江西吉安市四所省重点中学2024-2025学年高一下学期第二次联考数学试卷

**基本信息** 江西吉安市重点中学高一下学期联考数学试卷，聚焦复数、三角函数、解三角形、向量核心知识，通过解答题分层设问（如第19题解三角形与面积最值）和多选题综合判断（如第9题三角函数图像性质），考查数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数虚部、三角函数互化|基础巩固，如第1题复数概念辨析| |多选题|4/20|三角函数图像、向量坐标运算|能力提升，如第9题结合图像判断性质| |填空题|4/20|向量投影、扇形面积、复数几何意义|创新应用，如第14题复数轨迹求最值| |解答题|6/70|解三角形、向量应用、三角恒等变换|综合探究，如第19题分层求角与面积最大值|

江西吉安市四所省重点中学2024-2025学年高一下学期第二次联考数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知i为虚数单位，复数，复数的虚部为（    ） A．1 B．3 C．i D． 2．将改写成的形式是（    ） A． B． C． D． 3．在中，若，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 4．已知平行四边形的两条对角线交于点，，则（    ） A． B． C． D． 5．在中，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 6．已知，，且，，则为（    ） A． B． C． D．或 7．在平行四边形中，E为边上的动点，O为外接圆的圆心，，且，则的最大值为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 8．在四边形中，设的面积为，的面积为，，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．若函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B．直线是函数图象的一条对称轴 C．不等式的解集为 D．当，满足，则 10．已知点为坐标原点，点，下列说法正确的是（    ） A．若向量与同向，，则点的坐标为 B．若，且，则向量的坐标为 C．若，，则 D．若，且与的夹角为锐角，则实数的值的取值范围为 11．已知函数，则（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数的最大值为2 C．函数关于对称 D．函数在区间上单调递增 三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 12．若非零向量，的夹角为，且，，则在上的投影向量为__________． 13．已知扇形的圆心角为弧度，周长为10，则该扇形的面积为___________． 14．已知，若，则的最小值为__________. 四．解答题：本题共6小题，17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知复数． (1)若为纯虚数，求的值； (2)若为实数，求的值； (3)若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围． 16．已知为锐角，为钝角，且． (1)求的值； (2)求的值． 17．在平面直角坐标系中，已知，，，． (1)的平分线与交于点，求点的坐标． (2)若，为与的交点． ①若，求；②求的最小值． 18．在中，内角，，的对边分别为，，．已知. (1)求角的值； (2)若，的面积为，求的值； (3)若，，求的值. 19．在中，，为边上两点，，，． (1)若，，，用，，的三角函数值表示的值； (2)若，，求的值； (3)若，． ①求的值； ②求面积的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 联考数学试卷答案与解析 一、单选题 1．B ∵，∴复数的虚部为3.故选：B. 2．D 根据角度制与弧度制的互化公式，可得．故选：D. 3．C 设三边所对的角分别为，对于A，由，则，再由正弦定理得，故A正确；对于B，因为，由余弦函数的单调性知，故B正确；对于C，当时，满足，但，故C错误；对于D，由A知，，所以， 又，，，故D正确．故选：C． 4．D 由图可得：，故选项A错误；，故选项B错误；，故选项C错误；，故选项D正确.故选：D. 5．A 因为，由余弦定理得，解得，舍去，则的面积为.故选：A. 6．A 因为，，所以，由同角三角函数的基本关系得，由两角和的正切公式得，而，，可得，故，因此．故选：A. 7．C 由可知O为的中点，又因为O为外接圆的圆心，所以为直角三角形，，所以，又因为所以所以，又因为E为边上的动点，所以，，因为，所以即，所以的最大值为6.故选：C 8．B 在中，由余弦定理，，因为 ， 所以，即，又因为，所以．设，因为，， 则，， ，在中，由正弦定理，，即，在中，由正弦定理，，即，又，所以，所以，所以，即，因为，所以，所以， 所以 ，，因为，所以．故选：B. 二、多选题 9．ABD 由图象知，最小正周期为，则，将代入中，得，得，，又，则，所以该函数的解析式为． 对于A，，知A正确；对于B，由的对称轴为，，得，，取时，直线是函数图象的一条对称轴，知B正确；对于C，由，则，即，，解得，，所以该不等式的解集为，，知C错误；对于D，根据函数的解析式画图如下，由，满足，则，所以，知D正确．故选：ABD. 10．AC 对于A，向量与同向，所以，，又，所以，所以，又，所以，知A正确；对于B，若，且 ，则向量的坐标为或，知B错误； 对于C， ，所以，知C正确；对于D，若，且与的夹角为锐角，则与夹角为锐角，所以，且 ，，知D错误．故选：AC． 11．ABD 函数，所以函数的最小正周期为，最大值为，知A、B正确；当时，，不是最值，知C错误；当时，，因为余弦函数在上单调递增，知D正确.故选：ABD. 三、填空题 12．，所以，所以在上的投影向量为.故填. 13． 根据题意，扇形的圆心角为弧度，周长为10，设扇形的半径为，弧长为，面积为，则，解得，，所以，扇形的面积.故填. 14． 设，，，因为， 所以，所以复数在复平面对应的点的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 所以表示到原点的距离，则最小值为.故填. 四、解答题 15．(1);(2)或;(3). 解:（1）由复数，因为复数为纯虚数，可得，解得． （2）由复数为实数，可得，解得或． （3）由复数在复平面内对应的点位于第二象限，则满足，解得，即的取值范围为． 16．(1);(2). 解：（1）因为，则. （2）因为为锐角，，可得，由，可得， 所以，则，又因为，所以，而，可得，所以，则. 17．(1)；(2)①；②. 解：（1）由题意可得，所以，由角平分线定理可知， 所以，故点. （2）①因为为中点，所以，，， 则，，，所以； ②设，则，故，此为关于的二次函数，对称轴为，即当时，取得最小值． 18．(1)；(2)；(3). 【分析】（1）在中，由及正弦定理可得，再利用余弦定理即可求解；（2）由（1）知，根据三角形面积公式可解出的值.再结合及完全平方公式可得，代入题中条件即可求解；（3）由，利用辅助角公式可解出的值，利用三角形内角的关系可得的值，利用正弦定理即可求解. 解:（1）在中，，∴由正弦定理得，化简得，∴由余弦定理可得.又，所以. （2）由（1）知.因为的面积为，解得.由（1）可得，所以，即，所以，解得（舍去）. （3）由（1）知.由，得.因为，所以，所以，即.，由正弦定理可知. 19．(1);(2);(3)①；②27. 【分析】（1）利用正弦定理，先在中根据正弦定理求出EA，再在中用正弦定理求出EB，进而得到DE；另一种方法是通过，结合正弦定理求出BC从而得到DE．（2）先在用余弦定理得出，再根据判断是正三角形．过作DE垂线，利用正三角形性质得到，最后根据正切定义表示出与，求出比值．（3）通过已知条件得出边的比例关系，再利用三角形三边关系确定边的取值范围，进而求出三角形面积的表达式，最后根据二次函数性质求面积最大值． 解:（1）在中，由正弦定理得：，，在中由正弦定理得：， ，．法二：． （2）在中，由余弦定理得，在中，，所以为正三角形，过作的垂线，垂足为，，，则． （3）由，，，，所以， ，两式相乘得，所以； 设，则，由，解得，在中，， 则，，由，得，当时，面积的最大值为27． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $