不同表示方法，列整式并结合乘法运算求解边长、面积。 8. 参数问题与拓展应用：根据多项式项的特征、系数情况求解参数；同时包含式子规律探究、结合生活场景的实际应用题。 考情解码：整式的乘法并非独立章节，而是整个初中代数的 “运算底座”。运算不扎实、公式不灵活，会直接造成后续因式分解、分式、方程、函数等一系列知识学习断层，也是中考失分的主要原因之一。学好本章，不仅是掌握当下考点，更是为初中中后期所有数学内容扫清运算障碍。 知识点一 幂的运算性质 同底数幂的乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。用公式表示为：，其中m、n都是正整数。 幂的乘方：幂的乘方，底数不变，指数相乘。用公式表示为：，其中m、n都是正整数。 积的乘方：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。用公式表示为： =，其中n是正整数。 【易错提醒】 （1）混淆幂的不同运算性质：同底数幂乘法是指数相加，幂的乘方是指数相乘，积的乘方是每个因式分别乘方，三者运算规则不同，容易出现这类错误； （2）积的乘方漏乘方：计算多个因式的积的乘方时，容易遗漏某个因式的乘方. 即时即练 1．下列运算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 2．已知m，n是正整数，且满足，则m与n的关系是（     ） A． B． C． D． 3．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 4．下列计算正确的是(　　) A． B． C． D． 5．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 知识点二 科学计数法 定义：把一个大于 10 的数表示成 a×，(1≤a＜10 n 为正整数）的形式，叫做科学记数法 a 与 n 取值要求： a：整数部分只有一位，1≤a＜10； n：原数的整数位数减 1。 【易错提醒】 （1）a 的取值范围 （2）遇到万、亿等单位，先把数还原成普通数字，再用科学记数法表示 即时即练 1．2025年7月2日，搭载于“天关”卫星上的宽视场X射线望远镜WXT（昵称“万星瞳”）在例行巡天观测中，发现一例突然出现，存在剧烈光变的暂现源，该源区发生一系列X射线闪耀变．已知最亮时达到的光度约是太阳光度的倍，太阳的光度约为，则该源区最亮时达到的光度（用科学记数法表示）约为（    ） A． B． C． D． 2．根据字节跳动AI算力集群公开测算数据，抖音及旗下AI业务总计约使用万张主流加速芯片．若按单芯片每秒可完成次运算，整个集群每秒可完成的总运算次数用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3．2026年3月10日，某新型火星探测器在酒泉卫星发射中心成功发射，开启对火星卫星火卫一的探测任务．已知火卫一与火星的最近距离约为地球同步卫星轨道高度的35倍，地球同步卫星轨道高度约为，则火卫一与火星的最近距离约为（   ） A． B． C． D． 4．2025年5月29日，行星探测工程天问二号探测器在西昌卫星发射中心成功发射，开启对近地小行星的探测与采样返回之旅，已知该小行星与地球的最近距离约为月球远地点距离的45倍，月球远地点距离约为米，则该小行星与地球的最近距离约为（   ）米 A． B． C． D． 5．某种计算机每秒可进行次运算，它工作分钟可以完成的运算次数用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 知识点三 单项式乘以单项式 单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。 运算步骤：计算系数的乘积：先确定符号，再计算绝对值，系数相乘遵循有理数乘法法则； 计算同底数幂的乘积：按照同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加； 处理单独字母：把只在一个单项式中出现的字母，连同它的指数完整写到乘积中，不能遗漏。 【易错提醒】 （1）遗漏只出现一次的字母：计算时容易只处理两个单项式都有的字母，遗漏只在一个单项式中存在的字母。 （2）运算顺序错误：单项式乘单项式混合乘方运算时，应先算乘方，再算乘法 即时即练 1．下列运算结果是的是（     ） A． B． C． D． 2．计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 3．若a，b为实数，且满足，则a与b的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 4．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 5．计算的结果是（   ） A． B． C． D．． 知识点四 单项式乘以多项式 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。用公式表示为：，其中m、a、b、c都是单项式。 本质：利用乘法分配律将单项式乘多项式转化为多个单项式乘单项式，再求和。 运算步骤：利用分配律，将乘积转化为单项式与单项式乘积的和，注意不要漏乘多项式的任何一项； 分别计算每一组单项式乘单项式； 合并同类项，得到最简结果。 【易错提醒】 （1）漏乘项：单项式乘多项式时，容易漏掉乘多项式中的常数项； （2）符号错误：多项式中各项带有符号，单项式若为负号，乘多项式每一项时容易出现符号错误 即时即练 1．计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 2．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 3．计算的结果是（    ）． A． B． C． D． 4．计算的依据是（   ） A．乘法分配律 B．加法结合律 C．乘法交换律 D．加法交换律 5．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 知识点五 多项式乘以多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 本质：将其中一个多项式看作整体，转化为单项式乘多项式，再进一步计算 运算步骤：按照顺序，用第一个多项式的每一项去乘第二个多项式的每一项，确保不重复、不遗漏； 合并同类项，整理得到最终结果。 【易错提醒】 （1） 漏乘或重复乘：计算时容易漏乘某一项，或者重复计算某一项，按照“逐项相乘”的顺序可以避免这个问题 （2） 符号错误：当多项式中存在负项时，容易出现符号错误 即时即练 1．若，则m、n的值分别为（    ） A．5；6 B．5； C．1；6 D．1； 2．已知，则的值为（     ） A． B． C． D． 3．若化简后为，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．如图，则长方形花园的面积为（   ） A． B． C． D． 5．若，则计算的结果是（   ） A． B．0 C．1 D．2 知识点六 乘法公式 平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。（a+b）(a-b)=- 公式特点：左边是两个二项式相乘，两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； 右边是相同项的平方减去相反项的平方 完全平方公式:两数和（差）的平方，等于它们的平方和加上（减去）它们乘积的二倍.=++2ab =+-2ab 公式特点：结果是二次三项式；首尾两项是平方项，符号永远为正，中间项是两个底数乘积的二倍，符号由括号内的符号决定 【易错提醒】 （1） 平方差公式找错对应项：运用平方差公式时，容易找错相同项和相反项，导致符号错误符号错误：当多项式中存在负项时，容易出现符号错误. （2） 完全平方公式符号错误 （3） 混淆平方差公式和完全平方公式 即时即练 1．已知是完全平方式，则k的值为（    ） A．9 B． C．18 D． 2．下列各式中，应用乘法公式计算正确的是（     ） A． B． C． D． 3．已知，，则的值为（     ） A． B． C． D． 4．如果是一个完全平方式，那么m的值是（　 ） A．2 B． C． D． 5．下列各式中，能用平方差公式计算的是（  ） A． B． C． D． 题型1 同底数幂乘法计算 例1．计算结果是（   ） A． B． C． D． 例2．计算结果正确的是（    ） A．a B．2a C． D． 【技巧总结】 严格判断底数是否完全一致，底数相同才能用 “底数不变，指数相加”；单独字母、常数可看作指数为 1 的幂，计算时切勿遗漏；底数互为相反数时，先统一底数再运算。 【变式训练1】已知m，n是正整数，且满足，则m与n的关系是___． 【变式训练2】已知，求的值是__________． 题型2 幂的乘方运算 例1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 例2．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【技巧总结】 运算规则为底数不变、指数相乘，注意和同底数幂乘法（指数相加）区分开；多层幂的乘方逐层计算，指数连续相乘；式子带负号时，先判断符号再计算幂的结果。 【变式训练1】计算：_____． 【变式训练2】已知（且），则_____． 题型3 积的乘方运算 例1．计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 例2．计算的结果为（     ） A． B． C． D． 【技巧总结】 将积中每一个因式单独乘方，再把结果相乘，严禁漏乘其中任意一项；因式含负号、负数时，根据指数奇偶性判定最终符号；多个因式相乘的积的乘方，规则可同步拓展使用。 【变式训练1】已知，，则 ______． 【变式训练2】计算______． 题型4 科学计数法 例1．1970年4月24日，中国第一颗人造卫星“东方红一号”成功发射．自2016年起，将每年4月24日设立为“中国航天日”．我国首个目标飞行器天宫一号向地球发射无线电信号，信号单向传输到地面测控站所用时间约为，传播速度为，则天宫一号与地面测控站的距离约为（     ） A． B． C． D． 例2．中国天宫空间站在近地轨道的平均飞行速度约为米/秒，绕地球一圈约90分钟，用科学记数法表示天宫空间站绕地球一圈的行程约为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【技巧总结】 改写数时，把小数点移到左边第一位非零数字后得到a，左移几位指数就是正几，右移几位指数就是负几。还原原数按指数方向移动小数点，带单位先换算，最终保证1≤a<10。 【变式训练1】用科学记数法表示：_________． 【变式训练2】若某种火箭的飞行速度是米/秒，若火箭飞行秒，那么火箭飞行的距离是________米．（用科学记数法表示） 题型5 整式乘法混合运算 例1．计算结果正确的是（   ） A．2 B． C．x D． 例2计算______． 【技巧总结】 先算乘方，再算乘法，有括号先算括号内。灵活运用乘法公式简化计算，全程留意符号，最后合并同类项化为最简。 【变式训练1】将4个数a，b，c，d排列成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式．若，则=______． 【变式训练2】化简的结果为___________．． 题型6 平方差公式应用 例1．下列多项式相乘，能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 例2．计算的结果为（　　） A． B． C． D． 【技巧总结】 先识别结构特征：一项完全相同，一项互为相反数；套用口诀 “同项平方减去反项平方”，顺序不可颠倒；底数可为单项式、多项式，把整体看作公式中的字母使用。 【变式训练1】已知，则______． 【变式训练2】若，则的值为（　　） A．4 B． C．2 D． 题型7 完全平方公式的应用 例1．已知，其中，均为常数，则与的关系正确的是（     ） A． B． C． D． 例2．计算：__. 【技巧总结】 牢记公式完整形式，重点提防漏掉中间2ab项，不要简写为两数平方和；分清和的平方、差的平方两种形式，准确匹配中间项符号；底数为多项式、负数时，整体代入公式计算。 【变式训练1】已知，，则（    ） A．1 B．4 C．16 D．8 【变式训练2】已知，求的值为_______． 题型8 多项式乘法的规律性问题 例1．我国南宋数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．的展开式中的一次项系数是（   ） A．80 B． C． D．10 例2．【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式：． 【应用体验】 已知．则m的值为_____． 【技巧总结】 先按法则展开计算，对比式子与结果，找准系数、项的变化规律。用归纳推理总结通用表达式，必要时结合乘法公式简化推导。 【变式训练1】如图所示的三角形杨辉三角揭示了为非负整数的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律直接写出：__________． 【变式训练2】我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，即展开式系数的规律：              1            1    1          1    2    1        1   3    3     1      1   4    6     4    1 以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，展开式中的系数是（ ） A．6 B．64 C．15 D．20 题型9 乘法公式与几何图形 例1．观察如图所示的图形，从图1到图2可用式子表示为（     ） A． B． C． D． 例2．已知，，可借助下图直观分析，也可以通过计算求得的值为（） A． B． C． D． 【技巧总结】 结合图形面积理解公式，通过割补、拼接用两种方式表示面积，建立等式。对照图形结构匹配平方差、完全平方公式，借助图形快速验证和求值。 【变式训练1】我国古代数学家刘徽在注释《九章算术》时，常用“出入相补”原理（即割补法）来证明几何图形的面积关系．如图，将图1大正方形中的阴影部分拼成图2的正方形，这个过程可以直观验证的公式是________． 【变式训练2】图1是将边长为的正方形纸片裁剪掉边长为的正方形后的剩余纸片，将纸片沿虚线剪开拼成图2的形式．由此可以得到的等式为_____． 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．若是一个完全平方式，那么的值是（     ） A．2 B． C．4 D． 3．如图，有正方形，现将放在的内部得图1（图中阴影部分是正方形），将并列放置后构造新的正方形得图2．若图1，图2中阴影部分的面积分别为，关于甲、乙的说法．甲，正方形和的面积和是；乙：正方形的面积差为．判断正确的是（     ） A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲和乙都对 D．甲和乙都错 4．若的展开式中不含x项，则a的值是（　 　） A． B． C．0 D．2 5．科幻巨作《三体》中所描述的三体文明距地球大约光年，它们之间被大量氢气和暗物质纽带连接，看起来似乎是连在一起的“三体星系”．其中数字用科学记数法表示为（） A． B． C． D． 6．若，则___． 7．计算：_____． 8．已知：，，则的值为______． 9．计算： (1)计算：； (2)化简：． 10．计算： (1)； (2)．（利用乘法公式进行计算） 11．运用乘法公式简便计算： (1)； (2)． 12．先化简，再求值：，其中． 13．先化简，再求值：，其中． 14．下面是小颖化简整式的过程，请仔细阅读后解答所提出的问题． 解： 第1步 ．第2步 (1)小颖的化简过程从第______步开始出现错误； (2)请写出此题正确的化简步骤． 15．如图，有一块长、宽的长方形地块．现计划在其中间修筑一个长、宽的长方形塑像基台（空白部分），其余部分（阴影部分）铺上草坪．（） (1)用含的代数式表示草坪的面积．（结果需化简） (2)已知草坪的单价为每平方米20元，当时，求购买草坪所需要的总费用． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 整式的乘法 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 同底数幂乘法计算 题型2 幂的乘方运算 题型3 积的乘方运算 题型4 科学计数法 题型5 整式乘法混合运算 题型6 平方差公式应用 题型7 完全平方公式的应用 题型8 多项式乘法的规律性问题 题型9 乘法公式与几何图形 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. 同底数幂的乘法 2. 幂的乘方 3. 积的乘方 4. 单项式乘单项式 5. 单项式乘多项式 6. 多项式乘多项式 7. 平方差公式 8. 完全平方公式 9. 整式混合运算 10. 整式乘法化简求值 11. 科学计数法 1. 幂的运算：考查同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方的基础计算与正误判断，同时涉及公式逆用，用于代数式求值、幂的大小比较。 2. 基础整式乘法：涵盖单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式运算，重点考查运算法则、符号处理与同类项合并。 3. 平方差公式：包含公式直接计算、符号/系数变式应用，也会设置题型让学生辨别式子是否符合公式结构特征。 4. 完全平方公式：除常规展开计算外，侧重配方变形、知二求一题型，同时考查和、差公式的区分与符号辨析。 5. 整式混合运算：综合幂的运算、各类整式乘法与乘法公式，进行多步化简，侧重运算顺序与公式灵活运用。 6. 化简求值：先对整式整体化简，再代入数字或间接给出的字母数值计算，是高频解答题型。 7. 代数几何综合：借助正方形、长方形等图形面积的不同表示方法，列整式并结合乘法运算求解边长、面积。 8. 参数问题与拓展应用：根据多项式项的特征、系数情况求解参数；同时包含式子规律探究、结合生活场景的实际应用题。 考情解码：整式的乘法并非独立章节，而是整个初中代数的 “运算底座”。运算不扎实、公式不灵活，会直接造成后续因式分解、分式、方程、函数等一系列知识学习断层，也是中考失分的主要原因之一。学好本章，不仅是掌握当下考点，更是为初中中后期所有数学内容扫清运算障碍。 知识点一 幂的运算性质 同底数幂的乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。用公式表示为：，其中m、n都是正整数。 幂的乘方：幂的乘方，底数不变，指数相乘。用公式表示为：，其中m、n都是正整数。 积的乘方：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。用公式表示为： =，其中n是正整数。 【易错提醒】 （1）混淆幂的不同运算性质：同底数幂乘法是指数相加，幂的乘方是指数相乘，积的乘方是每个因式分别乘方，三者运算规则不同，容易出现这类错误； （2）积的乘方漏乘方：计算多个因式的积的乘方时，容易遗漏某个因式的乘方. 即时即练 1．下列运算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法、幂的乘方及积的乘方运算法则逐一判断即可求解． 【详解】解：、与不是同类项，不能合并，该选项运算错误； 、，该选项运算错误； 、，该选项运算正确； 、，该选项运算错误． 2．已知m，n是正整数，且满足，则m与n的关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， 则． 3．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ，选项错误； 幂的乘方，底数不变，指数相乘，， 选项正确； 与不是同类项，不能合并，，选项错误； 积的乘方等于各因式乘方的积，，选项错误． 4．下列计算正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式的基本运算，需运用合并同类项、幂的乘方、同底数幂乘法的法则逐一判断选项，找出正确计算结果． 【详解】解：选项A：∵与不是同类项，不能合并，∴A计算错误． 选项B：，∴B计算正确． 选项C：，∴C计算错误． 选项D：，∴D计算错误． 5．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据合并同类项法则，同底数幂相乘，积的乘方，幂的乘方逐一判断即可． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，正确，故选项符合题意； D、，故选项不符合题意． 知识点二 科学计数法 定义：把一个大于 10 的数表示成 a×，(1≤a＜10 n 为正整数）的形式，叫做科学记数法 a 与 n 取值要求： a：整数部分只有一位，1≤a＜10； n：原数的整数位数减 1。 【易错提醒】 （1）a 的取值范围 （2）遇到万、亿等单位，先把数还原成普通数字，再用科学记数法表示 即时即练 1．2025年7月2日，搭载于“天关”卫星上的宽视场X射线望远镜WXT（昵称“万星瞳”）在例行巡天观测中，发现一例突然出现，存在剧烈光变的暂现源，该源区发生一系列X射线闪耀变．已知最亮时达到的光度约是太阳光度的倍，太阳的光度约为，则该源区最亮时达到的光度（用科学记数法表示）约为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵该源区最亮时达到的光度约是太阳光度的倍，太阳光度为， ∴该源区最亮时的光度 ． 2．根据字节跳动AI算力集群公开测算数据，抖音及旗下AI业务总计约使用万张主流加速芯片．若按单芯片每秒可完成次运算，整个集群每秒可完成的总运算次数用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法和同底数幂的乘法运算，解题思路为将芯片总数转化为科学记数法，再计算总运算次数，化简得到标准科学记数法形式即可． 【详解】解：∵万，单芯片每秒运算次数为次， ∴ 总运算次数为：． 3．2026年3月10日，某新型火星探测器在酒泉卫星发射中心成功发射，开启对火星卫星火卫一的探测任务．已知火卫一与火星的最近距离约为地球同步卫星轨道高度的35倍，地球同步卫星轨道高度约为，则火卫一与火星的最近距离约为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据倍数关系列出算式，将结果整理为标准科学记数法即可得到答案． 【详解】解：∵ 火卫一与火星的最近距离为地球同步卫星轨道高度的倍，地球同步卫星轨道高度为 ∴所求距离为：． 4．2025年5月29日，行星探测工程天问二号探测器在西昌卫星发射中心成功发射，开启对近地小行星的探测与采样返回之旅，已知该小行星与地球的最近距离约为月球远地点距离的45倍，月球远地点距离约为米，则该小行星与地球的最近距离约为（   ）米 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查科学记数法的乘法运算，根据题意，小行星与地球的最近距离为月球远地点距离的45倍，已知月球远地点距离为米，计算乘积后将结果整理为正确的科学记数法形式即可． 【详解】解：． 5．某种计算机每秒可进行次运算，它工作分钟可以完成的运算次数用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将工作时间的单位由分钟换算为秒，再计算总运算次数，最后转化为科学记数法即可． 【详解】解：∵ 分钟秒， ∴ 工作分钟的总时间为秒， 则计算总运算次数． 知识点三 单项式乘以单项式 单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。 运算步骤：计算系数的乘积：先确定符号，再计算绝对值，系数相乘遵循有理数乘法法则； 计算同底数幂的乘积：按照同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加； 处理单独字母：把只在一个单项式中出现的字母，连同它的指数完整写到乘积中，不能遗漏。 【易错提醒】 （1）遗漏只出现一次的字母：计算时容易只处理两个单项式都有的字母，遗漏只在一个单项式中存在的字母。 （2）运算顺序错误：单项式乘单项式混合乘方运算时，应先算乘方，再算乘法 即时即练 1．下列运算结果是的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，该选项不符合题意； B、，该选项不符合题意； C、，该选项符合题意； D、与不是同类项，不能合并，该选项不符合题意． 2．计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 3．若a，b为实数，且满足，则a与b的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算的值，即可得到a与b的关系． 【详解】解：∵， ∴． 4．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按照运算顺序先计算积的乘方，再计算单项式乘法即可求解. 【详解】解： 5．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据单项式乘单项式运算法则，结合同底数幂的乘法法则计算即可得到结果． 【详解】解：． 知识点四 单项式乘以多项式 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。用公式表示为：，其中m、a、b、c都是单项式。 本质：利用乘法分配律将单项式乘多项式转化为多个单项式乘单项式，再求和。 运算步骤：利用分配律，将乘积转化为单项式与单项式乘积的和，注意不要漏乘多项式的任何一项； 分别计算每一组单项式乘单项式； 合并同类项，得到最简结果。 【易错提醒】 （1）漏乘项：单项式乘多项式时，容易漏掉乘多项式中的常数项； （2）符号错误：多项式中各项带有符号，单项式若为负号，乘多项式每一项时容易出现符号错误 即时即练 1．计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用单项式分别乘多项式的每一项，化简后得到结果． 【详解】 ． 2．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将单项式分别乘以多项式的每一项，结合同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】解： 3．计算的结果是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】． 4．计算的依据是（   ） A．乘法分配律 B．加法结合律 C．乘法交换律 D．加法交换律 【答案】A 【分析】 变形得到，是将分别与括号内的和相乘，再将乘积相加，该过程符合乘法分配律的形式． 【详解】解：计算的依据是乘法分配律． 5．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用单项式乘多项式法则，将单项式分别乘多项式的每一项即可． 【详解】解：原式 知识点五 多项式乘以多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 本质：将其中一个多项式看作整体，转化为单项式乘多项式，再进一步计算 运算步骤：按照顺序，用第一个多项式的每一项去乘第二个多项式的每一项，确保不重复、不遗漏； 合并同类项，整理得到最终结果。 【易错提醒】 （1） 漏乘或重复乘：计算时容易漏乘某一项，或者重复计算某一项，按照“逐项相乘”的顺序可以避免这个问题 （2） 符号错误：当多项式中存在负项时，容易出现符号错误 即时即练 1．若，则m、n的值分别为（    ） A．5；6 B．5； C．1；6 D．1； 【答案】D 【分析】将等式左边展开，根据多项式相等时对应项系数相等，即可求出m，n的值． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 2．已知，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据当时，等式右侧即为，再将代入等式左侧计算即可得到结果，也可展开多项式整理后对比系数求解． 【详解】解：解法一： 对于等式， 当时，等式右侧为， 将代入等式左侧，得， ． 解法二： 对于等式， 等式左侧为， ，，， ． 3．若化简后为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查多项式乘多项式运算，解题思路为展开左边多项式，根据对应系数相等求出和的值，再代入计算即可． 【详解】解： 又化简后结果为 对应系数相等，可得，，即 将代入计算： 4．如图，则长方形花园的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：长方形花园的面积为 5．若，则计算的结果是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】本题利用多项式乘法展开已知式和待求式，通过整体代入法计算结果即可． 【详解】解：∵ ， 展开左边得 ， ∴ ， ∴ ， 将 代入得： 原式． 知识点六 乘法公式 平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。（a+b）(a-b)=- 公式特点：左边是两个二项式相乘，两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； 右边是相同项的平方减去相反项的平方 完全平方公式:两数和（差）的平方，等于它们的平方和加上（减去）它们乘积的二倍.=++2ab =+-2ab 公式特点：结果是二次三项式；首尾两项是平方项，符号永远为正，中间项是两个底数乘积的二倍，符号由括号内的符号决定 【易错提醒】 （1） 平方差公式找错对应项：运用平方差公式时，容易找错相同项和相反项，导致符号错误符号错误：当多项式中存在负项时，容易出现符号错误. （2） 完全平方公式符号错误 （3） 混淆平方差公式和完全平方公式 即时即练 1．已知是完全平方式，则k的值为（    ） A．9 B． C．18 D． 【答案】D 【分析】根据完全平方式的定义得到，进而可知，求解即可． 【详解】解：∵，且是完全平方式， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．下列各式中，应用乘法公式计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，计算正确，符合题意． 3．已知，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将所求式子通过完全平方公式变形后，代入已知条件计算即可得到结果． 【详解】解： ． 4．如果是一个完全平方式，那么m的值是（　 ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意，， ∴. 5．下列各式中，能用平方差公式计算的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平方差公式，能用平方差公式计算的条件是：两个二项式相乘，存在相同项和互为相反数的项，据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A、中两项均为相同项，没有相反项，不能用平方差公式计算，不符合题意； B、中，存在相同项，互为相反数的项和，符合平方差公式的形式，能用平方差公式计算，符合题意； C、，两项均为相同项，没有相反项，不能用平方差公式计算，不符合题意； D、，两项均为相同项，没有相反项，不能用平方差公式计算，不符合题意． 题型1 同底数幂乘法计算 例1．计算结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 例2．计算结果正确的是（    ） A．a B．2a C． D． 【答案】D 【分析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 【详解】解：． 【技巧总结】 严格判断底数是否完全一致，底数相同才能用 “底数不变，指数相加”；单独字母、常数可看作指数为 1 的幂，计算时切勿遗漏；底数互为相反数时，先统一底数再运算。 【变式训练1】已知m，n是正整数，且满足，则m与n的关系是___． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴． 【变式训练2】已知，求的值是__________． 【答案】 【分析】根据得到，根据幂的乘方和同底数幂的乘法计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 题型2 幂的乘方运算 例1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用幂的乘方运算法则直接计算即可得到结果． 【详解】解：． 例2．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂的乘方，底数不变，指数相乘；负数的奇次幂是负数进行计算即可． 【详解】解：， 根据幂的乘方法则，可得，且， 计算得． 【技巧总结】 运算规则为底数不变、指数相乘，注意和同底数幂乘法（指数相加）区分开；多层幂的乘方逐层计算，指数连续相乘；式子带负号时，先判断符号再计算幂的结果。 【变式训练1】计算：_____． 【答案】 【分析】根据幂的乘方与积的乘方运算法则计算，即可得到结果． 【详解】解：原式． 【变式训练2】已知（且），则_____． 【答案】 【分析】本题考查幂的乘方运算，根据幂的乘方法则化简等式左边，对比等式两边得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解： 因为， 所以， 所以 解得 题型3 积的乘方运算 例1．计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 例2．计算的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用积的乘方和幂的乘方法则计算即可得到结果． 【详解】解：． 【技巧总结】 将积中每一个因式单独乘方，再把结果相乘，严禁漏乘其中任意一项；因式含负号、负数时，根据指数奇偶性判定最终符号；多个因式相乘的积的乘方，规则可同步拓展使用。 【变式训练1】已知，，则 ______． 【答案】 【分析】根据积的乘方运算法则：，将已知条件代入直接计算求解． 【详解】解：根据积的乘方运算法则： ， ， 代入得：． 【变式训练2】计算______． 【答案】 【分析】本题考查积的乘方运算，可对原式拆分变形，逆用积的乘方法则简化计算． 【详解】解： 原式 ． 题型4 科学计数法 例1．1970年4月24日，中国第一颗人造卫星“东方红一号”成功发射．自2016年起，将每年4月24日设立为“中国航天日”．我国首个目标飞行器天宫一号向地球发射无线电信号，信号单向传输到地面测控站所用时间约为，传播速度为，则天宫一号与地面测控站的距离约为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据路程公式，结合科学记数法的运算规则计算即可得到结果． 【详解】． 例2．中国天宫空间站在近地轨道的平均飞行速度约为米/秒，绕地球一圈约90分钟，用科学记数法表示天宫空间站绕地球一圈的行程约为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题根据路程公式：路程速度时间，计算地球周长，先统一时间单位，再计算结果，最后将结果改写为科学记数法即可． 【详解】解：∵ 90分钟 秒， 天宫空间站绕地球一圈的行程为（米）． 【技巧总结】 改写数时，把小数点移到左边第一位非零数字后得到a，左移几位指数就是正几，右移几位指数就是负几。还原原数按指数方向移动小数点，带单位先换算，最终保证1≤a<10。 【变式训练1】用科学记数法表示：_________． 【答案】 【分析】先计算系数乘积，再计算同底数幂的乘积，最后整理得到符合要求的科学记数法形式即可． 【详解】解： ． 【变式训练2】若某种火箭的飞行速度是米/秒，若火箭飞行秒，那么火箭飞行的距离是________米．（用科学记数法表示） 【答案】 【分析】本题考查路程问题及科学记数法等相关知识点，解题关键在于熟练掌握其知识点；根据距离公式，距离等于速度乘以时间，将速度和时间用科学记数法表示后相乘，并化简为标准的科学记数法形式. 【详解】解：火箭飞行的距离为速度乘以时间，即 由于科学记数法要求数字部分在1到10之间，因此将15表示为 ， 故答案为：. 题型5 整式乘法混合运算 例1．计算结果正确的是（   ） A．2 B． C．x D． 【答案】D 【分析】本题主要考查单项式乘以多项式，熟练掌握单项式乘以多项式是解题的关键；因此此题可根据单项式乘以多项式进行求解． 【详解】解：； 故选：D． 例2计算______． 【答案】 【分析】本题考查整式乘法计算．根据题意利用多项式得乘法将式子分别乘开，再合并同类项即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【技巧总结】 先算乘方，再算乘法，有括号先算括号内。灵活运用乘法公式简化计算，全程留意符号，最后合并同类项化为最简。 【变式训练1】将4个数a，b，c，d排列成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式．若，则=______． 【答案】9 【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，整式的乘法运算，根据题意化简，得，再化简解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， 整理得， 即， 解得． 故答案为： 9． 【变式训练2】化简的结果为___________．． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，掌握其运算法则是解题的关键． 根据幂的乘方，多项式乘以多项式，整式的加减混合运算法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为： ． 题型6 平方差公式应用 例1．下列多项式相乘，能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】平方差公式的结构特征是两个多项式相乘，一项完全相同，另一项互为相反数，满足形式就能用平方差公式计算，据此判断各选项即可． 【详解】解：平方差公式为． A选项 ，两项都相同，不满足平方差结构，不能用平方差公式计算，不符合题意； B选项 ，两项都相同，不满足平方差结构，不能用平方差公式计算，不符合题意； C选项 中，相同项为，相反项为和，满足平方差公式结构，能用平方差公式计算，符合题意； D选项 ，两项都相同，不满足平方差结构，不能用平方差公式计算，不符合题意． 例2．计算的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：. 【技巧总结】 先识别结构特征：一项完全相同，一项互为相反数；套用口诀 “同项平方减去反项平方”，顺序不可颠倒；底数可为单项式、多项式，把整体看作公式中的字母使用。 【变式训练1】已知，则______． 【答案】1 【分析】先由积的乘方逆运算将原式变形为，再结合平方差公式求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ． 【变式训练2】若，则的值为（　　） A．4 B． C．2 D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴. 题型7 完全平方公式的应用 例1．已知，其中，均为常数，则与的关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将等式左边展开后，对比等式两边对应项的系数，即可得到与的关系． 【详解】解：∵ 利用完全平方公式展开等式左边，得 ， 又∵ ， ∴对比等式两边一次项系数，可得，即 例2．计算：__. 【答案】 【详解】原式． 【技巧总结】 牢记公式完整形式，重点提防漏掉中间2ab项，不要简写为两数平方和；分清和的平方、差的平方两种形式，准确匹配中间项符号；底数为多项式、负数时，整体代入公式计算。 【变式训练1】已知，，则（    ） A．1 B．4 C．16 D．8 【答案】D 【分析】将两个已知完全平方式展开，相加后消去交叉项，即可求出的值． 【详解】解：①，② 将得： 化简得 【变式训练2】已知，求的值为_______． 【答案】27 【分析】利用完全平方公式变形，将所求代数式转化为含已知代数式的形式，再代入计算求值． 【详解】解： ． 题型8 多项式乘法的规律性问题 例1．我国南宋数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．的展开式中的一次项系数是（   ） A．80 B． C． D．10 【答案】A 【分析】根据数字的变化规律可得的系数由左向右依次是、、、、、，把看作是，看作是，根据规律把展开即可得到的一次项系数． 【详解】解：根据题意可得， ， ∴ ， ∴的展开式中的一次项系数是. 例2．【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式：． 【应用体验】 已知．则m的值为_____． 【答案】24 【分析】根据题中给出的“三乘”对应的展开式计算，对比已知等式的系数即可求出m的值． 【详解】解：∵， ∴ 即， ∴． 【技巧总结】 先按法则展开计算，对比式子与结果，找准系数、项的变化规律。用归纳推理总结通用表达式，必要时结合乘法公式简化推导。 【变式训练1】如图所示的三角形杨辉三角揭示了为非负整数的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律直接写出：__________． 【答案】 【分析】根据“杨辉三角”的规律，可得出展开后的系数为1，4，6，4，1，再结合展开后的降幂排列和升幂排列即可得出答案． 【详解】解：根据“杨辉三角”的规律，可得出展开后的系数为1，4，6，4，1， ∴． 【变式训练2】我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，即展开式系数的规律：              1            1    1          1    2    1        1   3    3     1      1   4    6     4    1 以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，展开式中的系数是（ ） A．6 B．64 C．15 D．20 【答案】D 【分析】的展开式系数对应杨辉三角的第行，按规律推出的所有系数即可得到目标项的系数． 【详解】解：∵由题意可知，杨辉三角中下一行每个系数（两端的1除外）等于上一行相邻两个系数之和，对应的系数即第5行系数为， ∴对应的第6行系数为：，即； ∴对应的第7行系数为：，即； 又∵展开式按降幂排列时，为第4项，对应系数为20． 题型9 乘法公式与几何图形 例1．观察如图所示的图形，从图1到图2可用式子表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察可知图1可以拼成图2，即图1和图2面积相等． 【详解】解：图1的面积等于一个长方形的面积，为， 图2的面积等于一个大正方形的面积减去一个小正方形的面积，为， 由题意可得，． 例2．已知，，可借助下图直观分析，也可以通过计算求得的值为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察图形可知，大正方形的边长为，其面积可以表示为，也可以表示为中间正方形面积、四个角小正方形总面积与四个矩形的总面积之和，然后直接利用完全平方公式进行计算即可求解． 【详解】解：由， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【技巧总结】 结合图形面积理解公式，通过割补、拼接用两种方式表示面积，建立等式。对照图形结构匹配平方差、完全平方公式，借助图形快速验证和求值。 【变式训练1】我国古代数学家刘徽在注释《九章算术》时，常用“出入相补”原理（即割补法）来证明几何图形的面积关系．如图，将图1大正方形中的阴影部分拼成图2的正方形，这个过程可以直观验证的公式是________． 【答案】 【分析】根据题意得：图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，即可求解． 【详解】解：根据题意得：图1中阴影部分的面积为， 图2中阴影部分的面积为， ∴，这个过程可以直观验证的公式是． 【变式训练2】图1是将边长为的正方形纸片裁剪掉边长为的正方形后的剩余纸片，将纸片沿虚线剪开拼成图2的形式．由此可以得到的等式为_____． 【答案】 【分析】理解题意，由大正方形的面积小正方形的面积图2的图形的面积，进而可以证明平方差公式． 【详解】解：依题意，图1的图形的面积=大正方形的面积小正方形的面积， 图2的图形的面积， 故． 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：选项A中，，∴A错误； 选项B中，，∴B正确； 选项C中，，∴C错误； 选项D中，与不是同类项，不能合并，∴D错误． 2．若是一个完全平方式，那么的值是（     ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【详解】解：由题意， ∴. 3．如图，有正方形，现将放在的内部得图1（图中阴影部分是正方形），将并列放置后构造新的正方形得图2．若图1，图2中阴影部分的面积分别为，关于甲、乙的说法．甲，正方形和的面积和是；乙：正方形的面积差为．判断正确的是（     ） A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲和乙都对 D．甲和乙都错 【答案】C 【分析】根据图形列出算式，设正方形的边长为，正方形的边长为，根据题意可得，，，然后进行化简计算即可解答． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为， ∵图1中阴影部分是边长为的正方形， ∴面积为， 图2中阴影部分的面积为， 即， ∵， ∴， 即， ∴正方形、正方形的面积和为， 因此甲的说法正确； ∵，而， ∴， ∵，而， ∴， ∴正方形、正方形的面积差为， 因此乙的说法正确； 故选：C． 4．若的展开式中不含x项，则a的值是（　 　） A． B． C．0 D．2 【答案】D 【分析】先根据多项式乘多项式法则展开原式，合并同类项后，由展开式不含项，可得项的系数为，据此求解的值即可． 【详解】解： ； ∵展开式中不含项， ∴项的系数等于，即， 解得． 5．科幻巨作《三体》中所描述的三体文明距地球大约光年，它们之间被大量氢气和暗物质纽带连接，看起来似乎是连在一起的“三体星系”．其中数字用科学记数法表示为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查科学记数法，掌握相关知识是解决问题的关键．科学记数法表示为形式，其中，n为整数． 【详解】解：． 故选：D． 6．若，则___． 【答案】36 【详解】∵， ∴. 7．计算：_____． 【答案】 【分析】先利用同底数幂的乘法逆运算将原式变形为，再由积的乘方逆运算求解即可． 【详解】解： ． 8．已知：，，则的值为______． 【答案】/ 【分析】根据幂的乘方和积的乘方的运算法则，对已知等式变形，推导得到与的数量关系，再将所求代数式通分后代入计算即可． 【详解】解： ， ， ，， 即，， ， 整理得， ， ， 将 代入得， ． 9．计算： (1)计算：； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）按照先乘后减的运算顺序计算； （2）先利用单项式乘多项式法则展开，再合并同类项即可得到结果． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 10．计算： (1)； (2)．（利用乘法公式进行计算） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先分别计算幂的乘方与单项式乘法，再合并同类项； （2）先将变形为，再用平方差公式计算． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式． 11．运用乘法公式简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1)8 (2)1 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．先化简，再求值：，其中． 【答案】 ； 【分析】利用完全平方公式和单项式乘多项式法则展开原式，合并同类项化简后，代入的值计算即可得到结果． 【详解】解：原式 ； 将代入得，原式． 13．先化简，再求值：，其中． 【答案】，7 【详解】解：原式， 把代入得，原式． 14．下面是小颖化简整式的过程，请仔细阅读后解答所提出的问题． 解： 第1步 ．第2步 (1)小颖的化简过程从第______步开始出现错误； (2)请写出此题正确的化简步骤． 【答案】(1) (2) ． 【分析】（1）第1步中完全平方公式展开错误； （2）先根据单项式乘多项式和完全平方公式展开，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：略； （2）解：略； 15．如图，有一块长、宽的长方形地块．现计划在其中间修筑一个长、宽的长方形塑像基台（空白部分），其余部分（阴影部分）铺上草坪．（） (1)用含的代数式表示草坪的面积．（结果需化简） (2)已知草坪的单价为每平方米20元，当时，求购买草坪所需要的总费用． 【答案】(1) (2)12500元 【分析】（1）根据长方形面积公式求出长方形地块和塑像的面积，再通过两者面积的关系求出草坪的面积， （2）将a、b的值代入草坪面积的表达式中求出具体数值即可． 【详解】（1）解： ， 答：草坪面积为； （2）解：当，时， ， （元） 答：购买草坪所需要的总费用为12500元． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $