暑假作业02 整式乘法5知识16题型巩固练+培优练+拓展练（巩固培优）七年级数学新教材苏科版

**基本信息** 系统整合整式乘法全体系方法，以法则解读为基、公式变式为脉、数形结合为翼，构建"概念-技巧-应用"三阶训练逻辑。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点梳理|5大核心知识点|含法则解读（如系数符号处理）、公式口诀（完全平方"首平方尾平方"）、变式拓展（平方差位置/符号变化）|从单项式乘单项式到乘法公式，层层递进，揭示"转化思想"（多项式乘多项式→单项式乘单项式）| |题型训练|16类典型题型|含算法步骤（如不含某项问题系数分析）、简算技巧（公式逆用）、建模方法（图形面积转化整式运算）|覆盖计算、求值、应用全场景，典例精选中考高频考法，强化抽象能力与几何直观|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业02 整式乘法 【知识点1 单项式与单项式相乘】 法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式. 【解读】 1）积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值. 2）相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则. 3）单项式与单项式相乘，结果仍为单项式. 【知识点2 单项式与多项式相乘】 法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即. 【解读】 1）单项式与多项式相乘，实质就是利用乘法的分配律将单项式与多项式相乘的问题转化为单项式与单项式相乘的问题. 2）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号. 3）对单项式乘多项式，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果. 【知识点3 多项式与多项式相乘】 法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．即 . 【易错点】 1）多项式与多项式相乘，要按一定的顺序进行，必须做到不重不漏. 2）多项式与多项式相乘，多项式的每一项都应该带上它前面的正负号. 【知识点4 完全平方公式】 文字表述： 两个数的和（或差）的平方等于这两数的平方和加上（或减去）这两数乘积的两倍. 代数表述： . 【解读】 1）运用公式时要注意保持前后“符号”的一致性.（口诀：首平方，尾平方，二倍乘积放中央，中间符号同前方.） 2）完全平方公式常用的变式：① ② ③ ④ ⑤ 【知识点5 平方差公式】 文字表述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 代数表述： 【解读】 1）只有形如两数的和与这两个数的差相乘时，才可以用平方差公式. 如：(a＋3b)(3a-b)，不能运用平方差公式. 2）平方差公式的常见变化形式： ①位置变化： ②符号变化： 【题型1 计算单项式乘单项式】 1．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）计算：_______． 【答案】 【详解】解：． 2．（2025·山东青岛·三模）计算：___________． 【答案】/ 【分析】依据单项式乘法法则，把系数与系数相乘，同底数幂相乘，对于相同的字母，按照同底数幂的乘法规则进行运算，最后将所得结果相乘． 本题主要考查了单项式乘单项式的运算法则，熟练掌握系数相乘、同底数幂相乘等运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 故答案为：． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查单项式的乘法及积的乘方运算，熟练掌握各个运算法则是解题关键． （1）直接根据单项式乘以单项式法则计算即可； （2）先计算积的乘方运算，然后计算单项式乘以单项式即可； （3）先计算积的乘方运算，然后计算单项式乘以单项式即可； （4）先计算积的乘方运算，然后计算单项式乘以单项式即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)；； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式的计算，同底数幂乘法和幂的乘方计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据同底数幂的乘法和幂的乘方法则进行计算即可； （2）根据单项式乘以单项式的计算法则求解即可； （3）根据单项式乘以单项式的计算法则求解即可； （4）根据单项式乘以单项式的计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【题型2 利用单项式乘单项式求字母或代数式的值】 5．（25-26八年级上·四川巴中·阶段检测）如果与相乘的结果是，那么__，__，___． 【答案】 3 4 32 【分析】本题考查单项式乘单项式，熟练掌握法则是解答此题的关键． 根据单项式乘以单项式法则即可求出m、n的值，进而即可求出的值． 【详解】解：根据题意得，， ∴， ∴， 解得， ∴ ， 故答案为：3；4；32． 6．（24-25八年级下·安徽滁州·期中）若，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查单项式乘以单项式及求值，根据单项式乘以单项式的法则进行计算，逆用幂的乘方，整体代入法进行计算即可． 【详解】解：∵， ， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）小明计算一道整式乘法题时，由于将第一个单项式中的抄成了，将第二个单项式中的抄成了，结果得到． (1)根据上述信息，分别计算出m，n的值． (2)在（1）的条件下，请你计算出这道题的正确答案． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了单项式乘单项式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）由题意得，，利用单项式乘单项式法则计算后得到关于，的方程，解方程即可； （2）先利用单项式乘单项式法则进行化简，然后把（1）中求出的，的值代入即可得到答案；或将，的值代入原式中计算即可． 【详解】（1）解：由题意得， ， 即， 所以，， 解得，． （2）解：原式 ． 由（1）知，，， 所以原式． 一题多解法（2）由（1）知，，， 所以原式 ． 8．（22-23七年级·上海·暑假作业）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 1 【分析】先计算积的乘方，再根据单项式乘以单项式的计算法则求解即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【点睛】本题主要考查了单项式乘以单项式，积的乘方和代数式求值，正确计算是解题的关键． 【题型3 计算单项式乘多项式】 9．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）计算，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查单项式乘以多项式的运算，需运用乘法分配律，将单项式分别与多项式的每一项相乘再将所得的积相加．先运用乘法分配律将式子展开，再计算各项结果，最后与选项对比得出答案 【详解】解：， 故选：C． 10．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列计算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘多项式的运算，掌握单项式乘多项式时要注意符号的分配，每一项都要乘以单项式并保留符号是解题的关键． 对每个选项运用单项式乘多项式的法则展开计算，对比左右两边是否相等，从而找出计算错误的选项． 【详解】解：A、等式左边，但等式右边为 ，两者不相等，计算错误，符合题意； B、等式左边 ，等于等式右边，不符合题意； C、等式左边 ，等于等式右边，不符合题意； D、等式左边 ，等于等式右边，不符合题意． 故选：A． 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）一个长方体的长、宽、高分别是，和，则它的体积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查长方体体积公式及单项式乘多项式的运算，关键是熟练应用公式列代数式；需先根据体积公式列出算式，再按运算法则计算求解． 【详解】解：由题意得   故选：C． 12．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）调皮的弟弟把小明的作业本撕掉了一角，留下一道残缺不全的题目．如图所示，请你帮他推测出被除式为________． 【答案】 【详解】解：根据被除式=除式×商可得： 被除式 ． 13．（2026七年级下·全国·专题练习）计算 (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，熟知单项式乘以多项式的计算法则是解题的关键． （）根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可； （）根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型4 单项式乘多项式的应用】 14．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段检测）如图，小正方形和大正方形相邻，B，C，G三点在同一条直线上，C，D，E三点在同一条直线上．连接、、，若阴影部分的面积为，则大正方形的面积与小正方形的面积之差为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘多项式的实际应用，解题关键是正确列出式子． 先设小正方形和大正方形的边长分别为，，再根据阴影部分的面积为，列出式子，化简即可求解． 【详解】解：设小正方形和大正方形的边长分别为，， 则，，， 又阴影部分的面积为， 所以， 所以， 所以， 所以，即， 所以大正方形的面积与小正方形的面积之差为， 故选：A． 15．（21-22七年级下·江苏苏州·期中）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．当时，则图3中阴影部分的面积______． 【答案】30 【分析】由正方形和长方形的面积公式得出 和，再由可以得出，再用割补法求出，再整体代入求值即可； 【详解】解：由题意得， ，， ， ， ， ． 16．（25-26七年级上·湖北咸宁·期末）如图，将边长为的大正方形和边长为的小正方形放在同一平面上（）． (1)用含、的代数式表示阴影部分的面积_________． (2)请说明：图形空白部分的面积与的大小无关． 【答案】(1) (2)说明见解析 【分析】（1）分别求出两个三角形面积，即可得出答案； （2）根据题意表示出空白部分的面积即可求解． 【详解】（1）解：图中阴影部分的面积： ； （2）解：空白部分的面积为 空白部分面积与无关． 【题型5 利用单项式乘多项式求字母或代数式的值】 17．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知单项式，满足，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据等式左边利用单项式乘多项式法则计算，利用多项式相等的条件确定出、，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴． 故选：A． 18．（24-25七年级下·安徽淮北·期中）如果的展开式中不含有这一项，那么的值为___________． 【答案】 【分析】此题主要考查了单项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键． 直接利用单项式乘多项式化简，再利用的展开式中不含有这一项，得出其他项的系数为零，进而得出答案． 【详解】解： ， ∵的展开式中不含有这一项， ∴， ∴． 故答案为： 19．（2021七年级下·江苏·专题练习）若恒成立，则______． 【答案】-4 【分析】去括号先根据合并同类项法则化简，根据已知找对应的单项式的系数相同即可得到答案． 【详解】解： ， 恒成立， ，，， ，，， 所以． 故答案为：-4． 【点睛】本主要考查整式的乘法和合并同类项法则，明确化简前后单项式的系数相同是解决问题的关键． 【题型6 计算多项式乘多项式】 20．（25-26七年级下·江苏南京·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：. 21．（25-26七年级下·江苏徐州·阶段检测）若，，a为有理数，则的值是（　　） A．为正数 B．为负数 C．为非正数 D．不能确定 【答案】B 【分析】计算后，根据平方的非负性判断结果的符号即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴ ∵为有理数， ∴ ∴ ∴， 即的值为负数． 22．（24-25七年级下·全国·课后作业）若一个三角形的一边长为，这边上的高为，则它的面积为_____． 【答案】 【分析】本题考查多项式的乘法运算，关键是熟练掌握多项式乘多项式的运算法则以及三角形面积公式．首先根据“三角形面积底高”列出面积表达式，再利用多项式乘多项式的法则展开括号，合并同类项后乘以，最终得到化简结果． 【详解】解：根据三角形面积公式，该三角形的面积为： ； 故答案为：． 23．（21-22七年级下·江苏宿迁·周测）计算： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据完全平方公式，单项式乘以多项式运算法则求解即可； （2）根据多项式乘以多项式运算法则求解即可； （3）根据完全平方公式，多项式乘以多项式运算法则求解即可 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 【题型7 利用多项式乘法求字母或代数式的值】 24．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）若，则的值为____． 【答案】 【分析】直接利用多项式乘以多项式运算法则计算，将关于x的一次项合并，进而得出的值． 【详解】解：， ， ∴， ． 25．（25-26八年级上·四川广安·期末）定义：，例如．若，则的值为_____． 【答案】11 【分析】本题考查整式的乘法，理解定义运算法则是解答的关键． 根据定义运算规则，将转化为，然后展开多项式，比较系数得到a和c的值，最后计算． 【详解】解：由定义， 得， 与比较，得，， 所以， 故答案为：11． 26．（24-25七年级下·陕西西安·期中）若，则的值是（   ） A． B． C．1 D．25 【答案】C 【分析】本题考查多项式乘以多项式，通过展开左边多项式并与右边比较系数，解出m和n的值，再计算即可． 【详解】解： ． ． ∴，解得；，解得； ∴， 故选C． 【题型8 多项式乘法的化简求值】 27．（24-25七年级下·湖南娄底·期末）若，则的值为（    ） A．17 B． C．5 D．11 【答案】A 【分析】本题考查整式化简求值，先利用多项式乘以多项式、平方差公式去括号，再合并同类项即可化简，最后结合已知条件代入求值即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ∵， ∴原式． 故选：A． 28．（25-26七年级下·江苏南京·期中）已知，则代数式的值是______． 【答案】8 【分析】将代数式化简后，利用整体代入法进行计算即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴原式 . 29．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）当时，代数式的值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的整体代入求值，先把要求的式子变成已知式子的形式，再整体代入求出答案即可； 【详解】解： ， ， ， ∵， ∴， ∴原式， 故答案为： 30．（22-23八年级上·江苏南通·期末）已知，则的值为___________． 【答案】 【分析】根据题中所给的多项式求出a和b之间的关系，然后代入求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ，， ，，即，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式，将进行恰当的变形并求出a和b的关系是计算本题的关键． 【题型9 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 31．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）若多项式展开后不含x的一次项，则m的值是______． 【答案】 【分析】先计算，再根据多项式展开后不含x的一次项作答即可． 【详解】解： ， ∵多项式展开后不含x的一次项， ∴， 解得：． 32．（25-26七年级下·江苏徐州·阶段检测）若展开后不含x的一次项，则p与q的关系是___________． 【答案】 【分析】根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果，再根据结果中不含x的一次项，即含x的一次项系数为0进行求解即可． 【详解】解： ， ∵展开后不含x的一次项， ∴，即． 33．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）已知的乘积中不含项和项． (1)求、的值． (2)求代数式的值． 【答案】(1)， (2)2 【分析】（1）先化简，得到，根据的乘积中不含项和项，得到，求出，即可解答； （2）先根据同底数幂的乘法的逆运算与积的乘方的逆运算化简，再代值求解即可． 【详解】（1）解： ， ∵的乘积中不含项和项， ∴， 解得， ∴的值为，的值为2． （2）解：∵， ∴． 34．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）关于x的代数式化简后不含有项和常数项． (1)求a和m的值． (2)若，求代数式的值． 【答案】(1) (2)20 【分析】（1）先将已知代数式整理后，根据题意求得的值； （2）根据，求得的值，然后代值求解即可． 【详解】（1）解： ， 因代数式中不含项与常数项， ， ． （2）解：∵， ， ， 解得：， ． 【题型10 多项式乘法与图形面积】 35．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，在数学兴趣活动中，同学将两根长度相同的铁丝，分别做成甲、乙两个长方形，面积分别为P，Q，判断P与Q的大小并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】先根据多项式乘多项式求出，根据甲、乙两个长方形周长相等，求出乙长方形的另外一条边长，根据多项式乘多项式再求出，求出，即可得出答案． 【详解】解：由题意得 ， 图乙中长方形的长为： ， ， ． 36．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如图，某中学校园内有一块长方形地块，学校计划在中间留下一个“T”型的图形（阴影部分）修建一个文化广场． (1)用含x，y的式子表示“T”型图形的面积并化简； (2)若，，预计修建文化广场每平方米的费用为200元，求修建文化广场所需要的费用． 【答案】(1) (2)修建文化广场所需要的费用为11600元． 【分析】 （1）用大长方形的面积减去两个空白图形的面积即可； （2）将，代入（1）中的代数式，再×200即可． 【详解】（1） 解： ． （2） 解：当，时， （平方米）， 则所需费用为：（元）， 答：修建文化广场所需要的费用为11600元． 37．（25-26七年级下·江苏南京·期中）长方形的长为，宽为，现将长和宽分别增加和． (1)求扩建后长方形的面积；（用含x的代数式表示） (2)当时，求扩建后长方形的面积比原来增加了多少平方厘米． 【答案】(1) (2)扩建后长方形的面积比原来增加了． 【分析】（1）扩建后长方形的长为，宽为，再利用长方形的面积公式计算即可求解； （2）根据题意列式并化简，再将代入即可求解． 【详解】（1）解：扩建后长方形的面积为： ； （2）解： ， 当时，， 扩建后长方形的面积比原来增加了． 38．（25-26七年级下·江苏泰州·阶段检测）综合与实践．学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1，A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长和宽分别为a，b的长方形． (1)如果用若干张A，B，C三种卡片拼成的一个长方形，边长分别为和，在虚线框中画出你的拼图，并直接写出 ； (2)选取4张C型卡片在纸上按图2的方式拼图，并剪出中间正方形作为第四种D型卡片，由此可检验的等量关系为 ； (3)选取1张D型卡片，3张C型卡片按图3的方式不重复地叠放长方形框架内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，且．图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为，，若，随着的长度变化时，当a、b之间满足怎样的数量关系时，S的值始终保持不变，请说明理由． 【答案】(1)拼图见解析， (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）画一个边长分别为和的长方形，然后根据图形求解即可； （2）利用正方形的面积即可解决问题； （3）设，根据题意可得则可求出，根据S的值与无关得出，即可求解． 【详解】（1）解：如图， ， 根据图形可知：； （2）解：选取4张C型卡片在纸上按图2的方式拼图，可以得到一个边长为的正方形， 剪出中间正方形作为第四种D型卡片，可知D型卡片的面积为一个边长为的正方形的面积减去4张C型卡片的面积，即：， 由图可得D型卡片是一个边长为的正方形， 由正方形的面积为边长的平方可知：； （3）解：设， 根据题意，得， ， ∴ ， ∵随着的长度变化，S的值始终保持不变 ∴， ∴， ∴当时，随着的长度变化，S的值始终保持不变． 【题型11 判断能否运用乘法公式进行计算】 39．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）下列整式乘法能用平方差公式计算的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，据此进行判断即可． 【详解】解：A、不是两个数的和与这两个数的差相乘的形式，则A不符合题意； B、是两个数的和与这两个数的差相乘的形式，则B符合题意； C、不是两个数的和与这两个数的差相乘的形式，则C不符合题意； D、不是两个数的和与这两个数的差相乘的形式，则D不符合题意； 40．（25-26七年级下·江苏常州·期中）下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】平方差公式为，只有两个二项式相乘满足一项相同，另一项互为相反数时，才能用平方差公式计算，据此逐项判断即可 【详解】解：A. 中，相同项为，与互为相反数，符合要求，可以用平方差公式计算； B. 中，两项都相同，没有互为相反数的项，不符合平方差公式结构，不能用平方差公式计算； C. ，相同项为，与互为相反数，符合要求，可以用平方差公式计算； D. 直接符合平方差公式结构，可以用平方差公式计算 41．（25-26七年级下·江苏南京·期中）下列整式乘法中，变形后能运用完全平方公式进行运算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将各选项式子变形，判断是否能化为完全平方的形式即可，完全平方公式为，平方差公式结构为． 【详解】解：A选项，符合平方差公式结构，不能用完全平方公式，排除； B选项，，符合平方差公式结构，不能用完全平方公式，排除； C选项，，变形后符合完全平方公式结构，可以运用完全平方公式运算，符合要求； D选项，，符合平方差公式结构，不能用完全平方公式，排除． 42．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据完全平方公式的结构特征，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】A．，用平方差公式计算，不符合题意； B．，用平方差公式计算，不符合题意； C．，可以用完全平方公式计算，符合题意； D．，用平方差公式计算，不符合题意； 【题型12 利用乘法公式进行计算】 43．（25-26八年级下·江苏·单元测试）利用因式分解计算：_________． 【答案】4051 【分析】先利用平方差公式进行因式分解，然后再计算即可． 【详解】解：． 44．（25-26七年级下·江苏镇江·期中）计算______ ． 【答案】 【详解】解： ． 45．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）计算：________． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式与完全平方公式的整式乘法运算，解题时可将看作一个整体，先利用平方差公式计算，再展开完全平方整理即可得到结果. 【详解】解：原式 46．（25-26八年级上·广东广州·期末）填空： （1）___ ___； （2） ____ __． 【答案】 12 2 5 【分析】本题考查了运用完全平方公式进行运算，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）通过配方法将二次式化为完全平方形式，比较系数求解； （2）使用配方法，提公因式后配完全平方，再比较系数． 【详解】（1）解：设空白处分别为和， 则， 展开右边，得， 比较系数，得，， 解得：， 代入得， 故答案为：12，2； （2）解：设空白处分别为和， 则， 展开右边，得， 比较系数，得，， 解得：， 代入得， 故答案为：，5． 【题型13 求完全平方式中的字母系数】 47．（23-24七年级下·江苏连云港·期末）若是一个完全平方式，则的值是___________． 【答案】 【分析】利用完全平方式的结构特征列式计算，即可确定出的值． 【详解】解：是一个完全平方式，且， 或 ， 解得或， 48．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）如果多项式是一个完全平方式，则a的值是________． 【答案】或13 【分析】根据题意可得两平方项为，则一次项为，据此可得答案． 【详解】解：∵多项式是一个完全平方式， ∴一次项为， ∴， ∴或． 49．（22-23七年级下·江苏南京·周测）若（a，k为常数），则______． 【答案】 【分析】先根据完全平方公式展开，再根据对应系数相等得出答案． 【详解】解：由， ∴， 解得， ∴． 【题型14 通过对完全平方公式变形求值】 50．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）若，，则______． 【答案】3 【分析】根据公式，求解即可． 【详解】解：，，， ， ， 解得． 51．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）已知，，则______． 【答案】 9 【分析】将已知条件通过完全平方公式变形，整体代入计算即可求解 【详解】解：由完全平方公式得 将，代入上式得 移项得 计算得 两边同除以得 52．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题． 例如：若，，求的值． 解：因为，，所以，， 所以，得． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，，求的值； (2)若，，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据完全平方公式，进行运算，即可求解； （2）根据完全平方公式，进行运算，即可求解； （3）根据多项式乘多项式求得，再将原式利用完全平方公式展开，整体代入求解即可． 【详解】（1）解：，， ，即， ； （2）解：，， ，即， ， ， ， ，即， ； （3）解：， ， ， ． 53．（25-26七年级下·江苏苏州·阶段检测）已知，求，的值． 【答案】， 【分析】根据完全平方公式可得，据此可得的值，同理可得，据此可得的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 【题型15 利用乘法公式进行简算】 54．（21-22八年级上·陕西延安·期中）利用乘法公式进行简算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平方差公式进行计算即可求解； （2）根据完全平方公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： 【点睛】本题考查了平方差公式与完全平方公式，熟练掌握乘法公式是解题的关键． 55．（22-23八年级上·全国·单元测试）简算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)999999； (2)9610； (3)1； (4)-2009； (5)628． 【分析】（1）运用平方差公式简便运算即可； （2）运用完全平方公式简便运算即可； （3）部分运用平方差公式简便运算即可； （4）部分运用平方差公式简便运算即可； （5）先提取公因数，然后再运用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ＝ ＝ ＝1. （4）解： = =. （5）解： = = = =628. 【点睛】本题主要考查了运用平方差公式和完全平方公式进行简便运算，灵活运用平方差公式和完全平方公式是解答本题额关键． 56．（21-22七年级下·辽宁沈阳·期末）简算： 【答案】 【分析】先逆用平方差公式将分子变为两个多项式相乘，化简分子，再化简分数即可． 【详解】解：， 原式 ． 【点睛】本题考查平方差公式的逆用，能够熟练逆用平方差公式是解决本题的关键． 【题型16 乘法公式中图形面积问题】 57．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）定义：对于任意四个有理数a、b、c、d，定义一种新运算：． (1) ； (2) ；若是完全平方式，则 ； (3)若有理数m、n满足，且． ① 求的值； ② 如图，四边形是长方形，点E、F、G、H分别在边上，连接交于点P，且将长方形分割成四个小长方形，若，，，，在①的条件下，求图中阴影部分的面积．    【答案】(1)11 (2)； (3)①2；② 【分析】本题考查了新定义，完全平方公式的变形求解，熟练掌握新定义和完全平方公式是解答本题的关键． （1）根据计算即可； （2）根据计算，再根据完全平方式的特征求解即可； （3）①根据得出，再结合即可求出； ②根据图象可得，化简后代入，即可求解； 【详解】（1）解：； （2）解：； 若是完全平方式，则； （3）解：①∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ②由题意可知： ， 将，代入可得，原式． 58．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）【情境重现】如图1，课本第75页情境通过面积法得到完全平方公式，请你观察图形，探索计算的方法，并用此方法解答下列问题： (1)若，，直接写出的值______； (2)填空：①若，则______； ②若，则______； (3)如图2，将两个大小不等的正方形按如图所示的方式放置（点B、C、E在一条直线上），连接、、．若，阴影部分面积为36，求的面积． 【答案】(1)13 (2)①10；②22 (3)12 【分析】本题主要考查完全平方公式的几何背景和应用，熟练掌握数形结合是解题的关键． （1）根据即可求解； （2）①根据即可求解； ②根据即可求解； （3）设大正方形边长为a，小正方形边长为b，根据，阴影部分面积为36，得出，，即可求出，再进行计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴ 故答案为：13． （2）①已知 ∴ ∴ 故答案为：10． ②已知 ∴ ∴ 故答案为：22． （3）设大正方形边长为a，小正方形边长为b， ∵，阴影部分面积为36， ∴， 则 ∵ ∴ 即． 59．（23-24七年级下·重庆·阶段检测）已知8张长为，宽为的小长方形纸片，按下图方式不重叠地放在矩形内，未被覆盖的部分分别用两个阴影表示．其中右下角阴影为六边形，左上角阴影为长方形．设六边形与长方形面积的差为，设． (1)用的代数式表示； (2)当的长度变化时，如果始终保持不变，则应满足的关系是什么？ (3)在（2）的结论成立的情况下，用10张长为，宽为的矩形纸片，再加上张边长为的正方形纸片，张边长为的正方形纸片（是正整数），拼成一个大的正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则当大正方形面积最小时，求拼成的大的正方形的边长为多少（用含的代数式表示）？并求出此时的的值． 【答案】(1) (2) (3)时，大正方形面积最小，此时边长为 【分析】本题考查列代数式、整式的混合运算以及几何应用、算术平方根，理解题意，正确列出代数式，以及能得出是完全平方数是解答的关键． （1）先用、、分别表示出阴影部分的长和宽，进而分别表示出阴影的面积，然后作差求解即可； （2）根据差与无关可知代数式的值与无关，即可求出、的关系； （3）根据题意可得出拼得的正方形的面积为，根据正方形的面积可知，是完全平方数，结合为正整数即可得出答案． 【详解】（1）解：记长方形的面积为，六边形的面积为， 则，，，， ，， ∴， ， ∴ ， 即：； （2）由（1）可知，， 当的长度变化时，要使得始终保持不变，即上面代数式的值与无关， ∴，即、满足的关系是：． （3）拼成的大正方形的面积为：10张边长为，宽为的矩形的面积张边长为的正方形的面积张边长为的正方形的面积， ∴拼成的大正方形的面积为：， ∵， ∴， ∵是边长的平方， ∴是完全平方数，而为正整数， 当时，， 当取更大的完全平方数时，正方形的面积也变大， 故时，大正方形面积最小，此时面积为，则边长为． 1．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，再合并同类项； （2）根据完全平方公式去括号，再合并同类项即可 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】先利用完全平方公式、单项式乘多项式法则、平方差公式分别展开原式中的各项，再合并同类项进行化简，最后将给定的、的值代入化简后的式子计算结果． 【详解】解： ， 当，时，原式． 3．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）已知：整式，，t为任意有理数． (1)的值可能为负数吗？请说明理由； (2)请通过计算说明：当t是整数时，的值一定能被12整除． 【答案】(1)不可能为负数 (2)见解析 【分析】（1）计算出的值，结合平方的非负性进行判断即可； （2）计算得，结合题干可知，能被12整除，因此结论成立． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴， ∴的值不可能为负数； （2）解： ， ∵是整数， ∴能被12整除， ∴的值一定能被12整除． 4．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）小聪在学习完乘法公式后，发现完全平方公式经过适当的变形或数形结合，可以解决很多数学问题．请根据以上信息，解答下列问题： (1)已知，，求的值； (2)如图，已知两个正方形的边长分别为a、b，若，，求图中阴影部分的面积； (3)若，则的值为______． 【答案】(1)8 (2)60 (3)9 【分析】（1）根据，即可得出答案； （2）先通过大正方形的面积减去两个空白部分的面积表示出阴影部分的面积，再根据求得，从而解出答案； （3）设，那么，，根据求得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴，即， ∴； （2）解：根据题意，可知空白部分的两个直角三角形，两直角边分别为， ∴阴影图形面积为：， ∵，， ∴， ∴阴影图形面积为：； （3）解：设， ∴， ∵，即， ∴， ∴． 5．（25-26七年级下·江苏镇江·期中）如图1，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将剩余部分拼成图2长方形． (1)上述操作能验证的等式是___________（填字母）； A．；B． (2)利用你得到的公式，计算下列各式： ①； ②． 【答案】(1)B (2)①1；②5050 【分析】（1）根据图1和图2的①②面积之和相等即可得到等式； （2）利用平方差公式进行计算即可； 【详解】（1）解：图1的①②面积之和为，图2的①②面积之和为， 因此验证的等式是． （2）解：① ； ② ． 6．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 探索以上等式的规律，解决下列问题 (1)写出第5个等式：__________； (2)试写出第个等式，并说明第个等式成立． 【答案】(1) (2)第个等式为，见解析 【分析】（1）观察可知连续的两个正偶数的乘积等于较小的偶数加上1后的平方减1，据此可得答案； （2）根据（1）的规律写出第n个等式，再利用分别展开说明即可． 【详解】（1）解：由题意得，第5个等式为 ； （2）解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， ……， 以此类推，可知第个等式为， 说明如下： ， ， ∴． 7．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）小刚同学计算一道整式乘法问题：，由于他抄错了多项式中前面的符号，把“”写成“”，得到的结果为． (1)求的值； (2)写出这道整式乘法问题的正确结果． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得，把等式左边展开得到关于a、b的方程，解方程即可得到答案； （2）根据（1）所求结合多项式乘以多项式的运算法则求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）得 ． 1．（25-26七年级下·四川成都·期中）“数形结合”是我们在学习中经常用到的一种非常重要的数学思想方法，比如在学习整式的乘法时，我们可以通过构造几何图形数形结合进行分析，用等面积法推理得到多项式的乘法公式． 【初步感知】 (1)观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为．在该公式中，若，（，），求的值． 【类比探究】 (2)若x满足，求的值； 【拓展应用】 (3)如图②，某学校有一块梯形空地，于点E，，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为102平方米，米，求种草区域的面积和． 【答案】(1)13 (2)10 (3)种草区域的面积和为60平方米． 【分析】（1）利用公式求解即可； （2）设，则，进而得，利用公式变形，代入计算即可得出答案； （3）设，则种花区域的面积，（米），由此得，由（1）的结论得，进而得种草区域的面积和为（平方米）． 【详解】（1）解：∵，而，， ∴， ∵，，， ∴； （2）解：设，则， ， ， ， 由（1）的结论得：， ， ； （3）解：设， 于点E，米， ，，，，， 种花区域的面积和为102平方米， ， ， 由（1）的结论得：， ， ， 种草区域的面积和为：（平方米）， 答：种草区域的面积和为60平方米． 2．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）对于任意四个有理数，，，，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：． (1)若是一个完全平方式，求常数的值； (2)若，且，求的值； (3)在（2）的条件下，将长方形及长方形按照如图方式放置，其中点、分别在边、上，连接、、、．若，，，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据新定义，求出，再根据完全平方式的特征，即可求出； （2）根据新定义，求出的左边，从而得出，再利用完全平方公式的变形即可求出； （3）根据阴影部分的面积等于，，把阴影部分的面积表示出来，从得到含有，的整式，再把（2）的条件和结论整体代入即可． 【详解】（1）解：， 是一个完全平方式， ； （2）解：∵， ∴， ∴， 合并同类项得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为：； ∵ ∵， ∴阴影部分的面积为：． 3．（25-26七年级下·江苏无锡·阶段检测）在学习《整式乘法》时，我们借助图形的面积可以直观说明整式的乘法公式，了解公式的几何背景，经历了“以数解形”“以形助数”的思想方法——数形结合．某数学学习小组在研究完全平方公式时，把公式变形成，然后通过计算如图1阴影部分的面积说明了变形后的公式：． (1)现有四个长与宽分别为、的相同的小长方形拼成图2的图形，根据图中条件，然后通过计算图2中阴影部分的面积，可以验证关于、的关系式：___________（用含、的代数式表示出来）； (2)根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： ①若，，则的值为________； ②若满足，求的值为________． (3)如图3，长方形面积为60，将正方形叠放在长方形上，在线段上，在线段上，直线与直线交于点，若四边形和四边形都是正方形，，，求正方形的边长； (4)如图4，四边形是正方形，，分别是、上的点，且，，分别以、为边长作正方形和正方形．若长方形的面积为21，则阴影部分的面积为________． 【答案】(1) (2)①62；②5 (3)16 (4)40 【分析】本题考查完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键． （1）根据图形得到阴影部分的边长为，大正方形的边长为，利用阴影部分的面积等于大正方形面积减去四个小长方形的面积进行求解即可； （2）利用完全平方公式变形求解即可； （3）设正方形的边长为，正方形的边长为，则正方形的边长为，根据题意易得到、，利用完全平方公式变形求出正方形的边长即可； （4）设正方形的边长为、正方形的边长为、正方形的边长为，则、，，利用完全平方公式变形求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：阴影部分的边长为，大正方形的边长为， 则阴影部分的面积为：； （2）解：①； ②； （3）解：设正方形的边长为，正方形的边长为，则正方形的边长为， 四边形是正方形， ， ， ， ， 长方形面积为60， ， ， ， ， ， 正方形的边长为16； （4）解：设正方形的边长为、正方形的边长为、正方形的边长为， 、， 长方形面积为， ， ， ， ， 阴影部分面积为． 4．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）观察下列等式，回答问题： ①；②；③；④；…… 定义：如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们把这个数叫做“幸福数”．如，则8就为“幸福数”，因此8，16，24都是“幸福数”． (1)判断48是否为“幸福数”，说明理由； (2)据“幸福数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中n是正整数，那么“幸福数”都能被8整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明； (3)求不超过150的所有“幸福数”的和． 【答案】(1)48是幸福数，理由见解析 (2)能，理由见解析 (3)1368 【分析】（1）设，求出方程的解，然后由计算结果可得出答案； （2）利用平方差公式计算，然后由计算结果可得出答案； （3）由（2）得“幸福数”能被整除，然后由求出不超过150的所有“幸福数”，然后求和即可． 【详解】（1）解：（1）48是“幸福数”， 理由：设， 解得：， ， 是“幸福数”； （2）解：“幸福数”能被整除， 理由： ， 是正整数， 能被整除， 能被整除， “幸福数”都能被整除； （3）解：由（2）得，“幸福数”能被整除， ， 不超过150的所有“幸福数”有，，，，136，144， ， ， ， ， ． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业02 整式乘法 【知识点1 单项式与单项式相乘】 法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式. 【解读】 1）积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值. 2）相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则. 3）单项式与单项式相乘，结果仍为单项式. 【知识点2 单项式与多项式相乘】 法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即. 【解读】 1）单项式与多项式相乘，实质就是利用乘法的分配律将单项式与多项式相乘的问题转化为单项式与单项式相乘的问题. 2）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号. 3）对单项式乘多项式，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果. 【知识点3 多项式与多项式相乘】 法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．即 . 【易错点】 1）多项式与多项式相乘，要按一定的顺序进行，必须做到不重不漏. 2）多项式与多项式相乘，多项式的每一项都应该带上它前面的正负号. 【知识点4 完全平方公式】 文字表述： 两个数的和（或差）的平方等于这两数的平方和加上（或减去）这两数乘积的两倍. 代数表述： . 【解读】 1）运用公式时要注意保持前后“符号”的一致性.（口诀：首平方，尾平方，二倍乘积放中央，中间符号同前方.） 2）完全平方公式常用的变式：① ②③ ④⑤ 【知识点5 平方差公式】 文字表述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 代数表述： 【解读】 1）只有形如两数的和与这两个数的差相乘时，才可以用平方差公式. 如：(a＋3b)(3a-b)，不能运用平方差公式. 2）平方差公式的常见变化形式： ①位置变化： ②符号变化： 【题型1 计算单项式乘单项式】 1．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）计算：_______． 2．（2025·山东青岛·三模）计算：___________． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)；； (4)． 【题型2 利用单项式乘单项式求字母或代数式的值】 5．（25-26八年级上·四川巴中·阶段检测）如果与相乘的结果是，那么__，__，___． 6．（24-25八年级下·安徽滁州·期中）若，则的值为______． 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）小明计算一道整式乘法题时，由于将第一个单项式中的抄成了，将第二个单项式中的抄成了，结果得到． (1)根据上述信息，分别计算出m，n的值． (2)在（1）的条件下，请你计算出这道题的正确答案． 8．（22-23七年级·上海·暑假作业）先化简，再求值：，其中． 【题型3 计算单项式乘多项式】 9．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）计算，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列计算错误的是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）一个长方体的长、宽、高分别是，和，则它的体积等于（    ） A． B． C． D． 12．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）调皮的弟弟把小明的作业本撕掉了一角，留下一道残缺不全的题目．如图所示，请你帮他推测出被除式为________． 13．（2026七年级下·全国·专题练习）计算 (1)； (2)． 【题型4 单项式乘多项式的应用】 14．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段检测）如图，小正方形和大正方形相邻，B，C，G三点在同一条直线上，C，D，E三点在同一条直线上．连接、、，若阴影部分的面积为，则大正方形的面积与小正方形的面积之差为（    ）    A． B． C． D． 15．（21-22七年级下·江苏苏州·期中）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．当时，则图3中阴影部分的面积______． 16．（25-26七年级上·湖北咸宁·期末）如图，将边长为的大正方形和边长为的小正方形放在同一平面上（）． (1)用含、的代数式表示阴影部分的面积_________． (2)请说明：图形空白部分的面积与的大小无关． 【题型5 利用单项式乘多项式求字母或代数式的值】 17．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知单项式，满足，则等于（   ） A． B． C． D． 18．（24-25七年级下·安徽淮北·期中）如果的展开式中不含有这一项，那么的值为___________． 19．（2021七年级下·江苏·专题练习）若恒成立，则______． 【题型6 计算多项式乘多项式】 20．（25-26七年级下·江苏南京·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 21．（25-26七年级下·江苏徐州·阶段检测）若，，a为有理数，则的值是（　　） A．为正数 B．为负数 C．为非正数 D．不能确定 22．（24-25七年级下·全国·课后作业）若一个三角形的一边长为，这边上的高为，则它的面积为_____． 23．（21-22七年级下·江苏宿迁·周测）计算： (1)； (2)； (3) 【题型7 利用多项式乘法求字母或代数式的值】 24．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）若，则的值为____． 25．（25-26八年级上·四川广安·期末）定义：，例如．若，则的值为_____． 26．（24-25七年级下·陕西西安·期中）若，则的值是（   ） A． B． C．1 D．25 【题型8 多项式乘法的化简求值】 27．（24-25七年级下·湖南娄底·期末）若，则的值为（    ） A．17 B． C．5 D．11 28．（25-26七年级下·江苏南京·期中）已知，则代数式的值是______． 29．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）当时，代数式的值为________． 30．（22-23八年级上·江苏南通·期末）已知，则的值为___________． 【题型9 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 31．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）若多项式展开后不含x的一次项，则m的值是______． 32．（25-26七年级下·江苏徐州·阶段检测）若展开后不含x的一次项，则p与q的关系是___________． 33．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）已知的乘积中不含项和项． (1)求、的值． (2)求代数式的值． 34．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）关于x的代数式化简后不含有项和常数项． (1)求a和m的值． (2)若，求代数式的值． 【题型10 多项式乘法与图形面积】 35．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，在数学兴趣活动中，同学将两根长度相同的铁丝，分别做成甲、乙两个长方形，面积分别为P，Q，判断P与Q的大小并说明理由． 36．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如图，某中学校园内有一块长方形地块，学校计划在中间留下一个“T”型的图形（阴影部分）修建一个文化广场． (1)用含x，y的式子表示“T”型图形的面积并化简； (2)若，，预计修建文化广场每平方米的费用为200元，求修建文化广场所需要的费用． 37．（25-26七年级下·江苏南京·期中）长方形的长为，宽为，现将长和宽分别增加和． (1)求扩建后长方形的面积；（用含x的代数式表示） (2)当时，求扩建后长方形的面积比原来增加了多少平方厘米． 38．（25-26七年级下·江苏泰州·阶段检测）综合与实践．学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1，A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长和宽分别为a，b的长方形． (1)如果用若干张A，B，C三种卡片拼成的一个长方形，边长分别为和，在虚线框中画出你的拼图，并直接写出 ； (2)选取4张C型卡片在纸上按图2的方式拼图，并剪出中间正方形作为第四种D型卡片，由此可检验的等量关系为 ； (3)选取1张D型卡片，3张C型卡片按图3的方式不重复地叠放长方形框架内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，且．图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为，，若，随着的长度变化时，当a、b之间满足怎样的数量关系时，S的值始终保持不变，请说明理由． 【题型11 判断能否运用乘法公式进行计算】 39．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）下列整式乘法能用平方差公式计算的是（　　） A． B． C． D． 40．（25-26七年级下·江苏常州·期中）下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 41．（25-26七年级下·江苏南京·期中）下列整式乘法中，变形后能运用完全平方公式进行运算的是（   ） A． B． C． D． 42．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【题型12 利用乘法公式进行计算】 43．（25-26八年级下·江苏·单元测试）利用因式分解计算：_________． 44．（25-26七年级下·江苏镇江·期中）计算______ ． 45．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）计算：________． 46．（25-26八年级上·广东广州·期末）填空： （1）___ ___； （2） ____ __． 【题型13 求完全平方式中的字母系数】 47．（23-24七年级下·江苏连云港·期末）若是一个完全平方式，则的值是___________． 48．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）如果多项式是一个完全平方式，则a的值是________． 49．（22-23七年级下·江苏南京·周测）若（a，k为常数），则______． 【题型14 通过对完全平方公式变形求值】 50．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）若，，则______． 51．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）已知，，则______． 52．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题． 例如：若，，求的值． 解：因为，，所以，， 所以，得． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，，求的值； (2)若，，求的值； (3)若，求的值． 53．（25-26七年级下·江苏苏州·阶段检测）已知，求，的值． 【题型15 利用乘法公式进行简算】 54．（21-22八年级上·陕西延安·期中）利用乘法公式进行简算： (1)； (2)． 55．（22-23八年级上·全国·单元测试）简算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 56．（21-22七年级下·辽宁沈阳·期末）简算： 【题型16 乘法公式中图形面积问题】 57．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）定义：对于任意四个有理数a、b、c、d，定义一种新运算：． (1) ； (2) ；若是完全平方式，则 ； (3)若有理数m、n满足，且． ① 求的值； ② 如图，四边形是长方形，点E、F、G、H分别在边上，连接交于点P，且将长方形分割成四个小长方形，若，，，，在①的条件下，求图中阴影部分的面积．    58．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）【情境重现】如图1，课本第75页情境通过面积法得到完全平方公式，请你观察图形，探索计算的方法，并用此方法解答下列问题： (1)若，，直接写出的值______； (2)填空：①若，则______； ②若，则______； (3)如图2，将两个大小不等的正方形按如图所示的方式放置（点B、C、E在一条直线上），连接、、．若，阴影部分面积为36，求的面积． 59．（23-24七年级下·重庆·阶段检测）已知8张长为，宽为的小长方形纸片，按下图方式不重叠地放在矩形内，未被覆盖的部分分别用两个阴影表示．其中右下角阴影为六边形，左上角阴影为长方形．设六边形与长方形面积的差为，设． (1)用的代数式表示； (2)当的长度变化时，如果始终保持不变，则应满足的关系是什么？ (3)在（2）的结论成立的情况下，用10张长为，宽为的矩形纸片，再加上张边长为的正方形纸片，张边长为的正方形纸片（是正整数），拼成一个大的正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则当大正方形面积最小时，求拼成的大的正方形的边长为多少（用含的代数式表示）？并求出此时的的值． 1．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）计算： (1)； (2)． 2．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）先化简，再求值：，其中，． 3．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）已知：整式，，t为任意有理数． (1)的值可能为负数吗？请说明理由； (2)请通过计算说明：当t是整数时，的值一定能被12整除． 4．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）小聪在学习完乘法公式后，发现完全平方公式经过适当的变形或数形结合，可以解决很多数学问题．请根据以上信息，解答下列问题： (1)已知，，求的值； (2)如图，已知两个正方形的边长分别为a、b，若，，求图中阴影部分的面积； (3)若，则的值为______． 5．（25-26七年级下·江苏镇江·期中）如图1，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将剩余部分拼成图2长方形． (1)上述操作能验证的等式是___________（填字母）； A．；B． (2)利用你得到的公式，计算下列各式： ①； ②． 6．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 探索以上等式的规律，解决下列问题 (1)写出第5个等式：__________； (2)试写出第个等式，并说明第个等式成立． 7．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）小刚同学计算一道整式乘法问题：，由于他抄错了多项式中前面的符号，把“”写成“”，得到的结果为． (1)求的值； (2)写出这道整式乘法问题的正确结果． 1．（25-26七年级下·四川成都·期中）“数形结合”是我们在学习中经常用到的一种非常重要的数学思想方法，比如在学习整式的乘法时，我们可以通过构造几何图形数形结合进行分析，用等面积法推理得到多项式的乘法公式． 【初步感知】 (1)观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为．在该公式中，若，（，），求的值． 【类比探究】 (2)若x满足，求的值； 【拓展应用】 (3)如图②，某学校有一块梯形空地，于点E，，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为102平方米，米，求种草区域的面积和． 2．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）对于任意四个有理数，，，，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：． (1)若是一个完全平方式，求常数的值； (2)若，且，求的值； (3)在（2）的条件下，将长方形及长方形按照如图方式放置，其中点、分别在边、上，连接、、、．若，，，，求图中阴影部分的面积． 3．（25-26七年级下·江苏无锡·阶段检测）在学习《整式乘法》时，我们借助图形的面积可以直观说明整式的乘法公式，了解公式的几何背景，经历了“以数解形”“以形助数”的思想方法——数形结合．某数学学习小组在研究完全平方公式时，把公式变形成，然后通过计算如图1阴影部分的面积说明了变形后的公式：． (1)现有四个长与宽分别为、的相同的小长方形拼成图2的图形，根据图中条件，然后通过计算图2中阴影部分的面积，可以验证关于、的关系式：___________（用含、的代数式表示出来）； (2)根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： ①若，，则的值为________； ②若满足，求的值为________． (3)如图3，长方形面积为60，将正方形叠放在长方形上，在线段上，在线段上，直线与直线交于点，若四边形和四边形都是正方形，，，求正方形的边长； (4)如图4，四边形是正方形，，分别是、上的点，且，，分别以、为边长作正方形和正方形．若长方形的面积为21，则阴影部分的面积为________． 4．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）观察下列等式，回答问题： ①；②；③；④；…… 定义：如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们把这个数叫做“幸福数”．如，则8就为“幸福数”，因此8，16，24都是“幸福数”． (1)判断48是否为“幸福数”，说明理由； (2)据“幸福数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中n是正整数，那么“幸福数”都能被8整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明； (3)求不超过150的所有“幸福数”的和． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $