精品解析：2025年云南省楚雄彝族自治州大姚县二模数学试题

2025年云南省初中学业水平考试标准模拟卷（二） 数学 （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若零上记作，则零下可记作（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相反意义的量，解答即可． 本题考查了相反意义的量，熟练掌握意义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得零上记作，则零下可记作， 故选：C． 2. 2024年前三季度，云南省鲜切花出口额达460000000元．将数据460000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选：B． 3. 如图，P是的平分线上一点，，垂足分别为D，E，若，则的长是（　　） A. 2 B. 3 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据角平分线的性质定理可得答案． 【详解】解：是的平分线上一点，，， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质是解题关键． 4. 已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则n的取值可以是（ ） A. B. 1 C. 3 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的图象位于第一、三象限，可得，即可得解，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第一、三象限， ∴， ∴， ∴n的取值可以是 ， 故选：C． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，多项式除以单项式，积的乘方、完全平方公式． 根据合并同类项，多项式除以单项式，积的乘方、完全平方公式即可求得答案． 【详解】解：A． ，故该选项错误； B． ，故该选项错误； C． ，故该选项正确； D．，故该选项错误． 故选C． 6. 如图，在 中，、 分别是 、 上的点， ，且，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键．通过判定 ，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴， 又， ∴， 故选：A． 7. 下列几何体中从正面、左面、上面看到的图都是圆的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，熟练掌握从不同方向看到的图形的形状是解题的关键． 根据从不同方向看到的图形的形状进行判断即可，注意所有的看到的棱都应表现在形状图中． 【详解】解：从正面、左面、上面看到的图都是圆的是球体，选项D符合题意． 故选D． 8. 按一定规律排列的单项式：，，，，，，…，则第个单项式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查代数式变化的规律，能根据所给单项式发现系数和次数的变化规律是解题的关键．观察所给单项式的系数和次数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：， ， ， ， ， …… ∴第个单项式为， 故选：B． 9. 某校八年级班为了了解同学们一天零花钱的消费情况，对本班同学开展了调查，将同学一周的零花钱以 元为组距，绘制如图的频率分布直方图，已知从左到右各组的频数之比为，若该班有人，则零花钱在元以上人数有（ ） A. 人 B. 人 C. 人 D. 人 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了频数分布直方图，根据从左到右各组的频数之比为，可知零花钱在元以上人数占总人数的，根据全班总人数为人，求出零花钱在元以上的人数． 【详解】解： 从左到右各组的频数之比为， 零花钱在元以上人数占份， 零花钱在元以上人数有(人)． 故选：A． 10. 如图， 的弦，半径，垂足为D，且 ，则的正弦值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，正弦函数等知识．根据垂径定理知道，而 ，可以连接构造直角三角形，然后利用勾股定理可以得到关于半径的一个方程，求得，再利用正弦函数的定义求解即可． 【详解】解：， 为 的中点，， 设，则， 在中，， ， 解得， ∴， ∴的正弦值等于， 故选：A． 11. 如图，某小区规划在长32米，宽20米的矩形场地 上修建三条同样宽的小路，使其中两条与 平行，一条与 平行，其余部分种植草坪，若使草坪的面积为570平方米，问小路宽为多少米?设小路的宽为x米，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系．设小路的宽为x米，根据草坪的面积为570平方米，列出方程即可． 【详解】解：设小路的宽为x米，根据题意得： ， 故选：B． 12. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是( ) A. 鹏 B. 程 C. 万 D. 里 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故A不符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．不是轴对称图形，故C不符合题意； D．是轴对称图形，故D符合题意． 故选：D． 13. 如图， 是等边三角形，点D、E、F分别在 、 、 上，若 ，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握等边三角形的性质是解题关键．先根据等边三角形的性质可得，再根据三角形的内角和定理可得，然后在中，根据三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】解：∵ 是等边三角形， ∴， ∵，， ， ∴， 又∵， ∴， 故选：D． 14. 若分式有意义，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为零，由此计算即可得解，熟练掌握分式有意义的条件是解此题的关键． 【详解】解：要使分式有意义，分母不能等于零，即， 解得， 因此， 的取值范围是， 故选：A． 15. 估计实数在 （ ） A. 6 到7之间 B. 7到8之间 C. 8 到9之间 D. 9到10之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，算术平方根，无理数的估算，熟练掌握运算法则是解题的关键．先根据二次根式的乘法进行计算，再根据无理数的估算得出答案． 【详解】解： ， ∵ ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 分解因式：__________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的概念以及平方差公式的运算，熟练掌握平方差公式是解决本题的关键． 将转化为使用平方差公式进行化简即可 ． 【详解】解： 故答案为： ． 17. 如图，在矩形 中，E是边 的中点，连接 交对角线 于点F，则和的周长比为_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，根据矩形可得，从而有，再根据性质即可求解． 【详解】解：∵四边形 是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵ 是边 的中点， ∴， ∴， ∴和的周长比为， 故答案为：． 18. 每年的月日是全国科技工作者日，在第八个全国科技工作者日来临之际，某班级举办了科技知识竞赛，其中九名学生的竞赛成绩分别为，，，，，，，，，则这组数据的众数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了众数，根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数即可求解． 【详解】解：将九名学生的竞赛成绩排序为，，，，，，，，， 其中出现的次数最多，故众数是． 故答案为：． 19. 如图是一个圆锥形冰淇淋外壳（不计厚度），已知其母线长为10cm，底面圆半径为3cm，则这个冰淇淋外壳的侧面积等于 _____cm2． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆的周长公式求出圆锥底面圆的周长，得到圆锥侧面展开图扇形的弧长，根据扇形面 积公式计算，得到答案． 【详解】解： 底面圆的半径为， 底面圆的周长为，即圆锥侧面展开图扇形的弧长为， 这个冰淇淋外壳的侧面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，求特殊角三角函数值，零指数幂和负整数指数幂等计算，先计算特殊角三角函数值，再计算零指数幂，负整数指数幂，最后根据实数的运算法则求解即可． 【详解】解：原式 ． 21. 如图， 是的中点，，．求证：． 【答案】 证明： 是的中点， ， 在 和中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，由“”证明，即可得出，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解此题的关键． 【详解】略 22. 某中学为鼓励学生加强体育锻炼，决定购买篮球和排球两种运动器材，已知每个篮球的进价是每个排球进价的2倍，若用元购买篮球的数量比元购买排球的数量少个．请问篮球和排球的进价分别为每个多少元？ 【答案】排球的进价为每个元，则篮球的进价为每个元 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程的应用，找到等量关系列方程是解题的关键． 设排球的进价为每个x元，则篮球的进价为每个元，利用“用元购买篮球的数量比元购买排球的数量少个”，再建立方程求解即可． 【详解】解：设排球的进价为每个x元，则篮球的进价为每个元， 由题意得： 解得：． 经检验：是原分式方程的解． ． 排球的进价为每个元，则篮球的进价为每个元． 23. 甲、乙两班同学准备参加种植蔬菜的劳动实践活动，甲班随机选择种植辣椒、茄子、西红柿三种中的一种．乙班随机选择种植辣椒、茄子、萝卜三种中的一种，记种植辣椒为A，种植茄子为B，种植西红柿为C，种植萝卜为D．假设这两班同学选择种植哪种蔬菜不受任何因素影响，且每一种被选到的可能性相等．记甲班同学的选择为x，乙班同学的选择为y． （1）请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； （2）求甲、乙两班同学选择种植同一种蔬菜的概率． 【答案】（1）所有可能出现的结果总数共有9种 （2）甲、乙两班同学选择种植同一种蔬菜的概率为 【解析】 【分析】本题主要考查了用树状图或列表法求等可能事件的概率，方法是用树状图或列表法列举出所有可能出现的结果总数，找出符合条件的结果数，用分数表示即可，注意每种情况发生的可能性相等． （1）画出树状图或列出表格，得出所有可能出现的结果总数即可； （2）根据画出的树状图或列出的表格，求出所有可能的结果数和符合条件的结果数，然后根据概率公式得出答案即可． 【小问1详解】 解：方法一，列表如下： 甲 乙 A B C A B D 所有可能出现的结果为：，，，，，，，，它们出现的可能性相等，一共有9种， 所有可能出现的结果总数共有9种． 方法二，画树状图如图： 所有可能出现的结果为：，，，，，，，，它们出现的可能性相等，一共有9种， 所有可能出现的结果总数共有9种． 【小问2详解】 解：由表（图）可以看出，所有可能出现的结果共有9种，这些结果出现的可能性相等，其中甲、乙两班同学选择种植同一种蔬菜的结果有2种：，， 甲、乙两班同学选择种植同一种蔬菜的概率为． 24. 如图，四边形 是矩形，分别是线段 ，上的点，点是与的交点．若将沿直线折叠，则点 与点 重合． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的值． 【答案】（1） 证明：∵四边形 是矩形， ∴ ， ∴ 由折叠可知，，，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（ ）证明即可求证； （ ）由菱形的性质得，由矩形的性质得，设，则，在中，由勾股定理得，可得，最后根据即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（ ）知，四边形是菱形， ∴， ∵四边形 是矩形， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，折叠的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，掌握矩形的性质、菱形的判定和性质是解题的关键． 25. 某超市销售一种商品，成本价为元/千克，经市场调查，每天销售量 （千克）与销售单价 （元/千克）之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于元，且不高于元． （1）直接写出 与 之间的函数关系式； （2）设每天的总利润为元，当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）单价定为元时，该超市每天的利润最大，最大利润元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．确定变量，建立函数模型，注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）是解题的关键． （1）将点代入一次函数表达式，即可求解； （2）由题意得：，根据二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：设一次函数的解析式为，将点、代入得： ，解得：， 故函数的表达式为：； 【小问2详解】 由题意得：， ∵，故当时，w随x的增大而增大， ∵， ∴当时，w取最大值，此时，． 故销售单价定为元时，该超市每天的利润最大，最大利润元． 26. 已知关于x的函数 （1）若该二次函数的对称轴是直线，求该函数的解析式； （2）当该函数与x轴的交点的横坐标为整数时，求整数m的值． 【答案】（1） （2）当该函数与x轴的交点的横坐标为整数时，整数m的值为0或1或． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，二次函数和一元二次方程的关系，解一元二次方程． （1）根据对称轴是直线，得到，据此求解即可； （2）当时，求得该函数与x轴的交点的横坐标为；当时，利用因式分解法解方程，得到，，据此求解即可． 【小问1详解】 解： 二次函数的对称轴是直线， ， 解得， 经检验，是该方程的解， 抛物线的解析式为 ； 【小问2详解】 解：当时，， 由，得， 该函数与x轴的交点的横坐标为，是整数，符合题意，m的值为0， 当时，函数是二次函数， 由， 解得，， 该函数与x轴的交点的横坐标为整数，即是整数， 或 综上所述，当该函数与x轴的交点的横坐标为整数时，整数m的值为0或1或． 27. 如图，四边形是 的内接四边形， 是 的直径，，延长至E，连接 、，延长 至E，使得，P是 的直径 上方的半圆上的任意一点，连接、、 ． （1）求的度数； （2）求证： 是 的切线； （3）若点P在半圆 上运动，当面积最大且时，求 的长． 【答案】（1） （2） 证明：如图，连接， ， ． ． ， ， ， 又 ， ∽， ， ， ， ， ．． ， 是 的半径， 直线 与 相切． （3） 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、切线的判定和性质、圆内接四边形、全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据直径所对的圆周角是直角即可证明； （2）证明∽，得到，证明，进而求解； （3）过点 作于点，过点作于点 ，交的延长线于点 ，证明≌，推出最大，最大，当经过点时，最大，垂直平分 ，即可求解． 【小问1详解】 解：∵ 是 的直径，点 是 上异于、 的点， ∴ ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过点 作于点，过点作于点 ，交的延长线于点 ， ． 四边形是 的内接四边形， ， ， ， 在和中， ≌， ， ， ，， ， 是定值， 最大，最大，当经过点时，最大， 垂直平分 ． ， ， 即， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年云南省初中学业水平考试标准模拟卷（二） 数学 （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若零上记作，则零下可记作（ ） A. B. C. D. 2. 2024年前三季度，云南省鲜切花出口额达460000000元．将数据460000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，P是的平分线 上一点，，垂足分别为D，E，若，则的长是（　　） A. 2 B. 3 C. D. 4 4. 已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则n的取值可以是（ ） A. B. 1 C. 3 D. 0 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在 中， 、 分别是 、 上的点， ，且，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 下列几何体中从正面、左面、上面看到的图都是圆的是（ ） A. B. C. D. 8. 按一定规律排列的单项式：，，，，，，…，则第 个单项式为（ ） A. B. C. D. 9. 某校八年级班为了了解同学们一天零花钱的消费情况，对本班同学开展了调查，将同学一周的零花钱以 元为组距，绘制如图的频率分布直方图，已知从左到右各组的频数之比为，若该班有人，则零花钱在元以上人数有（ ） A. 人 B. 人 C. 人 D. 人 10. 如图， 的弦，半径，垂足为D，且 ，则的正弦值等于（ ） A. B. C. D. 11. 如图，某小区规划在长32米，宽20米的矩形场地 上修建三条同样宽的小路，使其中两条与 平行，一条与 平行，其余部分种植草坪，若使草坪的面积为570平方米，问小路宽为多少米?设小路的宽为x米，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 12. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是( ) A. 鹏 B. 程 C. 万 D. 里 13. 如图， 是等边三角形，点D、E、F分别在 、 、 上，若，，则（ ） A. B. C. D. 14. 若分式有意义，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 15. 估计实数在 （ ） A. 6 到7之间 B. 7到8之间 C. 8 到9之间 D. 9到10之间 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 分解因式：__________ 17. 如图，在矩形 中，E是边 的中点，连接 交对角线 于点F，则和的周长比为_______． 18. 每年的月日是全国科技工作者日，在第八个全国科技工作者日来临之际，某班级举办了科技知识竞赛，其中九名学生的竞赛成绩分别为，，，，，，，，，则这组数据的众数为________． 19. 如图是一个圆锥形冰淇淋外壳（不计厚度），已知其母线长为10cm，底面圆半径为3cm，则这个冰淇淋外壳的侧面积等于 _____cm2． 三、解答题（本大题共8小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20. 计算：． 21. 如图， 是的中点，，．求证：． 22. 某中学为鼓励学生加强体育锻炼，决定购买篮球和排球两种运动器材，已知每个篮球的进价是每个排球进价的2倍，若用元购买篮球的数量比元购买排球的数量少个．请问篮球和排球的进价分别为每个多少元？ 23. 甲、乙两班同学准备参加种植蔬菜的劳动实践活动，甲班随机选择种植辣椒、茄子、西红柿三种中的一种．乙班随机选择种植辣椒、茄子、萝卜三种中的一种，记种植辣椒为A，种植茄子为B，种植西红柿为C，种植萝卜为D．假设这两班同学选择种植哪种蔬菜不受任何因素影响，且每一种被选到的可能性相等．记甲班同学的选择为x，乙班同学的选择为y． （1）请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； （2）求甲、乙两班同学选择种植同一种蔬菜的概率． 24. 如图，四边形 是矩形，分别是线段 ， 上的点，点是与的交点．若将沿直线折叠，则点 与点 重合． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的值． 25. 某超市销售一种商品，成本价为元/千克，经市场调查，每天销售量 （千克）与销售单价 （元/千克）之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于元，且不高于元． （1）直接写出 与 之间的函数关系式； （2）设每天的总利润为元，当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？ 26. 已知关于x的函数 （1）若该二次函数的对称轴是直线，求该函数的解析式； （2）当该函数与x轴的交点的横坐标为整数时，求整数m的值． 27. 如图，四边形是 的内接四边形， 是 的直径，，延长至E，连接 、 ，延长 至E，使得，P是 的直径 上方的半圆上的任意一点，连接、、 ． （1）求的度数； （2）求证： 是 的切线； （3）若点P在半圆 上运动，当面积最大且时，求 的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $