5.1.2 数列中的递推期末巩固提升训练三-2025-2026学年高二下学期数学人教B版选择性必修第三册

**基本信息** 聚焦数列递推关系，通过选择、填空、解答题系统训练前n项和与通项转化、递推公式应用及等差数列证明，培养数学思维与逻辑推理能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |单选题|4|递推关系判断、前n项和与通项转化|概念生成：由数列前几项归纳递推规律，前n项和公式推导通项| |多选题|2|递推公式多解性、项的存在性判断|原理推导：递推公式变形与项的关系推导| |填空题|2|前n项和公式直接应用|应用拓展：前n项和公式在具体数列中的计算| |解答题|2|等差数列证明、数列求和综合|综合逻辑：递推关系到等差数列的证明，错位相减等求和方法应用|

高二数学下学期阶段测试（人教版B版选择性必修三第五章）5.1.2 数列中的递推期末巩固提升训练三 （分值70分，限时40分钟） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.数列前几项为，则(    ) A. B. C. D. 2.已知数列的前项和，，则(    ) A. B. C. D. 3.在数列中，，且若，且，则(    ) A. B. C. D. 4.已知为数列的前项和，，则(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.已知数列的前项和为，满足，则(    ) A. B. C. D. 6.已知数列满足，，则下列各数是的项的有  A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.已知数列的前项和公式为，则          ． 8.数列的前项和记为，若，则__________． 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 数列的各项均为正数，其前项和为，，且． 证明：数列为等差数列 若数列满足，求数列的前项和． 10.本小题分 设数列满足，． 求数列的通项公式； 令，求数列的前项和． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学下学期阶段测试（人教版B版选择性必修三第五章）5.1.2 数列中的递推期末巩固提升训练三 （分值70分，限时40分钟） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.数列前几项为，则(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题主要考查数列递推关系的运用，考查了基本的观察和分析能力，属于基础题． 由前几项观察可得，采用累加求和即可求解． 【解答】 解：由题意，根据前几项观察可得， ， 故选B． 2.已知数列的前项和，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】  本题考查数列的递推关系及通项公式，属于基础题． 根据当时，，，即可求解； 【解答】 解：数列的前项和， 当时，， ， 所以 故选C． 3.在数列中，，且若，且，则(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了等差数列的性质和求和公式，考查了运算求解能力，由题意可得，即，再根据求和公式即可求出． 【解答】 解：， ， ， ， ， ， ， 解得， 故答案选：． 4.已知为数列的前项和，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查数列递推关系求数列的项，数列的前项和与的关系，属于基础题． 利用当时，，求出，将代入可得． 【解答】 解：等比数列的前项和， 时，． 则． 故选：． 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.已知数列的前项和为，满足，则(    ) A. B. C. D. 【答案】AB  【解析】【分析】 本题考查数列递推关系，考查数列求和，属基础题． 由递推关系可得当为奇数时，，当为偶数时，，即可依次判断． 【解答】 解：由，可得， 当为奇数时，，即，当为偶数时，， 所以当时，，当时，，解得． 故选AB． 6.已知数列满足，，则下列各数是的项的有  A. B. C. D. 【答案】BD  【解析】【分析】 本题主要考查数列递推关系式的应用，数列的周期性，属于基础题． 根据递推关系式求出数列是周期为的数列，且前项分别为，，即可求解结论． 【解答】 解：因为数列满足，， ； ； ； ； 数列是周期为的数列，且前项分别为，，； 故选：． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.已知数列的前项和公式为，则          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查数列的通项公式的求法，熟练掌握由前项和求通项公式的方法，属于基础题． 由数列的前项和求递推公式，可由已知条件得当时，，，再验证是否适合该式． 【解答】 解：因为， 当时，， 得， 当时，，适合上式， 故答案为． 8.数列的前项和记为，若，则__________． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查数列的前和与通项公式的关系，属于基础题． 利用与的关系即可求出通项公式，注意最后要检验． 【解答】解：当时，有， 但当时，不适合上式， 故． 故答案为． 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 数列的各项均为正数，其前项和为，，且． 证明：数列为等差数列 若数列满足，求数列的前项和． 【答案】解：因为， 当时，，即，， 所以， 当且时，， 所以， 即， 因为数列的各项均为正数， 所以， 即且， 而， 所以当且时，， 所以数列是首项为，公差也为的等差数列． 由知，， 因为， 所以 ， 故数列的前项和．  【解析】本题考查了数列的递推关系，等差数列的判定与证明，数列的求和，属于基础题． 由题意可得，可化简得且，检验当时也满足，故可得证 结合可得，利用等差数列求和可得数列的前项和． 10.本小题分 设数列满足，． 求数列的通项公式； 令，求数列的前项和． 【答案】解：由已知得， ，， 而，满足， 所以数列的通项公式为； 由，知， 从而， 得， 解得． 【解析】本题主要考查利用累加法叠加法求数列通项公式、错位相减法求数列和． 由题意得，可得，并检验时是否满足，由此求出数列的通项公式； 由，知，利用错位相减法可求解． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $高二数学下学期阶段测试（人教版B版选择性必修三第五章） 5.1.2数列中的递推期末巩固提升训练三 (分值70分，限时40分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.数列{a}前几项为1,3,6,10，，则ag() A.21 B.36 C.28 D.45 2.己知数列{a}的前项和Sn=2n2+1,n∈N*,则a5-a1=() A.13 B.14 C.15 D.16 3.在数列{a}中，2an+1=an+a+2,且a+0.若an-1-a品+a1=0m≥2)，且Sm-1=38, 则n() A.38 B.20 C.10 D.9 4.已知Sn为数列{an}的前n项和，Sn=2n-1,则a4() A.2 B.4 C.8 D.16 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.己知数列{a}的前n项和为Sn,满足(-1)Sn+an=n(>2),则() A.S50=-51 B.S49=-152C.S50=-150 D.S49=-50 6已知数列a满足a1=一子a1=则下列各数是a的项的有0 A.-2 B c D.3 第1页，共2页 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.己知数列{a}的前n项和公式为$n=n2,则a=一· 8.数列{a}的前n项和记为Sn,若Sn=n-3n+1,则a= 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.(本小题14分) 数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn,a1=1,且Sn+Sn+1=at1· (1)证明：数列{a}为等差数列； (2)若数列{bn}满足bn+bn+1=an,求数列bn}的前2n项和Tn· 10.(本小题14分) 设数列{a)满足a1=2,a+1-an=3·22n-1. (I)求数列{an)的通项公式： (1)令b.=na,求数列{bn}的前n项和Sn 第2页，共2页高二数学下学期阶段测试（人教版B版选择性必修三第五章) 5.1.2数列中的递推期末巩固提升训练三 (分值70分，限时40分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.数列{a}前几项为1,3,6,10，，则ag() A.21 B.36 C.28 D.45 【答案】B 【解析】【分析】 本题主要考查数列递推关系的运用，考查了基本的观察和分析能力，属于基础题 由前几项观察可得a+1-an=n+l,采用累加求和即可求解. 【解答】 解：由题意，根据前几项观察可得a+1-a=n+1, ag=(ag-a7)+(a7-a6)+…(a2-a1)+a1=8+7+6+5+4+3+2+1=36, 故选B, 2.已知数列{a}的前项和Sm=2m2+l,nEN*,则a5-a1=() A.13 B.14 C.15 D.16 【答案】C 【解析】【分析】 本题考查数列的递推关系及通项公式，属于基础题， 根据当n=1时，a1=3,a5=S5-S4=51-33=18,即可求解； 【解答】 第1页，共6页 解：数列{a}的前n项和Sn=2n2+1, 当n=1时，a1=3, a5=S5-S4=51-33=18, 所以a5-a1=18-3=15 故选C. 3.在数列{a}中，2at1=a+a+2,且a≠0.若a-1-a品+a+1=0m≥2)，且Sm-1=38, 则n() A.38 B.20 C.10 D.9 【答案】C 【解析】【分析】 本题考查了等差数列的性质和求和公式，考查了运算求解能力，由题意可得 2a-a=0,即an=2,再根据求和公式即可求出. 【解答】 解：2a1t1=an+a+2, .2a1=an-1+at1, an-1-a+at1=0(≥2)， .2am-a=0, a1=2, S2n-1=38, ·2(2n-1)=38, 解得n=10, 故答案选：C 4.已知Sn为数列{an}的前n项和，Sn=2m-1,则a4() A.2 B.4 C.8 D.16 【答案】C 【解析】【分析】 本题考查数列递推关系求数列的项，数列的前n项和Sn与a,的关系，属于基础题. 利用当n>2时，an=Sn-Sn-1,求出an,将n=4代入可得a4· 第2页，共6页 【解答】 解：等比数列{a)的前n项和Sn=2n-1, n≥2时，a=Sa-Sn-1=2n-1-2m-1+1=2n-1. 则a4=23=8. 故选：C 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.己知数列{a}的前n项和为Sa,满足(-1)Sn+a=n(n>2),则() A.S50=-51 B.S49=-152C.S50=-150D.S49=-50 【答案】AB 【解析】【分析】 本题考查数列递推关系，考查数列求和，属基础题， 由递推关系可得当n为奇数时，Sn-1=-n,当n为偶数时，2Sn-Sm-1=n,即可依次判 断。 【解答】 解：由(-1)Sm+a=n,可得(-1)Sn+Sn-Sn-1=n(n>3), 当n为奇数时，-Sn+Sn-Sa-1=n,即S-1=-n,当n为偶数时，2Sn-Sa-1=n, 所以当n=51时，S50=-51,当n=50时，2S50-S49=50,解得S49=-152. 故选AB 6己知数列a3满足a,=子a1=则下列各数是an的项的有(0 A.-2 B号 c D.3 【答案】BD 【解析】【分析】 本题主要考查数列递推关系式的应用，数列的周期性，属于基础题. 根据递推关系式求出数列(a)是周期为3的数列，且前3项分别为-，三，3即可求解结 论 【解答】 解：因为数列a,}满足a一a1一 1 第3页，共6页 a4=1-a3 数列a}是周期为3的数列，且前3项分别为-，3： 故选：BD 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.已知数列{a}的前n项和公式为Sn=n,则a=一， 【答案】2mn-1 【解析】【分析】 本题主要考查数列的通项公式的求法，熟练掌握由前项和求通项公式的方法，属于基 础题， 由数列的前n项和求递推公式，可由已知条件得当n≥2时，Sn-1=(-1),a=Sn Sn-1,再验证a1是否适合该式. 【解答】 解因为Sn=n,① 当n≥2时，Sm-1=(m-1)2,② ①-②得a=2n-1,n≥2) 当n=1时，a1=S1=1,适合上式， a1=2n-1 故答案为2n-1. 8.数列{a}的前n项和记为Sn,若Sn=n2-3n+1,则a= 【答灯儿6”42 【解析】【分析】 本题考查数列的前n和Sn与通项公式a的关系，属于基础题 利用$。与a的关系a,一得，”S,,即可求出通项公式4，注意最后要检验 【解答】解：当n≥2时，有a=Sn-Sm-1=n2-3n+1-[m-1)2-3-1)+1]= 2n-4, 第4页，共6页 但当n=1时，a1=S1=-1不适合上式， -1,n=1, 故an={2-4,n>2 放答案为品之 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.(本小题14分) 数列{a}的各项均为正数，其前n项和为S,a1=1,且Sn+Sn+1=a+1: (1)证明：数列{an}为等差数列； (2)若数列{bn}满足b+bn+1=a,求数列{bn}的前2n项和T2n· 【答案】解：(1)因为Sn+Snt1=a+1' 当n=1时，S1+S2=a,即2+a2=a,a2>0, 所以a2=2, 当n≥2且neN*时，Sn-1+Sn=a, 所以Sn+Snt1-Sn-1-Sn=ait1-ai, Epan+1+an=(an+1+an)(an+1-an), 因为数列{a}的各项均为正数， 所以ant1+an>0, 即at1-a=1(n≥2且n∈N*), 而a2-a1=1, 所以当n≥1且n∈N*时，at1-a=1, 所以数列{a}是首项为1，公差也为1的等差数列. (2)由(1)知，an=1, 因为ln+bn+1=an=n, 所以T2n=b1+b2+b3+b4+…+bn-1+b2n =(b1+b2)+(b3+b4)+…+(b2n-1+b2n) =a1+a+…+a21-1=+n-》=n2, 2 故数列{b.}的前2n项和T2n=n2. 第5页，共6页 【解析】本题考查了数列的递推关系，等差数列的判定与证明，数列的求和，属于基础 题 (1)由题意可得Sn+St1-Sa-1-Sn=a品+1-a品，可化简得an+1-an=lm≥2且neN), 检验当n=1时也满足，故可得证， (2)结合(1)可得bn+b+1=an=n,利用等差数列求和可得数列{bm}的前2n项和T2n 10.(本小题14分) 设数列{a}满足a1=2,a+1-a=3.22n-1. (1)求数列{a}的通项公式： (I)令bn=na,求数列b的前n项和Sn 【答案】解：(1)由已知得， ant1=[(ant1-an)+(an-a-1)++(a2-a1)]+a1 =3(22m-1+22n-3+.+2)+2 =3×21-49+2=22+0-1,a=2m-1(m>2,neN*), 1-4 而a1=2,满足a=22n-1eN门， 所以数列{a}的通项公式为an=22m-1eN*)月 (2)由bn=nan=n·22n-1,知Sm=1×2+2×23+3×25+.+n·22n-1,① 从而22Sn=1×23+2×25+.+(n-1)22n-1+n·22n+1,② ①-②得(1-22)·Sn=2+23+25+.+22n-1-n·22n+1, 解得sn=[(3n-1)22+1+2]. 【解析】本题主要考查利用累加法（叠加法）求数列通项公式、错位相减法求数列和. (1)由题意得a+1=[at1-a)+(a-an-1)+.+(a2-a】+a1,可得a(n>2,nEN*),并 检验n=1时是否满足an,由此求出数列{an}的通项公式； (2)由b=na=n·22n-1,知Sn=1×2+2×23+3×25+.+n·22m-1,利用错位相减法可 求解. 第6页，共6页