专题01多边形同步讲义(知识梳理+题型精析+考点突破）2025-2026学年湘教版八年级数学下册

专题01多边形同步讲义 【题型01 多边形的概念与分类】.........................................4 【题型02 多边形截角后边数变化与周长计算】.............................7 【题型03 网格中多边形的面积计算】.....................................9 【题型04 多边形对角线的条数规律】....................................12 【题型05 对角线分割多边形的三角形个数规律】..........................13 【题型06 多边形内角和的计算与应用】..................................15 【题型07 正多边形的内角计算】........................................18 【题型08 多边形内角增减问题】........................................21 【题型09 多边形截角后的内角和变化】..................................23 【题型10 正多边形的外角计算】........................................25 【题型11 多边形外角和的实际应用】....................................27 【题型12 多边形内角和与外角和综合】..................................29 【题型13 四边形的不稳定性】..........................................31 【题型14 平面镶嵌】..................................................32 【解答题6题】........................................................35 ★知识梳理 知识点01:多边形的定义与相关概念 1. 多边形定义 在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。 按边数分类：三角形（3 边）、四边形（4 边）、五边形（5 边）……n 边形（n≥3），三角形是最简单的多边形。 表示方法：用顶点字母依次表示，如五边形 ABCDE。 · 在平面内，线段 AB,BC,CD,DE,EA 首尾顺次相接，围成封闭图形，称为五边形 ABCDE。 · 任意一边所在直线（如直线 AB），图形所有顶点都在直线同侧，故为凸多边形。 · 从顶点 C 出发，可作对角线 CA,CB 2. 基本元素（n 边形） 元素 定义 数量 边 组成多边形的各条线段 n 条 顶点 相邻两边的公共端点 n 个 内角 相邻两边组成的角 n 个 外角 多边形的边与它的邻边延长线组成的角 n 个（每个顶点 1 个） 对角线 连接不相邻两个顶点的线段 从一个顶点出发：n-3条总条数：条 3. 凸多边形与凹多边形 凸多边形：画出任意一边所在直线，整个多边形都在直线的同侧 凹多边形：存在一边所在直线，使多边形部分在直线两侧。 4. 正多边形 在平面内，各边相等、各内角也相等的多边形叫做正多边形（如正三角形、正方形、正五边形）。⚠️ 易错点：仅边相等或仅角相等的多边形不一定是正多边形（如菱形、矩形）。 知识点02:多边形内角和定理 1. 公式 n 边形内角和 = (n-2) × 180°（n≥3，n 为整数）。 2. 推导思路（分割法） 从 n 边形一个顶点出发，可作n-3条对角线，将 n 边形分成n-2个三角形；n 边形内角和 = 这 (n-2) 个三角形内角和之和 = (n-2) × 180°。 3. 正 n 边形单个内角 单个内角度数 = ​。 知识点03:多边形外角和定理 1. 结论 任意凸 n 边形的外角和 = 360°（与边数 n 无关）。. 2. 推导依据 多边形每个顶点处，内角 + 相邻外角 = 180°（邻补角）；n 边形所有内角和 + 所有外角和 = n × 180°；故外角和 = n×180° - (n-2)×180° = 360°。 3. 正 n 边形单个外角 单个外角度数 = n​ 知识点04:核心公式汇总（n≥3） 内角和：(n-2)·180° 外角和：360°（定值） 从一个顶点出发的对角线条数：n-3 对角线总条数：​ 正 n 边形单个内角：​ 正 n 边形单个外角： 常见易错点 1.多边形定义中 “平面内”“首尾顺次相接”“封闭” 三个条件缺一不可。 2.对角线是连接不相邻顶点的线段，相邻顶点连线是边，不是对角线。 3.外角和为 360° 是所有凸多边形的共性，与边数无关。 4.正多边形需同时满足 “各边相等” 和 “各角相等”，缺一不可。 【题型1.多边形的概念与分类】 【典例】如图，在多边形中，___________是多边形的边；___________是多边形的顶点；___________是多边形的对角线；___________是多边形的内角． 【答案】 ，，，， 点 ，，，， 【分析】本题考查了多边形．根据多边形的定义解答即可． 【详解】解：在多边形中，，，，，是多边形的边； 点是多边形的顶点； 是多边形的对角线； ，，，，是多边形的内角． 故答案为：，，，，；点；； ，，，，． 【跟踪专练1】如图所示的多边形中，不是凸多边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了凸多边形的定义，正确理解该概念是解题的关键． 根据凸多边形的定义判断，即画出多边形的任何一条边所在的直线，如果多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，或者从角的度数来看，凸多边形的每一个内角都小于，逐一判断即可． 【详解】解：A、是一个三角形，满足凸多边形的定义，是凸多边形，不符合题意； B、多边形的某一条边所在的直线，多边形不在这条直线的同一侧，且有一个内角大于，不是凸多边形，符合题意； C、是一个六边形，满足凸多边形的定义，是凸多边形，不符合题意； D、是一个五边形，满足凸多边形的定义，是凸多边形，不符合题意； 故选：B． 【跟踪专练2】如图，凸四边形，有两种剖分方法：（如图示）世纪，数学家乌尔班发现并证明了下面的公式：（表示凸边形的三角剖分数），请你用上面的公式计算______． 【答案】 【分析】本题考查了多边形的概念，代数式求值，由题意得，，求出，然后再通过即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意得：，， ∴， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在凸五边形中，，，，，，则凸五边形的面积等于（   ） A．32 B．16 C．8 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，割补法求面积；过点作交于，过点作交于，点作交于，由可判定，由全等三角形的性质得，，同理可证，，设，，由四个三角形面积和，即可求解；能熟练利用割补法求面积，构建三角形全等是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作交于，过点作交于，点作交于， ， ， ， ， ， 在和中 ， （）， ， ， 同理可证：， ， ， ， 设， ， ， ， ， 故选：C． 【题型2.多边形截角后边数变化与周长计算】 【典例】若一个正n边形的边长为2cm，则其周长为___________ 【答案】cm/厘米 【分析】根据正边形的周长公式即可得到结论． 【详解】解：正边形的边长相等，且边长为2cm， 其周长为cm， 故答案为：cm． 【点睛】本题考查的是正多边形和圆，熟记正多边形的定义是解答此题的关键． 【跟踪专练1】若一个四边形截去一个角后，可能为（　　）边形 A．4或5 B．3或4 C．3或4或5 D．4或5或6 【答案】C 【分析】本题主要考查了多边形，解题的关键是理解多边形截去一个角的位置可得：比原多边形可能少1条边，可能边的条数不变，也可能增加1条边． 根据多边形截去一个角的位置可得：比原多边形可能少1条边，可能边的条数不变，也可能增加1条边；据此求解即可． 【详解】解：若一个四边形截去一个角后，可能为3或4或5边形． 故选：C． 【跟踪专练2】如图是一块电脑主板，每一个转角处都是直角，数据如图所示，单位是，则该主板的周长为_____． 【答案】96 【分析】本题考查了求周长，需合理分析图形，利用的是矩形的周长公式．题目中是一个多边形，求周长应把图中的多边形分成各个矩形求解或把多边形变为整体一个矩形求解即可． 【详解】解：如图： 矩形的长为， ， ， ∴主板的周长为， 故答案为：96． 【跟踪专练3】一个多边形截去一个角后，变成16边形，那么原来的多边形的边数为（    ） A．15或16或17 B．15或17 C．16或17 D．16或17或18 【答案】A 【分析】分三种情况讨论，当截线不经过多边形的顶点时，当截线经过多边形的一个顶点时，当截线经过多边形的两个顶点时，再利用数形结合的方法可得答案. 【详解】解：如图，当截线不经过多边形的顶点时，被截后的多边形比原多边形增加一条边， 所以当被截后的多边形为16边形，则原多边形为15边形， 如图，当截线经过多边形的一个顶点时，被截后的多边形与原多边形边数相同， 所以当被截后的多边形为16边形，则原多边形为16边形， 如图，当截线经过多边形的两个顶点时，被截后的多边形比原多边形少一条边， 所以当被截后的多边形为16边形，则原多边形为17边形， 故选： 【点睛】本题考查的是用直线截多边形的一个角后，被截后的多边形的边数与原多边形的边数之间的关系，解题的关键是清晰的分类讨论. 【题型3.网格中多边形的面积计算】 【典例】如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则的面积与的面积大小关系为：_____（填“＞”“＝”或“＜”）， 【答案】= 【分析】分别求出△ABC的面积和△ABD的面积，即可求解． 【详解】解：∵， ， ∴， 故答案为：=． 【点睛】本题考查了三角形的面积，掌握三角形的面积公式是本题的关键． 【跟踪专练1】如图所示的方格（每个小方格面积为1）中阴影部分为两个轴对称型的汉字，图①中汉字面积为，图②中汉字的面积为，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】D 【分析】利用割补法分别求出和的面积，再作差即可． 【详解】解：如图， ， ， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查不规则图形的面积，掌握割补法求不规则图形的面积是解题关键． 【跟踪专练2】如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D，E，F是网格线的交点，则的面积与的面积比为__________． . 【答案】1∶4 【分析】分别求出△ABC的面积和△ABD的面积，即可求解． 【详解】解：， ， ∴的面积与的面积比为1∶4． 故答案为1∶4． 【点睛】本题考查了三角形的面积，掌握三角形的面积公式是解本题的关键． 【跟踪专练3】如图，在正六边形中，的面积为3，则四边形的面积为______ 【答案】9 【分析】本题考查了正六边形的性质，解题的关键是理解． 【详解】解：如下图，作， 六边形是正六边形， ，， 的面积为3， ， 四边形的面积为， 故答案为：9． 【题型4.多边形对角线的条数规律】 【典例】已知边数大于3的多边形都有对角线，那么过十一边形的一个顶点的对角线有（　　） A．9条 B．8条 C．7条 D．6条 【答案】B 【分析】本题考查多边形对角线的条数问题，根据过n边形一个顶点的对角线数量公式：条（n为多边形边数且）进行解答即可． 【详解】解：∵过n边形一个顶点的对角线数量为条（） 又∵该多边形是十一边形，即 ∴过其一个顶点的对角线数量为条 故选：B 【跟踪专练1】银川市金凤区某中学要举办数学文化节，需要制作一种多边形的宣传标牌．已知从这个多边形的一个顶点出发，最多可以引出12条对角线，则它的边数为______． 【答案】15 【分析】本题考查了多边形对角线的计算，根据多边形中，从一个顶点出发可以引出（是多边形的边数）条对角线的计算方法即可求解． 【详解】解：根据题意，设多边形的边数为， ， 解得，， ∴这个多边形的边数为15， 故答案为：15． 【跟踪专练2】若一个多边形从一个顶点出发可引4条对角线，则这个多边形对角线的总数为（　　） A．14 B．28 C．24 D．20 【答案】A 【分析】根据一个边形从一个顶点出发有条对角线，即可求出该多边形的边数．再根据边形对角线的总数为，即可求解． 【详解】解：根据题意，一个多边形从一个顶点出发可引4条对角线， 可知该多边形的边数为， ∴这个多边形对角线的总数为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了多边形的对角线的条数问题，熟练掌握边形的相关公式是解题关键． 【跟踪专练3】某新款自动驾驶汽车的环视感知系统，其八个核心传感器均匀分布在一个圆形支架上（可视为正八边形顶点）.该系统内部信号连接时，若每两个传感器均需建立独立通道（相邻传感器间已由支架直连），则需要额外建立的连接通道数量为______条． 【答案】 【分析】本题考查了图论基础知识，具体涉及完全图的边数计算和去重思想．题目中传感器均匀分布在正八边形顶点上，相当于一个8个顶点的图，每个顶点需要与其他所有顶点连接，但相邻顶点之间已有连接（即正八边形的边），需要计算额外添加的连接通道数．掌握完全图边数公式和去重原理是解题的关键． 【详解】解：∵对于每个核心传感器，除去相邻传感器，还需要连5个传感器，故需额外建立5条连接通道， ∴一共需要额外建立的连接通道数量为（条）． 故答案为：． 【题型5.对角线分割多边形的三角形个数问题】 【典例】过某个多边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个三角形，则这个多边形是（   ） A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 【答案】B 【分析】本题主要考查了多边形对角线的条数， 根据多边形对角线性质，从n边形一个顶点出发的对角线将多边形分成个三角形． 【详解】解： ∵从n边形一个顶点出发的对角线将多边形分成个三角形，且题目中分成5个三角形， ∴， 解得， ∴这个多边形是七边形. 故选：B． 【跟踪专练1】从某个多边形的一个顶点出发的所有对角线，将其分成8个三角形，则这是__________边形． 【答案】十/10 【分析】本题主要考查了多边形对角线的性质，熟练掌握从边形一个顶点出发的对角线将多边形分成个三角形这一规律是解题的关键．利用多边形从一个顶点出发的对角线分成三角形个数的公式，建立方程求解多边形的边数． 【详解】解：设多边形为n边形， 则， ， ， 故答案为：十． 【跟踪专练2】过某个多边形的一个顶点可以引出8条对角线，这些对角线将这个多边形分成_________个三角形． 【答案】9 【分析】根据过n边形的一个顶点，可以引出（n-3）条对角线，这些对角线把该多边形分成（n-2）个三角形，即可求解． 【详解】解：∵某个多边形的一个顶点可以引出8条对角线， ∴该多边形的边数为8+3=11， ∴这些对角线将这个多边形分成11-2=9个三角形． 故答案为：9 【点睛】本题主要考查了多边形的对角线问题，熟练掌握过n边形的一个顶点，可以引出（n-3）条对角线，这些对角线把该多边形分成（n-2）个三角形是解题的关键． 【跟踪专练3】下列说法正确的有（    ）个 ①把一个角分成两个角的射线叫做这个角的角平分线；②连接、两点的线段叫两点之间的距离；③两点之间直线最短；④射线上点的个数是直线上点的个数的一半；⑤边形从其中一个顶点出发连接其余各顶点，可以画出条对角线，这些对角线把这个边形分成了个三角形． A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】分别利用直线、射线、线段的定义、角的概念和角平分线的定义以及多边形对角线的求法分析得出即可． 【详解】解：①把一个角分成两个角的射线叫做这个角的角平分线，故原说法错误； ②连接、两点的线段的长度叫两点之间的距离，故原说法错误； ③两点之间线段最短，故原说法错误； ④射线上点的个数与直线上点的个数没有关系，故原说法错误； ⑤边形从其中一个顶点出发连接其余各顶点，可以画出条对角线，这些对角线把这个边形分成了个三角形，此说法正确． 所以，正确的说法只有1个， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了直线、射线、线段的定义以及角的概念和角平分线的定义等知识，正确把握相关定义是解题关键． 【题型6.多边形内角和的计算与应用】 【典例】如果十边形的各个内角都相等，那么它的一个内角是 ___________． 【答案】/度 【分析】此题主要考查了多边形的内角和，关键是掌握多边形内角和公式． 利用多边形的内角和公式，计算出十边形的内角和，然后再除以10即可． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 【跟踪专练1】一个多边形的内角和不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了多边形的内角和定理，对于定理的理解是解决本题的关键． 多边形的内角和公式为，其中为边数且，因此内角和必须是的整数倍。 【详解】解：∵ 多边形的内角和为， ∴ 内角和必为的倍数。 A、，为整数，不符合题意； B、，为整数，不符合题意； C、，为整数，不符合题意； D、，不为整数，符合题意． 故选：D． 【跟踪专练2】如图，已知，则________． 【答案】/120度 【分析】本题考查了三角形内角和和四边形内角和，解题关键在于转换角直角的关系； 根据三角形内角和和对顶角相等原理可得，再利用四边形内角和为，可求得结果. 【详解】解：如图；连接，由三角形角和得： ∴四边形中， ∵， ∴ 故答案为：. 【跟踪专练3】如图，五边形中，，，，M为边的中点，，，则五边形的面积为（   ）． A．30 B．28 C．24 D．20 【答案】A 【分析】本题考查了多边形的内角和，全等三角形的判定和性质，添辅助线将多边形的问题转化为三角形的问题是解题的关键．延长到F，使，连接、、，易证，，，五边形的面积转化成了三角形的面积，利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图，延长到F，使，连接、、， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ， ∴， ∵， ∴，   在和中， ， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴五边形的面积 = ． 故选：A． 【题型7.正多边形的内角计算】 【典例】某学校举办“叩问苍穹，征途永志”主题活动，邀请同学们设计航天纪念章．小官设计了如图所示的正八边形纪念章，则此纪念章一个内角的大小为______度． 【答案】135 【分析】本题考查了正多边形的内角问题，熟练掌握正多边形的内角公式是解题的关键：正多边形的内角和，正多边形每个内角的度数或． 根据正多边形的内角公式即可直接得出答案． 【详解】解：正八边形每个内角的度数为： ， 此纪念章一个内角的大小为度， 故答案为：． 【跟踪专练1】人民币一角硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了多边形的外角和定理．根据多边形的外角和定理求得正九边形的9个相同外角的度数和，即可求得1个外角的度数，再根据1个外角与其相邻的内角互为邻补角，即可求得每个内角的度数． 【详解】解：该正九边形的一个外角的度数为， ∴正九边形每个内角的度数是． 故选：C 【跟踪专练2】直线l与正六边形的边、分别相交于点，如图所示，则_____度． 【答案】 【分析】本题考查了多边形内角与外角，对顶角． 根据多边形的内角和公式可得：正六边形的内角和为，再根据正六边形定义可得，由此可得．在四边形中，可知，即可得出的度数，根据对顶角性质可得：，，进而得出答案． 【详解】解：∵是正六边形， ∴正六边形的各内角相等， ∴． ∵正六边形的内角和为：， ∴． 在四边形中，， ∴ ． ∵，， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在平面上将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查正多边形的内角的性质，熟练掌握正多边形的内角的性质是解决本题的关键． 根据正多边形的内角的性质解决此题． 【详解】解：正三角形的每个内角的度数是， 正方形的每个内角的度数是， 正五边形的每个内角的度数是， 正六边形的每个内角的度数是， 则． 故选：C． 【题型8.多边形内角增减问题】 【典例】在一个 边形中，除了一个内角外，其余的内角的和是 ，那么这个未知角是__________  度，这个多边形的边数是_________． 【答案】 60 8 【分析】根据未知角的范围和内角和公式求得多边形的边数，再求得未知角的度数即可； 【详解】，又 即 解得： 为正整数 故答案为：60,8 【点睛】本题考查了多边形内角和公式，解不等式组，理解题意列不等式组求解是解题的关键． 【跟踪专练1】小红：我计算出一个多边形的内角和为；老师：不对呀，你可能少加了一个角则小红少加的这个角的度数是（　　） A．1 B．1 C．1 D．1 【答案】D 【分析】设这个多边形的边数为n，少加的角的度数为x，由多边形内角和定理可得等式：，由n为整数即可确定x的值． 【详解】设这个多边形的边数为n，少加的角的度数为x， 由题意得：， ， 由于n为整数，x为正数且小于， ， 则， 故选：D． 【点睛】本题考查了多边形内角和定理，关键是设多边形的边数及少加的角的度数，由多边形内角和定理得到等式，根据边数为整数确定少加的角． 【跟踪专练2】如图是两位学生在探究某多边形的内角和时的一段对话，请根据他们的对话内容判断他们少加的内角的度数为____． 【答案】/105度 【分析】本题考查了多边形内角和定理，先根据多边形内角和公式，确定内角和的范围，再通过计算找到符合条件的边数及少加的内角度数． 【详解】解：∵， 又∵少加了一个内角， ∴多边形的边数是：， ∴他们在求九边形的内角和， ∴，少加的内角为， 故答案为：． 【跟踪专练3】剪纸片：有一张长方形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片；从这2张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有3张纸片：从这3张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有4张纸片；……；如此下去，若最后得到10张纸片，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5 张四边形纸片，则还有一张多边形纸片的边数为________． 【答案】6 【分析】根据多边形的内角和进行即可求解． 【详解】解：根据题意用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，则每剪一次，所有的多边形的内角和增加360°， 10张纸片，则剪了9次，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5 张四边形纸片，设还有一张多边形纸片的边数为， ， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了多边形内角和公式，理解题意是解题的关键． 【题型9.多边形截角后的内角和变化】 【典例】一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为，则原多边形的边数是(      ) A．或 B． C．或 D．或或 【答案】D 【分析】因为一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，根据多边形的内角和即可解决问题． 【详解】解：n边形的内角和是（n﹣2）•180°（n≥3且n是整数），一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条， 根据题意得（n﹣2）•180°＝2520°， 解得：n＝16， 则多边形的边数是15或16或17． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理，本题容易出现的错误是：认为截取一个角后角的个数减少1．熟练掌握多边形的内角和定理是解题的关键． 【跟踪专练1】从一个六边形上截去一个角，则得到的多边形的内角和为______________． 【答案】或或 【分析】根据剪去一个角后的多边形的边数有：增加1、减少1、不变三种情况求出边数，再根据多边形的内角和公式列式计算即可得解． 【详解】解：∵六边形截去一个角后的边数有增加1、减少1、不变三种情况， ∴新多边形的边数为7、5、6三种情况， ∴新多边形的内角和为， ， ， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了多边形的内角和，难点在于判断出剪去一个角后多边形的边数． 【跟踪专练2】一天妈妈给小新出了一道智力题考他．将一个多边形截去一个角后，得到这个多边形的内角和将会（    ） A．不变 B．增加 C．减少 D．无法确定 【答案】D 【分析】分三种情况讨论，即可得到答案． 【详解】解∶设该多边形为边形，则该多边形的内角和为， ∵边形截去一个角后，得到这个多边形可能为边形或边形或边形， ∴新多边形的内角和为或或 ∴新多边形的内角和将不变或增加或减少． 故选∶ D． 【点睛】本题考查多边形的内角和公式，解题的关键是分情况讨论． 【跟踪专练3】一个多边形过顶点剪去一个角后，所得多边形的内角和为，则原多边形的边数是__________． 【答案】6或7/7或6 【分析】本题主要考查多边形截角后的内角和问题，熟练掌握多边形的内角和与多边形的边数之间的关系是解题的关键．求出新的多边形为六边形，则可推断原来的多边形可以是五边形，可以是六边形和七边形． 【详解】解：设所得多边形的边数为n，由多边形内角和，可得： ， 解得：， ∴新的多边形为六边形， ∵原多边形过顶点剪去一个角， ∴原来的多边形可以是六边形和七边形． 故答案为：6或7． 【题型10.正多边形的外角计算】 【典例】一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的边数为______． 【答案】6 【分析】本题主要考查了多边形外角和定理，根据多边形的外角和定理，即可求解． 【详解】解：∵多边形的外角和等于，每个外角为， ∴边数． 故答案为：6． 【跟踪专练1】若正多边形的一个外角等于，则这个正多边形的边数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形的外角性质，用外角和除以正多边形的一个外角度数即可求解，掌握正多边形的外角性质是解题的关键． 【详解】解：∵正多边形的外角和为，且每个外角都相等 又∵该正多边形的一个外角为， ∴这个正多边形的边数为， 故选：． 【跟踪专练2】如果一个多边形的各边都相等，且各内角也都相等，那么这个多边形就叫做正多边形．如图，就是一组正多边形，边数为，观察每个正边形中的变化情况，当时，__________． 正多边形的边数 3 4 5 6 的度数 【答案】 【分析】此题考查了正多边形的内角和外角和计算，分别计算正三角形，正四边形，正五边形中的值，找到计算思路，据此求出当时的度数，熟练掌握正多边形外角和及内角与外角的关系是解题的关键 【详解】解：正三角形中， ， 正四边形的每个内角为，， 正五边形的每一个内角为，， 正六边形的每一个内角为，， 依次类推，正n边形的每一个内角为， 则， ∴当时，． 故答案为： 【跟踪专练3】在2024年10月的广交会现场，某商家的展台是一个不完整的正多边形图案，如图，小李量得展台中一边与对角线的夹角，则这个正多边形的边数是（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，正多边形的性质，正多边形的外角与边数的关系，熟练掌握正多边的外角和等于360°是解题的关键． 根据三角形内角和定理以及正多边形的性质，得出，然后可得每一个外角为，进而即可求解． 【详解】解：依题意，，， ∴ ∴ ∴这个正多边形的一个外角为， 所以这个多边形的边数为， 故选：C． 【题型11.多边形外角和的实际应用】 【典例】如图，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据多边形外角和定理得到，进而代入已知角度求出的度数． 【详解】解：，，，，． 故选：． 【跟踪专练1】如图，图①是我国古代建筑中的一种窗格，称为“冰裂纹”．图②是从图①冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的五边形，、、、、分别是这个五边形的外角，则的度数为________°． 【答案】 【分析】本题考查的是多边形的外角，掌握多边形的外角和等于是解题的关键．根据多边形的外角和等于解答即可． 【详解】解：由多边形的外角和等于可知，， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，小明从A点出发，沿直线前进6米后向左转，再沿直线前进6米，又向左转…照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为（   ）米． A．40 B．36 C．48 D．60 【答案】C 【分析】根据正多边形的外角求出边数． 【详解】解：， （米）． 【点睛】注意正多边形边数和外角的关系． 【跟踪专练3】如图所示，分别以n边形的顶点为圆心，以为半径画圆，当时，则图中阴影部分的面积之和为____________．（注：结果用含的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了多边形的内角与外角和扇形的面积计算，求出2024边形的外角和，即阴影部分的圆心角的和等于，再根据圆的面积公式求出答案即可． 【详解】解：∵2024边形的外角和， ∴图中阴影部分的面积之和， 故答案为：． 【题型12.多边形内角和与外角和综合】 .【典例】若一个多边形的外角和与内角和相等，则这个多边形的边数是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和问题，由题意可得这个多边形的内角和为， 设这个多边形的边数是，再根据多边形的内角和公式计算即可得解，熟练掌握相关知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵一个多边形的外角和与内角和相等， ∴这个多边形的内角和为， 设这个多边形的边数是，则， 解得：， 故选：A． 【跟踪专练1】每一个外角都等于的多边形是______边形，它的内角和等于______． 【答案】 十 /度 【详解】解：由多边形外角和定理可知，任意多边形的外角和为， ∵多边形的每一个外角都等于， ∴这个多边形的边数， ∵多边形是十边形， ∴根据边形的内角和公式，将代入得： ． 【跟踪专练2】一个四边形四个外角之比为，则这个四边形的内角中（   ） A．只有一个锐角 B．有两个锐角 C．有三个锐角 D．有四个锐角 【答案】B 【分析】根据任意四边形外角和为，以及外角的比例求出四个外角的度数，再计算对应内角，判断锐角个数即可． 【详解】解：设四个外角的度数分别为，，，， ∵任意多边形的外角和为， ∴， 解得， ∴四个外角分别为，，，， ∵内角与相邻外角和为， ∴四个内角分别为，，，， ∵锐角是小于的角，此处和为锐角， ∴这个四边形有2个锐角． 【跟踪专练3】如图，太阳光平行照射在放置于地面的六边形上．若六边形的每个内角都相等，且，则__________． 【答案】41° 【分析】此题考查多边形的内角与外角、平行线的性质，熟记多边形的外角和是及“两直线平行，同位角相等”是解题的关键． 由每个内角都相等的六边形的每个外角都相等得出，根据三角形的内角和得出，即可根据三角形的外角定理和平行线的性质求解． 【详解】解：如图，延长交于点，则． 六边形的每个内角都相等， 其每个外角都相等， ， ． ， ． 故答案为：． 【题型13.四边形的不稳定性】 【典例】伸缩门可自由伸缩，开关方便，它凸显分四边形的（   ） A．稳定性 B．不稳定性 C．对称性 D．美观性 【答案】B 【分析】本题考查四边形的特形，可自由伸缩说明不稳定，由此可得答案． 【详解】解：伸缩门可自由伸缩，开关方便，它凸显分四边形的不稳定性， 故选B． 【跟踪专练1】图①是将木条用钉子钉成的四边形木架，拉动木架，观察图②中的变动情况，说一说，其中所蕴含的数学原理是___________． 【答案】四边形具有不稳定性 【分析】本题考查了四边形具有不稳定性，关键抓住图中图形是否变形，从而判断是否具有稳定性． 【详解】由图示知，四边形变形了，其中所蕴含的数学原理四边形具有不稳定性． 故答案为：四边形具有不稳定性． 【跟踪专练2】下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（    ） A．太阳能热水器 B．伸缩门 C．自行车三脚架 D．三角形支架 【答案】B 【分析】本题考查了三角形稳定性的实际应用，根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性解答即可． 【详解】解：A、C、D选项都含有三角形，故利用了三角形的稳定性；选项B伸缩门是用到了四边形的不稳定性， 故选：B． 【跟踪专练3】如图所示，，，是三根长度分别为，，的木棒，它们之间连接处可以活动，在A，D之间拉一根橡皮筋，请根据四边形的不稳定性思考，这根橡皮筋的最大长度可以拉到多少厘米？最短长度为多少厘米？    【答案】这根橡皮筋的最大长度可以拉到，最短长度为 【分析】分两种情况进行讨论，当A，B，C，D形成一条线段时，最长，当A，B，C拉直，B，A落在上时，最短，分别求解即可． 【详解】由于B，C两处可以转动，当A，B，C，D形成一条线段时，最长，它等于；当A，B，C拉直，B，A落在上时，最短，它等于． 答：这根橡皮筋的最大长度可以拉到，最短长度为． 【点睛】本题考查了三角形的稳定性，当三角形三边的长度确定后，三角形的大小和形状就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性． 【题型14.平面镶嵌】 【典例】我们知道形状为正五边形的地砖不能铺满地面，但某公园的一段路面是用型号相同的特殊的五边形地砖铺成的．如图，是平铺图案的一部分，其中每个五边形有3个内角相等，那么这3个内角都等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平面镶嵌（密铺），解题的关键是发现规律，由图中可以看出，这3个内角放在同一顶点处，可组成一个周角，由此即可求出答案． 【详解】因为3个内角放在同一顶点处，组成一个周角，所以每个内角为： 故这3个内角都等于 故选：C． 【跟踪专练1】公园的一段甬道是由完全相同的五边形密铺而成，其部分密铺图案如图所示，若，，则的度数为___________． 【答案】/120度 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，平面镶嵌，先根据多边形内角和定理得出五边形的内角和，然后再根据题意即可得出答案． 【详解】解：五边形的内角和为：， ∵， ． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，是工人师傅用边长均为a的正六边形和正方形地砖围绕着点B进行的铺设．若将另一块边长为a的正多边形地砖恰好能镶嵌在处，则这块正多边形地砖的边数是（　　）    A．6 B．9 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的内角和．熟练掌握正边形的内角和为是解题的关键． 由题意知，正六边形的内角为，正方形的内角为，则，设镶嵌在处的正多边形地砖的边数为，依题意得，，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，正六边形的内角为，正方形的内角为， ∴， 设镶嵌在处的正多边形地砖的边数为， 依题意得，， 解得， 故选：D． 【跟踪专练3】用如图（1）所示的若干张直角三角形与四边形纸片进行密铺（不重叠、无空隙），观察示意图（图（2））可知的值等于_____． 【答案】 【分析】本题考查平面图形的镶嵌和密铺，根据两个图形能够密铺，得到每个公共顶点处各角的和为360度，如图，易得， ，进而得到，再根据公共顶点处各角的和为360度，进而求出代数式的值即可． 【详解】解：如图， 由题意和图（2）可知：， 可得 ∴ 故答案为：． 【解答题】 1．（1）若一个正多边形的每一个内角都比与其相邻外角的3倍多，求这个多边形的边数． （2）一个多边形的内角和是，求这个多边形共有多少条对角线． 【答案】（1）10 （2）27 【分析】（1）根据内角与相邻外角互补的关系，结合题目条件求出单个外角的度数，再利用多边形外角和为，即可求出边数； （2）先根据多边形内角和公式求出多边形的边数，再代入多边形对角线条数公式计算即可得到结果，掌握相关计算公式是解题的关键． 【详解】解：（1）设这个正多边形的一个外角为，则与其相邻的内角为，由题意可得 ： ， 解得， 多边形的外角和为， 这个多边形的边数为； （2）设这个多边形的边数为，根据多边形内角和公式可得： ， 解得， 这个多边形的对角线条数为， 即这个多边形共有27条对角线． 2．旧版的一角硬币内是一个正多边形，下面是一张相关图片（尺寸未定）． (1)求该硬币内正多边形的内角和； (2)若其一边长为，求该正多边形的周长； (3)该正多边形共有___________条对角线． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据图片得出正多边形的边数是，进而利用求内角和；利用求周长；利用求对角线的条数. 【详解】（1）解：由图可知：旧版的一角硬币内是一个正九边形， ∴， 即：正多边形内角和为； （2）解：∵ ∴该正多边形的周长是； （3）解：∵， ∴该正多边形共有条对角线. 3．如图，求的度数． 【答案】 【分析】连接，由三角形内角和定理得，从而所求角的和转化为求五边形的内角和问题解决． 本题主要考查多边形内角和、三角形内角和定理，将所求角度和转化为多边形内角和是解题的关键． 【详解】解：连接，如图． ， ． 即． 4．已知2个正多边形A和3个正多边形B可绕一点周围镶嵌（密铺），A的一个内角的度数是B的一个内角的度数的． (1)试分别确定A，B是什么正多边形？ (2)画出这5个正多边形在平面镶嵌（密铺）的图形（画一种即可）． 【答案】(1)A为正四边形，B为正三边形 (2)见解析 【分析】本题考查了平面镶嵌，正确求出A，B是什么正多边形是解此题的关键． （1）设B的内角为，则A的内角为，根据题意列出方程，解方程即可； （2）根据（1）所求答案画出图形即可． 【详解】（1）解：设B的内角为，则A的内角为， ∵个正多边形A和3个正多边形B可绕一点周围镶嵌密铺， ∴， 解得：， ∴ ∴可确定A为正四边形，B为正三边形． （2）解：所画图形如下： 5．和分别是两个多边形，阅读和的对话，完成下列各小题． (1)嘉嘉说：“因为的边数比多，所以的外角和比的大，”判断嘉嘉的说法是否正确？并说明理由； (2)设的边数为 ①若，求的值； ②淇淇说：“无论取何值，的值始终不变．”请用列方程的方法说明理由． 【答案】(1)嘉嘉的说法不正确，理由见解析 (2)①；②见解析 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和问题； （1）根据多边形的外角和始终为，即可求解； （2）根据多边形内角和定理列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：嘉嘉的说法不正确； 理由：多边形的外角和始终为，与多边形的边数无关； （2）①， 解得， 即的值为； ②， 整理得， 解得． ∴无论取何值，的值始终不变． 6．已知正多边形的每一个内角的度数等于相邻外角的倍． (1)求这个正多边形的边数． (2)若截去一个角，求截完后所形成的新多边形的内角和． 【答案】(1)这个多边形的边数为； (2)截完后所形成的新多边形的内角和为或或． 【分析】（）利用邻补角互补求出外角，用外角和除以一个外角的度数即可求解； （）分三种情况，根据多边形的内角和计算公式即可求解； 本题考查了正多边形的内角和外角，掌握多边形的内角和计算及分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）设正多边形的一个外角的度数为，则与其相邻的内角的度数等于， ∴， 解得，     答：这个多边形的边数为； （2）剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了条，也可能减少了条，或者不变， 当多边形为九边形时， 内角和； 当多边形为八边形时， 内角和； 当多边形为七边形时， 内角和． 综上所述，截完后所形成的新多边形的内角和为或或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01多边形同步讲义 【题型01 多边形的概念与分类】.........................................4 【题型02 多边形截角后边数变化与周长计算】.............................5 【题型03 网格中多边形的面积计算】.....................................5 【题型04 多边形对角线的条数规律】.....................................6 【题型05 对角线分割多边形的三角形个数规律】...........................6 【题型06 多边形内角和的计算与应用】...................................7 【题型07 正多边形的内角计算】.........................................8 【题型08 多边形内角增减问题】.........................................8 【题型09 多边形截角后的内角和变化】...................................9 【题型10 正多边形的外角计算】.........................................9 【题型11 多边形外角和的实际应用】....................................10 【题型12 多边形内角和与外角和综合】..................................11 【题型13 四边形的不稳定性】..........................................11 【题型14 平面镶嵌】..................................................12 【解答题6题】........................................................13 ★知识梳理 知识点01:多边形的定义与相关概念 1. 多边形定义 在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。 按边数分类：三角形（3 边）、四边形（4 边）、五边形（5 边）……n 边形（n≥3），三角形是最简单的多边形。 表示方法：用顶点字母依次表示，如五边形 ABCDE。 · 在平面内，线段 AB,BC,CD,DE,EA 首尾顺次相接，围成封闭图形，称为五边形 ABCDE。 · 任意一边所在直线（如直线 AB），图形所有顶点都在直线同侧，故为凸多边形。 · 从顶点 C 出发，可作对角线 CA,CB 2. 基本元素（n 边形） 元素 定义 数量 边 组成多边形的各条线段 n 条 顶点 相邻两边的公共端点 n 个 内角 相邻两边组成的角 n 个 外角 多边形的边与它的邻边延长线组成的角 n 个（每个顶点 1 个） 对角线 连接不相邻两个顶点的线段 从一个顶点出发：n-3条总条数：条 3. 凸多边形与凹多边形 凸多边形：画出任意一边所在直线，整个多边形都在直线的同侧 凹多边形：存在一边所在直线，使多边形部分在直线两侧。 4. 正多边形 在平面内，各边相等、各内角也相等的多边形叫做正多边形（如正三角形、正方形、正五边形）。⚠️ 易错点：仅边相等或仅角相等的多边形不一定是正多边形（如菱形、矩形）。 知识点02:多边形内角和定理 1. 公式 n 边形内角和 = (n-2) × 180°（n≥3，n 为整数）。 2. 推导思路（分割法） 从 n 边形一个顶点出发，可作n-3条对角线，将 n 边形分成n-2个三角形；n 边形内角和 = 这 (n-2) 个三角形内角和之和 = (n-2) × 180°。 3. 正 n 边形单个内角 单个内角度数 = ​。 知识点03:多边形外角和定理 1. 结论 任意凸 n 边形的外角和 = 360°（与边数 n 无关）。. 2. 推导依据 多边形每个顶点处，内角 + 相邻外角 = 180°（邻补角）；n 边形所有内角和 + 所有外角和 = n × 180°；故外角和 = n×180° - (n-2)×180° = 360°。 3. 正 n 边形单个外角 单个外角度数 = n​ 知识点04:核心公式汇总（n≥3） 内角和：(n-2)·180° 外角和：360°（定值） 从一个顶点出发的对角线条数：n-3 对角线总条数：​ 正 n 边形单个内角：​ 正 n 边形单个外角： 常见易错点 1.多边形定义中 “平面内”“首尾顺次相接”“封闭” 三个条件缺一不可。 2.对角线是连接不相邻顶点的线段，相邻顶点连线是边，不是对角线。 3.外角和为 360° 是所有凸多边形的共性，与边数无关。 4.正多边形需同时满足 “各边相等” 和 “各角相等”，缺一不可。 【题型1.多边形的概念与分类】 【典例】如图，在多边形中，___________是多边形的边；___________是多边形的顶点；___________是多边形的对角线；___________是多边形的内角． 【跟踪专练1】如图所示的多边形中，不是凸多边形的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，凸四边形，有两种剖分方法：（如图示）世纪，数学家乌尔班发现并证明了下面的公式：（表示凸边形的三角剖分数），请你用上面的公式计算______． 【跟踪专练3】如图，在凸五边形中，，，，，，则凸五边形的面积等于（   ） A．32 B．16 C．8 D．4 【题型2.多边形截角后边数变化与周长计算】 【典例】若一个正n边形的边长为2cm，则其周长为___________ 【跟踪专练1】若一个四边形截去一个角后，可能为（　　）边形 A．4或5 B．3或4 C．3或4或5 D．4或5或6 【跟踪专练2】如图是一块电脑主板，每一个转角处都是直角，数据如图所示，单位是，则该主板的周长为_____． 【跟踪专练3】一个多边形截去一个角后，变成16边形，那么原来的多边形的边数为（    ） A．15或16或17 B．15或17 C．16或17 D．16或17或18 【题型3.网格中多边形的面积计算】 【典例】如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则的面积与的面积大小关系为：_____（填“＞”“＝”或“＜”）， 【跟踪专练1】如图所示的方格（每个小方格面积为1）中阴影部分为两个轴对称型的汉字，图①中汉字面积为，图②中汉字的面积为，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D． 【跟踪专练2】如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D，E，F是网格线的交点，则的面积与的面积比为__________． . 【跟踪专练3】如图，在正六边形中，的面积为3，则四边形的面积为______ 【题型4.多边形对角线的条数规律】 【典例】已知边数大于3的多边形都有对角线，那么过十一边形的一个顶点的对角线有（　　） A．9条 B．8条 C．7条 D．6条 【跟踪专练1】银川市金凤区某中学要举办数学文化节，需要制作一种多边形的宣传标牌．已知从这个多边形的一个顶点出发，最多可以引出12条对角线，则它的边数为______． 【跟踪专练2】若一个多边形从一个顶点出发可引4条对角线，则这个多边形对角线的总数为（　　） A．14 B．28 C．24 D．20 【跟踪专练3】某新款自动驾驶汽车的环视感知系统，其八个核心传感器均匀分布在一个圆形支架上（可视为正八边形顶点）.该系统内部信号连接时，若每两个传感器均需建立独立通道（相邻传感器间已由支架直连），则需要额外建立的连接通道数量为______条． 【题型5.对角线分割多边形的三角形个数问题】 【典例】过某个多边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个三角形，则这个多边形是（   ） A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 【跟踪专练1】从某个多边形的一个顶点出发的所有对角线，将其分成8个三角形，则这是__________边形． 【跟踪专练2】过某个多边形的一个顶点可以引出8条对角线，这些对角线将这个多边形分成_________个三角形． 【跟踪专练3】下列说法正确的有（    ）个 ①把一个角分成两个角的射线叫做这个角的角平分线；②连接、两点的线段叫两点之间的距离；③两点之间直线最短；④射线上点的个数是直线上点的个数的一半；⑤边形从其中一个顶点出发连接其余各顶点，可以画出条对角线，这些对角线把这个边形分成了个三角形． A．3 B．2 C．1 D．0 【题型6.多边形内角和的计算与应用】 【典例】如果十边形的各个内角都相等，那么它的一个内角是 ___________． 【跟踪专练1】一个多边形的内角和不可能是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，已知，则________． 【跟踪专练3】如图，五边形中，，，，M为边的中点，，，则五边形的面积为（   ）． A．30 B．28 C．24 D．20 【题型7.正多边形的内角计算】 【典例】某学校举办“叩问苍穹，征途永志”主题活动，邀请同学们设计航天纪念章．小官设计了如图所示的正八边形纪念章，则此纪念章一个内角的大小为______度． 【跟踪专练1】人民币一角硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】直线l与正六边形的边、分别相交于点，如图所示，则_____度． 【跟踪专练3】如图，在平面上将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，则等于（   ） A． B． C． D． 【题型8.多边形内角增减问题】 【典例】在一个 边形中，除了一个内角外，其余的内角的和是 ，那么这个未知角是__________  度，这个多边形的边数是_________． 【跟踪专练1】小红：我计算出一个多边形的内角和为；老师：不对呀，你可能少加了一个角则小红少加的这个角的度数是（　　） A．1 B．1 C．1 D．1 【跟踪专练2】如图是两位学生在探究某多边形的内角和时的一段对话，请根据他们的对话内容判断他们少加的内角的度数为____． 【跟踪专练3】剪纸片：有一张长方形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片；从这2张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有3张纸片：从这3张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有4张纸片；……；如此下去，若最后得到10张纸片，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5 张四边形纸片，则还有一张多边形纸片的边数为________． 【题型9.多边形截角后的内角和变化】 【典例】一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为，则原多边形的边数是(      ) A．或 B． C．或 D．或或 【跟踪专练1】从一个六边形上截去一个角，则得到的多边形的内角和为______________． 【跟踪专练2】一天妈妈给小新出了一道智力题考他．将一个多边形截去一个角后，得到这个多边形的内角和将会（    ） A．不变 B．增加 C．减少 D．无法确定 【跟踪专练3】一个多边形过顶点剪去一个角后，所得多边形的内角和为，则原多边形的边数是__________． 【题型10.正多边形的外角计算】 【典例】一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的边数为______． 【跟踪专练1】若正多边形的一个外角等于，则这个正多边形的边数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【跟踪专练2】如果一个多边形的各边都相等，且各内角也都相等，那么这个多边形就叫做正多边形．如图，就是一组正多边形，边数为，观察每个正边形中的变化情况，当时，__________． 正多边形的边数 3 4 5 6 的度数 【跟踪专练3】在2024年10月的广交会现场，某商家的展台是一个不完整的正多边形图案，如图，小李量得展台中一边与对角线的夹角，则这个正多边形的边数是（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【题型11.多边形外角和的实际应用】 【典例】如图，，，，则（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，图①是我国古代建筑中的一种窗格，称为“冰裂纹”．图②是从图①冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的五边形，、、、、分别是这个五边形的外角，则的度数为________°． 【跟踪专练2】如图，小明从A点出发，沿直线前进6米后向左转，再沿直线前进6米，又向左转…照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为（   ）米． A．40 B．36 C．48 D．60 【跟踪专练3】如图所示，分别以n边形的顶点为圆心，以为半径画圆，当时，则图中阴影部分的面积之和为____________．（注：结果用含的式子表示） 【题型12.多边形内角和与外角和综合】 .【典例】若一个多边形的外角和与内角和相等，则这个多边形的边数是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【跟踪专练1】每一个外角都等于的多边形是______边形，它的内角和等于______． 【跟踪专练2】一个四边形四个外角之比为，则这个四边形的内角中（   ） A．只有一个锐角 B．有两个锐角 C．有三个锐角 D．有四个锐角 【跟踪专练3】如图，太阳光平行照射在放置于地面的六边形上．若六边形的每个内角都相等，且，则__________． 【题型13.四边形的不稳定性】 【典例】伸缩门可自由伸缩，开关方便，它凸显分四边形的（   ） A．稳定性 B．不稳定性 C．对称性 D．美观性 【跟踪专练1】图①是将木条用钉子钉成的四边形木架，拉动木架，观察图②中的变动情况，说一说，其中所蕴含的数学原理是___________． 【跟踪专练2】下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（    ） A．太阳能热水器 B．伸缩门 C．自行车三脚架 D．三角形支架 【跟踪专练3】如图所示，，，是三根长度分别为，，的木棒，它们之间连接处可以活动，在A，D之间拉一根橡皮筋，请根据四边形的不稳定性思考，这根橡皮筋的最大长度可以拉到多少厘米？最短长度为多少厘米？    【题型14.平面镶嵌】 【典例】我们知道形状为正五边形的地砖不能铺满地面，但某公园的一段路面是用型号相同的特殊的五边形地砖铺成的．如图，是平铺图案的一部分，其中每个五边形有3个内角相等，那么这3个内角都等于（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】公园的一段甬道是由完全相同的五边形密铺而成，其部分密铺图案如图所示，若，，则的度数为___________． 【跟踪专练2】如图，是工人师傅用边长均为a的正六边形和正方形地砖围绕着点B进行的铺设．若将另一块边长为a的正多边形地砖恰好能镶嵌在处，则这块正多边形地砖的边数是（　　）    A．6 B．9 C． D． 【跟踪专练3】用如图（1）所示的若干张直角三角形与四边形纸片进行密铺（不重叠、无空隙），观察示意图（图（2））可知的值等于_____． 【解答题】 1．（1）若一个正多边形的每一个内角都比与其相邻外角的3倍多，求这个多边形的边数． （2）一个多边形的内角和是，求这个多边形共有多少条对角线． 2．旧版的一角硬币内是一个正多边形，下面是一张相关图片（尺寸未定）． (1)求该硬币内正多边形的内角和； (2)若其一边长为，求该正多边形的周长； (3)该正多边形共有___________条对角线． 3．如图，求的度数． 4．已知2个正多边形A和3个正多边形B可绕一点周围镶嵌（密铺），A的一个内角的度数是B的一个内角的度数的． (1)试分别确定A，B是什么正多边形？ (2)画出这5个正多边形在平面镶嵌（密铺）的图形（画一种即可）． 5．和分别是两个多边形，阅读和的对话，完成下列各小题． (1)嘉嘉说：“因为的边数比多，所以的外角和比的大，”判断嘉嘉的说法是否正确？并说明理由； (2)设的边数为 ①若，求的值； ②淇淇说：“无论取何值，的值始终不变．”请用列方程的方法说明理由． 6．已知正多边形的每一个内角的度数等于相邻外角的倍． (1)求这个正多边形的边数． (2)若截去一个角，求截完后所形成的新多边形的内角和． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $