精品解析：江西重点中学2025-2026学年高一下学期5月学科素养阶段训练数学试题

江西省重点中学高一年级5月学科素养阶段训练数学试卷 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4.本卷命题范围：北师大版必修第二册第一章~第五章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以z的共轭复数为． 2. 已知向量，若，则（ ） A. -3 B. 0 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】由，得，解得. 3. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】用诱导公式化简然后用两角和的正弦公式合并，然后由特殊角的三角函数求其值，即可解答. 【详解】 . 故选：A. 4. 已知函数的图象的两个相邻对称中心之间的距离为，则（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 12 【答案】B 【解析】 【详解】设的最小正周期为T，由函数的图象的相邻两个对称中心之间的距离为，所以，解得，由，解得 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意知． 6. 若复数z满足（为虚数单位），则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设，则， 所以，解得， 所以． 7. 如图所示，为测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，，则塔高为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理及直角三角形边角关系求解. 【详解】在中，，则， 由正弦定理，得， 在中，，， 则， 所以塔高为. 8. 对任意两个非零向量，，定义新运算：，表示向量，的夹角．若非零向量，满足，向量，的夹角，且是整数，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，知， 因为，所以 ，， 因为 ，所以，因此， 因为是整数，所以 ，故，， 而 ，即 ，即，所以， 因为 ，，所以，即， 故的取值范围为． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为复数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则或 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据复数的性质、共轭复数的概念、复数的乘除、模的计算等对每个选项逐一判断即可. 【详解】取，，满足，而虚数不能比较大小，故A错误； 由，知是的共轭复数，则，故B正确； 设，，则， 则即，于是，若， 则成立，此时； 若，，由知；由知：，此时； 同理当时，；若，由得， 则，此时；因此若，则或，故C正确； 取，，满足，而，故D错误． 故选：BC. 10. 已知中，角、、的对边分别为，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若是直角三角形，则 D. 若是锐角三角形，是线段上一点，则的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用余弦定理计算可判断A；结合正弦定理与三角恒等变换可判断B；由已知可得，计算可求得，可判断C；利用平面向量数量积的运算性质和二次函数的基本性质可判断D选项. 【详解】由，得，由余弦定理得， 即，故A正确； 由及正弦定理，得，即， 所以，即， 所以，故B错误； 由上知，所以均不为直角，进而，则， 代入，得．因为为锐角，所以，， 所以，所以，故C正确； 过作，则．又在之间运动时，与的夹角为钝角， 因此要求的最小值，应在之间运动，即， 又， 当时，取最小值为，故D错误． 故选：AC． 11. 已知，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最小值为4 C. 的最小值为1 D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】因为，， 所以， 整理得，同除，得， 由，故，，所以，故A正确； 因为，解得， 当且仅当时等号成立，故B正确； ， 又，所以根据对勾函数单调性知，故C错误； ，由，知， 所以，所以，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 复数的虚部是________. 【答案】 【解析】 【分析】直接利用复数的乘除运算法则化简即可. 【详解】因为，所以其虚部为. 故答案为： 【点睛】本题主要考查复数的乘除运算及复数的概念，考查基本运算能力，属于基础题. 13. 已知向量在向量上的投影向量为，若，则______. 【答案】1 【解析】 【分析】根据题意，化简得到，结合向量运算法则，即可求解. 【详解】因为向量在向量上的投影向量为，所以， 所以，所以， 因为，可得，所以. 14. 已知函数在上单调递增，且在上有且仅有1个零点，则的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由，求出的范围，结合正弦函数的单调性可求出，再由，求出的范围，结合正弦函数的零点可求. 【详解】当时，， 由在上单调递增，结合正弦函数的单调性可得， 解得． 当时，， 因为，所以， 又在上有且仅有1个零点，所以或， 解得或． 则的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数. （1）若在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围； （2）当时，是关于的方程的一个根，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，再解一元二次不等式组即可； （2）将复数代入方程即可. 【小问1详解】 因为复数在复平面内对应的点位于第四象限，则， 解得，即的取值范围是. 【小问2详解】 当时，， 因为是关于的方程的一个根，所以， 即，整理得， 所以，解得， 即的值为，的值为. 16. 已知为锐角，且． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据诱导公式对原式化简，结合求解即可； （2）利用二倍角公式对原式化简，结合和同角三角函数基本关系式求解和，进而求解. 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 ， 又，所以，则， 故． 17. 如图，在中，，，．点D，E分别为边AC上的三等分点，点M满足，设，． （1）用，分别表示向量，； （2）求； （3）求的大小． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量的线性运算，结合和为三等分点的条件，将用表示，再通过向量加法得到和. （2）先由已知条件计算 和，再利用向量模长公式计算 . （3）利用向量夹角公式，先计算和，再求出 ，进而得到 . 【小问1详解】 因为，所以，， 因为点D，E分别为边AC上的三等分点，所以，， 所以，． 【小问2详解】 由可知，的夹角为， 所以， 由（1）知，， 所以. 【小问3详解】 由图形可知，的大小等于与的夹角， 由（1）（2）可得，， ， 所以， 又，则，故． 18. 已知函数． （1）求的最小正周期和单调递增区间； （2）若任意的，均满足，求a的取值范围； （3）设函数，求证：函数有且只有一个零点． 【答案】（1）最小正周期为，单调递增区间为 （2） （3） ，， 当时，单调递增， ， ， 所以在上有唯一零点； 当时，， ，所以，无零点； 当时， ，，所以，无零点． 综上，函数有且只有一个零点． 【解析】 【分析】（1）先利用三角恒等变换将 化为，再根据正弦型函数的周期公式和单调性求解. （2）先求出 时的值域，再将不等式转化为关于的不等式组求解. （3）先化简，再分区间讨论的符号与单调性，结合零点存在性定理证明其仅有一个零点. 【小问1详解】 由题意知 ， 所以的最小正周期． 令，， 解得，， 即的单调递增区间为． 【小问2详解】 因为，所以， 所以． 因为，所以 ， 所以，解得， 即a的取值范围是． 【小问3详解】 略 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角，，所对边分别为，，，且，点为的费马点． （1）求证：是直角三角形； （2）若的面积为，且，求的值； （3）求的最小值． 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式，结合正弦定理边角互化即可求解. （2）根据面积公式可求解，进而根据正弦定理可得，由和差角公式化简即可求解. （3）由余弦定理求解长度，结合勾股定理可得，即可利用不等式求解. 【小问1详解】 由，得， 即，由正弦定理得， 所以是直角三角形. 【小问2详解】 由（1）知， 的面积为，则， 所以在中，， 所以， 由P为的费马点，得， 设，则，， 在中，由正弦定理得， 即， 在中，由正弦定理得，则， 因此，整理得，即， 所以，即. 【小问3详解】 由P为的费马点，得， 设，则， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 由，得， 化简得，又，则，当且仅当时取等号， 整理得，因此，或（舍去）， 所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省重点中学高一年级5月学科素养阶段训练数学试卷 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4.本卷命题范围：北师大版必修第二册第一章~第五章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，若，则（ ） A. -3 B. 0 C. 3 D. 4 3. （ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的图象的两个相邻对称中心之间的距离为，则（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 12 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 若复数z满足（为虚数单位），则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，为测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，，则塔高为（ ） A. B. C. D. 8. 对任意两个非零向量，，定义新运算：，表示向量，的夹角．若非零向量，满足，向量，的夹角，且是整数，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为复数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则或 D. 若，则 10. 已知中，角、、的对边分别为，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若是直角三角形，则 D. 若是锐角三角形，是线段上一点，则的最小值为 11. 已知，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最小值为4 C. 的最小值为1 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 复数的虚部是________. 13. 已知向量在向量上的投影向量为，若，则______. 14. 已知函数在上单调递增，且在上有且仅有1个零点，则的取值范围为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数. （1）若在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围； （2）当时，是关于的方程的一个根，求实数的值. 16. 已知为锐角，且． （1）求的值； （2）求的值． 17. 如图，在中，，，．点D，E分别为边AC上的三等分点，点M满足，设，． （1）用，分别表示向量，； （2）求； （3）求的大小． 18. 已知函数． （1）求的最小正周期和单调递增区间； （2）若任意的，均满足，求a的取值范围； （3）设函数，求证：函数有且只有一个零点． 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角，，所对边分别为，，，且，点为的费马点． （1）求证：是直角三角形； （2）若的面积为，且，求的值； （3）求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $