精品解析：北京市第二中学2025-2026学年下学期七年级期中数学

2026北京二中初一（下）期中数学 考查目标 知识技能：人教版七年级下册《相交线与平行线》、《实数》、《二元一次方程组》、《不等式与不等式组》全部内容．运算能力，逻辑推理能力，阅读理解能力，实际应用能力，数形结合能力，分类讨论能力． 核心素养：空间观念、几何直观、运算能力、推理能力、模型观念与应用意识． 考生须知 1．本试卷分为第Ⅰ卷、第Ⅱ卷和答题卡，其中第Ⅰ卷和第Ⅱ卷共8页，答题卡共8页．全卷共三道大题，28道小题． 2．本试卷满分100分，考试时间100分钟． 3．在第Ⅰ卷、第Ⅱ卷指定位置和答题卡的密封线内准确填写班级、姓名、考号、座位号． 4．在答题卡上作答，判断题、选择题部分必须使用2B铅笔填涂，非选择题部分必须使用黑色字迹签字笔书写． 5．考试结束，将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题 共20分） 一、选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题2分，共20分） 1. 4的算术平方根是（ ） A. -2 B. 2 C. D. 2. 若，则下列不等式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，要把河中的水引到水池A中，应在河岸B（于点B）处开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是（　　） A. 两点确定一条直线 B. 两点之间，线段最短 C. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D. 垂线段最短 4. 若是二元一次方程的一个解，则m的值为( ) A. B. C. 1 D. 5. 用三角板过点作所在直线的垂线，如图三角板的位置摆放正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题中是假命题的是（ ） A. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B. 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补 C. 点到轴的距离是 D. 在数，，，，，中，有理数有个 7. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“美学”．如图，的值接近黄金比，则黄金比（ ） （参考数据：，，，） A. 在0.1到0.3之间 B. 在0.3到0.5之间 C. 在0.5到0.7之间 D. 在0.7到0.9之间 8. 《算学启蒙》是中国古代重要的著作，书中记载：今有军士分甲，人分五领，少十领；人分四领，多二领，问军士、甲各几何？题目大意：今有士兵分锁甲，如果每人分5领，则缺少10领；如果每人分4领，则多出2领．问士兵和铠甲各有多少？设士兵有x人，铠甲有y领，则所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 共享单车是一种低碳环保的出行方式，图①是某品牌共享单车，图②是其示意图，其中，都与地面l平行，平分，，则当为（ ）度时，与平行． A. 69 B. 64 C. 59 D. 52 10. 在平面直角坐标系中，已知点，其中a为整数．点C在线段上，且点C的横、纵坐标均为整数．若点C在y轴上，则满足条件的点C的坐标有（　　）个． A. 3 B. 4 C. 6 D. 7 第Ⅱ卷（非选择题 共80分） 二、填空题（共16分，每题2分） 11. 的立方根是___________． 12. 在平面直角坐标系中，若点在x轴上，则a的值为________． 13. 如图，AB⊥CD，垂足为O，OE平分∠BOC，则∠DOE的度数为______°． 14. 已知等腰三角形的一边长为4、另一边长为8，则这个等腰三角形的周长为_______． 15. 若关于x、y的二元一次方程组的解满足方程，则k的值是________． 16. 在平面直角坐标系中，点A的坐标是，若轴，且，则点B的坐标是________． 17. 如图，正方形的面积是10，点A在数轴上表示的数为1，如果点P是数轴上在点A右侧的一点，并且，则点P在数轴上对应的点是__________． 18. 对于实数x，用表示不超过x的最大整数，如，，，． （1）________； （2）若，则满足条件的实数t的值是________． 三、解答题（共64分，其中第19题10分，20-21题每题5分，22-26题每题6分，第27-28题每题7分） 19. 计算和解方程 （1）． （2）． 20. 解方程组： 21. 解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 22. 如图，∠AFD＝∠1，AC∥DE． （1）试说明：DF∥BC； （2）若∠1＝70°，DF平分∠ADE，求∠B的度数． 23. 如图，在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点上． （1）请建立合适的平面直角坐标系，使点的坐标分别为和，并写出点的坐标为________； （2）在（）的条件下． ①中任意一点经平移后对应点，将作同样的平移得到，请画出； ②点D是y轴上一动点，当的面积是时，点的坐标为________． 24. 如图，∠A＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，DE⊥BC于点E，DF∥AB交BC于点F． （1）依题意补全图形； （2）设∠C＝α， ①∠ABD＝____________（用含α的式子表示）； ②猜想∠BDF与∠DFC的数量关系，并证明． 25. 根据以下素材，探索解答任务一，任务二． 如何设计板材裁切方案？ 素材1 图1是湘一南湖学校的学生座椅，主要由靠背、座垫及铁架组成．经测量，该款学生椅的靠背尺寸为，座垫尺寸为．图2是靠背与座垫的尺寸示意图 素材2 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅．经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材加工制做该款式学生椅的靠背与座垫．已知该板材长为，宽为．（裁切时不计损耗） 我是板材裁切师 任务一 拟定剪裁方案 若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法． 方法一：裁切靠背16张和座垫0张． 方法二：裁切靠背________张和坐垫________张． 方法三：裁切靠背________张和坐垫________张． 任务二 解决实际问题 工厂目前已有裁切好的12张靠背板材和4张坐垫板材，经商议，现需新购买一批该型号板材，其中一部分按照方案二裁剪，另一部分按照方案三裁剪，一共制作700张学生座椅，请问：需要购买该型号板材共多少张？（恰好全部用完） 26. 定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组） 和不等式（组）的“梦想解”． 例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”． （1）是方程和下列不等式____的“梦想解”；（填序号） ①，②，③． （2）若关于，的二元一次方程组和不等式组有“梦想解”，且为整数，求的值． 27. 已知直线，直线交，于点，，点，分别为射线，射线上的点，点在直线上． （1）如图，点在线段上，，，则的度数为________； （2）作的角平分线，射线的反向延长线与的角平分线交于点． ①点在线段上时，在图中补全图形，写出与的数量关系，并说明理由； ②点在直线上时，直接写出与的数量关系． 28. 在平面直角坐标系中，对于点，和图形，将图形沿射线方向平移，平移距离为线段的长，得到图形，若点在图形上，则称点为图形关于点的“移动关联点”．如图，点，． （1）若点为线段关于点的“移动关联点”，则点可以是____；，，； （2）已知正方形，点，点，点，点． ①当时，点在上，若点为正方形关于点的“移动关联点”，则点的横坐标的取值范围是____； ②已知点，，点在正方形上，若线段上任意一点，都是线段关于点的“移动关联点”，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026北京二中初一（下）期中数学 考查目标 知识技能：人教版七年级下册《相交线与平行线》、《实数》、《二元一次方程组》、《不等式与不等式组》全部内容．运算能力，逻辑推理能力，阅读理解能力，实际应用能力，数形结合能力，分类讨论能力． 核心素养：空间观念、几何直观、运算能力、推理能力、模型观念与应用意识． 考生须知 1．本试卷分为第Ⅰ卷、第Ⅱ卷和答题卡，其中第Ⅰ卷和第Ⅱ卷共8页，答题卡共8页．全卷共三道大题，28道小题． 2．本试卷满分100分，考试时间100分钟． 3．在第Ⅰ卷、第Ⅱ卷指定位置和答题卡的密封线内准确填写班级、姓名、考号、座位号． 4．在答题卡上作答，判断题、选择题部分必须使用2B铅笔填涂，非选择题部分必须使用黑色字迹签字笔书写． 5．考试结束，将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题 共20分） 一、选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题2分，共20分） 1. 4的算术平方根是（ ） A. -2 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】4的算术平方根是2． 故选B． 【点睛】本题考查求一个数的算术平方根．掌握算术平方根的定义是解题关键． 2. 若，则下列不等式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式性质逐一判断选项即可，用到的性质为：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变． 【详解】解：∵ ， 对于A选项，不等式两边同时加2，不等号方向不变，可得 ，故A错误，不符合题意． 对于B选项，不等式两边同时除以正数3，不等号方向不变，可得 ，故B错误，不符合题意． 对于C选项，不等式两边同时乘负数，不等号方向改变，可得 ，故C错误，不符合题意． 对于D选项，不等式两边同时乘正数5，不等号方向不变，得，再两边同时减2，不等号方向不变，可得 ，故D正确，符合题意． 3. 如图，要把河中的水引到水池A中，应在河岸B（于点B）处开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是（　　） A. 两点确定一条直线 B. 两点之间，线段最短 C. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D. 垂线段最短 【答案】D 【解析】 【分析】过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段；直线外一点与直线上任意一点的连线中，垂线段最短． 【详解】解：根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短， 因此，沿开渠，能使所开的渠道最短． 故选：D． 【点睛】本题考查的是点到直线的距离的含义，垂线段最短的应用，熟记概念是解本题的关键． 4. 若是二元一次方程的一个解，则m的值为( ) A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】把与的值代入方程计算即可求出的值． 【详解】解：把代入方程得：， 解得：， 故选：C． 【点睛】此题考查了二元一次方程的解，方程组的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 5. 用三角板过点作所在直线的垂线，如图三角板的位置摆放正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查作垂线，根据过点作已知直线的垂线方法进行判断即可． 【详解】解：选项A中三角板过点，但不垂直，故不符合题意； 选项B中三角板过点且垂直，故符合题意； 选项C中三角板不过点，故不符合题意； 选项D中三角板过点但不垂直，故不符合题意， 故选：B． 6. 下列命题中是假命题的是（ ） A. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B. 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补 C. 点到轴的距离是 D. 在数，，，，，中，有理数有个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查命题真假判断，需结合平行公理、平行线性质、点到轴的距离定义、有理数定义逐一判断选项. 【详解】解：A、同一平面内，只有过直线外一点才有且只有一条直线与已知直线平行，若该点在已知直线上，不存在与已知直线平行的直线，∴原命题说法错误，是假命题； B、两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，是真命题； C、点到轴的距离为点纵坐标的绝对值，点纵坐标为，，原命题正确，是真命题； D、化简得，，其中有理数为，，，，共个，原命题正确，是真命题． 7. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“美学”．如图，的值接近黄金比，则黄金比（ ） （参考数据：，，，） A. 在0.1到0.3之间 B. 在0.3到0.5之间 C. 在0.5到0.7之间 D. 在0.7到0.9之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查无理数的估算，不等式的性质，正确判断的范围是求解本题的关键． 根据参考数据知，得，得，即得． 【详解】解：∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 故答案为：C． 8. 《算学启蒙》是中国古代重要的著作，书中记载：今有军士分甲，人分五领，少十领；人分四领，多二领，问军士、甲各几何？题目大意：今有士兵分锁甲，如果每人分5领，则缺少10领；如果每人分4领，则多出2领．问士兵和铠甲各有多少？设士兵有x人，铠甲有y领，则所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：设士兵有人，铠甲有领， ∵如果每人分5领，则缺少10领， ∴， ∵如果每人分4领，则多出2领， ∴， ∴所列方程组是． 9. 共享单车是一种低碳环保的出行方式，图①是某品牌共享单车，图②是其示意图，其中，都与地面l平行，平分，，则当为（ ）度时，与平行． A. 69 B. 64 C. 59 D. 52 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定以及性质，角平分线的定义，由题意可得，可得出，即可求出，由角平分线的定义可得出，即可得出当时，与平行． 【详解】解：∵，都与地面l平行， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴当时，与平行． 故选：B． 10. 在平面直角坐标系中，已知点，其中a为整数．点C在线段上，且点C的横、纵坐标均为整数．若点C在y轴上，则满足条件的点C的坐标有（　　）个． A. 3 B. 4 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点坐标．分类讨论是解题的关键． 由题意知，分当时；当时； 当时，3种情况求解作答即可． 【详解】解：当时，如图1， 此时，线段上不存在点C在y轴上； 当时，如图2， 此时，线段上不存在点C在y轴上； ∵为整数， ∴的取值为， ∴满足条件的点C的坐标有4个； 当，如图3， 此时，线段上不存在点C在y轴上； 综上，满足条件的点C的坐标有4个， 故选：B． 第Ⅱ卷（非选择题 共80分） 二、填空题（共16分，每题2分） 11. 的立方根是___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解答问题的关键．根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根为， 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，若点在x轴上，则a的值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据平面直角坐标系中x轴上点的纵坐标为0的坐标特征，列一元一次方程求解． 【详解】解：∵点在x轴上， ∴点A的纵坐标满足， 解得：． 13. 如图，AB⊥CD，垂足为O，OE平分∠BOC，则∠DOE的度数为______°． 【答案】135 【解析】 【分析】根据垂线的性质和角平分线的定义解答即可． 【详解】解：， ， 平分， ， ， 故答案为：135． 【点睛】本题主要考查了垂线的性质和角平分线的定义，熟练掌握相关的定义和性质是解答本题的关键． 14. 已知等腰三角形的一边长为4、另一边长为8，则这个等腰三角形的周长为_______． 【答案】20 【解析】 【分析】先分类讨论，然后利用三角形的三边关系进行验证即可． 【详解】解：①若三角形的三边长为： 所以不能构成三角形 ②若三角形的三边长为： 此时能构成三角形 故：等腰三角形的周长为： 故答案为：20 【点睛】本题考查等腰三角形的性质．考查学生分类讨论思想以及验证能力． 15. 若关于x、y的二元一次方程组的解满足方程，则k的值是________． 【答案】7 【解析】 【分析】观察二元一次方程组中两个方程的系数特点，将两式相加整理得到与的关系式，利用解的含义得，整体代入即可求出的值． 【详解】解： 得：， ∴， ∵， ∴， 解得：． 16. 在平面直角坐标系中，点A的坐标是，若轴，且，则点B的坐标是________． 【答案】或 【解析】 【分析】由题意，设点B的坐标为(-2，y)，则由AB=9可得，解方程即可求得y的值，从而可得点B的坐标． 【详解】∵轴 ∴设点B的坐标为(-2，y) ∵AB=9 ∴ 解得：y=8或y=－10 ∴点B的坐标为或 故答案为：或 【点睛】本题考查了平面直角坐标系求点的坐标，解含绝对值方程，关键是抓住平行于坐标轴的线段长度只与两点的横坐标或纵坐标有关，易错点则是考虑不周，忽略其中一种情况． 17. 如图，正方形的面积是10，点A在数轴上表示的数为1，如果点P是数轴上在点A右侧的一点，并且，则点P在数轴上对应的点是__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：正方形的面积是10， ∴， ∵点A在数轴上表示的数为1， ∴点P在数轴上对应的点是 ． 18. 对于实数x，用表示不超过x的最大整数，如，，，． （1）________； （2）若，则满足条件的实数t的值是________． 【答案】 ①. 1 ②. ##0.75 【解析】 【分析】首先估算出的取值范围，根据新定义即可求解；根据的定义列出不等式组，结合为整数的性质即可求出的值． 【详解】解: （1）， ，  不超过的最大整数为，即； （2）根据的定义，可得对于任意实数，满足 ， 将，代入，得  解得不等式组的解集为 ． 是整数， 是整数． 设，其中为整数，则， 代入不等式，得  ， 解得 ．  为整数， ，  ． 三、解答题（共64分，其中第19题10分，20-21题每题5分，22-26题每题6分，第27-28题每题7分） 19. 计算和解方程 （1）． （2）． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：， ， ， 或． 20. 解方程组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组，运用代入消元法进行解答即可． 【详解】解：， 由②得，， 把代入①，得， 解得， 把代入②，得， 解得， 所以原方程组的解为． 21. 解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】不等式组的解集为：，数轴表示见解析 【解析】 【分析】首先分别求解不等式，再根据不等式组的性质得到解集，结合数轴的性质作图，即可得到答案． 【详解】∵， 移项并合并同类项，得：， ∵ 去分母，得： 移项并合并同类项，得：， ∴不等式组的解集为：， 将不等式组的解集表示在数轴上如下： 【点睛】本题考查了一元一次不等式组、数轴的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次不等式组的性质，从而完成求解． 22. 如图，∠AFD＝∠1，AC∥DE． （1）试说明：DF∥BC； （2）若∠1＝70°，DF平分∠ADE，求∠B的度数． 【答案】（1）见解析；（2）∠B的度数为70° 【解析】 【分析】（1）由∠AFD＝∠1，AC∥DE，根据平行线的性质可得到∠AFD＝∠C，即可根据平行线的判定定理得出DF∥BC； （2）根据平行线的性质和角平分线的定义可求出∠B的度数． 【详解】解：（1）∵AC∥DE， ∴∠C＝∠1， 又∵∠AFD＝∠1， ∴∠C＝∠AFD， ∴DF∥BC． （2）∵∠1＝70°，DF∥BC， ∴∠EDF＝∠1＝70°， 又∵DF平分∠ADE， ∴∠ADF＝∠EDF＝70°， ∵DF∥BC， ∴∠B＝∠ADF＝70°． 故∠B的度数为70°． 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，平行线的性质和判定是解此题的关键． 23. 如图，在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点上． （1）请建立合适的平面直角坐标系，使点的坐标分别为和，并写出点的坐标为________； （2）在（）的条件下． ①中任意一点经平移后对应点，将作同样的平移得到，请画出； ②点D是y轴上一动点，当的面积是时，点的坐标为________． 【答案】（1），坐标系如图： （2）①；②或 【解析】 【分析】（）利用已知点的坐标定位坐标轴，再结合网格中点的相对位置求出未知点坐标； （）①运用点平移时横纵坐标的变化规律确定平移后图形，②利用坐标轴上点的坐标特征、三角形面积公式，通过设未知数建立方程求解点的坐标． 【小问1详解】 解：根据已知、建立平面直角坐标系：轴为过点的竖直线，原点在正下方个单位长度处，图略． 根据位置关系，在左上方，最终得； 【小问2详解】 ① ∵中任意一点经平移后对应点， 即整体向右平移个单位，向下平移个单位：分别将按规则平移得到， 依次连接三个顶点即可得到​，图略． ② 解：设， ∵在轴上， ∴在轴上，，点到轴的距离为， 即中，底为，高为， 根据面积公式：， 解得， 即或， ∴点坐标为或． 24. 如图，∠A＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，DE⊥BC于点E，DF∥AB交BC于点F． （1）依题意补全图形； （2）设∠C＝α， ①∠ABD＝____________（用含α的式子表示）； ②猜想∠BDF与∠DFC的数量关系，并证明． 【答案】（1）图见解析（2）①45°−α②∠DFC＝2∠BDF，理由见解析 【解析】 【分析】（1）过D画DE⊥BC，DF∥AB即可； （2）①根据余角的定义和角平分线的定义可得； ②根据角平分线定义可得∠ABC＝2∠ABD，再根据DE∥AB可得∠DFC＝∠ABC，∠ABD＝∠BDF，可得∠DFC＝2∠BDF． 【详解】（1）如图： （2）①∵∠A＝90°， ∴∠ABC＝90°−∠C＝90°−α， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠ABC＝（90°−α）＝45°−α， 故答案为45°−α； ②∠DFC＝2∠BDF， 证明：∵DF∥AB， ∴∠DFC＝∠ABC． ∠ABD＝∠BDF． ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABC＝2∠ABD． ∴∠DFC＝2∠BDF． 【点睛】此题主要考查了角平分线的定义和平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等． 25. 根据以下素材，探索解答任务一，任务二． 如何设计板材裁切方案？ 素材1 图1是湘一南湖学校的学生座椅，主要由靠背、座垫及铁架组成．经测量，该款学生椅的靠背尺寸为，座垫尺寸为．图2是靠背与座垫的尺寸示意图 素材2 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅．经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材加工制做该款式学生椅的靠背与座垫．已知该板材长为，宽为．（裁切时不计损耗） 我是板材裁切师 任务一 拟定剪裁方案 若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法． 方法一：裁切靠背16张和座垫0张． 方法二：裁切靠背________张和坐垫________张． 方法三：裁切靠背________张和坐垫________张． 任务二 解决实际问题 工厂目前已有裁切好的12张靠背板材和4张坐垫板材，经商议，现需新购买一批该型号板材，其中一部分按照方案二裁剪，另一部分按照方案三裁剪，一共制作700张学生座椅，请问：需要购买该型号板材共多少张？（恰好全部用完） 【答案】任务一：8，3；0，6；任务二：需要购买该型号板材159张，用其中86张板材裁切靠背8张和坐垫3张，用73张板材裁切靠背0张和坐垫6张． 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程或二元一次方程组的应用． 任务一：设一张该板材裁切靠背张，坐垫张，根据每张靠背宽，每张坐垫宽，每张板材长，列二元一次方程，根据m、n都是自然数，赋值解答即可； 任务二：设用张板材，每张裁切靠背8张和坐垫3张；用张板材，每张裁切靠背0张和坐垫6张．根据现有4张座垫和12张靠背，列二元一次方程组解答． 【详解】解：任务一：设一张该板材裁切靠背m张，坐垫n张， ， ∴， ∵m，n为非负整数， ∴或或， 方法二：裁切靠背8张和坐垫3张； 方法三：裁切靠背0张和坐垫6张； 故答案为：8，3；0，6； 任务二：设用x张板材裁切靠背8张和坐垫3张，用y张板材裁切靠背0张和坐垫6张， ， 解得： （张）， ∴需要购买该型号板材159张，用其中86张板材裁切靠背8张和坐垫3张，用73张板材裁切靠背0张和坐垫6张． 26. 定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组） 和不等式（组）的“梦想解”． 例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”． （1）是方程和下列不等式____的“梦想解”；（填序号） ①，②，③． （2）若关于，的二元一次方程组和不等式组有“梦想解”，且为整数，求的值． 【答案】（1）③ （2）或 【解析】 【分析】（1）分别将代入三个不等式并判断能否成立即可得解； （2）先解二元一次方程组，根据“梦想解”的定义将方程组的解代入不等式组求得得取值范围即可得到得整数解；利用加减消元法求出，再结合不等式组推出即可得解． 【小问1详解】 解：当时，①， 即不是不等式①的解，不符合题意； 当时，②， 即不是不等式②的解，不符合题意； 当时，③， 即是不等式③的解，符合题意． 【小问2详解】 解：， 得， ， 将代入得， ， 二元一次方程组和不等式组有“梦想解”， 是不等式组的解， 把代入不等式组得， 解不等式组得， 为整数， 或； 法二：由已知得，， 又， ， 解得， 为整数， 或． 27. 已知直线，直线交，于点，，点，分别为射线，射线上的点，点在直线上． （1）如图，点在线段上，，，则的度数为________； （2）作的角平分线，射线的反向延长线与的角平分线交于点． ①点在线段上时，在图中补全图形，写出与的数量关系，并说明理由； ②点在直线上时，直接写出与的数量关系． 【答案】（1）； （2）①补全图形如下： 数量关系是： 由（1）得， 作交于点， ， 又平分，平分， ， ， 即， ， ， ， ， ， ， ， 即； ②． 【解析】 【分析】（1）作交于点，结合平行线性质推得； （2）①结合角平分线的尺规作图方法先补全图形，作交于点，综合角平分线定义、平行线性质推出，，代入即可证；②分情况讨论，考虑当点在点上方时或在点下方两种情况，同样综合角平分线定义、平行线性质及图形中角的关系进行推理即可得解． 【小问1详解】 解：作交于点， ， ， 又，， ， ； 【小问2详解】 解：①略； ②当点在点上方时，作交于点， 交于点，如下图： ， 又平分，平分， ， ， ，， ， ， ， ， ， 即； 当点在点下方时， 射线的反向延长线与的角平分线无交点； 综上，点在直线上时，． 【点睛】本题考查的知识点是平行线的性质、尺规作图作角平分线、角平分线的定义、几何图形中角度的计算，解题关键是结合题意梳理出角之间的关系． 28. 在平面直角坐标系中，对于点，和图形，将图形沿射线方向平移，平移距离为线段的长，得到图形，若点在图形上，则称点为图形关于点的“移动关联点”．如图，点，． （1）若点为线段关于点的“移动关联点”，则点可以是____；，，； （2）已知正方形，点，点，点，点． ①当时，点在上，若点为正方形关于点的“移动关联点”，则点的横坐标的取值范围是____； ②已知点，，点在正方形上，若线段上任意一点，都是线段关于点的“移动关联点”，直接写出的取值范围． 【答案】（1）， （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）如图，把线段沿方向平移个单位长度得到线段，再结合图形分析即可； （2）①当，可得点，点，点，，画图可得把正方形沿方向，平移距离为线段的长度，平移后的轨迹为如图所示的阴影部分，不包括正方形内部，再进一步分析即可； ②结合①点落在如图所示的阴影内（包含边界，不包含正方形内部），此时左右两侧的阴影边界之间的水平距离为个单位长度，再进一步分情况讨论即可. 【小问1详解】 解：如图，把线段沿方向平移个单位长度得到线段， ∵点，， ∴的中点坐标为， ∴，， ∴的中点坐标为， ∴点为线段关于点的“移动关联点”，则点可以是，. 【小问2详解】 解：①∵正方形，点，点，点，点，， ∴点，点，点，， 把正方形沿方向，平移距离为线段的长度，平移后的轨迹为如图所示的阴影部分，不包括正方形内部； ∵点为正方形关于点的“移动关联点”， ∴点落在轨迹内（包含边界）； ∴点的横坐标的取值范围是. ②∵点在正方形上，线段上任意一点，都是线段关于点的“移动关联点”， 结合①可得：点落在如图所示的阴影内（包含边界，不包含正方形内部）， 此时左右两侧的阴影边界之间的水平距离为个单位长度， 此时平移后即，即， ∴的中点， 当与重合时， ∴， 解得：； 如图，当在阴影边界上时， ∵， ∴阴影端点， 此时，解得：， ∴当时，线段上任意一点，都是线段关于点的“移动关联点”； 如图，当落在阴影部分右边区域，且与边界重合时， 此时点， 的横坐标相等， ∴， ∴， 如图，当落在阴影的最右边边界时，而向右平移个单位时坐标为， ∴， 解得：， ∴当时，线段上任意一点，都是线段关于点的“移动关联点”； 综上：当或时， 线段上任意一点，都是线段关于点的“移动关联点”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $