江西省南康中学2024-2025学年高二下学期第一次大考数学试题

南康中学2024～2025学年度第二学期高二第一次大考 数 学 试 卷 命题人： 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知，下列数列是递增数列的是（    ） A． B． C． D． 2．小孟一家打算从武汉、十堰、荆州选一个城市去旅游，这三个城市都有游乐园，去武汉市、十堰市、荆州市的概率分别为0.5，0.3，0.2，到了武汉市小孟一家去游乐园的概率为0.6，到了十堰市小孟一家去游乐园的概率为0.4，到了荆州市小孟一家去游乐园的概率为0.3，则小孟一家去游乐园的概率为（   ） A．0.48 B．0.49 C．0.52 D．0.21 3．已知点关于轴的对称点为，则（ ） A．2 B． C． D．6 4．农科院专家李教授对新品种蔬菜种子进行发芽率试验，每个试验组5个坑，每个坑种1粒种子.经过大量试验，每个试验组没有发芽的坑数的平均数为，则每粒种子发芽的概率（    ） A． B． C． D． 5．已知为等差数列，则（    ） A．126 B．144 C．162 D．180 6．设，为椭圆的两个焦点，若在上存在点，满足，则的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．已知点，若点满足，则点到直线 的距离的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 8．若数列，对于，都有（为常数）成立，则称数列具有性质．已知数列的通项公式为，且具有性质，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（    ） A．，越小，该正态分布对应的正态密度曲线越扁平 B．运用最小二乘法得到的线性回归直线－定经过样本中心 C．相关系数越接近1，y与x相关的程度就越弱 D．利用进行独立性检验时，的值越大，说明有更大的把握认为两事件有关系 10．已知等差数列的前项和为，若，则下列结论正确的是（   ） A．数列是递增数列 B． C． D．当取得最大值时， 11．如图，在直四棱柱中，底面为菱形，为的中点，点满足，则下列结论正确的是（    ） A．若，则四面体的体积为定值 B．若，则点的轨迹为一段圆弧 C．若的外心为，则为定值2 D．若且，则存在点，使得的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．的展开式中的系数为 ． 13．已知和分别是等差数列与等比数列的前项和，且，，，则 ． 14．过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，点关于轴对称的点为.若以为直径的圆与直线交于点，则当时，直线的斜率为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知等比数列的公比，，． (1)求； (2)设，若，求． 16．如图，在四棱锥中，底面为矩形，，是棱的中点，在棱上，且平面，平面平面． (1)求证：是棱的中点； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 17．在数列中，，. (1)证明：数列是等差数列. (2)求的通项公式. (3)若，记数列的前项和，求. 18．某公司为考核员工，采用某方案对员工进行业务技能测试，然后统计并分析测试成绩以确定员工绩效等级． (1)已知该公司甲部门有3名负责人，乙部门有4名负责人，该公司从甲、乙两部门中随机选取3名负责人做测试分析，记负责人来自甲部门的人数为，求的分布列和数学期望． (2)该公司统计了七个部门测试的平均成绩（满分100分）与绩效等级优秀率，如表所示． 32 41 54 68 74 80 92 0.28 0.34 0.44 0.58 0.66 0.74 0.94 根据数据绘制散点图，初步判断，选用作为经验回归方程．令，经计算得，． （i）已知某部门测试的平均成绩为60分，估计其绩效等级优秀率； （ii）根据统计分析，大致认为各部门测试平均成绩，其中近似为样本平均数近似为样本方差．经计算，求某个部门绩效等级优秀率高于0.7875的概率． 参考公式与数据： ①． ②经验回归方程中，． ③若随机变量，则． 19．已知双曲线的离心率为2，且过点． (1)求双曲线的标准方程； (2)过的右焦点的直线与的左、右两支分别交于两点（异于顶点）， ①证明：以为直径的圆恒过定点，并求出的坐标； ②对于①中的，设过的中点且与轴平行的直线与的右支交于点，直线与的交点为，证明：． 南康中学2024～2025学年度第二学期高二第一次大考 数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C A D C C B D C BD BC ABD 5．C【详解】设等差数列的公差为d，由，解得，由，解得，所以，所以，所以 6．B【详解】由椭圆，可知焦点，在轴上，且，所以，在上存在点，满足，在左右顶点时，取到最大值，只需在左右顶点时，，所以，所以，所以，解得，又椭圆的离心率小于1，所以的离心率的取值范围为. 7．D【详解】令，由，可得，可得点的轨迹方程为，其中圆心，半径为2.而直线过定点，故距离的最大值为， 8．C【详解】依题意，得，故只需考虑时，，．因为，只需要，即，整理得．令，则，所以对任意的恒成立，所以数列为递增数列，则，所以，即的取值范围为． 9．BD【详解】解：对于A，根据正态曲线的几何特征，可知当不变时，即越小，该正态分布对应的正态密度曲线越瘦高，故A错误；对于B，运用最小二乘法得到的线性回归直线－定经过样本中心，故B正确；对于C，线性相关系数绝对值越接近1，表明2个随机变量相关性越强，故C错误；对于D，因为随机变量的观测值越大，说明两个变量有关系的可能性越大，即犯错误的概率越小，故D正确。 10．BC【详解】设等差数列的公差为，由题意可得：，，即，，且，即B、C正确；因，故数列是递减数列，故A错误；因，，即当取得最大值时，，故D错误. 11．ABD【详解】对A项，连接，故点在线段上，因为，故平面，所以到平面的距离为定值，又因为为定值，所以四面体的体积为定值，A对；对B项，如图，取中点，因为底面为一个内角的菱形，所以，以为原点建系如图，故，设，由可得，故点为以为圆心，为半径的圆落在正方形内的部分，设与圆交于点，因为，所以，故点轨迹的长度为，B对；对C项，如图，取中点，所以，故，C错；对D项，结合B项中建系，设，可得，所以，如图，设，在线段上取点，设，则，显然，连接使得共线，此时有最小值，故D对. 12．【详解】，令，则，所以. 13．9或18【详解】设等比数列的公比为，由，可得，即，解得或；当时，可得，又，所以；此时；当时，，可得，又，所以；此时；综上可得，或18. 14．或【详解】如图，设因点关于轴对称的点为，故，因轴，是圆的直径，则，故轴，则.由可得，即得，也即 .又，依题意，显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，代入，消去，得，则且，由，解得或，分别代入中，可得或，故直线的斜率为：或. 15．【详解】（1）由题意得，所以.…………………6分 （2）由（1）得，…………………7分 所以， 解得或（舍去）. …………………13分 16．【详解】（1）取的中点，连接，又是的中点， 则且， 由在棱上，底面为矩形，则，故， 由平面，平面且平面平面， 则，所以为平行四边形，故， 所以是的中点；…………………7分 （2）平面平面，平面平面，，平面， 所以平面，又底面为矩形，建立如下图示的空间直角坐标系， 则， 所以，设平面的一个法向量为， 则，令，则， 显然平面的一个法向量可以为，故， 所以平面与平面夹角的余弦值；…………………15分 17．【详解】（1）在数列中，由，得， 则，而，即， 所以数列是首项和公差均为1的等差数列. …………………5分 （2）由（1）得，则，即， 所以的通项公式是.…………………10分 （3）由（2）得，则 ， 所以.…………………15分 18．【详解】（1）随机变量服从超几何分布，且的可能取值为， 且，． X 0 1 2 3 P …………………5分 （2）（i）第一步：取对数．依题意，两边取对数，得，即． 第二步：求经验回归方程．其中， 由提供的参考数据，可知，又，故， 由提供的参考数据，可得，故． 当时，，即估计其绩效等级优秀率为0.498．…………………11分 （ii）由（i）及提供的参考数据可知， 又，即，可得，即， 又，且， 由正态分布的性质，得， 记“绩效等级优秀率高于0.7875”为事件，则， 所以绩效等级优秀率高于0.7875的概率约为0.15865．…………………17分 19．【详解】（1）由题意． 将点代入双曲线方程得，解得． 所以，双曲线的方程为；…………………4分 （2）（i）设点，直线方程为， 联立方程，得， 所以，， ．…………………7分 设，则， 即对任意恒成立． 所以，解得 所以，以为直径的圆恒过点．…………………11分 （ii）． 由题意可知，代入双曲线方程可得， 设的中点为，则， 所以，所以．又，所以四点共圆． 由相交弦定理得．…………………17分 学科网（北京）股份有限公司 $$