5.2.1 等差数列 期末巩固提升训练五-2025-2026学年高二下学期数学人教B版选择性必修第三册

**基本信息** 聚焦等差数列核心概念与运算，通过基础计算、性质应用及综合判断题型，构建从基本量到前n项和的逻辑链条，强化运算能力与推理意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础计算|4单选（如第1题）|首项、公差等基本量计算|从概念生成（首项、公差定义）到公式直接应用| |性质应用|4（2多选+2填空，如第5、7题）|等差中项、单调性及前n项和性质应用|由基本概念推导性质（如和的最值与单调性关系）| |综合判断|2解答（如第9题）|等差数列判定与通项公式推导|整合概念与性质，通过逻辑推理解决综合问题|

高二数学下学期阶段测试（人教版B版选择性必修三第五章）5.2.1 等差数列期末巩固提升训练五 （分值70分，限时40分钟） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设是递增等差数列，前三项的和为，前三项的积为，则它的首项是(    ) A. B. C. D. 2.已知等差数列中，与的等差中项为，且，则(    ) A. B. C. D. 3.在等差数列中，，，则的公差(    ) A. B. C. D. 4.已知在数列中，且，设为的前项和，若，则(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.等差数列的前项和为，，，则下列说法正确的是(    ) A. B. C. 当时，取得最大值 D. 若，则数列的前项和 6.等差数列中，，，公差为，则(    ) A. 公差 B. C. 数列为递增数列 D. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.设数列，都是等差数列，若，，则______． 8.已知各项均为正数的数列的前项和为，且，数列的通项公式          ． 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 已知数列满足， 判断数列是否为等差数列说明理由 求数列的通项公式． 10.本小题分 已知等差数列中，公差，，求： 、的值；    该数列的前项和． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $高二数学下学期阶段测试（人教版B版选择性必修三第五章) 5.2.1等差数列期末巩固提升训练五 (分值70分，限时40分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.设{a}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是() A.1 B.2 C.4 D.6 2.已知等差数列{a}中，a5与a11的等差中项为8，且a2=2,则a12() A.6 B.9 C.12 D.18 3.在等差数列{a}中，a5+ag=12,a6=4,则{an}的公差d=() A.1 B.2 C.3 D.4 4.已知在数列{a}中，a=a-1+1(m∈N*且n≥2)，设Sn为{a}的前n项和，若S,=72, 则ag=() A.8 B.12 C.16 D.36 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.等差数列{a}的前n项和为Sn,a2+a4=20,S1o=S15,则下列说法正确的是() A.ag =5 B.an=n+7 C.当n=12时，Sn取得最大值 D.若bn=ancosnn,则数列{bn}的前36项和T36=一18 第1页，共2页 6等差数列{a}中，a1=3,a1+a2+a=21,公差为d,则() A.公差d=-4 B.a2=7 C.数列{an)为递增数列 D.a3+a4+as=84 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.设数列{an},{bn}都是等差数列，若a1+b1=7,a5+b5=35,则a3+b3= 8.已知各项均为正数的数列{a}的前n项和为Sn,且a-9=4(Sn-n),数列{a}的通项公 式a=_ 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.(本小题14分) 已知数列(a,)满足a=2,a1=海 (1)判断数列是否为等差数列？说明理由： (2)求数列{a}的通项公式. 10.(本小题14分) 已知等差数列{a}中，公差d=2,a2=3,求： (1)a3、as的值； (2)该数列的前5项和S5· 第2页，共2页 高二数学下学期阶段测试（人教版B版选择性必修三第五章）5.2.1 等差数列期末巩固提升训练五 （分值70分，限时40分钟） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设是递增等差数列，前三项的和为，前三项的积为，则它的首项是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：设的前项为，，，则由等差数列的性质可得， ，解得， 由题意可得，解得或， 是递增等差数列， ，， 故选：． 由等差数列的性质可得，又已知，可得，故条件转化为，，解方程即可求出． 本题考查了等差数列的通项公式与等差数列的性质，应用了解方程思想，是高考重点考查的内容． 2.已知等差数列中，与的等差中项为，且，则(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查等差数列的通项公式，等差中项，属于基础题． 设等差数列的公差为，则由已知可得，得，结合求出公差，从而可求出． 【解答】 解：由已知得，所以，即，又， 故数列的公差，所以， 故选：． 3.在等差数列中，，，则的公差(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：方法一：利用等差数列通项公式求解： 设等差数列的首项为，公差为， 则，化简得； ， 用式减式：，得， 方法二：利用等差中项性质求解： 由，得，故， 又，因此公差， 故选B． 4.已知在数列中，且，设为的前项和，若，则(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：在数列中，且， ， 数列是以为公差的等差数列， 为的前项和，， ， 解得． ． 故选：． 推导出数列是以为公差的等差数列，，解得由此能求出． 本题考查等差数列的前项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.等差数列的前项和为，，，则下列说法正确的是(    ) A. B. C. 当时，取得最大值 D. 若，则数列的前项和 【答案】ACD  【解析】解：在等差数列中，有， ， 所以，， 故，，， 当或时，取得最大值，故A，C正确，B错误， 易得，则，故D正确． 故选：． 6.等差数列中，，，公差为，则(    ) A. 公差 B. C. 数列为递增数列 D. 【答案】BC  【解析】【分析】 本题考查了等差数列的通项公式，属于基础题． 根据等差数列的性质及通项公式对选项依次判断即可． 【解答】 解：等差数列中， ， ，， ，， 数列为递增数列，， ． 故选BC． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.设数列，都是等差数列，若，，则______． 【答案】  【解析】解：数列，都是等差数列， 设数列的公差为，设数列的公差为， ， 而，可得． 则 ． 故答案为：． 根据等差数列的通项公式，可设数列的公差为，数列的公差为，根据，，可得由此求得的值． 本题给出两个等差数列首项之和与第五项之和，欲求它们的第三项之和，着重考查了等差数列的概念与通项公式和等差数列的性质，属于基础题． 8.已知各项均为正数的数列的前项和为，且，数列的通项公式          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了等差数列的定义和通项公式，考查运算求解能力，属于基础题． 得到数列是以为首项，为公差的等差数列，即可得解． 【解答】 解：当时，，， 当时，，故， 整理得， 因为数列各项均为正数，所以， 即， 故数列是以为首项，为公差的等差数列， 故， 故答案为． 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 已知数列满足， 判断数列是否为等差数列说明理由 求数列的通项公式． 【答案】解：数列是等差数列，由得，， 因为，所以两边同时取倒数得， 即， 所以数列是以为首项、公差的等差数列； 由可得， 所以的通项公式是．  【解析】本题考查等差数列的判断方法：定义法，等差数列的通项公式，以及数列递推公式的化简方法，这是常考的题型． 对两边同时取倒数得，利用等差数列的定义即可判断； 由和等差数列的通项公式，求出的通项公式． 10.本小题分 已知等差数列中，公差，，求： 、的值；    该数列的前项和． 【答案】解：等差数列中，公差，， ， ； ，即， ， 是等差数列， ．  【解析】本题考查等差数列的通项公式及求和，属于基础题． 根据等差数列定义和通项公式即可求解； 求出，根据等差数列的求和公式可得． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $高二数学下学期阶段测试（人教版B版选择性必修三第五章） 5.2.1等差数列期末巩固提升训练五 (分值70分，限时40分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.设{a}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是() A.1 B.2 C.4 D.6 【答案】B 【解析】解：设{an的前3项为a1,a2,a3,则由等差数列的性质可得a1+a3=2a2, a1+a2+a3=3a2=12,解得a2=4, 由咫意可符28，解得=2或A,=6 a3=6la3=21 :{an}是递增等差数列， a1=2,a3=6, 故选：B. 由等差数列的性质可得a1+a3=2a2,又已知a1+a2+a3=12,可得a2=4,故条件转化为 a1+a=8,a1×a3=12,解方程即可求出a1: 本题考查了等差数列的通项公式与等差数列的性质，应用了解方程思想，是高考重点考 查的内容 2.已知等差数列{a}中，a5与a11的等差中项为8，且a2=2,则a12() A.6 B.9 C.12 D.18 【答案】C 第1页，共6页 【解析】【分析】 本题考查等差数列的通项公式，等差中项，属于基础题， 设等差数列{an}的公差为d,则由已知可得a5+a11=l6,得as=8,结合a2=2求出公差， 从而可求出a12. 【解答】 解：由已知得a5+a11=16,所以2ag=16,即ag=8,又a2=2, 故数列a,}的公差d=8.2=1,所以a2=a+10d=2+10=12, 故选：C 3.在等差数列{a}中，a5+a=12,a6=4,则{an}的公差d=() A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【解析】解：方法一：利用等差数列通项公式求解： 设等差数列{a,}的首项为a1,公差为d, 则a5+9-a1+4d+a1+8d-2a1+12d=12,化简得a1+6d=6①： a6=a1+5d=4②， 用①式减②式：(a1+6d-a1+5d)=6-4,得d=2, 方法二：利用等差中项性质求解： 由5+9=14=2×7，得a5+a9=2a7=12,故a7=6, 又a6=4,因此公差d=a7-a6=6-4=2, 故选B. 4.己知在数列{a}中，an=an-1+1m∈N*且n≥2)，设Sn为{an}的前n项和，若Sg=72, 则ag=() A.8 B.12 C.16 D.36 【答案】B 【解析】解：在数列{an}中，an=an-1+1mEN*且n≥2)， an-an-1=1, ∴数列{an}是以1为公差的等差数列， :Sn为{a}的前n项和，S9=72, 第2页，共6页 Sg=a+ag)=9a5=72, 解得as=8. ag=a5+4=12. 故选：B. 推导出数列{an}是以1为公差的等差数列，S,=(a1+ag)=9a5=72,解得a5=8.由此能 求出ag 本题考查等差数列的前项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解 能力，是基础题 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.等差数列{an}的前n项和为Sn,a2+a4=20,S1o=S15,则下列说法正确的是() A.ag=5 B.an=n+7 C.当n=12时，Sn取得最大值 D.若bn=ancosnnt,则数列{bn}的前36项和T36=-18 【答案】ACD 【解析】解：在等差数列{an}中，有a2+a4=2a3=20→a3=10, S15-S10=a11+a12+a13+a14+a15=5a13=0→a13=0, 所以2ag=a3+a13=10,a13-a3=10d=-10, 故a8=5,d=-1,a=13-n, 当n=12或13时，Sn取得最大值，故A,C正确，B错误， 易得bn=(-1)(13-n),则T36=-12+11-10+9-…+22-23=(-1)×18=-18,故 D正确， 故选：ACD 6.等差数列{an}中，a1=3,a1+a2+a3=21,公差为d,则() A.公差d=-4 B.a2=7 C.数列{a}为递增数列 D.a3+a4+a5=84 【答案】BC 【解析】【分析】 第3页，共6页 本题考查了等差数列的通项公式，属于基础题， 根据等差数列的性质及通项公式对选项依次判断即可. 【解答】 解：等差数列{an}中， :a1+a2+a3=21, 3a2=21,a2=7, a1=3,d=7-3=4>0, 数列{an}为递增数列，a4=a2+2d=15, a+a4+a5=3a4=45 故选BC. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.设数列{an,{bn}都是等差数列，若a1+b1=7,a5+b5=35,则a3+b3= 【答案】21 【解析】解：数列{a,b}都是等差数列， 设数列{an}的公差为d1,设数列{bn}的公差为d2, a5+b5=a1+b1+4(d1+d)=35, 而a1+b1=7,可得4(d1+d)=35-7=28. 则d1+d2=7 a3+b3=(a1+b1)+2(d1+d2)=7+14=21. 故答案为：21. 根据等差数列的通项公式，可设数列{a}的公差为d1,数列{bn}的公差为d2,根据a1+ b1=7,as+b5=35,可得a5+b5=a3+b3+2(d1+d)=35.由此求得a3+b3的值. 本题给出两个等差数列首项之和与第五项之和，欲求它们的第三项之和，着重考查了等 差数列的概念与通项公式和等差数列的性质，属于基础题 8.已知各项均为正数的数列{an)的前n项和为Sn,且a所-9=4(Sn-n),数列{an}的通项公 式a= 【答案】2n+3 【解析】【分析】 第4页，共6页 本题主要考查了等差数列的定义和通项公式，考查运算求解能力，属于基础题. 得到数列{a)是以5为首项，2为公差的等差数列，即可得解. 【解答】 解：当n=1时，a12-9=4(a1-1),a1=5, 当n≥2时，a2n-1-9=4(Sn-1-n+1),故a2-an-1=4a-4, 整理得(a-2)2=an-1, 因为数列{a}各项均为正数，所以a-2=a-1' 即a1-an-1=2(n≥2)， 故数列{a}是以5为首项，2为公差的等差数列， 故am=5+(n-1)×2=2n+3, 故答案为2n+3. 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.(本小题14分) 已知数列{aa}满足a1=2,a+1= an+2 (④)判断数列侣是否为等差数列？说明理由： (2)求数列{a)的通项公式. 【答案】解：()数列宁)是等差数列，由a=2得，-号 & 因为1-染所以两边同时取倒数得一士十号 an+31 an+l an an+l 所以数列()是以为首项、公差的等差数列： ②①河得号+血-D-号 所以a}的通项公式是a=号 【解析】本题考查等差数列的判断方法：定义法，等差数列的通项公式，以及数列递推 公式的化简方法，这是常考的题型 (对a1一两边同时取倒数得-士+ ,利用等差数列的定义即可判断： an+l an (2)由(1)和等差数列的通项公式，求出{a}的通项公式. 第5页，共6页 10.(本小题14分) 已知等差数列{a}中，公差d=2,a2=3,求： (1)a3、a5的值： (2)该数列的前5项和S5· 【答案】解：(1)等差数列{an}中，公差d=2,a=3, a3=a2+d=3+2=5, .a5=a2+3d=3+3×2=9: (2)a2=a1+d,即3=a1+2, a1=1, :{an}是等差数列， ÷S5=1+50x5=+9x5=-25. 2 2 【解析】本题考查等差数列的通项公式及求和，属于基础题. (1)根据等差数列定义和通项公式即可求解： (2)求出a1=1,根据等差数列的求和公式Sn-nam+a可得. 第6页，共6页