5.1.2 数列中的递推 期末巩固提升训练四-2025-2026学年高二下学期数学人教B版选择性必修第三册

**基本信息** 聚焦数列递推核心，通过选择、填空、解答题系统覆盖Sn与an关系、递推求通项及求和，强化抽象与推理能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择|6题|单选考Sn与an互化、递推应用，多选考单调性与性质判断|从递推关系到通项公式的转化逻辑| |填空|2题|直接考查Sn求通项及递推公式应用|前n项和与通项的概念生成关系| |解答|2题|递推构造新数列及Sn最小值求解|递推变形→通项推导→求和应用的完整链条|

高二数学下学期阶段测试（人教版B版选择性必修三第五章）5.1.2 数列中的递推期末巩固提升训练四 （分值70分，限时40分钟） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若数列的前项和为，且，则(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查数列的递推关系以及数列求和，考查运算求解能力，属于基础题． 根据题意可得，由此求解即可． 【解答】解：，，，，， 所以， 故选：． 2.若数列的前项和为，且满足，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查数列的递推关系和数列求和，属于基础题． 利用递推关系，结合即可求解． 【解答】 解：因为，，，，， 故， 故选C． 3.在数列中，，，，记数列的前项和为，则(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查数列的周期性和运用，考查运算能力，属于中档题． 计算数列的前六项，得到为周期为的周期数列，计算可得所求值． 【解答】 解：由在数列中，，，， 得，，，， 所以可得为周期为的周期数列， 所以， 故选A． 4.无穷数列的前项和为，满足，则下列结论中正确的有(    ) A. 为等比数列 B. 为递增数列 C. 中存在三项成等差数列 D. 中偶数项成等比数列 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查了数列的前项和与的关系，属于基础题． 根据数列前项和与的关系，可知时，，当时，，即可得答案． 【解答】 解：根据数列前项和与的关系，可知时，， 当时，， 所以 故选D． 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.已知数列的通项公式为则(    ) A. B. C. D. 【答案】BC  【解析】【分析】 本题考查数列的通项公式，属于基础题． 根据通项公式，依次计算即可得出答案． 【解答】 解：选项A ，故A错误． 选项B：，所以，故B正确． 选项C： ，故C正确． 选项D：，所以，故D错误． 故选BC． 6.已知为数列的前项和，且满足，则下列结论正确的是(    ) A. B. C. 是单调递增数列 D. 【答案】BCD  【解析】【分析】 本题考查数列的前项和及与的关系，数列的单调性，根据数列的递推公式求通项公式，属于中档题． 当时，，可得选项A错误；代入通项公式可得选项B正确；由二次函数的图象与性质可得选项C正确；求出各项的值可得选项D正确． 【解答】 解：已知为数列的前项和，且满足， 对于，当时，， 当时，， 故，故A错误； 对于，由得，，，故，故B正确； 对于，因为，开口向上，对称轴，而数列中的为正整数， 故是单调递增数列，故C正确； 对于，由得，，，，，， 故，故D正确． 故选：． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.数列的前项和为，，则的通项公式为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，注意分和求解，属于基础题． 根据分和两种情况，当时，，当时，，由此求出的通项公式． 【解答】 解：由， 当时， 当时， 经验证，不符合， 所以． 故答案为． 8.已知数列的前项和为，且满足，则          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 根据所给的通项公式，代入求得，并由代入求得，即可求得的值． 【解答】 解：数列的前项和， 则， 而，， ， 则， 故答案为：． 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 已知数列满足， 记，写出，，并求数列的通项公式； 求的前项和． 【答案】解：由题设可得， 又，，， 故，即，即， 所以为等差数列，故． 设的前项和为，则， 因为， 所以 ． 【解析】本题主要考查的是数列的通项公式及数列求和，属于基础题． 根据题设中的递推关系可得，从而可求的通项． 根据题设中的递推关系可得的前项和可化为，利用的结果可求． 10.本小题分 已知数列的前项和为，且． 求数列的通项公式； 求的最小值． 【答案】解：当时， 当时，． 经检验，时，，也适合上式．． 由，且． 当或时，取得最小值．  【解析】本题考查数列通项公式的求法，考查数列的求和，注意验证时的情形是解决问题的关键，属基础题． 由表示出数列的前项和，两式相减即可求出此数列的通项公式，然后把代入验证即可得到通项公式； 由，即可求出的最小值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $高二数学下学期阶段测试（人教版B版选择性必修三第五章) 5.1.2数列中的递推期末巩固提升训练四 (分值70分，限时40分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.若数列{an}的前n项和为Sn,且an+1+a=2”,则S10() A.684 B.682 C.342 D.341 2.若数列{a}的前n项和为Sn,且满足a1=1,a+1+an=3×2m,则Sg() A.509 B.511 C.1021 D.1023 3.在数列{a}中，a,=-1,a-3,anan+2=-3,记数列{an}的前n项和为Sn,则 S2022=() A.-4 B.-1 C.0 D.3 4.无穷数列{a}的前n项和为Sn,满足Sn=2m,则下列结论中正确的有() A.{an}为等比数列 B.{an}为递增数列 C.{an}中存在三项成等差数列 D.{an}中偶数项成等比数列 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.已知数列{an}的通项公式为an 3n+1,n为奇数则() 2-2n,n为偶数， A.a6=19 B.a7>a6 C.S5=22 D.S6>S5 第1页，共3页 6.已知Sn为数列{a}的前n项和，且满足S,=n+2n+2,则下列结论正确的是() A.an= 5, n=1 2n-1,n≥2 B.a1+a5=16 C.{Sn}是单调递增数列 D.a6+a7+as+ag+a1o=85 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.数列{a}的前n项和为Sn,Sn=2n-n血∈N),则{an}的通项公式为一 8.已知数列{a}的前n项和为Sn,且满足Sn=n2+n+1,则a1+a7= 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.(本小题14分) 已知数列{an}满足a1=1,an+1= a+1,n为奇数 a+2,n为偶数， (1)记b=a2n,写出b1,b2,并求数列bn}的通项公式： (2)求{an的前20项和. 10.(本小题14分) 已知数列{a}的前n项和为Sn,且Sn=2n-30n. (1)求数列{a}的通项公式： (2)求Sn的最小值. 第2页，共3页 第3页，共3页高二数学下学期阶段测试（人教版B版选择性必修三第五章) 5.1.2数列中的递推期末巩固提升训练四 (分值70分，限时40分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.若数列{a}的前n项和为Sn,且a+1+a=2n,则S10=() A.684 B.682 C.342 D.341 【答案】B 【解析】【分析】 本题考查数列的递推关系以及数列求和，考查运算求解能力，属于基础题. 根据题意可得S10=21+23+25+27+2,由此求解即可. 【解答】解：a2+a1=2l,a4+a3=23,a6+a5=25,ag+a7=27,a10+ag=29, 所以S10=21+23+25+27+29=2x1-4=682, 1-4 故选：B. 2.若数列{an}的前n项和为S.,且满足a1=1,an+1+a=3×2,则Sg=() A.509 B.511 C.1021 D.1023 【答案】C 【解析】【分析】 本题考查数列的递推关系和数列求和，属于基础题 利用递推关系，结合Sg=a1+(a2+a)+…+(a3+ag)即可求解， 第1页，共6页 【解答】 解：因为a1=1,a2+a3=3×22,a4+a5=3×24,a6+a7=3×26,ag+ag=3×28, 故Sg=a1+(a2+a3)+…+(ag+ag)=1+3×(22+24+26+28)=1+3×340=1021, 故选C. 3.在数列{an}中，a1=-l,a2=-3,anat2=-3,记数列{an}的前n项和为Sn,则S222=() A.-4 B.-1 C.0 D.3 【答案】A 【解析】【分析】 本题考查数列的周期性和运用，考查运算能力，属于中档题 计算数列的前六项，得到{an}为周期为4的周期数列，计算可得所求值. 【解答】 解：由在数列{an}中，a1=-1,a=-3,ana+2=-3, 得a3=3,a4=1,a5=-1,a6=-3,… 所以可得{an}为周期为4的周期数列， 所以S202=505×(a1+a+a+a4)+a1+a=-4, 故选A. 4.无穷数列{a}的前n项和为Sm,满足S=2”,则下列结论中正确的有() A.{a}为等比数列 B.{a}为递增数列 C.{a}中存在三项成等差数列 D.{a}中偶数项成等比数列 【答案】D 【解析】【分析】 本题考查了数列的前n项和与a的关系，属于基础题， 根据数列前n项和与an的关系，可知n=1时，a1=S1,当n>2时，a=Sm-S-1,即可得答案. 【解答】 解：根据数列前n项和与a的关系，可知n=1时，a1=S1=2, 当n>2时，an=Sn-Sn-1, 所以an= 2,n=1, 2n-1,n≥2 故选D. 第2页，共6页 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.已知数列{an}的通项公式为a= Bn+1,n为奇数则() (2-2n,n为偶数， A.a6=19 B.a7>a C.S5=22 D.So>S5 【答案】BC 【解析】【分析】 本题考查数列的通项公式，属于基础题， 根据通项公式，依次计算即可得出答案. 【解答】 解：选项A:a6=2-2×6=-10,故A错误. 选项B:a7=3×7+1=22,所以a7>a6,故B正确. 选项C:S5=a1+a+a3+a4+a5 =(a1+a3+as)+(a2+a4) =4+10+16-2-6=22,故C正确。 选项D:S6-S5=a6<0,所以S6<S5,故D错误 故选BC 6.己知Sn为数列{an}的前n项和，且满足Sm=n+2n+2,则下列结论正确的是() A马Bm-1.n22 n=1 B.a1+a5=16 C.{S}是单调递增数列 D.a6+a7+ag+ag+a10=85 【答案】BCD 【解析】【分析】 本题考查数列的前n项和及Sm与a的关系，数列的单调性，根据数列的递推公式求通项公式，属于中 档题。 当n≥2时，a=S。-Sm-1=2n+1,可得选项A错误；代入通项公式可得选项B正确：由二次函数 的图象与性质可得选项C正确；求出各项的值可得选项D正确. 【解答】 解：已知Sn为数列{a}的前n项和，且满足Sm=n2+2n+2, 对于A,当n=1时，a1=S1=5, 当n≥2时，a=Sm-Sm-1=n2+2n+2-(m-1)2-2m-1)-2=2n+1, 第3页，共6页 放低-1.≥2放A错误： 对于B自-么122，a=5,a=1.数a+5=16,故B正确： ，n=1 对于C,因为n=n+2n+2,开口向上，对称轴n=-1,而数列中的n为正整数， 故{S)是单调递增数列，故C正确； 对于D重&+1n二0，a15,15,1,=19.a=21 故a6+a7+ag+ag+a1o=85,故D正确. 故选：BCD 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.数列{a}的前n项和为Sa,Sm=2”-n血∈N),则{a}的通项公式为一， (1(n=1) 【答案】a={2-1-1m≥2) 【解析】【分析】 本题考查数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，注意分n=1和n≥2求解，属于基础题. 根据Sm=2m-n分n=1和n≥2两种情况，当n=1时，a1=S1=1,当n≥2时，a=Sn-Sn-1,由 此求出{an}的通项公式. 【解答】 解：由Sn=2-nm∈N), 当n=1时，a1=S1=1. 当n≥2时，a=S-Sa-1=(2m-n)-[2m-1-(m-1]=2m-1-1. 经验证，n=1不符合， 1(m=1) 所以a.={2-1-1血≥2) (1n=1) 故答案为an= {2m-1-1≥2) 8.已知数列{a}的前n项和为Sa,且满足Sn=n2+n+l,则a1+a7= 【答案】17 【解析】【分析】 本题考查了数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题. 根据所给Sn的通项公式，代入求得a1,并由a=S7-S代入求得a7,即可求得a1+a7的值. 第4页，共6页 【解答】 解：数列{an的前n项和Sn=n+n+1, 则a1=S1=1+1+1=3, 而S7=72+7+1=57,S6=62+6+1=43, ·a=S7-S6=57-43=14, 则a1+a7=3+14=17, 故答案为：17. 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.(本小题14分) 已知数列{an}满足a1=1,a+1= a+1,n为奇数， a,+2,n为偶数. (1)记b=a2m,写出b1,b2,并求数列b}的通项公式： (2)求{a}的前20项和， 【答案】解：(1)由题设可得b1=a2=a1+1=2,b2=a4=a3+1=a2+2+1=5, 又a2+2=a2t1+l,a2mt1=a2m+2,k∈N*), 故a2m+2=a2n+3,即ba+1=bn+3,即bt1-bm=3, 所以bm}为等差数列，故bn=2+n-1)×3=3n-1. (2)设{an}的前20项和为S2o,则S20=a1+a2+a3+…+a20, 因为a1=a2-1,a3=a4-1,…,a1g=a0-1, 所以S20=2(a2+a4+…+a18+a20)-10 =20,+b,+…+bg+b)-10=2×(10×2+9y0×3)-10=30. 【解析】本题主要考查的是数列的通项公式及数列求和，属于基础题. (I)根据题设中的递推关系可得ba+1-ba=3,从而可求b}的通项. (2)根据题设中的递推关系可得a}的前20项和S20可化为S20=2b1+b2+…+bg+b10)-10,利用(1) 的结果可求S20. 第5页，共6页 10.(本小题14分) 已知数列{an的前n项和为Sn,且Sm=2n2-30n. (1)求数列{a}的通项公式： (2)求Sn的最小值， 【答案】解：(1)当n=1时，a1=S1=2-30=-28 当n≥2时，a=Sm-Sm-1=2m2-30n-[2m-1)2-30m-1)]=4m-32. 经检验，n=1时，a1=-28=4×1-32,也适合上式..a=4n-32. (2)油s,=2m2-30m=2m-9)2-2,且neN. 当n=7或8时，Sm取得最小值-112. 【解析】本题考查数列通项公式的求法，考查数列的求和，注意验证=1时的情形是解决问题的关 键，属基础题。 (1)由S.表示出数列{a}的前n-1项和S-1,两式相减即可求出此数列的通项公式，然后把n=1代入 验证即可得到通项公式： (2②s。=20-y-学，即可求出s的最小值. 第6页，共6页 高二数学下学期阶段测试（人教版B版选择性必修三第五章）5.1.2 数列中的递推期末巩固提升训练四 （分值70分，限时40分钟） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若数列的前项和为，且，则(    ) A. B. C. D. 2.若数列的前项和为，且满足，，则(    ) A. B. C. D. 3.在数列中，，，，记数列的前项和为，则(    ) A. B. C. D. 4.无穷数列的前项和为，满足，则下列结论中正确的有(    ) A. 为等比数列 B. 为递增数列 C. 中存在三项成等差数列 D. 中偶数项成等比数列 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.已知数列的通项公式为则(    ) A. B. C. D. 6.已知为数列的前项和，且满足，则下列结论正确的是(    ) A. B. C. 是单调递增数列 D. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.数列的前项和为，，则的通项公式为          ． 8.已知数列的前项和为，且满足，则          ． 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 已知数列满足， 记，写出，，并求数列的通项公式； 求的前项和． 10.本小题分 已知数列的前项和为，且． 求数列的通项公式； 求的最小值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $