陕西西安经开丁准高考补习培训学校2025-2026学年第二学期高三年级联合质量检测数学试卷

答案与解析 2026届高三联合质量检测·数学 一、选择题 1.B【解析】因为x=2一i=一1+i,其对应点为 则方程血-在[管x+号)上有三个解，于是 (一1,1)，所以之在复平面内对应的点位于第二象限。 I- 2.B【解析】因为AUB=A,即B二A,所以a一2=5 7.A【解析】如图，四面体ABCD可内接于长方体， 或a一2=6，解得a=7或a=8. 设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,则有a2+b2= 3.A【解析】|a-b|=23,即a2-2a·b+b2=12, 9,a2十c2=9,b2+c2=12,解得a=√3，b=c=√6，此 即4+4×2b+b2=12,解得b=2或-4（舍 时VAND=了abc=25 去)，则a·b=2×2×(-2)=-2,所以向量6在 向量a上的捉影向最的模为9：-兰-1 4.C【解析】设等差数列{an}的公差为d.因为Sm是 等差数列e,的前n项和，所以S,=4a十3a= 8.D【解析】法一：f(z)=(x2-ax+1)+(年x+1 4a1+6d,S=8a,+82a=8a,+28d,5e= (x2-ax+1)-(x+1)川=2mim(x2-ax+1, 12a:+2a=12a,+6d,所以5：-5，=4a,+ 4x+1,设h(x)=x2-ax+1,g()=4x十1，令 22d,S12-S8=4a1+38d,所以(S8-S4)-S4= g(x)=0,得x=一4.作出g(x),h(x)的大致图象， (S12-S8)-(S8-S,)=16d,所以S4,S8-S4, 如图， 5一5，成等弦数列由-日得5：=48，所以 S8-S4=3S4,S12-S8=5S4,所以S12=9S4,所以 g(x) S8=4S4=4 S29S4-9 (h(x) 5.C【解析】已知每个圆的半径r=√2，若两圆内切， 则|CC,l=|r:一r,|=0,不符合题意；若两圆外切， 因为f(x)有三个互不相等的零点，所以h(x)要有 两个大于一4的相异零点，记为x1,x2,由根与系数 则r,十r,=|C:C,|=2√2，则两圆外切的取法有C △>0， 〔a2-4>0, 和C3,C2和C4,C3和C6,共3种.综上所述，两圆相 的关系得{，十x2>一8， →{a>-8, 解 切的不同取法种数为3. (x1+4)(x2+4)>01+4a+16>0, 6.C【解析】由题意得f(x)=2sin(ox+)-3在 得-子<a<-2或。>2，所以a的取值范围是 [o,)上有三个零点，即方程n(or+》-号在 （7,-2U2,+o).法二fx)=- [0,)上有三个解，令1=ax十号[答ox+), (a+)x-(a-4)x+2.①若a=-子fx)= 2026届高三联合质量检测 ·全国二卷· -1-(是-)x+2=名x+2只有-个零 误：B选项，原数据中位数为十“，现数据中位数 2 点，舍去；@若a>-},当x≥a十或x≤0时，2 为x:<十2，B正确：C选项，去掉最大值后 2 (a+)≥0，则fx)=x-[x-(a+号)小 平均数比之前小，C错误；D选项，原数据的80%分 位数为28十2，现数据的80%分位数为，x< (a-)x+2=2x+2,令2z+2=0,得x=-4∈ 2 (-∞，0]U[a+子，+∞)当0<x<a+子时，x2 xs十2，D正确. 2 10.ACD【解析】A选项，令x=y=1,得f(1)= (a+）x<0,则f(x)=x2+[x-(a+星)x] f(1)十f(1),所以f(1)=0,A正确；B选项，令y= (a-)x+2=2(x2-ax+1),要使f(x)有三个互 得/=()+r)=0()=是· 不相等的零点，方程g(x)=x2-ax十1=0需在0< f(x),f(x)不恒为0，故B错误；C选项，令y=x, x<Q+是内有两个不相等的实数根，则 得f(x2)=2xf(x),当x>1时，2x>2,f(x)<0, 所以2xf(x)<2f(x),所以f(x2)<2f(x),C正 A=a2-4>0, 确；D选项，设任意x1,x2∈(1，十∞)，且x1<x2, 0<号<a+ 解得a>2.③若a< 令x-1y票则有·)=（经）十 g(0)=1>0, ge+=a+最o, ,即fx,）-f)=(得)，由于 -当x≤a+号或x≥0时，x-(a+)x≥0， 1 x>>1,故有要>1，f)0,f()0,所 则fx)=2x+2,令 2x十2=0，得x=-4,要使 以f()-f(x)<f(x)-号f(2) fx)有三个互不相等的零点，要满足一4≤a十， xf()0,即fx,)>fx:,故f(x)在1， 十∞)上单调递减，D正确 得e≥-；当a+}<<0时x-(a+)< 11.ACD【解析】A选项，当PF2⊥x轴时，点P的横 0,则f(x)=2(x2-ax+1),要使f(x)有三个互不 坐标为代人后一君-1得y=士会由于点P位 相等的零点，方程g(x)=x2一a.x十1=0需在a十 大：<0内有两个不相等的实数根，则 于第一象限，故点P的坐标为(，会)，因为 △=a2-4>0, △PA,F2为等腰直角三角形，所以|PF2|= a+号<0， AR,即2-a+c又-a+6,解得e=后 解得-1<a<-2.综上 g(0)=1>0, 4 2,故A正确；B选项，直线l过定点(0，W3c),若直 ge+）=a+0, 线1与双曲线C仅有一个公共点，则1与渐近线平 行或1与双曲线相切，故符合条件的k的值有4个， 所述，a的取值范围是(-好，-2)U(2,十∞). 故B错误；C选项，设点M的坐标为(x,y),则 二、选择题 :·k:=z千a‘a—a,由于M在C 9.BD【解析】A选项，原数据极差为x1o一x1,现数据 极差为xg一x1,由于x,<x1o,所以极差变小，A错 上，故有y= =a（x2-a2),于是kMu·kMh= ·2 ·数学· 答案与解析 - 4 克由抛物线性质得1Q.F1=<,十1=1十 x2-a2 5=e2-1=3,同理kNA1·kNM2=3, 故直线MA,,MA2,NA1,NA2的斜率之积为9，C 2一，故(Q.F}的长度的前n项和为n+之 121 正确；D选项，令x=0得y=√3c,故T(0,W3c),所 1×1-2 以l:y=√3x十√3c,因为e=2,所以双曲线C的 2-1 渐近线方程为y=士6x 1一2 x=士√e2-Ix=士5x,故 a 四、解答题 直线TF,与渐近线y=√3x平行，如果点P与右 15.解：a)由2bsin(C+) =a十c及正弦定理得 顶点A:重合，则△P,T的面积Sm7=之X 3sin Bsin C+sin Bcos C=sin A+sin C= IA:F lXIOTI-X(a+e)x/c-3a,D sin(B+C)+sin C, 正确 所以W3 sin Bsin C=cos Bsin C+sinC. (3分) 三、填空题 因为C∈(0，π)，sinC≠0，所以3sinB-cosB= 12.；【解析】因为a(e十)=一3，所以 1,即2sin(B-6）-1→sin(B-若）=2， tan a+1 1 =一3，解得tana=2,所以 1-tan a sin 2a-cos'a 又因为B∈(0，，B-音∈(-石) sin2a+cos2a tan2a+1 22+1 5 2sin acos a-cos'a2tan a-1-2X2-1-3 所以B一音=若，所以B=子 (6分) 66 3名。【解标】从10张卡片中抽取4张，共有 (2)由题可知∠CBD=∠ABD=音， C。=10X98X7=210(种)情况，其中满足编号 又S△ABC=S△BDC十S△ABD, 4×3×2×1 之和为16的有：(1,2,3,10)，(1,2,4,9)，(1,2,5， 6+1 8),(1,2,6,7),(1,3,4,8),(1,3,5,7),(1,4,5,6), csin6' π (2,3,4,7),(2,3,5,6),共9种情况，故编号之和为 16的概率为亮正面颜色相同，即4张卡片的编号 所 2ac=2a+2c, (8分) 同为奇数或同为偶数，只有(1,3,5,7)符合题意，故 又因为c=2a,所以a=23, 抽到的4张卡片的编号之和为16，则其正面的颜色 所以b2=a2+c2-2 ac cos∠ABC=a2+4a2- 相同的概率为) 1 4a2×2=3a2, 1 14.n十2一2一【解析】由题意，P.的坐标为(2-， 所以b=√3a=6. (13分) 16.解：(1)设最后一包该类蔬菜所得利润为X, √2"+T),F(1,0),所以直线L,的方程为x= 则X的取值是0.6A,0.2A,-0.2A,-0.6A,-A. y2=4x, 2-1-1 根据题干信息可得对应的概率如下： V2FT y十1，联立 2-1-1 √2mTy+1, 得y2一 P(X=0.6A)= 1 20+1一4 √2y-4=0,由根与系数的关系，得p.·y0.= P(X=0.2A)=5 1 √2"T·yan=-4,所以yom=一 4 27,则x0, P(X=-0.2A)= 5 ·3· 2026届高三联合质量检测 ·全国二卷· P(X=-0.6A)=3 即-1+=0， P(X=-A)=0 解得λ=2. (4分) (4分) (2(i)法-：由1)可得A00,0,E(合0，） 1 由此可得X的分布列为 12 0.6A 0.2A -0.2A -0.6A -A G(0,33）P(0,0,1D,c11,0, (5分) 6 5 3 10 设咒-m,连接AF,如图， 由此可得X的数学期望为E(X)=0.6A× 1 6 则A京=AP+PF=A户+mPC=(0,0,1)+m(1, 1,-1)=(m,m,1-m). 02AX号-02AX-0.6AX 1 -AX 0=-0.2A. 因为点A,E,F,G共面， (8分) 所以-rA正+：AG=r(合0，)+(0，号， (2)因为甲第一天于20：30到店，到第三天仍是 (7分) 20:30到店， 所以从第二天开始，其到店的安排是延后一次，并 2=m, 2 提前一次。 设事件M表示延后半小时，事件N表示提前半小 则 3t=m, 解得礼=4’ 时， (10分) 1 则对应情况的概率如下：P(MN)=13×27_351 2+=1-m, m=4 30^30900 故瓷 (9分) PNM-品×号-器 (13分) 法二：设PE PC=m,连接AF,如图， 则第三天恰于20：30到店的概率为P(MN)+ 则AF=AP+P京-AP+mPC=A户+m(AB十 p(NM)=900-450 674337 (15分) AD-AP)=m AB+m AD+(1-m)AP 因为PD=3PG,即AD-AP=3(AG-AP),故 17.解：(1)由题知PA⊥平面ABCD,且AB⊥AD, 如图，以A为坐标原点，AB,AD,AP所在直线分 A-d+号过， 别为x,y,x轴建立空间直角坐标系， 因为A,E,F,G四点共面，且AE,AG不共线，所以 存在u,t∈R,使得AF=uAE+tAG, 所以A庐=rAE+tAG=5A店+A护)+(3AD+ 号)-号+号茹+（货+号）矿，7分) B 2 由空间向量的基本定理可得 3m, 解 不妨设PA=1,则A(0,0,0),D(0,1,0),P(0,0, 1),可得AP=(0,0,1),PD=(0,1,-1),AG= +号1- A+元=a+P防=(o,安，1-》， (2分) 若AG⊥平面PCD,PDC平面PCD, 所以AG⊥PD, 得1 则AG.P币=0，即(0，只，1-)(0,1，-1)=0， ·数学· 答案与解析 所以览- (9分) 根据直线方程可得(my1+t+1)(my2+t十1)一 y1y2=0, (1)由(1)可得A花=（分，0，，AG=(0,号 化简可得(m2-1)y1y2+m(t+1)(y1+y2)+ (t+1)2=0, 引 将①代人可得一m2+t2+4t十4=0，则可得m= 设平面a的法向量为n=(a,b,c), t+2或m=-t-2, …aG=b+号=0 将其代入直线MT可得直线MT恒过定点（一2， 则 -1)或定点(-2,1). (15分) …A花=2a+=0, 因为点（一2，一1）在直线FB上，则点M,T在直线 FB的同侧，与条件矛盾，舍去。 令a=1,则b=2,c=-1,可得n=(1,2,-1), 所以直线MT恒过定点(-2,1) (17分) (12分) 易得平面ABCD的一个法向量为m=(0,0,1), 19.(1)解：对函数f(x)求导可得∫(x)=alnx+上十 (13分) a-2. 则lcos(n,m)= ln·ml_|-1l_6 注意到f(1)=0,且当x∈[1，十∞)时，∫(x)≥0恒 1nm6×16 成立，从而可得f'(1)≥0. 所以平面。与平面ABCD夹角的余弦值为5 由此可得f(1)=a-1≥0，从而可得a≥1. 当a≥1且x≥1时，令m(x)=f'(x)=alnx十 (15分) 18.(1)解：因为△OFB为等腰三角形，所以b=c. a-2则a)--0, 2 故直线FB的方程为y=x十b. 所以f'(x)在[1，十∞)上单调递增， 由点0到直线PB的距离为号，得哈-号 即可得f'(x)≥f'(1)≥0， √2 之，解得 由此可得f(x)在[1，+∞)上单调递增，则f(x)≥ b=1. (3分) f(1)=0. 所以a2=b2+c2=2, 综上，可得实数a的取值范围是[1，十∞).(4分) 所以C的方程为 +y2-1. (5分) (2)证阴：对函数gx)求导可得g'()=兰+2x (2)(1)解：设点M的坐标为(x1,y1),则其关于直 a=2x'-axta (5分) 线FB的对称点为N(y1一1，x1+1). x 则可得门出 因为函数g(x)有两个极值点x1,x2.令g'(x)=0, 所以2x2一a.x十a=0在(0，十∞)上的两个解为 所以k1k2=1. (9分) x1,x2(x1<x2), (iⅱ)证明：设直线MT的方程为x=my十t, 与C联立可得(m2+2)y2+2mty+t2-2=0. 从而可得△=a2-80>0,x十21=号>0，x1x:= 由(i)知点M的坐标为(x1,y1),设点T的坐标为 8>0 (x2,y2), 由此可得a的取值范围是(8，十∞). 根据根与系数的关系可得y1十y2= -2mt m2+2y1y2= 其中g(x1)=alnx1+x-ax1,g(x2)=alnx2+ t2-2 x经-ax2 m2+2 ① (11分) 则可得x,)-gx=a血：-1nx+,十 yiy2 由(1)知：：=1，则x,十Dz+-1,即可得 x2一x1 x2一x1 a(lnx2-lnx）_a (x1+1)(x2+1)-y1y2=0, x1一a= (7分) x2一x1 21 ·5· 2026届高三联合质量检测 ·全国二卷· 要证不等式)>4合 坐标 (12分) x2一x1 1 -2In x+x- 可证a血x,-lnx4, 对函数p(x)求导可得p'(x)= x x2一x1 (x-1)2 等价于2x+2)nx-n>4, 令x(x)=-2lnx+x- x2-x1 ，求导可得x'(x)= 1 等价于In,-1nx1>2Cxg-x)】 (x-1)2 0，即x(x)在(0，十∞)上单调递增，且有 x2十x1 令=(>1)，上式等价于1n>2-1 x(1)=0.从而可得p(x)在(0,1)上单调递减，在(1， xI t+1 +∞)上单调递增. (13分) 由(1)可得，当x>1时，(x+1)lnx-2x+2>0,等 显然可得2-x>1,则2一x3与x4的大小关系等 价于lnx>2(-1) 价于p(2-x3)与9(x1)的大小关系. x十1， p(2-xg)-p(x4)=9(2-xa)- 由此即可得原不等式成立 (10分) (3)解：当a=1时，f(x)=(x+1)lnx-2x+2. p(x,)=3-x1n(2-x)+(x,+1)lnx 1-x3 令(x+1)lnx-2x+2=k(x-1),可得lnx= 设函数F(x)=(3-x)ln(2-x)十(x十1)nx(x∈(0， (k+2)(x-1) 1)), x+1 由题意可得x,>1,ln,=6+2)(:-1 求导可得F)=n后++2 x4+1 2,由第 1)向可得1n,>2(x,-1) +1 令n(z)=F'(x)=1n2-xx22, x4十1 据此可得k>0. 则n'(x)=一41-x)2 22(2-)<0恒成立， (15分) 由f(x3)=k(x3-1),f(x4)=k(x4一1)可得 由此可得F'(x)在(0,1)上单调递减，即可得 f(x3)十f(x4)=k(x3十x4-2) F'(x)>F'(1)=0,从而可得F(x)在(0,1)上单调 此时f(x)+f(x1)与0的大小关系等价于x十 递增，由此可得F(x)<F(1)=0,从而可得p(2一 x4与2的大小关系。 x3)<p(x4). 又十2=z十1)1血2，此时4，，为直线y=十 结合函数p(x)的单调性即可得2一x3<x1,即 x-1 x3十x4>2, 2与函数()=+1Dln二（红≠1）图象交点的横 x一1 故f(x3)+f(x4)>0. (17分) 。6·绝密★启用前 2026届高三联合质量检测 数学 本试卷4页。总分150分。考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自已的姓名，准考证号填写在答题卡上， 2。同答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题日的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效， 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知复数z=一，划x在复平面内对应的点位于 A,第一象限 B.第二象限 C,第三象限 D.第四象限 2.已知集合A=(2,5,6,B={2,a一2}，若AUB=A,则a的取值集合是 A.(8 B.(7,8) C.(4,7,8j D.7) 3.已知向量a与b的夹角为120°，|al-2,|a一b1一23，则向量b在向量a上的投影向量的模为 A.1 B.2 C.4 n号 S. 则 4已知等差数列a)的前n项和为5.，且-1， 512 A c音 D 5.已知圆C,:(x一f)2+(y一)2=2(1≤i≤5，且i∈N),在这五个圈中任意选取两个不同的圆，则这两圆相切 的不同取法种数为 A.1 B.2 C.3 D.4 6.已知函数f(x)=sincr十√3 cos wr一√3（伽>0）在[0，)上有三个零点，则w的取值范图是 A.(2,+∞) a仔+) c(2. D.2) 7,在四面体ABCD中，AB=CD-AD=BC=3,且AC=BD=25,则四面体ABCD的体积为 A.25 c D.3 8.已知函数fx)=x--(a+)r一(e一是)r+2有三个互不相等的零点，则。的取值范图是 B.(2,+e∞) C.(-∞，-2) 二，选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的 得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.一组互不相等的数据从小到大排列为x1,x:,“,x,去掉xm后，则 A,极差变大 B,中位数变小 C,平均数变大 D.80%分位数变小 数学试题1/4页 全国 10.已知定义在(0，十o)上的函数f(x)满足下列条件：①f(xy)=xf(y)+yf(x):②当x>1时，f(x)<0,则 A.f(1)=0 &f)-f) C.当x>1时，f(x)<2f(x) D.f(x)在(1，+o)上单调递减 山.已知双面线C号-票-1(o>06>0)的左，右焦点分别为R,R左，右顶点分别为A1A点P是双确 线C上位于第一象限的动点，当PF:⊥x轴时，△PA,F:为等腰直角三角形，直线l:y=x十3c(e为双 曲线C的半焦距)，则下列说法正确的是 A.双曲线C的离心率为2 B.仅存在两个k的值，使得直线！与双曲线C仅有一个交点 C.若直线I与双曲线C相交于点M,N,则直线MA,MA:,NA,,NA2的斜率之积为定值 D.设直线l与y轴的交点为T,则△PF,T的面积小于33a 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知am(e+无）=一3，则n2a-cosa 1 13.盒中有编号从1到10的10张卡片，其中奇数号卡片的正面为具色，偶数号卡片的正面为白色，反面完金相 同，每张卡片被抽到的概率相同.现从中随机抽取4张，则这4张卡片的编号之和恰好为16的概率为 :若抽到的4张卡片的编号之和为16，则其正面的额色相同的概率为一· 14已知抛物线C:y一4x的焦点为F,过点F的直线列1，}与C分别交于点列(P.)与{Q。)(P.)始终位于 《Q。)的上方)，若点列(P,1的横坐标是以1为首项，2为公比的等比数列，则线段列(QF)的长度的前别项 和为 四，解答题：本题共5小题，共T7分。解答应写出文字说明、证明过程及演算步绿。 15.(13分) 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,e,已知2bn(C+)=a十c. (1)求B: (2)若c-2a,D为边AC上一点，BD平分∠ABC,BD=4,求b, 卷 数学试题2/4页 16.(15分) 某生鲜超市实行“折扣日清模式，即每晚19：00开始打八折，19：00之后推续执行阶梯式降价销售方案，直 至21：00剩余商品全部赠送.具体时段、价格及该超市统计的某月30天内某类范菜库存清空时段的情况如 下表： 时段 [19:00.19:30)[19:30,20:00) [20:00,20:30) [20:30,21:00) 21:00之后 价格 原价八折 原价六折 原价四折 原价两折 免费赠送 天数 5 6 6 10 3 根据上述统计数据估算概率回容以下问题 (1)若该类蔬菜每包的成本价、定价（原价）分别为A,2A,求此30天内该超市每日最后一包该类蔬菜所得 利涧的分布列以及数学期望： (2)顺客甲按照如下规律安排自己的到店时刻：若前一天到店时发现该装菜尚未售空，则当天到店时刻较 前一天延后半小时：若前一天到店时发现该囊菜已售空，则当天到店时刻较前一天提前半小时，若甲第一天于 20:30到店，求他第三天恰于20：30到店的概率， 17.(15分) 如图，在四棱推P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,底面ABCD是正方形，且PA■AB,过点A的平面a与 棱PB,PC,PD分别交于点E,F,G,且PB-2PE,PD-APG. (1)若AG⊥平面PCD,求A的值： (2)若A=3. (1)求咒的值， (I)求平面a与平面ABCD夹角的余弦值， 数学试题3/4页 全国 18.(17分) 已知椭圆C,+是=1(@>6>0)的左顶成为A,上顶点为B.左焦点为F,△0FB(0为坐标原点)为等 腰三角形，且点O到直线FB的距离为号设点M为C上的动点（点M不在直线FB上，点M关于直线FB 的对称点为点N,直线FN交C于点T(点M,T在直线FB的异侧)， (1)求C的方程： (2)设直线FM,FN的斜率均存在且分别为，z, (1)判断上：k:是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由： (‖)证明：直线MT恒过定点，并求出该定点坐标， 19.(17分) 已知函数f(x)-(ax+1)1nx一2x+2,当x∈[1，十∞)时，f(x)≥0恒成立， (1)求实数a的取值范围： 2已知面数ge)=ah+x-ar有两个板值点1女1<，证明二>4一-受 (3)当a=1时，直线11y=k(x一1)与函数f(x)图象的三个交点的横坐标从小到大依次为x1,1,x,.判断 f(x:)十f(x:)与0的大小关系，并证明. 卷 数学试题4/4页