5.1.1 数列的概念 期末巩固提升训练二-2025-2026学年高二下学期数学人教B版选择性必修第三册

**基本信息** 聚焦数列概念核心考点，通过多题型覆盖概念辨析、性质应用与综合计算，构建从定义到应用的逻辑链条，培养数学抽象与推理能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|单选2题+多选2题|判断数列定义、单调性等概念正误|从数列定义出发，辨析项的确定性、增减性等基本属性| |性质应用|单选2题+填空2题|求项数、最大/最小项及前n项和最小值|结合通项公式分析数列单调性，推导前n项和与通项关系| |综合计算|解答2题|由前n项和求通项、分析最大最小项|整合数列定义与函数性质，通过运算推理解决综合问题|

高二数学下学期阶段测试（人教版B版选择性必修三第五章）5.1.1 数列的概念期末巩固提升训练二 （分值70分，限时40分钟） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知数列，则是这个数列的第  项． A. B. C. D. 2.下列说法中，正确的是(     ) A. 一个数列中的数是不可以重复的 B. 所有数列的前项和都能使用公式表达 C. 任何一个数列不是递增数列，就是递减数列 D. 如果数列的前项和为，则对，都有 3.在数列中，已知，，则“”是“是单调递增数列”的(     ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4.已知数列的通项公式为，则(     ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.下列说法正确的有(     ) A. 数列，，和，，是两个不同的数列； B. 数列的最大项为； C. 数列是递减数列； D. 数列的通项公式，若数列为递增数列，则． 6.下列四个命题中，正确的有(     ) A. 数列的第项为 B. 已知数列的通项公式为，则是该数列的第项 C. 数列，，，，的一个通项公式为 D. 数列的通项公式为，则数列是递增数列 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.已知数列的通项公式为，前项和为，则当取得最小值时，的值为______． 8.数列的通项，则数列中的最大项的值为          ． 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 已知数列的前项和为 当取最小值时，求的值； 求出的通项公式． 10.本小题分 已知是数列的前项和，，其中求数列的通项公式． 已知数列中，，求数列中的最大项和最小项的值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学下学期阶段测试（人教版B版选择性必修三第五章）5.1.1 数列的概念期末巩固提升训练二 （分值70分，限时40分钟） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知数列，则是这个数列的第  项． A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查了数列的通项公式，做题时要注意观察，找到规律． 可先找到数列的通项公式，在假设是该数列的第项，得到关于的方程，再解方程即可． 【解答】 解：通过观察，可发现数列，，，，，，的通项公式为， 则， 解得：，  所以是这个数列的第项． 故选D． 2.下列说法中，正确的是(    ) A. 一个数列中的数是不可以重复的 B. 所有数列的前项和都能使用公式表达 C. 任何一个数列不是递增数列，就是递减数列 D. 如果数列的前项和为，则对，都有 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查数列的概念与表示，及数列的通项公式、数列的函数特征，数列的和与项的关系，属于基础题． 利用数列的概念与表示，及数列的通项公式、数列的函数特征，数列的和与项的关系逐一分析判断即可． 【解答】 解：对于选项A，数列中的数是可以重复的，故A错误； 对于选项B，不是所有的数列都有通项公式，如由质数组成的无穷数列，故B错误； 对于选项C，这个数列还可以是常数列，摇摆数列等，故C错误； 根据数列的前项和与的关系，易知D正确． 故选D． 3.在数列中，已知，，则“”是“是单调递增数列”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查简易逻辑，以及单调递增数列的性质，属于基础题． 先求出每个命题对应的集合，再根据集合之间的关系判断充分性和必要性即可． 【解答】解：若在数列中，已知，，， 则，解得． 若在数列中，已知，，是单调递增数列， 则对任意的都满足： ， 则， 则， 故“”是“是单调递增数列”的充分必要条件， 故选：． 4.已知数列的通项公式为，则(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了数列的特征和数列的通项公式，属于容易题． 把代入即可求出答案． 【解答】 解：因为，当时 故选C． 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.下列说法正确的有(    ) A. 数列，，和，，是两个不同的数列； B. 数列的最大项为； C. 数列是递减数列； D. 数列的通项公式，若数列为递增数列，则． 【答案】AC  【解析】【分析】 本题考查数列的概念，考查数列的单调性，考查利用基本不等式求最值，属于基础题． 根据数列的概念判断；由并利用基本不等式求出最大值，继而可判断；根据数列的单调性判断；对于，根据数列的单调性可得恒成立，解得即可 【解答】 解：对于，由数列的概念可知数列，，和，，是两个不同的数列，故A正确； 对于，，当且仅当，即时等号成立，所以数列的最大项不可能是，故B错误； 对于，当时，单调递减， 所以数列是递减数列，故C正确； 对于，恒成立， ，恒成立，所以，故D错误． 故选：． 6.下列四个命题中，正确的有(    ) A. 数列的第项为 B. 已知数列的通项公式为，则是该数列的第项 C. 数列，，，，的一个通项公式为 D. 数列的通项公式为，则数列是递增数列 【答案】ABD  【解析】【分析】 本题主要考查数列的通项公式及其函数特征，属于基础题． 利用数列的通项公式及其函数特征逐一判断即可． 【解答】 解：对于：数列的第项为，故A正确； 对于：令，解得：或， 因为，故，故B正确； 对于：将数列，，，，各项减，得：、、、、， 设该数列的通项为，则其通项公式为， 因此数列，，，，的一个通项公式为，故C错误； 对于：因为， 所以， 因此数列是递增数列，故D正确． 故选ABD． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.已知数列的通项公式为，前项和为，则当取得最小值时，的值为______． 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查的是数列的函数特征及数列前项和问题，属于基础题． 通项公式可化为，然后结合数列的单调性及项的符号进行判断即可． 【解答】解：因为， 所以当时，数列单调递减，当时，， 又， 所以当时，取得最小值， 故答案为． 8.数列的通项，则数列中的最大项的值为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题重点考查数列的函数特征和基本不等式求最值，属于基础题． 令，运用基本不等式得，因为，，从而求出当或时，取最大值． 【解答】 解：令，运用基本不等式得， 当且仅当时等号成立， 又， 因为，所以， 因为，所以当或时，取最大值， 故答案是． 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 已知数列的前项和为 当取最小值时，求的值； 求出的通项公式． 【答案】解：， 因为，所以当或时，取最小值 当时，， 当时，， 当时，满足上式， 所以． 【解析】本题主要考查数列递推式的应用． 结合二次函数的性质求解 利用与的关系求解数列的通项公式． 10.本小题分 已知是数列的前项和，，其中求数列的通项公式． 已知数列中，，求数列中的最大项和最小项的值． 【答案】解：由，，得 当时，． 当时，， 又当时，也满足上式． 所以数列的通项公式为． ，由的性质：在上递减，在上递减， ：在上递减，在上递减， 则且 数列中的最大项为，最小项为．  【解析】此题考查利用数列的求和公式求数列的通项公式，以及数列的函数特征，利用单调性求最值，属于基础题． 分类讨论及，利用数列的求和公式与数列的通项公式的关系得出数列的通项公式； 利用数列的函数性质，结合对应函数的单调性，求得数列的最值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $高二数学下学期阶段测试（人教版B版选择性必修三第五章) 5.1.1数列的概念期末巩固提升训练二 (分值70分，限时40分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.已知数列1，V3,V5,V7,,V2n-1,则3V5是这个数列的第( )项 A.20 B.21 C.22 D.23 2.下列说法中，正确的是( A.一个数列中的数是不可以重复的 B.所有数列的前n项和都能使用公式表达 C.任何一个数列不是递增数列，就是递减数列 D.如果数列{an}的前n项和为Sn,则对n∈N*,都有an+1=S+1一Sn 3.在数列{an}中，已知an=n2+n,nEN*,则a1<a2是“{an}是单调递增数列的 ( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知数列a,的通项公式为a,=中高++十则a( A月 B. c D 第1页，共3页 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.下列说法正确的有( A.数列1,2,3和3,2,1是两个不同的数列： B数列()的最大项为√3-1： C.数列{}是递减数列： D.数列{an}的通项公式an=2n+n,若数列{an}为递增数列，则≥-4. 6.下列四个命题中，正确的有( A.数列}的第k项为1+月 B.已知数列{an}的通项公式为an=n2-n-50,n∈N*,则-8是该数列的第7项 C.数列3,5,9,17,33…的一个通项公式为an=2m-1 D.数列a的通项公式为a=,nEN,则数列a}是递增数列 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7已知数列(a,)的通项公式为a,前n项和为S则当S,取得最小值时，n的值为 8数列(a}的通项an=平mEN),则数列(a,}中的最大项的值为 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.(本小题14分) 已知数列{an}的前n项和为Sn=2n2-30n (1)当Sn取最小值时，求n的值； (2)求出{an}的通项公式. 第2页，共3页 10.(本小题14分) (I)已知Sn是数列{an}的前n项和，Sm=3×2n-3,其中n∈N.求数列{an}的通项公式. (②已知数列(a)中，a=1+m∈N),求数列(a)中的最大项和最小项的值. 第3页，共3页高二数学下学期阶段测试（人教版B版选择性必修三第五章) 5.1.1数列的概念期末巩固提升训练二 (分值70分，限时40分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.已知数列1，√3，√，√7，，V2m-1,则3v是这个数列的第()项. A.20 B.21 C.22 D.23 【答案】D 【解析】【分析】 本题考查了数列的通项公式，做题时要注意观察，找到规律. 可先找到数列的通项公式，在假设3v5是该数列的第n项，得到关于n的方程，再解方 程即可. 【解答】 解：通过观察，可发现数列1，√3，V5,,V2n一1，，的通项公式为 a=V2n-1, 则v2n-I=3v5=√45， 解得：n=23, 所以3√5是这个数列的第23项. 故选D. 第1页，共7页 2.下列说法中，正确的是() A.一个数列中的数是不可以重复的 B.所有数列的前n项和都能使用公式表达 C.任何一个数列不是递增数列，就是递减数列 D.如果数列a}的前n项和为Sn,则对n∈N,都有at1=Snt1-Sn 【答案】D 【解析】【分析】 本题考查数列的概念与表示，及数列的通项公式、数列的函数特征，数列的和与项的关 系，属于基础题， 利用数列的概念与表示，及数列的通项公式、数列的函数特征，数列的和与项的关系逐 一分析判断即可. 【解答】 解：对于选项A,数列中的数是可以重复的，故A错误： 对于选项B,不是所有的数列都有通项公式，如由质数组成的无穷数列，故B错误： 对于选项C,这个数列还可以是常数列，摇摆数列等，故C错误： 根据数列的前n项和Sn与a,的关系，易知D正确. 故选D, 3.在数列{an}中，已知an=n2+n,n∈N*,则a1<a2”是“{an}是单调递增数列的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】【分析】 本题考查简易逻辑，以及单调递增数列的性质，属于基础题 先求出每个命题对应的集合，再根据集合之间的关系判断充分性和必要性即可 【解答】解：若在数列{a}中，已知an=n+n,nEN*,a1<a2, 则1+入<4+2，解得入>-3. 若在数列{an}中，已知a=n2+n,n∈N*,{an}是单调递增数列， 则对任意的nEN*都满足： a+1-a=(m+1)2+λn+1)-n2-n=1+2n+λ>0， 第2页，共7页 则入>-1-2m, 则入>(-1-2m)mx=-3, 故a1<a”是“{an}是单调递增数列的充分必要条件， 故选：C 4.已知数列a的通项公式为，六十高十+ 3n*7 则a1=() A时 B C. 12 D 【答案】C 【解析】【分析】 本题考查了数列的特征和数列的通项公式，属于容易题. 把n=1代入即可求出答案. 【解答】 解：因为a=古+对当n=1时a=+计= 故选C 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.下列说法正确的有() A.数列1,2,3和3,2,1是两个不同的数列： B数列()的最大项为√了-1： C.数列()是递减数列； D.数列{an}的通项公式a=2n2+n,若数列{an}为递增数列，则7≥-4. 【答案】AC 【解析】【分析】 本题考查数列的概念，考查数列的单调性，考查利用基本不等式求最值，属于基础题 根搭数列的瓶念打新A:由可并利用基本不等式求出故人临。维面可别斯B, 根据数列的单调性判断C:对于D,根据数列的单调性可得an+1-an=4m+2+入>0恒成 立，解得即可 【解答】 解：对于A,由数列的概念可知数列1,2,3和3,2,1是两个不同的数列，故A正 第3页，共7页 确； 4n 4 对于B,n2+2n+3t2+2/n三3】 4=√了-1，当且仅当n=三即n=√3时等号成立，所以 数列()的最大项不可能是V5-1,故B错误： 对于C,当x>0时，y=单调递减， 所以数列{}血∈N*)是递减数列，故C正确： 对于D,an+1-an=4m+2+入>0恒成立， 入>-4n-2,nEN*恒成立，所以入>-6，故D错误. 故选：AC. 6.下列四个命题中，正确的有() A.数列}的第k项为1+日 B.已知数列{an}的通项公式为an=n-n-50,n∈N*,则-8是该数列的第7项 C.数列3,5,9,17,33…的一个通项公式为a=2-1 D.数列a,的通项公式为a=t,nEN,则数列，}是递增数列 【答案】ABD 【解析】【分析】 本题主要考查数列的通项公式及其函数特征，属于基础题. 利用数列的通项公式及其函数特征逐一判断即可· 【解答】 解：对于A:数列}的第k项为1+。故A正确： 对于B:令n2-n-50=-8,解得：n=7或n=-6, 因为n∈N*,故n=7,故B正确： 对于C:将数列3,5,9,17,33各项减1，得：2、4、8、16、32， 设该数列的通项为{b},则其通项公式为=2”，nEN*, 因此数列3,5,9,17,33…的一个通项公式为an=b+1=2n+1,n∈N*,故C错误： 对于D:因为A=1-nEN, 所以a1-4=正可20， 1 第4页，共7页 因此数列{an}是递增数列，故D正确 故选ABD, 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.已知数列(a,)的通项公式为a,前n项和为S,则当S取得最小值时，1的值为 【答案】7 【解析】【分析】 本题主要考查的是数列的函数特征及数列前项和问题，属于基础题， 通项公式可化为= n-3 21n-15 然后结合数列{a}的单调性及项的符号进行判断 即可. 【解答】解：因为a= 2n-15 所以当n≤7时，数列单调递减，当n>8时，a>0, 又a1=6=0,a=-5,a4=-a5=-k- ,a=-5, 所以当n=7时，Sn取得最小值， 故答案为7. 8数列a,}的通项aaN),则数列a)中的最大项的值为 【答案】日 【解析】【分析】 本题重点考查数列的函数特征和基本不等式求最值，属于基础题， 令)=x+≥0，运用基本不等式得x6VT而，因为a=,neN,从而求出 当n=9或n=10时，a取最大值. 【解答】 解：令x)=x+&>0,运用基本不等式得>6V0, 当且仅当x=3V10∈(9,10)时等号成立， 第5页，共7页 又f(9)=f10)=19, 因为“码 所以1 因为n∈N,所以当n=9或n=10时，an取最大值g 故答案是品 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.(本小题14分) 已知数列{an}的前n项和为Sn=2n-30n, (1)当Sn取最小值时，求n的值： (2)求出{am}的通项公式. 【答案】解：(1s。=2m2-30n=2a2-15m=2(a--受 因为nEN*,所以当n=7或n=8时，Sn取最小值； (2)当n=1时，a1=S1=2-30=-28, 当n≥2时，a=Sn-Sn-1=2m2-30m-[2m-1)2-30m-1)]=4n-32, 当n=1时，a1=-28满足上式， 所以an=4m-32. 【解析】本题主要考查数列递推式的应用. (1)结合二次函数的性质求解； (2)利用Sn与a,的关系求解数列的通项公式. 10.(本小题14分) (1)已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn=3×2n-3,其中n∈N*.求数列{an)的通项公式. 2)已知数列(a)中，a=1+血∈N),求数列(a)中的最大项和最小项的值. 【答案】解：(1)由Sn=3×2n-3,n∈N*,得 当n=1时，a1=S1=3×21-3=3. 当n≥2时，a=Sn-Sn-1=(3×2m-3)-(3×2n1-3)=3×(2n-2m)=3×2m1, 又当n=1时，a1=3也满足上式. 所以数列{a}的通项公式为a=3×2m1. ②)：a=1+由f-1+的性质：在(-，)上递减，在（号，+m)上递减， 第6页，共7页 n∈N*:a在nE[1,4]上递减，在n∈[5，+oo)上递减， 则1>a1>a2>a3>a4且a5>a6>a7>.>an>lmeN*) 数列{an}中的最大项为a5=2,最小项为a4=0. 【解析】此题考查利用数列的求和公式求数列的通项公式，以及数列的函数特征，利用 单调性求最值，属于基础题 (1)分类讨论n=1及n≥2，利用数列的求和公式与数列的通项公式的关系得出数列的通 项公式： (2)利用数列的函数性质，结合对应函数的单调性，求得数列的最值 第7页，共7页