江苏省南京市玄武区2025-2026学年七年级下学期数学期末模拟试卷

**基本信息** 以AI科技图标、《张邱建算经》及跨学科实验为情境，通过基础、能力、创新三级梯度，考查七年级下册核心知识，培养抽象能力、几何直观与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/12|中心对称图形（1）、数学史方程（4）|AI图标情境（1）、古算题应用（4）| |填空题|10/20|跨学科实验（13）、新定义“移变方程”（15）|烧杯水面高度探究（13）、概念迁移（15）| |解答题|11/88|膳食结构实践（22）、几何面积与代数恒等式（25）|生活问题建模（22）、数形结合推理（25）|

2025-2026学年七年级下学期期末模拟试卷 数学 (考试时间：120分钟，分值：120分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷 一、选择题本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图是我国四款人工智能大模型的图标，其中是中心对称图形的是() Deepseek 可灵 文心一言 Kimi 2.下列计算中，正确的是() A.a2.a3=a6 B.(a2)6=a8 C.(a2)2=a4 D.a6÷a3=a2 3.已知a>b,则下列不等式成立的是() A.2a<2b B.a+1<b+1 C.a-1<b-1D.-2a<-2b 4.《张邱建算经》中有这样一个问题：“今有甲、乙怀钱，各不知其数甲得乙十钱，多乙余钱五倍.乙得甲 十钱，适等问甲、乙怀钱各几何？”其大意为：甲、乙两人各有钱币若干枚若乙给甲10枚钱，此时甲的钱 币数比乙的钱币数多出5倍，若甲给乙10枚钱，此时两人的钱币数相等问甲、乙原来各有多少枚钱币？设甲 原来有钱币x枚，乙原来有钱币y枚，则可列方程组为() 4+850010) B长+18=60b10) c长+8-=501010) D+18=601010 第1页，共8页 5.如图，在△ABC中，∠C=90。,点C,D关于AB对称，过点C作EF//AB,若EF=3AB,△ABC的面积等于 2,则△DEF的面积为() D C B A.4 B.6 C.12 D.24 6.如图，将五边形纸片ABCDE分别沿AF,DF,AD折叠后，顶点B,C,E恰好都落在纸片内的点P处，且L CDE是锐角，则在下列判断中，正确的是() A.∠AFD=90°且AF<DF B.∠AFD=90°且AF>DF C.∠AFD≠90°且AF<DF D.∠AFD≠90°且AF>DF E D F C 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 7.某人红细胞的截面半径约为0.0000037m,数据0.0000037用科学记数法表示为一. 8.若xm=6,x”=3,则xm-n=· 9.命题：“如果a=b,那么a2=b2”的逆命题是命题（填“真”或“假”）. 10已知关于xy的方程组+份=19的解是化=7则b=一 山若关于x的一元一次不等式组哈-≥8无解，则的取值范周是一 12.如图， 第2页，共8页 y B B N C 在四边形ABCD中，∠A+∠D=245°，将LB,∠C按如图所示的方式折叠.若∠DMC=45°，则∠AEB′+∠CFB '+LBNC=。 13.某数学兴趣小组进行跨学科探究学习，在盛水的烧杯中，放入A,B两种规格的玻璃球，研究放入两种球 的数量与水面上升高度的关系具体实验操作如下（以下实验中所用烧杯都相同，所有球均浸没于水面以下， 且烧杯中的水均未溢出)： 步骤一：分别向三个水平放置的空烧杯甲，乙，丙内注入适量的水，使烧杯内水面高度均为20c: 步骤二：向甲烧杯内放入4个A球和1个B球，此时烧杯内水面高度为36cm: 步骤三：向乙烧杯内放入2个A球和3个B球，此时烧杯内水面高度为38cm: 步骤四：向丙烧杯内放入A,B两种球若干个，且放入的球的总个数为奇数，此时烧杯内水面高度为65cm. 则向丙烧杯内放入的A种玻璃球的个数为一· 14.如图，正方形AEHG,正方形EBKF和正方形NKCM摆放在长方形ABCD中，AB=3,BC=4,且BK>KC .已知正方形AEHG与正方形NKCM的面积之和为7，则长方形PFQD的面积为一 A G D H M B 15.定义关于x,y的二元一次方程cx-ay=b(其中a,b,c是常数)叫做方程ax+by=c的“移变方程”例如 3x+5y=7的“移变方程”为7x-3y=5.已知常数m,n,k满足条件3m<k<n,并且3x+(m-n+3)y=2 n+6k+3是关于x,y的二元一次方程(7m一k)x+(3m+2n)y=3的“移变方程”，则k的取值范围为 16.将△ABC,△ADC按如图所示摆放，AC边重合，其中∠DAC=∠D=60°，∠B=90°，∠BAC=45°，保持 △ABC不动，将△ADC绕点A顺时针旋转a(O°<a<180),在旋转过程中，当a=_时，△ADC的DC边 第3页，共8页 与△ABC的某一边平行. 三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题6分)计算： (1)(a3)2+(a2)3-a·a5: (2)2(x+3)(x-3)-(2x-1)(x-2). 18.(本小题6分)解方程组或不等式组 (1)解方程组{3+2，=0 13x+4y=6 x-2(x-1)≤1 (2)解不等式组1+x 3>x-1 19.(本小题6分) 先化简，再求值：(a+2)2+(a+3)(a-3)-a(2a+b),其中a,b满足等式ab=2a+1. 第4页，共8页 20.(本小题8分) 如图，方格纸中每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC三个顶点都在格点上，利用网格画图. (1)画出△A1B1C1,使△ABC与△A1B1C1关于直线m对称： (2)画出△A2B2C2,使△ABC与△A2B2C2关于点0对称： (3)画出将△ABC绕点C按逆时针方向旋转90°后的图形△A3B3C. --- B 21.(本小题8分) 如图，在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D,E为边AC上一点，连接DE. (1)若LEDC=∠ECD,求证：DE//BC: (2)若LA=60°，∠B-LBCD=15°，求LADC的度数. D B 第5页，共8页 22.(本小题8分) 综合与实践：七年级某学习小组围绕“学校膳食结构”开展主题学习活动.他们发现学校为学生提供的每 份早餐包含一份150g的蔬菜，一份牛肉和一份牛奶.（食物的营养成分见表一）学校每天为学生提供的午餐 有A,B两种套餐（见表二），为了平衡膳食，该小组建议学生控制主食和肉类的摄入量，每周每位学生午餐主 食的摄入量不超过870g,午餐肉类摄入量不超过390g.(一周按五天计算) (1)若一份早餐包含一份150g的蔬菜，一份100g的牛肉和一份200g的牛奶，则该份早餐中蛋白质总含量为 g: (2)学校为学生提供的每份早餐的总质量为500g,每份早餐的蛋白质总含量占早餐总质量的5.78%，则每份 早餐中牛肉和牛奶食品各多少克； (3)为平衡膳食，每个学生每周午餐可以选择A,B套餐各几天？ 表一：食物的营养成分表 食物 蛋白质碳水化合物脂肪 100g蔬菜h.0g 4.0g 0.4g 100g牛肉9.9g 2.0g 4.2g 100g牛奶3.0g 4.5g 3.6g 表二：学校每天提供的A,B两种套餐 套餐主食肉类其他 A 160g180g260g 180g65g255g 23.(本小题8分) 对于有理数x,y,定义新运算x*y=ax+by,x⑧y=ax-by,其中a,b是常数.已知3*2=-1,2⑧ 1=4. (1)求a,b的值. (2)若x*y+x⑧y=10,求x的值 ()若关于x,的方程组长念)8的解也满足方程x-y=6,求m的值。 (④若关于，怕方程组®：的解为化子直接与出关于x,y的方程组 08十男8影品)3，的解 第6页，共8页 24.(本小题8分) 阅读下列材料： 已知x-y=2,且x>1,y<0,试确定x+y的取值范围. 解因为x-y=2,所以x=y+2.又x>1,所以y+2>1,解得y>-1.又y<0,所以-1<y<0①.同理， 得1<x<2②.由①+②，得-1+1<x+y<0+2,所以x+y的取值范围是0<x+y<2. 按照上述方法，完成下列问题： (1)已知x-y=3,且x>2,y<1,则x+y的取值范围是： (2已知关于x,的方程组(+ya+3的解都是正数。 ①求a的取值范围： ②若a-b=4,b<2,求a+b的取值范围. 25.(本小题10分) 我们已经知道，通过不同方式计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式.例如，利用图①可得(a+b)2= a2+2ab+b2,基于此，请解答下列问题： 【知识生成】：如图②，用4个完全相同的长方形（它的长为a,宽为b)围成一个正方形，用两种不同的方式 表示图中阴影部分的面积由此，可得到等式： ； 【类比应用】：已知长方形的周长为6，面积为1，设该长方形的长为a,宽为b(a>b),求a一b的值： 【知识迁移】：如图③所示，某校计划在一块面积为192的长方形空地ABCD(AB<AD)中划出长方形 BEFG和长方形DMNQ,在这两个长方形重叠部分的区域建一个长方形水池HNRF(其中HF=NR=3m,HN =FR=2m),并将长方形AEHQ和长方形RGCM两个区域建为花园，且这两个花园的总周长为46m,求AD 和AB的长， 6 a 0 花园卫 R M 花园 b G 图① 图② 图③ 第7页，共8页 26.(本小题10分) 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=40°，点D为直线BC上的点. (1)尺规作图：如图1，在BC边上求作点E,使得点B关于直线AE的对称点F在射线AD上，并作出点F(保留作 图痕迹，不写作法)； (2)在(1)的条件下，若△DEF为直角三角形，求LBAE的度数： (3)如图2，G为AB边上的定点，B、B'关于直线DG对称，连接B'G,当点D在直线AE上运动时，B'G与△ABC 的一边平行，请直接写出LBDG的度数. A C D 图(1) 图(2) 27.(本小题10分) 若两个角之差的绝对值等于60°，则称这两个角互为“互优角”.即若引L一Lβ1=60°，则称Lα和LB互为“互 优角”.（本题中所有角都是大于0°且小于180°的角） A D A -B E 图1 备用图 (1)若L1和L2互为“互优角”，当41=90时，则∠2= (2)如图1，将一长方形纸片沿着EP折叠，（点P在线段BC上，点E在线段AB上），使点B落在B',若LEPB与LB 'PC互为“互优角”，求∠BPE的度数； (3)再将纸片沿着PF折叠（点F在线段CD或AD上），使点C落在C,若LB'PC与∠EPF互为“互优角”，则∠BPE +∠CPF= 第8页，共8页 2025-2026学年七年级下学期期末模拟试卷 数学 （考试时间：120分钟，分值：120分） 【答案】 1.   2.   3.   4.   5.   6.   7.   8.   9. 假  10.   11.   12.   13. 个  14.   15.  且  16. 或或  17. 【小题】 解： ； 【小题】 解： ．   18. 【小题】 解： 得，， 得，， 代入到得，， 解得：， 方程组的解为； 【小题】 解： 解不等式得，， 解不等式得，， 不等式组的解集为．   19. 解：原式因为，所以所以  20. 解：如图，即为所求； 如图，即为所求； 如图，即为所求．   21. 解：平分， ， 又， ， ； 在中，， ， 即， ， ，． 是的外角， ．  22. 【小题】 【小题】 解：设每份早餐中牛肉为克，牛奶食品为克， 由题意得， 解得： 答：每份早餐中牛肉为克，牛奶食品为克； 【小题】 解：设每个学生每周午餐可以选择套餐天，则选择套餐天， 由题意得， 解得：， 是整数， ， 当时，， 当时，， 当时，， 每个学生每周午餐可以选择套餐天，套餐天，或选择套餐天，套餐天，或选择套餐天，套餐天．   23. 【小题】 由题意，得解得 【小题】 由题意，得，即  因为，  所以． 【小题】 可变形为解得  因为，  所以，解得． 【小题】 由题意，得方程组可化为   所以由题意，易得解得  所以方程组的解为   24. 【小题】 【小题】 解方程组得因为，，所以解不等式组，得所以的取值范围为因为，所以由，得，所以，解得又，所以同理，得所以，即则的取值范围为．   25. 解：【知识生成】； 【类比应用】根据长宽， 可得， 化简得， 已知面积为，即， 因为， 把，代入可得， 所以； 【知识迁移】设，， 由题意可知， ，即， ， 又， ， 联立可得 解得． 答：和的长分别为、．   26. 作的角平分线与的交点为点；以为圆心为半径作圆，交于点；  或  或或或  27. 解：或；  设，则， 与互为“互优角”， ， 或； 或或．  【解析】 1. 解：选项A、、中的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 选项B中的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：． 根据中心对称图形的概念判断即可． 本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合． 2. 解：、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：． 根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解． 本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 3. 根据不等式的性质，解答即可． 本题考查不等式的基本性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：， ， 故A不符合题意； ， 故B不符合题意； ， 故C不符合题意； ，成立 故D符合题意； 故选：． 4. 解：由题意知，， 故选：． 根据“若乙给甲枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出倍；若甲给乙枚钱，此时两人的钱币数相等”建立方程组即可． 本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 5. 连接交于点，根据平行线的性质，轴对称性质，三角形面积公式解答即可． 本题考查了轴对称性质，平行线的性质，三角形面积公式，熟练掌握性质和公式是解题的关键． 【详解】解：连接交于点， 点，关于对称， ，且，， ， ， ， ， ， ， 故选：． 6. 解：由折叠的性质得，，， ， 由折叠的性质得，，，， ， ， 是锐角， ， ， ，， ， ， 故选：． 由折叠的性质得，，，于是得到，由折叠的性质得，，，，求得，得到，推出，得到，于是得到结论． 本题考查了翻折变换折叠问题，多边形，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 7. 本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定以及的值是解题的关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，据此即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 8. 解：，， ， 故答案为：． 逆用同底数幂的除法法则计算即可． 本题考查了同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 9. 【分析】 此题主要考查了命题与定理，正确把握逆命题的定义是解题关键．直接利用逆命题的写法就是将原命题的结论与题设交换进而得出答案． 【解答】 解：命题：“如果，那么”的逆命题是：如果，那么． 因为当，则，故是假命题． 故答案为：假． 10. 本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解题的关键．代入到方程组，得到，求出的值即可解答． 【详解】解：代入到方程组，得 解得 ． 故答案为：． 11. 解：， 解不等式得：， 解不等式得：， 关于的一元一次不等式组无解， ， 故答案为：． 按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答． 本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 12. 解：根据四边形内角和为， ， ， 由折叠可知：，，，， ，，， 由，可得， 设与相交于点， ， ， ， 故答案为：． 先根据四边形内角和求出的度数，再利用折叠性质得到相关角的关系，最后结合已知条件求出所求角的和． 本题考查了多边形内角和与折叠的性质，解题的关键是熟练掌握多边形内角和公式以及折叠前后角的对应关系． 13. 解：设放入个球水面上升，个球水面上升， 根据题意得：， 解得：， 放入个球水面上升，个球水面上升． 设向丙烧杯内放入个球，个球， 根据题意得：， ， 又，均为正整数， 或或， 又为奇数， ， 向丙烧杯内放入的种玻璃球的个数为个． 故答案为：个． 设放入个球水面上升，个球水面上升，根据步骤二、三，可列出关于，的二元一次方程组，解之可得出，的值，设向丙烧杯内放入个球，个球，根据水面上升的高度为，可列出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，可得出，的值，再结合为奇数，即可确定结论． 本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组二元一次方程是解题的关键． 14. 此题考查了完全平方公式和几何综合，利用完全平方公式的变形求值，解题的关键是掌握以上知识点． 首先由正方形的性质设，，得到，，表示出，，由得到，然后得到，然后利用完全平方公式的变形求解即可． 【详解】解：正方形，正方形 设， ， ， 正方形 正方形与正方形的面积之和为 长方形的面积为． 故答案为：． 15. 本题考查了新定义，解二元一次方程组，以及解一元一次不等式，解题关键是理解新定义，并正确求解含参方程． 根据新定义，仿照示例，得到二元一次方程与“移变方程”系数之间的关系，列出不等式组，求出 的范围，并注意二元一次方程的系数不为，即可求解． 【详解】解：根据“移变方程”的定义，知 的移变方程为：  ， 又 也是 的移变方程，  ， 由得， ， 代入，得 ，  ，  ， 解得 ， 又 是二元一次方程，则：  且 ， 解得 且 ， 又 ，  的取值范围为 且 ． 故答案为： 且 ． 16. 解：因为，，所以  当旋转后的边与平行时，如图，  令与的交点为，  由旋转可知，，  因为，所以，  所以，  所以，  所以，  即； 当旋转后的边与平行时，如图  因为，所以，  所以，  即；  当旋转后的边与平行时，如图，  因为，所以，  所以，即  综上所述，或或． 17.   本题考查了整式乘法的混合运算、平方差公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 利用幂的乘方、同底数幂的乘法运算法则化简，再合并即可；   利用平方差公式、多项式乘多项式的运算法则化简，再合并即可． 18.   本题考查了解二元一次方程组和不等式组，熟练掌握相关知识点是解题的步骤． 利用加减消元法解方程组即可；   先求出各不等式的解集，再求出它们的公共部分，即可得到不等式组的解集． 19. 略 20. 根据轴对称的性质作图即可； 根据中心对称的性质作图即可； 根据旋转的性质作图即可． 本题考查作图旋转变换、作图轴对称变换，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质、轴对称的性质是解答本题的关键． 21. 利用角平分线的定义，可得出，结合，可得出，再利用“内错角相等，两直线平行”，即可证出； 在中，利用三角形内角和定理，可求出，结合，可求出及的度数，由是的外角，再利用三角形的外角性质，即可求出的度数． 本题考查了三角形内角和定理、三角形的外角性质、角平分线的定义以及平行线的判定，解题的关键是：利用“内错角相等，两直线平行”，证出；根据各角之间的关系，求出及的度数． 22.   本题考查了二元一次方程组的应用、不等式组的应用，理解题意正确列出方程组和不等式组是解题的关键． 分别用蔬菜、牛肉、牛奶的质量乘以对应的蛋白质含量占比，再相加即可求解； 解：， 该份早餐中蛋白质总含量为； 故答案为：；   设每份早餐中牛肉为克，牛奶食品为克，根据题意列出方程组，求出的值即可解答；   设每个学生每周午餐可以选择套餐天，则选择套餐天，根据题意列出不等式组，求出的范围，结合是整数，即可解答． 23.  略  略  略  略 24.   因为，所以又，所以，解得又，所以同理，得由，得，所以的取值范围是．  见答案 25. 解：【知识生成】大正方形的边长为，小正方形的边长为， 阴影部分面积． 所以可得到等式， 故答案为：； 【类比应用】见答案； 【知识迁移】见答案． 【知识生成】通过求阴影部分面积得到等式； 【类比应用】利用长方形周长和面积公式结合已知等式求解； 【知识迁移】通过设未知数表示长方形的长和宽，根据花园周长和空地面积来求解． 此题考查学生对不同知识板块的综合运用能力，知识综合性强，逻辑清晰． 26. 解：作的角平分线与的交点为点；  以为圆心为半径作圆，交于点；    当时，点与点重合，  ；  当时，    是的垂直平分线，  ，  ，  ，  ，  ；  综上所述：的大小为或；  当，在上方时，    ，  由折叠可知，  ，  ，  ，  ；  当，在下方时，，    ，  ，  ；  当，在左侧时，    ，  ，  ，  ，  ；  当，在右侧时，    ，  ，  ， ；  综上所述：或或或． 作的角平分线即可；  分两种情况讨论：当时，点与点重合，；当时，；  分四种情况讨论：当，在上方时，；当，在下方时，，；当，在左侧时，；当，在右侧时，． 本题考查轴对称变换，熟练掌握直角三角形的性质，轴对称的性质，平行线的性质是解题的关键． 27. 解：和互为“互优角”， ， ， ， 或， 故答案为：或； 见答案； 设，， 如图和图 当在或内时， ， ， 与互为“互优角”， ， 或， 如图， 当在外部时， ， ， ， ， 综上所述：或或， 故答案为：或或． 根据定义得出，从而求得结果； 设，则，根据定义得出，进而求得结果； 设，，当在或内时，，，从而得出方程，进一步得出结果；或，当在外部时，，，可得出方程，进一步得出结果． 本题在新定义的基础上，考查了轴对称的性质，角度的和差计算等知识，解决问题的关键是分类讨论． 第2页，共18页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下学期期末模拟试卷 数学 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图是我国四款人工智能大模型的图标，其中是中心对称图形的是(    ) A. B. 可灵 C. 文心一言 D. 2.下列计算中，正确的是(    ) A. B. C. D. 3.已知，则下列不等式成立的是(    ) A. B. C. D. 4.张邱建算经中有这样一个问题：“今有甲、乙怀钱，各不知其数甲得乙十钱，多乙余钱五倍乙得甲十钱，适等问甲、乙怀钱各几何？”其大意为：甲、乙两人各有钱币若干枚若乙给甲枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出倍；若甲给乙枚钱，此时两人的钱币数相等问甲、乙原来各有多少枚钱币？设甲原来有钱币枚，乙原来有钱币枚，则可列方程组为(    ) A. B. C. D. 5.如图，在中，，点，关于对称，过点作，若，的面积等于，则的面积为(    ) A. B. C. D. 6.如图，将五边形纸片分别沿，，折叠后，顶点，，恰好都落在纸片内的点处，且是锐角，则在下列判断中，正确的是(    ) A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 7.某人红细胞的截面半径约为，数据用科学记数法表示为          ． 8.若，，则          ． 9.命题：“如果，那么”的逆命题是          命题填“真”或“假”． 10.已知关于的方程组的解是，则          ． 11.若关于的一元一次不等式组无解，则的取值范围是          ． 12.如图， 在四边形中，，将，按如图所示的方式折叠若，则           13.某数学兴趣小组进行跨学科探究学习，在盛水的烧杯中，放入，两种规格的玻璃球，研究放入两种球的数量与水面上升高度的关系具体实验操作如下以下实验中所用烧杯都相同，所有球均浸没于水面以下，且烧杯中的水均未溢出： 步骤一：分别向三个水平放置的空烧杯甲，乙，丙内注入适量的水，使烧杯内水面高度均为； 步骤二：向甲烧杯内放入个球和个球，此时烧杯内水面高度为； 步骤三：向乙烧杯内放入个球和个球，此时烧杯内水面高度为； 步骤四：向丙烧杯内放入，两种球若干个，且放入的球的总个数为奇数，此时烧杯内水面高度为． 则向丙烧杯内放入的种玻璃球的个数为      ． 14.如图，正方形，正方形和正方形摆放在长方形中，，且已知正方形与正方形的面积之和为，则长方形的面积为          ． 15.定义：关于 的二元一次方程 其中 是常数叫做方程 的“移变方程”例如： 的“移变方程”为 已知常数 满足条件 ，并且 是关于 的二元一次方程 的“移变方程”，则 的取值范围为          ． 16.将，按如图所示摆放，边重合，其中，，，保持不动，将绕点顺时针旋转，在旋转过程中，当          时，的边与的某一边平行． 三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分计算： ； ． 18.本小题分解方程组或不等式组 解方程组 解不等式组 19.本小题分 先化简，再求值：，其中，满足等式． 20.本小题分 如图，方格纸中每个小正方形的顶点叫做格点，三个顶点都在格点上，利用网格画图． 画出，使与关于直线对称； 画出，使与关于点对称； 画出将绕点按逆时针方向旋转后的图形C. 21.本小题分 如图，在中，的平分线交于点，为边上一点，连接． 若，求证：； 若，，求的度数． 22.本小题分 综合与实践：七年级某学习小组围绕“学校膳食结构”开展主题学习活动．他们发现学校为学生提供的每份早餐包含一份的蔬菜，一份牛肉和一份牛奶．食物的营养成分见表一学校每天为学生提供的午餐有两种套餐见表二，为了平衡膳食，该小组建议学生控制主食和肉类的摄入量，每周每位学生午餐主食的摄入量不超过，午餐肉类摄入量不超过一周按五天计算 若一份早餐包含一份的蔬菜，一份的牛肉和一份的牛奶，则该份早餐中蛋白质总含量为          ； 学校为学生提供的每份早餐的总质量为，每份早餐的蛋白质总含量占早餐总质量的，则每份早餐中牛肉和牛奶食品各多少克； 为平衡膳食，每个学生每周午餐可以选择，套餐各几天？ 表一：食物的营养成分表 食物 蛋白质 碳水化合物 脂肪 蔬菜 牛肉 牛奶 表二：学校每天提供的，两种套餐 套餐 主食 肉类 其他 23.本小题分 对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．已知，． 求，的值． 若，求的值． 若关于，的方程组的解也满足方程，求的值． 若关于，的方程组的解为直接写出关于，的方程组的解． 24.本小题分 阅读下列材料： 已知，且，，试确定的取值范围． 解：因为，所以又，所以，解得又，所以同理，得由，得，所以的取值范围是． 按照上述方法，完成下列问题： 已知，且，，则的取值范围是          ； 已知关于，的方程组的解都是正数． 求的取值范围； 若，，求的取值范围． 25.本小题分 我们已经知道，通过不同方式计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式例如，利用图可得：，基于此，请解答下列问题： 【知识生成】：如图，用个完全相同的长方形它的长为，宽为围成一个正方形，用两种不同的方式表示图中阴影部分的面积由此，可得到等式：______； 【类比应用】：已知长方形的周长为，面积为，设该长方形的长为，宽为，求的值； 【知识迁移】：如图所示，某校计划在一块面积为的长方形空地中划出长方形和长方形，在这两个长方形重叠部分的区域建一个长方形水池其中，，并将长方形和长方形两个区域建为花园，且这两个花园的总周长为，求和的长． 26.本小题分 在中，，，点为直线上的点． 尺规作图：如图，在边上求作点，使得点关于直线的对称点在射线上，并作出点保留作图痕迹，不写作法； 在的条件下，若为直角三角形，求的度数； 如图，为边上的定点，、关于直线对称，连接，当点在直线上运动时，与的一边平行，请直接写出的度数． 27.本小题分 若两个角之差的绝对值等于，则称这两个角互为“互优角”即若，则称和互为“互优角”本题中所有角都是大于且小于的角 若和互为“互优角”，当时，则 ______； 如图，将一长方形纸片沿着折叠，点在线段上，点在线段上，使点落在，若与互为“互优角”，求的度数； 再将纸片沿着折叠点在线段或上，使点落在，若与互为“互优角”，则 ______． 第8页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下学期期末模拟试卷 数学 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图是我国四款人工智能大模型的图标，其中是中心对称图形的是(    ) A. B. 可灵 C. 文心一言 D. 【答案】B  【解析】解：选项A、、中的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 选项B中的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：． 根据中心对称图形的概念判断即可． 本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合． 2.下列计算中，正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：． 根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解． 本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 3.已知，则下列不等式成立的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】根据不等式的性质，解答即可． 本题考查不等式的基本性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：， ， 故A不符合题意； ， 故B不符合题意； ， 故C不符合题意； ，成立 故D符合题意； 故选：． 4.张邱建算经中有这样一个问题：“今有甲、乙怀钱，各不知其数甲得乙十钱，多乙余钱五倍乙得甲十钱，适等问甲、乙怀钱各几何？”其大意为：甲、乙两人各有钱币若干枚若乙给甲枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出倍；若甲给乙枚钱，此时两人的钱币数相等问甲、乙原来各有多少枚钱币？设甲原来有钱币枚，乙原来有钱币枚，则可列方程组为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：由题意知，， 故选：． 根据“若乙给甲枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出倍；若甲给乙枚钱，此时两人的钱币数相等”建立方程组即可． 本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 5.如图，在中，，点，关于对称，过点作，若，的面积等于，则的面积为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】连接交于点，根据平行线的性质，轴对称性质，三角形面积公式解答即可． 本题考查了轴对称性质，平行线的性质，三角形面积公式，熟练掌握性质和公式是解题的关键． 【详解】解：连接交于点， 点，关于对称， ，且，， ， ， ， ， ， ， 故选：． 6.如图，将五边形纸片分别沿，，折叠后，顶点，，恰好都落在纸片内的点处，且是锐角，则在下列判断中，正确的是(    ) A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】A  【解析】解：由折叠的性质得，，， ， 由折叠的性质得，，，， ， ， 是锐角， ， ， ，， ， ， 故选：． 由折叠的性质得，，，于是得到，由折叠的性质得，，，，求得，得到，推出，得到，于是得到结论． 本题考查了翻折变换折叠问题，多边形，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 二、填空题：本题共10小题，共20分。 7.某人红细胞的截面半径约为，数据用科学记数法表示为          ． 【答案】  【解析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定以及的值是解题的关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，据此即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 8.若，，则          ． 【答案】  【解析】解：，， ， 故答案为：． 逆用同底数幂的除法法则计算即可． 本题考查了同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 9.命题：“如果，那么”的逆命题是          命题填“真”或“假”． 【答案】假  【解析】【分析】 此题主要考查了命题与定理，正确把握逆命题的定义是解题关键．直接利用逆命题的写法就是将原命题的结论与题设交换进而得出答案． 【解答】 解：命题：“如果，那么”的逆命题是：如果，那么． 因为当，则，故是假命题． 故答案为：假． 10.已知关于的方程组的解是，则          ． 【答案】  【解析】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解题的关键．代入到方程组，得到，求出的值即可解答． 【详解】解：代入到方程组，得 解得 ． 故答案为：． 11.若关于的一元一次不等式组无解，则的取值范围是          ． 【答案】  【解析】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， 关于的一元一次不等式组无解， ， 故答案为：． 按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答． 本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 12.如图， 在四边形中，，将，按如图所示的方式折叠若，则           【答案】  【解析】解：根据四边形内角和为， ， ， 由折叠可知：，，，， ，，， 由，可得， 设与相交于点， ， ， ， 故答案为：． 先根据四边形内角和求出的度数，再利用折叠性质得到相关角的关系，最后结合已知条件求出所求角的和． 本题考查了多边形内角和与折叠的性质，解题的关键是熟练掌握多边形内角和公式以及折叠前后角的对应关系． 13.某数学兴趣小组进行跨学科探究学习，在盛水的烧杯中，放入，两种规格的玻璃球，研究放入两种球的数量与水面上升高度的关系具体实验操作如下以下实验中所用烧杯都相同，所有球均浸没于水面以下，且烧杯中的水均未溢出： 步骤一：分别向三个水平放置的空烧杯甲，乙，丙内注入适量的水，使烧杯内水面高度均为； 步骤二：向甲烧杯内放入个球和个球，此时烧杯内水面高度为； 步骤三：向乙烧杯内放入个球和个球，此时烧杯内水面高度为； 步骤四：向丙烧杯内放入，两种球若干个，且放入的球的总个数为奇数，此时烧杯内水面高度为． 则向丙烧杯内放入的种玻璃球的个数为      ． 【答案】个  【解析】解：设放入个球水面上升，个球水面上升， 根据题意得：， 解得：， 放入个球水面上升，个球水面上升． 设向丙烧杯内放入个球，个球， 根据题意得：， ， 又，均为正整数， 或或， 又为奇数， ， 向丙烧杯内放入的种玻璃球的个数为个． 故答案为：个． 设放入个球水面上升，个球水面上升，根据步骤二、三，可列出关于，的二元一次方程组，解之可得出，的值，设向丙烧杯内放入个球，个球，根据水面上升的高度为，可列出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，可得出，的值，再结合为奇数，即可确定结论． 本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组二元一次方程是解题的关键． 14.如图，正方形，正方形和正方形摆放在长方形中，，且已知正方形与正方形的面积之和为，则长方形的面积为          ． 【答案】  【解析】此题考查了完全平方公式和几何综合，利用完全平方公式的变形求值，解题的关键是掌握以上知识点． 首先由正方形的性质设，，得到，，表示出，，由得到，然后得到，然后利用完全平方公式的变形求解即可． 【详解】解：正方形，正方形 设， ， ， 正方形 正方形与正方形的面积之和为 长方形的面积为． 故答案为：． 15.定义：关于 的二元一次方程 其中 是常数叫做方程 的“移变方程”例如： 的“移变方程”为 已知常数 满足条件 ，并且 是关于 的二元一次方程 的“移变方程”，则 的取值范围为          ． 【答案】 且  【解析】本题考查了新定义，解二元一次方程组，以及解一元一次不等式，解题关键是理解新定义，并正确求解含参方程． 根据新定义，仿照示例，得到二元一次方程与“移变方程”系数之间的关系，列出不等式组，求出 的范围，并注意二元一次方程的系数不为，即可求解． 【详解】解：根据“移变方程”的定义，知 的移变方程为：  ， 又 也是 的移变方程，  ， 由得， ， 代入，得 ，  ，  ， 解得 ， 又 是二元一次方程，则：  且 ， 解得 且 ， 又 ，  的取值范围为 且 ． 故答案为： 且 ． 16.将，按如图所示摆放，边重合，其中，，，保持不动，将绕点顺时针旋转，在旋转过程中，当          时，的边与的某一边平行． 【答案】或或  【解析】解：因为，，所以  当旋转后的边与平行时，如图，  令与的交点为，  由旋转可知，，  因为，所以，  所以，  所以，  所以，  即； 当旋转后的边与平行时，如图  因为，所以，  所以，  即；  当旋转后的边与平行时，如图，  因为，所以，  所以，即  综上所述，或或． 三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.计算： ； ． 【答案】(1)解： ；   (2)解： ．   【解析】  本题考查了整式乘法的混合运算、平方差公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 利用幂的乘方、同底数幂的乘法运算法则化简，再合并即可；   利用平方差公式、多项式乘多项式的运算法则化简，再合并即可． 18.解方程组或不等式组 解方程组 解不等式组 【答案】(1)解： 得，， 得，， 代入到①得，， 解得：， ∴方程组的解为；   (2)解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为．   【解析】  本题考查了解二元一次方程组和不等式组，熟练掌握相关知识点是解题的步骤． 利用加减消元法解方程组即可；   先求出各不等式的解集，再求出它们的公共部分，即可得到不等式组的解集． 19.本小题分 先化简，再求值：，其中，满足等式． 【答案】解：原式因为，所以所以  【解析】略 20.本小题分 如图，方格纸中每个小正方形的顶点叫做格点，三个顶点都在格点上，利用网格画图． 画出，使与关于直线对称； 画出，使与关于点对称； 画出将绕点按逆时针方向旋转后的图形C. 【答案】解：如图，即为所求； 如图，即为所求； 如图，即为所求．   【解析】根据轴对称的性质作图即可； 根据中心对称的性质作图即可； 根据旋转的性质作图即可． 本题考查作图旋转变换、作图轴对称变换，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质、轴对称的性质是解答本题的关键． 21.本小题分 如图，在中，的平分线交于点，为边上一点，连接． 若，求证：； 若，，求的度数． 【答案】解：平分， ， 又， ， ； 在中，， ， 即， ， ，． 是的外角， ．  【解析】利用角平分线的定义，可得出，结合，可得出，再利用“内错角相等，两直线平行”，即可证出； 在中，利用三角形内角和定理，可求出，结合，可求出及的度数，由是的外角，再利用三角形的外角性质，即可求出的度数． 本题考查了三角形内角和定理、三角形的外角性质、角平分线的定义以及平行线的判定，解题的关键是：利用“内错角相等，两直线平行”，证出；根据各角之间的关系，求出及的度数． 22.本小题分 综合与实践：七年级某学习小组围绕“学校膳食结构”开展主题学习活动．他们发现学校为学生提供的每份早餐包含一份的蔬菜，一份牛肉和一份牛奶．食物的营养成分见表一学校每天为学生提供的午餐有两种套餐见表二，为了平衡膳食，该小组建议学生控制主食和肉类的摄入量，每周每位学生午餐主食的摄入量不超过，午餐肉类摄入量不超过一周按五天计算 若一份早餐包含一份的蔬菜，一份的牛肉和一份的牛奶，则该份早餐中蛋白质总含量为          ； 学校为学生提供的每份早餐的总质量为，每份早餐的蛋白质总含量占早餐总质量的，则每份早餐中牛肉和牛奶食品各多少克； 为平衡膳食，每个学生每周午餐可以选择，套餐各几天？ 表一：食物的营养成分表 食物 蛋白质 碳水化合物 脂肪 蔬菜 牛肉 牛奶 表二：学校每天提供的，两种套餐 套餐 主食 肉类 其他 【答案】(1)27.4  (2)解：设每份早餐中牛肉为克，牛奶食品为克， 由题意得，， 解得：， 答：每份早餐中牛肉为100克，牛奶食品为250克；   (3)解：设每个学生每周午餐可以选择A套餐天，则选择 B套餐天， 由题意得，， 解得：， ∵是整数， ∴， 当时，， 当时，， 当时，， ∴每个学生每周午餐可以选择A套餐2天，B套餐3天，或选择A套餐3天，B套餐2天，或选择A套餐4天，B套餐1天．   【解析】  本题考查了二元一次方程组的应用、不等式组的应用，理解题意正确列出方程组和不等式组是解题的关键． 分别用蔬菜、牛肉、牛奶的质量乘以对应的蛋白质含量占比，再相加即可求解； 解：， 该份早餐中蛋白质总含量为； 故答案为：；   设每份早餐中牛肉为克，牛奶食品为克，根据题意列出方程组，求出的值即可解答；   设每个学生每周午餐可以选择套餐天，则选择套餐天，根据题意列出不等式组，求出的范围，结合是整数，即可解答． 23.本小题分 对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．已知，． 求，的值． 若，求的值． 若关于，的方程组的解也满足方程，求的值． 若关于，的方程组的解为直接写出关于，的方程组的解． 【答案】(1)由题意，得解得  (2)由题意，得x*y+x⊗y＝ax+by+ax-by＝10，即2ax＝10．  因为a＝1，  所以x＝5．  (3)可变形为解得  因为x-y＝6，  所以4+3m-(m-2)＝6，解得m＝0．  (4)由题意，得方程组可化为   所以由题意，易得解得  所以方程组的解为  【解析】 略  略  略  略 24.本小题分 阅读下列材料： 已知，且，，试确定的取值范围． 解：因为，所以又，所以，解得又，所以同理，得由，得，所以的取值范围是． 按照上述方法，完成下列问题： 已知，且，，则的取值范围是          ； 已知关于，的方程组的解都是正数． 求的取值范围； 若，，求的取值范围． 【答案】(1)1＜x＋y＜5  (2)①解方程组得因为 x＞0，y＞0，所以解不等式组，得 a＞1．所以a的取值范围为a＞1．②因为a－b＝4，所以a＝b＋4．由（2）①，得a＞1，所以b＋4＞1，解得b＞－3．又b＜2，所以－3＜b＜2．同理，得1＜a＜6．所以－3＋1＜a＋b＜2＋6，即－2＜a＋b＜8．则a＋b的取值范围为－2＜a＋b＜8．  【解析】  因为，所以又，所以，解得又，所以同理，得由，得，所以的取值范围是．  见答案 25.本小题分 我们已经知道，通过不同方式计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式例如，利用图可得：，基于此，请解答下列问题： 【知识生成】：如图，用个完全相同的长方形它的长为，宽为围成一个正方形，用两种不同的方式表示图中阴影部分的面积由此，可得到等式：______； 【类比应用】：已知长方形的周长为，面积为，设该长方形的长为，宽为，求的值； 【知识迁移】：如图所示，某校计划在一块面积为的长方形空地中划出长方形和长方形，在这两个长方形重叠部分的区域建一个长方形水池其中，，并将长方形和长方形两个区域建为花园，且这两个花园的总周长为，求和的长． 【答案】解：【知识生成】； 【类比应用】根据长宽， 可得， 化简得， 已知面积为，即， 因为， 把，代入可得， 所以； 【知识迁移】设，， 由题意可知， ，即， ， 又， ， 联立可得 解得． 答：和的长分别为、．   【解析】解：【知识生成】大正方形的边长为，小正方形的边长为， 阴影部分面积． 所以可得到等式， 故答案为：； 【类比应用】见答案； 【知识迁移】见答案． 【知识生成】通过求阴影部分面积得到等式； 【类比应用】利用长方形周长和面积公式结合已知等式求解； 【知识迁移】通过设未知数表示长方形的长和宽，根据花园周长和空地面积来求解． 此题考查学生对不同知识板块的综合运用能力，知识综合性强，逻辑清晰． 26.本小题分 在中，，，点为直线上的点． 尺规作图：如图，在边上求作点，使得点关于直线的对称点在射线上，并作出点保留作图痕迹，不写作法； 在的条件下，若为直角三角形，求的度数； 如图，为边上的定点，、关于直线对称，连接，当点在直线上运动时，与的一边平行，请直接写出的度数． 【答案】作的角平分线与的交点为点；以为圆心为半径作圆，交于点；  或  或或或  【解析】解：作的角平分线与的交点为点；  以为圆心为半径作圆，交于点；    当时，点与点重合，  ；  当时，    是的垂直平分线，  ，  ，  ，  ，  ；  综上所述：的大小为或；  当，在上方时，    ，  由折叠可知，  ，  ，  ，  ；  当，在下方时，，    ，  ，  ；  当，在左侧时，    ，  ，  ，  ，  ；  当，在右侧时，    ，  ，  ， ；  综上所述：或或或． 作的角平分线即可；  分两种情况讨论：当时，点与点重合，；当时，；  分四种情况讨论：当，在上方时，；当，在下方时，，；当，在左侧时，；当，在右侧时，． 本题考查轴对称变换，熟练掌握直角三角形的性质，轴对称的性质，平行线的性质是解题的关键． 27.本小题分 若两个角之差的绝对值等于，则称这两个角互为“互优角”即若，则称和互为“互优角”本题中所有角都是大于且小于的角 若和互为“互优角”，当时，则 ______； 如图，将一长方形纸片沿着折叠，点在线段上，点在线段上，使点落在，若与互为“互优角”，求的度数； 再将纸片沿着折叠点在线段或上，使点落在，若与互为“互优角”，则 ______． 【答案】解：或；  设，则， 与互为“互优角”， ， 或； 或或．  【解析】解：和互为“互优角”， ， ， ， 或， 故答案为：或； 见答案； 设，， 如图和图 当在或内时， ， ， 与互为“互优角”， ， 或， 如图， 当在外部时， ， ， ， ， 综上所述：或或， 故答案为：或或． 根据定义得出，从而求得结果； 设，则，根据定义得出，进而求得结果； 设，，当在或内时，，，从而得出方程，进一步得出结果；或，当在外部时，，，可得出方程，进一步得出结果． 本题在新定义的基础上，考查了轴对称的性质，角度的和差计算等知识，解决问题的关键是分类讨论． 第11页，共25页 学科网（北京）股份有限公司 $