精品解析：陕西省西安市丁准高考补习培训学校2025-2026学年第二学期高三年级第22次模考数学试题

数学试题 （时间：120分钟 分值：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设复数在复平面内对应的点关于实轴对称，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的几何意义即可求得，再由复数的除法运算求出结果. 【详解】根据题意由，在复平面内对应的点关于实轴对称可得； 所以. 故选：B. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解出不等式，求出集合，进而求交集即可. 【详解】由，得，解得 ， 即. 由，可得，解得， 即， 所以. 3. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过中间值0和1，即可比较大小. 【详解】因为， 所以， 故选：B 4. 下面是校篮球队某队员若干场比赛的得分数据. 每场比赛得分 3 6 7 10 11 13 30 频数 2 1 2 2 1 1 1 则下列说法不正确的是（ ） A. 该队员得分的平均数是10 B. 该队员得分的极差是27 C. 该队员得分的第四十百分位数是7 D. 该队员得分的方差是48.4 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据平均数，极差，百分位数，方差的定义即可判断. 【详解】该队员得分的平均数是，故A正确； 极差是，故B正确； ，所以第百分位数是，故C正确； 方差是，故D错误. 故选：D 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】， 由 ， 所以. 6. 已知点在直线上运动，且，点在圆上，则的面积的最大值为（ ） A. 8 B. 5 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】设圆心到直线的距离为到直线的距离为，易知当最大时，，此时的面积最大，由此容易得解． 【详解】设圆心到直线的距离为到直线的距离为， 又圆心坐标为，则， 又半径为，则当最大时，， 此时面积也最大，． 故选：A． 7. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 的图象关于直线对称 C. 在上的值域为 D. 在上单调递增 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据平移规律求函数的解析式，根据奇函数的性质，判断A，利用代入法，判断BCD. 【详解】由题意知不是奇函数，故A错误． 不关于直线对称，故B错误． 由，得，则，故C正确． 当时，，而在上不单调， 所以在上不单调，故D错误． 故选：C 8. 已知一个圆锥的母线长为，则当其体积最大时，该圆锥的内切球半径为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】用表示出体积，利用导数求最值，由轴截面面积列方程即可得解. 【详解】设圆锥的底面半径为，高为，则， 则，，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，当圆锥体积取得最大值时，， 设圆锥内切球的半径为，则由轴截面面积可得， 解得. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设函数，则（ ） A. 是的一条切线 B. C. 当时， D. 若在区间上有最小值，则实数的范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】借助导数的几何意义计算可得A；求导后计算可得B；构造函数，利用导数研究函数单调性后可得C；结合函数单调性利用最小值性质可得D. 【详解】对A：， 令，则或， 又，则在处的切线为，故A正确； 对B：，故B正确； 对C：令，， 则， 故在上单调递增，又， 故，即，故C错误； 对D：由，则当时，， 当时，， 故在上单调递减，在、上单调递增， 又，且， 若在区间上有最小值，则有， 解得，故D正确. 故选：ABD. 10. 如图，在直棱柱中，，是中点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 四点共面 C. 直棱柱不存在外接球 D. 棱的中点在平面内 【答案】ABC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断A；利用向量法得，即可利用基本事实的推论判断B；确定直角梯形是否有外接圆判断C；结合空间向量线性坐标运算，利用共面定理判断D. 【详解】在直棱柱中，平面， 又，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 对于A，因为， 所以， 所以，所以，A正确； 对于B， ，即，又直线， 因此，即四点共面，B正确； 对于C，在梯形中，， 则为锐角，，因此， 所以梯形无外接圆，则直棱柱没有外接球，C正确； 对于D，棱的中点， ， 假设棱的中点M在平面内， 则有，即，该方程组无解， 所以棱的中点不在平面内，D错误. 故选：ABC 11. 已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点P在C的准线上，那么（ ） A. 若PA与C相切，则PB也与C相切 B. C. 若点P在x轴上，则为定值 D. 若点P在x轴上，且满足，则直线l的斜率绝对值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过证明过焦点弦两个端点的切线的交点在抛物线的准线上判断A，根据以为直径的圆与抛物线的准线相切判断B，设直线的方程为：，，，联立直线与抛物线方程，消元，列出韦达定理，计算出判断C，推导出，可得轴为的平分线，即可得到，设直线的倾斜角为，利用焦半径公式求出，从而判断D. 【详解】依题意，不妨设点在第一象限， 抛物线的焦点为，准线方程为， 对于A：设，， 依题意可得过，两点的抛物线的切线不与坐标轴垂直， 不妨设过的抛物线的切线方程为：， 即， 由，有， 所以， 又，整理得，解得， 所以过的抛物线的切线方程为：，整理得， 同理可得过的抛物线的切线方程为：， 设两切线的交点为，由， 可得， 设直线的方程为：，由有， 所以，，则， 所以， 即两切线的交点在抛物线的准线上， 所以若与相切，则也与相切，故A正确； 对于B：设的中点为，由，则，则， 又，所以到准线的距离， 所以以为直径的圆与抛物线的准线相切， 又点在的准线上，所以，故B正确； 对于C：依题意可得，所以，， 所以 ，显然不是定值，故C错误； 对于D：因为 ， 所以轴为的平分线， 根据角平分线定理可得， 设直线的倾斜角为， 则，， 所以，解得，所以， 则直线的斜率为，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．其中14题第一空2分，第二空3分． 12. 设向量满足，，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由可得，根据向量的夹角公式求解. 【详解】由，可得，又，所以， 所以，又， . 故答案为：. 13. 已知等比数列与等差数列，满足，，则_______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据等差和等比数列的通项公式利用已知条件可得到与，代入所求式子计算即可． 【详解】设等比数列的公比为， 由，得，则， 设等差数列的公差为， 由，得， 则，， 所以． 14. 已知函数，则______________；若方程在区间有三个不等实根，则实数的取值范围为______________． 【答案】 ①. 81 ②. 【解析】 【分析】（1）利用分段函数解析式求出，再根据对数、指数的运算法则计算可得； （2）画出函数的图象，利用函数的零点的个数推出实数的取值范围. 【详解】由，则， 所以. 作出函数在区间上的图象，如图所示： 设，由图象可知要使方程在区间上有3个不等实根， 则直线应位于与之间或直线的位置， 所以实数的取值范围为或，所以或. 故答案为：81；. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸． 15. 记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， （1）求B； （2）若的面积为，求c． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出，最后结合已知得的值即可； （2）首先求出，然后由正弦定理可将均用含有的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解. 【小问1详解】 由余弦定理有，对比已知， 可得， 因为，所以， 从而， 又因为，即， 注意到， 所以. 【小问2详解】 由（1）可得，，，从而，， 而， 由正弦定理有， 从而， 由三角形面积公式可知，的面积可表示为 ， 由已知的面积为，可得， 所以. 16. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若，求的值． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求出导函数，按照和分类讨论，即可求解； （2）解法1：由（1）知当时，，不满足题意；当时，由（1）知，设，利用导数法证得，即，从而求解的值． 解法2：由题意可得为的极小值点．求得，然后利用导数法进行检验即可求解． 解法3：由题意恒成立．当时，显然成立，此时；当时，恒成立，结合洛必达法则利用导数法求得；当时，恒成立，结合洛必达法则利用导数法求得；从而求解的值． 【小问1详解】 函数的定义域为． 若，则在单调递增． 若，则由得． 当时，；当时，． 因此在单调递减，在单调递增． 【小问2详解】 解法1：由（1）知当在单调递增， 时，，不满足题意． 当时，由（1）知． 因为，所以． 设，则． 当时，单调递增；当时，单调递减． 所以，当且仅当时取等号． 故，结合可知，故． 解法2：因为，所以为的极小值点． 因此，解得． 当时，，由（1）知在单调递减，在单调递增． 因此，满足题意． 综上，． 解法3：因为，所以恒成立． 当时，显然成立，此时． 当时，恒成立． 设，则． 设，则． 当时，在单调递增，，即， 在单调递增，因此． 当时，恒成立．当时，在单调递减， ，即在单调递增，． 综上，． 17. 如图，在四棱锥中，四边形是正方形，是边长为2的正三角形，且． （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的判定定理进行证明； （2）以的中点为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的方法进行计算可得结果. 【小问1详解】 证明：取的中点，连接，． 因为是边长为2的正三角形，所以. 在正方形中，，所以， 又，所以，即. 因为平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面. 【小问2详解】 取的中点，连接， 因为四边形是正方形，分别是的中点，所以， 又平面平面，所以， 即直线两两垂直， 以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以. 设为平面的一个法向量， 则， 令，得. 设为平面的一个法向量， 则， 令，得. 所以，即平面与平面夹角的余弦值为. 18. 如图，椭圆：与双曲线：在第一象限的公共点为.曲线由两段曲线组成：当时，曲线与椭圆重合；当时，曲线与双曲线重合.已知直线的方程为. （1）求的值； （2）若时，直线与曲线有交点，求的取值范围； （3）若，直线与曲线交于、两点，且，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆，双曲线在第一象限的公共点为，代入方程求解； （2）由题意得到直线与双曲线有交点，再根据双曲线的渐近线方程为：和，利用数形结合法求解. （3）根据，结合三角形的面积公式得到求解. 【小问1详解】 因为椭圆：与双曲线：在第一象限的公共点为， 所以，解得，则，即， 解得或（舍去），则； 【小问2详解】 时，直线与曲线有交点， 即直线与双曲线有交点， 双曲线的渐近线方程为： 如图所示： 直线过定点，又，，且， 所以； 【小问3详解】 因为， 所以， 则， 又*， ， 因为双曲线的渐近线方程为，且， 所以直线与双曲线不相交， 故MN为直线与椭圆的交点， 由，消去y得， 由韦达定理得，代入*式， 得， 令，则， 易知在上单调递增，所以， 则，所以. 19. 在某生成式人工智能模型中，有一种简化的“词元生成器”，该模型只有两种词元，，且生成词元总数不超过.若生成，则过程立即结束；否则继续生成，直至总数达到.每个词元生成需要先预测，再审核.假设每次预测为，的概率均为0.5，且各次预测相互独立.审核规则如下： ①若预测中第一次出现词元，则审核后生成，的概率均为0.5； ②若预测中第二次出现词元，则审核后必生成； ③若预测中出现词元，则审核后必生成. 设表示过程结束时生成词元的总个数. （1）求，； （2）求的分布列； （3）求. 【答案】（1）， （2） 1 2 3 … … （3）【解析】 【分析】（1）根据规则判断出和的情形，结合概率乘法公式求解即可. （2）结合题干规则推导出，进而求出，即可得到分布列. （3）结合错位相减法及等比数列的前项和公式求出，根据条件概率公式求解即可. 【小问1详解】 表示第一次就生成并结束过程，即第一次预测为，且审核生成， . 表示第二次生成并结束过程，情况有：第一次预测为，且审核生成，第二次预测为；第一次预测为，审核必生成，第二次预测为，且审核生成. . 【小问2详解】 （，）时，第个词元输出为， 若前面个词元都预测为，其概率为， 若前面个词元有一个预测为，其概率为， 故， 当时， 若前面个词元都没有预测为，其概率为， 若前面个词元有一个预测为，其概率为， 故 所以的分布列为： 1 2 3 … … 【小问3详解】 由（1）得， 由（2）得， ， ， ， ， 所以 所以 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题 （时间：120分钟 分值：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设复数在复平面内对应的点关于实轴对称，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 下面是校篮球队某队员若干场比赛的得分数据. 每场比赛得分 3 6 7 10 11 13 30 频数 2 1 2 2 1 1 1 则下列说法不正确的是（ ） A. 该队员得分的平均数是10 B. 该队员得分的极差是27 C. 该队员得分的第四十百分位数是7 D. 该队员得分的方差是48.4 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知点在直线上运动，且，点在圆上，则的面积的最大值为（ ） A. 8 B. 5 C. 2 D. 1 7. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 的图象关于直线对称 C. 在上的值域为 D. 在上单调递增 8. 已知一个圆锥的母线长为，则当其体积最大时，该圆锥的内切球半径为（ ） A. B. C. D. 1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设函数，则（ ） A. 是的一条切线 B. C. 当时， D. 若在区间上有最小值，则实数的范围为 10. 如图，在直棱柱中，，是中点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 四点共面 C. 直棱柱不存在外接球 D. 棱的中点在平面内 11. 已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点P在C的准线上，那么（ ） A. 若PA与C相切，则PB也与C相切 B. C. 若点P在x轴上，则为定值 D. 若点P在x轴上，且满足，则直线l的斜率绝对值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．其中14题第一空2分，第二空3分． 12. 设向量满足，，且，则______． 13. 已知等比数列与等差数列，满足，，则_______． 14. 已知函数，则______________；若方程在区间有三个不等实根，则实数的取值范围为______________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸． 15. 记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， （1）求B； （2）若的面积为，求c． 16. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若，求的值． 17. 如图，在四棱锥中，四边形是正方形，是边长为2的正三角形，且． （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 18. 如图，椭圆：与双曲线：在第一象限的公共点为.曲线由两段曲线组成：当时，曲线与椭圆重合；当时，曲线与双曲线重合.已知直线的方程为. （1）求的值； （2）若时，直线与曲线有交点，求的取值范围； （3）若，直线与曲线交于、两点，且，求实数的取值范围. 19. 在某生成式人工智能模型中，有一种简化的“词元生成器”，该模型只有两种词元，，且生成词元总数不超过.若生成，则过程立即结束；否则继续生成，直至总数达到.每个词元生成需要先预测，再审核.假设每次预测为，的概率均为0.5，且各次预测相互独立.审核规则如下： ①若预测中第一次出现词元，则审核后生成，的概率均为0.5； ②若预测中第二次出现词元，则审核后必生成； ③若预测中出现词元，则审核后必生成. 设表示过程结束时生成词元的总个数. （1）求，； （2）求的分布列； （3）求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $