第四章 三角形 第7节 解直角三角形及其应用 同步练习题 2026年中考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦解直角三角形实际应用，以题载知构建从基础计算到复杂模型的知识逻辑链 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |例题精炼|16题（6单选+10解答）|含坡度、仰角俯角、航海测量等实际场景题|从三角函数概念应用到构建直角三角形模型，强调几何直观与空间观念| |A组基础达标|14题（3单选+11解答）|以生活实践问题为主，如遮阳棚、无人机测量等|通过真实情境发展模型意识，训练运算能力与推理能力，体现数学应用价值|

第四章 三角形 第7节 解直角三角形及其应用 同步练习题 2026年中考数学一轮复习 【例题精炼】 一、单选题 1．如图，中，为BC的中点，于点与相交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三线合一，解直角三角形，根据三线合一可得，，导角得到，根据得到，即可得出结果． 【详解】解：∵为BC的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，，在中，， ∴； 故选B． 2．如图，小丽从点出发，沿坡度为的坡道向上走了120米到达点，则她沿垂直方向升高了（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．如图（见解析），根据可得的长，由此即可得． 【详解】解：如图，由题意得：，米， ∴， ∴米， 即她沿垂直方向升高了米， 故选：D． 3．在中，，则的长为（   ） A．1 B．2 C． D．5 【答案】C 【分析】根据直角三角形中正切函数的定义，结合已知条件求出的长．本题主要考查直角三角形中锐角三角函数的定义，熟练掌握正切函数的定义（为锐角，对边是，邻边是 ）是解题的关键． 【详解】解：在中，， ，， ∴ ． ∴ ． 故选：． 4．老师带领数学小组仅用测角仪和皮尺测量某桥外侧拱顶离水面的高度．如图，拱顶离水面的高度为，点，是水平地面上两点，且与点，均在同一竖直平面内．已知水平地面离水面的高度为2米，测角仪支架高度为1.5米，为达成目的，还需测量的数据是（   ） A．的长，的度数 B．的长，的度数 C．的长，的度数 D．的长，的度数 【答案】D 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用——仰角俯角问题，根据题意构造出直角三角形是解答此题的关键．设，．，．，．则．，若已知的长，设，则，代入可解得，进而求得，最终得到． 【详解】解：由题意可得，测角仪水平视线到水面的高度为米，即3.5米， 因此，要求只需先求． 设，． 在中，， 则． 在中，， 则． 所以． 又因为是地面上两点的距离，且与测角仪测量点在同一水平线上，测角仪支架高度相同， 所以， 若已知的长，设，则，代入可解得， 进而求得，最终得到． 综上，需要测量、，这样就能通过解方程组求出，从而得到． 选项中的长和的度数，无法直接求EH，也无法建立两个方程求解： 选项缺少，无法联立方程组： 选项中的长已知则无需，但实际测量中无法直接得到； 选项中的长、的度数，符合上述分析，通过两个仰角和两点距离可求解，进而得到． 故选：D 5．如图，是的弦，过圆心O作于点H，交于点A，，点M是上异于C，D的一点，连接，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查勾股定理，圆周角定理，垂径定理的应用以及求角的正弦值，关键是根据垂径定理和勾股定理解答． 只要证明，求出即可． 【详解】解：连接，如图， 是的弦，， ， ， ， 和所对的弧都为， ， ， 设， ，， ，， ， ． 故选：B． 6．在中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查锐角三角函数的定义．根据锐角三角函数定义直接进行解答，即可． 【详解】解：∵在中，， ∴． 故选：B 二、解答题 7．为了夏天能最大限度地遮挡炎热阳光，冬天能最大限度地使温暖的阳光射入室内，很多家庭都会选择安装遮阳棚．小强家也在墙上安装了一伸缩式遮阳棚，已知一楼墙高为． (1)如图2，墙上有一扇窗户（），某日正午，为了使阳光能最大限度的射入室内，需要将遮阳棚收缩，收缩后遮阳棚的宽度为，此时______． (2)如图3，另一日正午，当遮阳棚完全展开后，太阳光与地面的夹角，被遮挡形成的阴影，则展开后的遮阳棚______．（参考数据：，，） (3)小强的爸爸准备将房后一块长，宽的矩形荒地改造成花园，花园的中间有两条宽度相同的小路（如图4），并且小路所占面积为荒地面积的一半，设小路的宽为，求x的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先计算，根据，求解即可． （2）过点作于点M，则四边形是矩形，根据，求解即可． （3）设小路的宽为，根据题意，得，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 的宽度为， ， ． （2）解：过点作于点M， 则四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ． （3）解：设小路的宽为， 根据题意，得， 整理，得， ， 解得，（大于16，舍去）， 答：小路的宽为． 8．五一假期，小良家准备购买一套新楼房，要求楼层是一楼，位置在第二排，冬天采光不受第一排的影响．以下是小良和爸爸看房后完成的调查报告，请你根据报告中的信息，解决两个问题． 调查目的 居民楼一楼采光是否受到影响 调查数据 ①五一正午测得楼房影子的长度为，楼间距为，太阳光线与水平线的夹角为． ②一楼窗户下端距离地面的高度为． ③该小区冬至正午的太阳光线与水平线的夹角为，第一排楼房的影子会落在第二排楼房的墙上． 建立模型 小良同学根据调查数据画出了数学图形．如图， ，，，， ，．    测量工具 卷尺 参考数据     ，，，． 问题解决 （1）根据调查数据，请你计算楼房AB的高度（精确到）； （2）计算在冬至正午第一排楼房影子落在第二排楼房墙上的高度DE，并判断会不会影响一楼的采光（精确到）．    【答案】（1）； （2），不会影响一楼的采光 【分析】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键． （1） 根据正切的定义求出； （2）延长交延长线于点F，先根据正切的定义和的长求出，进一步求出，再使用一次正切的定义求出，根据结果进行判断即可． 【详解】解：（1）根据题意，得， 在Rt中，，，， ∵， ∴， ∴楼房的高度为； （2）如图，延长交的延长线于点F， ∵， ∴ 在Rt中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在Rt中， ∵一楼窗户下端距离地面的高度为， ∴不会影响一楼的采光． 9．如图，在中，，以为直径作交于点，过点作，垂足为，延长交的延长线于点． (1)求证：为的切线； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查的是切线的判定和性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形． （1）连接，根据圆周角定理得到，推出，根据等腰三角形三线合一得，根据三角形的中位线可得，所以得，从而根据切线的判定可得结论； （2）证明，求出，再证明，求出，利用正弦的定义即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， 是的直径， ， ， ， ，即点D为中点， ，即点O为中点， ， ， ， 是的半径， 是的切线． （2）解：由（1）知， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∵， ， ∴，即， ∴（负值舍去）， ∴． 10．【活动背景】 如图，建筑物、的高度不可直接测量．为测量建筑物、的高度，技术员小李用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在C处测得D点的俯角为，测得B点的俯角为． 【问题解决】 (1)请运用技术员小李提供的数据求出建筑物、的高度（结果保留整数）；（参考数据：，，，，，） (2)请再设计一种测量建筑物、高度的方案（建筑物的宽度忽略不计），画出平面示意图，把应测数据在示意图中用字母标记出来，并用含字母的式子表示出建筑物、的高度．（可提供的测量工具：皮尺、测角仪） 【答案】(1)建筑物的高度约为，建筑物的高度约为； (2)图见解析，建筑物的高度为，建筑物的高度为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数是解题关键． （1）过点作于点，则四边形是矩形，由题意可知，，，，在直角三角形中，利用正切值求解即可； （2）画出示意图，用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在A处测得D点的仰角为，在B处测得C点的仰角为．再利用正切值求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，则四边形是矩形， 由题意可知，，，， ，， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 答：建筑物的高度约为，建筑物的高度约为； （2）解：平面示意图如下： 用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在A处测得D点的仰角为，在B处测得C点的仰角为． 在中，， 在中，， 11．暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山．他们从山底A处出发，先步行到达B处，再从B处坐缆车到达山顶C处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的高度，A，B，C，D在同一平面内． (1)求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）； (2)求缆车的行驶路线的长（结果取整数）．（参考数据：，，；，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用---坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）过点作于，根据正弦的定义求出； （2）过点作于，根据矩形的性质求出，进而求出，再根据正弦的定义计算即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于， 在中，，m， 则m， 答：小明一家步行上升的垂直高度约为； （2）解：如图，过点作于， 则四边形为矩形， ， ， ， 在中，， 则， 答： 缆车的行驶路线的长约为． 12．小伟和小华想用所学数学知识测量小河的宽．测量示意图如图所示，他们在河边的山坡上的点处安装测角仪，测得河对岸点的俯角为与的夹角为，又测得点与河岸点之间的距离为．已知，点在同一平面上，点在同一水平直线上，且．求河宽．（精确到）（参考数据：，，，） 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，掌握相关知识是解决问题的关键．延长交于点，则，在中，利用的三角函数可求，则可求，进而在中利用三角函数值可求， 则可求． 【详解】解：如解图，延长交于点，则， 在中，， ，， ， 在中，， ， ， 河宽约为． 13．现有一台红外线理疗灯（如图-1所示），该设备的主体由底座、立柱、伸缩杆和灯臂组成，、、三点在同一直线上，图-2是该设备的平面示意图．垂直于，与水平线平行，与的夹角为，与的夹角为．经测量：为，为，为，，． (1)填空： ， ； (2)已知点到的距离为时，该设备使用效果最佳．求此时伸缩杆的长度．（参考数据：，，，） 【答案】(1)64；53； (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． （1）过点C作，根据平行线的判定和性质求角度即可； （2）过点D作，过点E作，利用矩形的判定得出四边形为矩形，四边形为矩形，再结合图形，利用三角函数求解即可． 【详解】（1）解：过点C作， ∵垂直于， ∴， ∴， ∵与水平线平行， ∴， ∴， ∴， 故答案为：64；53； （2）解：过点D作，过点E作，如图所示： ∴四边形为矩形， 同理得：四边形为矩形， ∴， ∵为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 14．木兰灯塔是亚洲最高、世界第二高的航标灯塔，位于海南岛的最北端，是海南岛东北部最重要的航标．某天，一艘渔船自西向东（沿方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，如图所示．    航行记录记录一：上午8时，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的A处． 记录二：上午8时30分，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的B处． 记录三：根据气象观测，当天凌晨4时到上午9时，受天文大潮和天气影响，琼州海峡C点周围5海里内，会出现异常海况，点C位于木兰灯塔P北偏东方向． 请你根据以上信息解决下列问题： (1)填空：________，________， ________海里； (2)若该渔船不改变航线与速度，是否会进入“海况异常”区，请计算说明． （参考数据：） 【答案】(1)30；75；5 (2)该渔船不改变航线与速度，会进入“海况异常”区 【分析】本题主要考查了方位角的计算，解直角三角形的实际应用，三角形内角和定理： （1）根据方位角的描述和三角形内角和定理可求出两个角的度数，根据路程等于速度乘以时间可以计算出对应线段的长度； （2）设海里，先解得到，再解得到海里，海里，据此可得，解得海里；证明，则海里；再求出上午9时时船与C点的距离即可得到结论． 【详解】（1）解：如图所示，过点P作于D， 由题意得， ， ∴； ∵一艘渔船自西向东（沿方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，上午8时从A出发到上午8时30分到达B， ∴海里． （2）解：设海里， 在中，海里， 在中，海里，海里， ∵， ∴， 解得， ∴海里， ∵， ∴， ∴海里； 上午9时时，船距离A的距离为海里， ∵， ∴该渔船不改变航线与速度，会进入“海况异常”区． 15．如图，一艘轮船在处测得灯塔位于的北偏东方向上，轮船沿着正北方向航行20海里到达处，测得灯塔位于的北偏东方向上，测得港口位于的北偏东方向上．已知港口在灯塔的正北方向上．    (1)填空： 度， 度； (2)求灯塔到轮船航线的距离（结果保留根号）； (3)求港口与灯塔的距离（结果保留根号）． 【答案】(1)30，45 (2)灯塔到轮船航线的距离为海里 (3)港口与灯塔的距离为海里 【分析】（1）作交于，作交于，由三角形外角的定义与性质可得，再由平行线的性质可得，即可得解； （2）作交于，作交于，由（1）可得：，从而得到海里，再由进行计算即可； （3）作交于，作交于，证明四边形是矩形，得到海里，，由计算出的长度，证明是等腰直角三角形，得到海里，即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，作交于，作交于，   ，， ， 都是正北方向， ， ， ， 故答案为：30，45； （2）解：如图，作交于，作交于，   ， 由（1）可得：， 海里， 在中，，海里， 海里； 灯塔到轮船航线的距离为海里； （3）解：如图，作交于，作交于，   ，，，、都是正北方向， 四边形是矩形， 海里，， 在中，，海里， 海里， 在中，， 是等腰直角三角形， 海里， 海里， 港口与灯塔的距离为海里． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义与性质，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，构造直角三角形是解题的关键． 16．无人机在实际生活中应用广泛．如图8所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼楼顶D处的俯角为，测得楼楼顶A处的俯角为．已知楼和楼之间的距离为100米，楼的高度为10米，从楼的A处测得楼的D处的仰角为（点A、B、C、D、P在同一平面内）． (1)填空：___________度，___________度； (2)求楼的高度（结果保留根号）； (3)求此时无人机距离地面的高度． 【答案】(1)75；60 (2)米 (3)110米 【分析】（1）根据平角的定义求，过点A作于点E，再利用三角形内角和求； （2）在中，求出DE的长度再根据计算即可； （3）作于点G，交于点F，证明即可． 【详解】（1）过点A作于点E， 由题意得： ∴ （2）由题意得：米，． 在中，， ∴， ∴ ∴楼的高度为米． （3）作于点G，交于点F， 则 ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴（AAS）． ∴． ∴ ∴无人机距离地面的高度为110米． 【A组基础达标】 一、单选题 1．如图，在中，，，，点是边上的一个动点，过点作交直角边于点，设为，的面积为，则下列图象中，能表示与的函数关系的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形的计算、二次函数图象、勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 由题意知，点是与直角边的交点，分三种情况讨论：①当点与点重合或②当点在上（不与重合）③当点在上（不与重合），利用锐角三角函数的定义求出长，进而求出，结合选项的图象进行判断即可． 【详解】解：在中，，， ， ， 由题意知，点是与直角边的交点，分三种情况讨论： 当点与点重合时，，即， 在中，， 、， ， ②当点在上（不与重合），即时， 在中，、， ， ， ， 该部分函数图象开口向上； ③当点在上（不与重合），即时， 、， ， 在中，， ， ， ， 该部分函数图象开口向下； 综上所述，当点在上（不与重合），即时，函数图象是开口向上的抛物线，当点在上（不与重合），即时，函数图象是开口向下的抛物线，当点与点重合时，即时，， 故选：A． 2．在广场上矗立着一尊铜像．某校数学兴趣小组利用热气球开展综合实践活动，测量铜像的高度．如图，在点处，探测器显示，热气球到铜像底座底部所在水平面的距离为，从热气球看铜像顶部A的俯角为，看铜像底部的俯角为．已知底座的高度为，求铜像的高度为（    ）（结果保留整数．参考数据：，，，） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】C 【分析】本题考查三角函数的实际应用——测量高度，根据题意可得，从而求出，再求出即可求解． 【详解】解：由题意得：，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴三角形是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴铜像的高度是； 故选：C． 3．定滑轮能改变力的方向，使得施力方向转变为容易出力的方向．某班“综合与实践”小组的同学在课余时间测量“定滑轮距地面的高度”．如图，点O处放置一定滑轮，点A，B，，C，，O均在同一竖直平面内，在点B处测得定滑轮O的仰角为，小组成员站在A处，拉动绳子，使得物体移动至点处，在点处测得定滑轮O的仰角为，物体从点B移动到点处绳子收回的长度为，已知物体的高度．则定滑轮O距地面的高度（定滑轮自身高度忽略不计）为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用（仰角问题），解题的关键是通过作辅助线，利用解直角三角形求解． 过点O作交的延长线于点D，延长交于点E，，根据题意，在中，，在中，求得，利用求解，最终求解出的长度． 【详解】如解图，过点O作交的延长线于点D，延长交于点E， 根据题意，得，在中， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∵绳子收回的长度为， ∴，解得， ∴， 故定滑轮O距地面的高度为． 故选：C． 二、解答题 4．综合与实践．在数学活动课中，老师组织同学们分小组测量学校旗杆的高度（学校旗杆底部有基座，经测量，基座高于运动场水平面米）确定以下两种测量方案． 课题 测量学校旗杆高度 成员 组长：××  组员：×××，×××，××× 测量方案 标杆方案 测角仪方案 测量示意图 卷尺、标杆    卷尺、可调节支架的测角仪    实施过程 ①选取运动场与旗杆相距一定距离的处； ②在处站直看旗杆顶，调整标杆位置，使标杆顶点与旗杆顶点在同一视线上； ③测量，的距离，测量人眼到地面高度、标杆的长度． ①在运动场与旗杆底部相距一定距离的处，调整测角仪支架高度，使与旗杆底部位于同一水平高度； ②测量旗杆顶的仰角； ③沿方向前移至处，再次测量杆顶的仰角； ④测量距离． 测量数据 ①；②； ③；④． ①；②； ③． 备注 ①图上所有点均在同一平面内； ②，均与地面垂直； ③旗杆底部基座与运动场的高度差． ①图上所有点均在同一平面内； ②参考数据：，，． (1)任务一：说明以上两种方案各自运用的数学知识：“标杆方案”运用的知识是_________，“测角仪方案”运用的知识是_________．（请在下列选项中选择一个填入横线中） ①全等三角形；②相似三角形；③锐角三角函数；④勾股定理． (2)任务二：根据以上测量结果，任意选择一种方案，计算旗杆的高度（结果精确到），并说明你选择该种方案的理由． 【答案】(1)②，③ (2)选择方案一，理由为测量工具较简单，方便；的高度约为 【分析】（1）“标杆方案”测量出各边的长度，利用相似三角形对应边成比例的性质求出旗杆的高度；“测角仪方案”测量出角的度数，利用三角函数表示出各边的长度，列方程求出旗杆的高度； （2）分别用两种不同的方案计算出旗杆的高度． 【详解】（1）解：测量出①，②，③，④， 可得：，， ， 根据可证， ， 根据对应边成比例求出的高度， 再根据旗杆的高度为求出结果， “标杆方案”运用的知识是②相似三角形； 测出的度数， 可知， 测出， 可知， ， 根据， 可以求出的高度， 根据旗杆的高度为求出结果， “测角仪方案”运用的知识是③锐角三角函数； （2）解：选择方案一，理由为测量工具较简单，方便， 如图： 由题意得：，，， ，， ， ， ， ， ， ，即， 解得：， ， 答：旗杆的高度约为； 选择方案二，理由为测量较准确， 由题意得：，， 设， ，， ， 在中，，， ，即， 解得（米）， 答：旗杆的高度约为米． 5．某兴趣小组想利用测角仪测量一古塔的高度.如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点E，C，A在同一条水平直线上．图中所出现的点均在同一平面内.该兴趣小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为． (1)求的长； (2)求塔的高度．（取0.5，取1.7，结果取整数）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据含角的直角三角形的性质求解即可； （2）过点作交于点，则得到矩形，根据，可设设，，，在中，利用锐角三角函数求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴； （2）解：过点作交于点， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴设，则，， 则在中，，解得， 故． 答：塔的高度约为11米． 6．九年级学生王强想测量他家楼下的一棵椰子树的高度．由于椰子树周边有花坛，无法直接到达椰子树底部进行测量，班级数学学习小组结合实际情况完成了如下调查报告． 调查目的 测量王强家楼下的一棵椰子树的高度． 调查数据 ①经查阅资料，该住宅楼的高度为； ②在住宅楼顶端，利用无人机辅助测量，观测到椰子树顶端的俯角为； ③某一时刻太阳光下，测得住宅楼在地面的影长为，且椰子树顶端在地面的影子距住宅楼的水平距离为． 建立模型 根据调查数据，画出数学图形．如图，点，，，，在同一条直线上，，，，，．    测量工具 卷尺、测角仪器、无人机 参考数据 ，，． (1)________度，________度； (2)求椰子树的高度（结果精确到）． 【答案】(1)38，45 (2) 【分析】（1）由俯角得，由，得是等腰直角三角形，从而得到； （2）由光线平行得，设，作垂线构造直角三角形，用列方程求解． 【详解】（1）解：∵在住宅楼顶端，观测到椰子树顶端的俯角为， ∴， ∵，，即， ∴是等腰直角三角形， ∴； （2）过点作交的延长线于点，如图： 由（1）知， ∵同一时刻太阳光线平行， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 即， 解得：， 答：椰子树的高度约为． 【点睛】利用平行转化角度，借等腰三角形等量代换，设未知数列三角函数方程是本题的关键． 7．如图1，山坡的坡角为，小明在距山脚点米的点测得山顶的仰角，请帮助小明解决下列问题：（，，，） (1)求山顶到山脚的距离． (2)如图2，若在山脚距离米处有一与地面垂直的索道，为索道的支架，在山坡上还有若干个索道支架（索道支架都与地面垂直），山坡上顶端处的支架为．已知支架之间的钢索，钢索与地面平行，米，米，求点距离地面的高度． 【答案】(1)米 (2)点距离地面的高度为米 【分析】（1）过点作，垂足为，由可设米，则米，推出米，在中，由三角函数列方程求出，即可求解； （2）过点作，垂足为，延长交直线于点，延长交于点，在中，根据三角函数求出米，进而求出米，在中，根据三角函数求出米，由（1）可知，米，即可求解． 【详解】（1）解：如图1所示，过点作，垂足为， 在中，， ， 设米，则米， 米， 在中，， ， 解得：， ， 山顶到山脚的距离米； （2）如图2所示，过点作，垂足为，延长交直线于点，延长交于点． ， ， 在中，， ， ， 即米， 米，米， 米， 米， 由作图可知，四边形为平行四边形， 米， ， ， 在中，， ， ， 米， 由题意可知，四边形为矩形． 由（1）可知，米， （米）， 点距离地面的高度为米． 8．综合与实践：探究遮阳伞下的影子长度． 素材1：图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图．已知支架长为米，且垂直于地面，悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径米．当伞面完全张开时，点D、E、F始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直． 素材2：某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）参照表： 时刻 12点 13点 14点 15点 16点 17点 太阳高度角（度） 90 75 60 45 30 15 素材3：小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面距离）约为1米，如图2，小明坐的位置记为点． (1)【任务1】某一时刻测得米， ①请直接写出__________； ②请求出此时影子的长度； (2)【任务2】这天14点，小明坐在离支架3米处的点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？请你说明理由． 【答案】(1)①；②米 (2)小明会被照射到；理由见解析 【分析】（1）①过作于，结合等腰三角形的性质与勾股定理可得，进一步可得答案； ②先过点作于点，过点作于点，再求出，从而结合，可证，最后利用三角函数即可得出的长度； （2）过点作交于点，在中，米米，可得米，在中，米，在中，米，在中，当时，米，进一步求解即可． 【详解】（1）解：①如图，过作于，而， ， ， ， 故答案为：； ②如图，过点作于点，过点作于点， 结合题意可得：四边形为矩形， ， ， ， ， ， 由条件可知米， 在中，， 又， ， 解得：米， 此时影子的长度为米； （2）解：小明会被照射到．理由如下： 如图，过点作交于点， 由条件可知， 是等边三角形， ， 米， ． 米， 米， 当时，米， 小明刚好被照射到时离点的距离为， 小明会被照射到． 9．如图是吉老师为了减轻颈椎压力，购买了一个笔记本支架（如图），该支架可以进行多角度调节，从而调整笔记本电脑的高度，如图是其示意图，其中，．吉老师调整支架、笔记本，得到一个自己感觉舒适的位置．测得，，过点作直线于点，过点作直线于点，且图中所有点均在同一平面内．（参考数据：，，） (1)则__________°，_________°； (2)求点到桌面的距离的长； (3)求此时顶部边缘处离桌面的高度．（结果精确到） 【答案】(1)60 ；10 (2) (3) 【分析】（1）根据角的关系直接计算角即可； （2）利用含30度角的直角三角形的性质求出的长即可； （3）利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解： 在中： ，， ， 解得：； （3）解：在中， ， 解得：， ， 答：此时顶部边缘处离桌面的高度约为． 10．图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头A的仰角、俯角均为，摄像头高度，识别的最远水平距离． (1)身高的小杜，头部高度为，他站在离摄像头水平距离的点C处，若要小杜能被摄像头识别，则他最少要下蹲_____； (2)身高的小若，头部高度为，踮起脚尖可以增高，但仍无法被识别．社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为（如图3），此时小若能被识别吗？请计算说明．（精确到，参考数据：sin，cos，tan，sin，cos，tan） 【答案】(1)13.0 (2)能，证明见解析 【分析】 (1)过点C作的垂线分别交仰角、俯角线于点，交水平线于点F，根据正切值求出长度，再利用三角形全等可求出，最后利用矩形的性质求出的长度，从而求出蹲下的高度； (2)过点B作的垂线分别交仰角、俯角线于点G，H，交水平线于点P，根据正切值求出长度，再利用三角形全等可求出，最后利用矩形的性质求出的长度，即可求出长度，与踮起脚尖后的高度进行比较，即可求出答案． 【详解】（1）解：过点C作的垂线分别交仰角、俯角线于点交水平线于点F，如图2， 则四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴小杜下蹲的最小距离为， 答：小杜最少需要下蹲才能被识别； （2）解：能，计算如下： 过点B作的垂线分别交仰角、俯角线于点G，H，交水平线于点P，如图3， 则四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 小若踮起脚尖后头顶超出点H的高度为， ∴小若能被识别． 11．为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为5米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为4米，当太阳光线与地面的夹角为时．（参考数据：，，） (1)_____，_____； (2)求阴影的长．（结果精确到0.1米） 【答案】(1)， (2)阴影的长约为米． 【分析】（1）过作于，于，利用三角形内角和定理、角的和与差计算即可求解； （2）在中，（米），（米），可得米，（米），而，知米，故，计算即可． 【详解】（1）解：过点作于，如图： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：过点作于， 在中， （米）， （米）， ， 四边形是矩形， 米，（米）， 在中， ， 米， （米）， 阴影的长约为米． 12．如图所示的是李亮利用无人机进行测量的示意图，点，，，在同一平面内，当无人机在离地面的高度为时，测得李亮所在位置的俯角为，楼顶的俯角为，点到大楼的水平距离为．（参考数据：，结果精确到） (1)填空：__________． (2)若无人机到李亮的距离在内是遥控器的可控范围，此时飞机是否在可控范围内？请说明理由． (3)求大楼的高． 【答案】(1) (2)飞机在可控范围内，理由见解析 (3)大楼的高约为 【分析】（1）根据俯角的定义，结合平行线的性质，即可求解； （2）过点作于点.利用三角函数解求出，即可做出判断； （3）过点作于点.利用三角函数解，即可求解． 【详解】（1）解：如图，依题意，在点测得李亮所在位置的俯角为， ∴， ∵， ∴； （2）解： 此时飞机在可控范围内，理由如下： 如图，过点作于点， ∴， 在中， ∵， ∴， ． ∵， ∴此时飞机在可控范围内； （3）解： 如图，过点作于点. ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 答：大楼的高约为． 13．如图1所示，在水平地面上，一辆皮卡车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2所示，此时测得点到所在直线的距离，；停止位置示意图如图3所示，此时测得（点，，在同一直线上，且直线与地面平行），图3中所有点在同一平面内，定滑轮半径忽略不计． (1)如图3，填空：____________度，____________度； (2)求的长； (3)求物体上升的高度．（结果精确到，参考数据：，，，）． 【答案】(1)30；53 (2) (3) 【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余即可得到答案； （2）解直角三角形即可得到答案； （3）解直角三角形求出的长，进而求出的长，再求出的值即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵，， ∴；； （2）解：在中，，，， ∴， 答：的长为； （3）解：在中，， 在中，， ， 答：物体上升的高度约为． 14．如图是某烈士陵园的一座烈士纪念碑及其竖直截面的简化示意图（图中所有点均在同一竖直平面内），为石碑，梯形为底座，位于水平地面上，，分别为斜坡，的中点，且，，某同学测得，在点处测得碑顶的仰角，米，点到水平地面的距离为米． (1)计算得______，______； (2)已知，求碑顶到水平地面的距离．（结果保留根号） 【答案】(1)60，15 (2)碑顶到水平地面的距离为米 【分析】（1）根据平行线的性质得到，，进而求解即可； （2）如图，过点作，垂足为，延长交于点，过点作，垂足为，首先证明出，得到，然后解直角三角形求出，求出，解直角三角形求出，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵ ∴； （2）解：如图，过点作，垂足为，延长交于点，过点作，垂足为． 由题可知． 为线段的中点， ． 在和中， ， ． 在中，，， ， ． 在四边形中，，， ， 四边形为矩形， ． 在中，，， ， ， 碑顶到水平地面的距离为（米）． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 三角形 第7节 解直角三角形及其应用 同步练习题 2026年中考数学一轮复习 【例题精炼】 一、单选题 1．如图，中，为BC的中点，于点与相交于点，则（   ） A． B． C． D． 2．如图，小丽从点出发，沿坡度为的坡道向上走了120米到达点，则她沿垂直方向升高了（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．在中，，则的长为（   ） A．1 B．2 C． D．5 4．老师带领数学小组仅用测角仪和皮尺测量某桥外侧拱顶离水面的高度．如图，拱顶离水面的高度为，点，是水平地面上两点，且与点，均在同一竖直平面内．已知水平地面离水面的高度为2米，测角仪支架高度为1.5米，为达成目的，还需测量的数据是（   ） A．的长，的度数 B．的长，的度数 C．的长，的度数 D．的长，的度数 5．如图，是的弦，过圆心O作于点H，交于点A，，点M是上异于C，D的一点，连接，，则的值是（   ） A． B． C． D． 6．在中，，则（   ） A． B． C． D． 二、解答题 7．为了夏天能最大限度地遮挡炎热阳光，冬天能最大限度地使温暖的阳光射入室内，很多家庭都会选择安装遮阳棚．小强家也在墙上安装了一伸缩式遮阳棚，已知一楼墙高为． (1)如图2，墙上有一扇窗户（），某日正午，为了使阳光能最大限度的射入室内，需要将遮阳棚收缩，收缩后遮阳棚的宽度为，此时______． (2)如图3，另一日正午，当遮阳棚完全展开后，太阳光与地面的夹角，被遮挡形成的阴影，则展开后的遮阳棚______．（参考数据：，，） (3)小强的爸爸准备将房后一块长，宽的矩形荒地改造成花园，花园的中间有两条宽度相同的小路（如图4），并且小路所占面积为荒地面积的一半，设小路的宽为，求x的值． 8．五一假期，小良家准备购买一套新楼房，要求楼层是一楼，位置在第二排，冬天采光不受第一排的影响．以下是小良和爸爸看房后完成的调查报告，请你根据报告中的信息，解决两个问题． 调查目的 居民楼一楼采光是否受到影响 调查数据 ①五一正午测得楼房影子的长度为，楼间距为，太阳光线与水平线的夹角为． ②一楼窗户下端距离地面的高度为． ③该小区冬至正午的太阳光线与水平线的夹角为，第一排楼房的影子会落在第二排楼房的墙上． 建立模型 小良同学根据调查数据画出了数学图形．如图， ，，，， ，．    测量工具 卷尺 参考数据     ，，，． 问题解决 （1）根据调查数据，请你计算楼房AB的高度（精确到）； （2）计算在冬至正午第一排楼房影子落在第二排楼房墙上的高度DE，并判断会不会影响一楼的采光（精确到）．    9．如图，在中，，以为直径作交于点，过点作，垂足为，延长交的延长线于点． (1)求证：为的切线； (2)若，求的值． 10．【活动背景】 如图，建筑物、的高度不可直接测量．为测量建筑物、的高度，技术员小李用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在C处测得D点的俯角为，测得B点的俯角为． 【问题解决】 (1)请运用技术员小李提供的数据求出建筑物、的高度（结果保留整数）；（参考数据：，，，，，） (2)请再设计一种测量建筑物、高度的方案（建筑物的宽度忽略不计），画出平面示意图，把应测数据在示意图中用字母标记出来，并用含字母的式子表示出建筑物、的高度．（可提供的测量工具：皮尺、测角仪） 11．暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山．他们从山底A处出发，先步行到达B处，再从B处坐缆车到达山顶C处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的高度，A，B，C，D在同一平面内． (1)求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）； (2)求缆车的行驶路线的长（结果取整数）．（参考数据：，，；，，） 12．小伟和小华想用所学数学知识测量小河的宽．测量示意图如图所示，他们在河边的山坡上的点处安装测角仪，测得河对岸点的俯角为与的夹角为，又测得点与河岸点之间的距离为．已知，点在同一平面上，点在同一水平直线上，且．求河宽．（精确到）（参考数据：，，，） 13．现有一台红外线理疗灯（如图-1所示），该设备的主体由底座、立柱、伸缩杆和灯臂组成，、、三点在同一直线上，图-2是该设备的平面示意图．垂直于，与水平线平行，与的夹角为，与的夹角为．经测量：为，为，为，，． (1)填空： ， ； (2)已知点到的距离为时，该设备使用效果最佳．求此时伸缩杆的长度．（参考数据：，，，） 14．木兰灯塔是亚洲最高、世界第二高的航标灯塔，位于海南岛的最北端，是海南岛东北部最重要的航标．某天，一艘渔船自西向东（沿方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，如图所示．    航行记录记录一：上午8时，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的A处． 记录二：上午8时30分，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的B处． 记录三：根据气象观测，当天凌晨4时到上午9时，受天文大潮和天气影响，琼州海峡C点周围5海里内，会出现异常海况，点C位于木兰灯塔P北偏东方向． 请你根据以上信息解决下列问题： (1)填空：________，________， ________海里； (2)若该渔船不改变航线与速度，是否会进入“海况异常”区，请计算说明． （参考数据：） 15．如图，一艘轮船在处测得灯塔位于的北偏东方向上，轮船沿着正北方向航行20海里到达处，测得灯塔位于的北偏东方向上，测得港口位于的北偏东方向上．已知港口在灯塔的正北方向上．    (1)填空： 度， 度； (2)求灯塔到轮船航线的距离（结果保留根号）； (3)求港口与灯塔的距离（结果保留根号）． 16．无人机在实际生活中应用广泛．如图8所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼楼顶D处的俯角为，测得楼楼顶A处的俯角为．已知楼和楼之间的距离为100米，楼的高度为10米，从楼的A处测得楼的D处的仰角为（点A、B、C、D、P在同一平面内）． (1)填空：___________度，___________度； (2)求楼的高度（结果保留根号）； (3)求此时无人机距离地面的高度． 【A组基础达标】 一、单选题 1．如图，在中，，，，点是边上的一个动点，过点作交直角边于点，设为，的面积为，则下列图象中，能表示与的函数关系的图象大致是（   ） A． B． C． D． 2．在广场上矗立着一尊铜像．某校数学兴趣小组利用热气球开展综合实践活动，测量铜像的高度．如图，在点处，探测器显示，热气球到铜像底座底部所在水平面的距离为，从热气球看铜像顶部A的俯角为，看铜像底部的俯角为．已知底座的高度为，求铜像的高度为（    ）（结果保留整数．参考数据：，，，） A．10 B．12 C．14 D．16 3．定滑轮能改变力的方向，使得施力方向转变为容易出力的方向．某班“综合与实践”小组的同学在课余时间测量“定滑轮距地面的高度”．如图，点O处放置一定滑轮，点A，B，，C，，O均在同一竖直平面内，在点B处测得定滑轮O的仰角为，小组成员站在A处，拉动绳子，使得物体移动至点处，在点处测得定滑轮O的仰角为，物体从点B移动到点处绳子收回的长度为，已知物体的高度．则定滑轮O距地面的高度（定滑轮自身高度忽略不计）为（   ） A． B． C． D． 二、解答题 4．综合与实践．在数学活动课中，老师组织同学们分小组测量学校旗杆的高度（学校旗杆底部有基座，经测量，基座高于运动场水平面米）确定以下两种测量方案． 课题 测量学校旗杆高度 成员 组长：××  组员：×××，×××，××× 测量方案 标杆方案 测角仪方案 测量示意图 卷尺、标杆    卷尺、可调节支架的测角仪    实施过程 ①选取运动场与旗杆相距一定距离的处； ②在处站直看旗杆顶，调整标杆位置，使标杆顶点与旗杆顶点在同一视线上； ③测量，的距离，测量人眼到地面高度、标杆的长度． ①在运动场与旗杆底部相距一定距离的处，调整测角仪支架高度，使与旗杆底部位于同一水平高度； ②测量旗杆顶的仰角； ③沿方向前移至处，再次测量杆顶的仰角； ④测量距离． 测量数据 ①；②； ③；④． ①；②； ③． 备注 ①图上所有点均在同一平面内； ②，均与地面垂直； ③旗杆底部基座与运动场的高度差． ①图上所有点均在同一平面内； ②参考数据：，，． (1)任务一：说明以上两种方案各自运用的数学知识：“标杆方案”运用的知识是_________，“测角仪方案”运用的知识是_________．（请在下列选项中选择一个填入横线中） ①全等三角形；②相似三角形；③锐角三角函数；④勾股定理． (2)任务二：根据以上测量结果，任意选择一种方案，计算旗杆的高度（结果精确到），并说明你选择该种方案的理由． 5．某兴趣小组想利用测角仪测量一古塔的高度.如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点E，C，A在同一条水平直线上．图中所出现的点均在同一平面内.该兴趣小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为． (1)求的长； (2)求塔的高度．（取0.5，取1.7，结果取整数）． 6．九年级学生王强想测量他家楼下的一棵椰子树的高度．由于椰子树周边有花坛，无法直接到达椰子树底部进行测量，班级数学学习小组结合实际情况完成了如下调查报告． 调查目的 测量王强家楼下的一棵椰子树的高度． 调查数据 ①经查阅资料，该住宅楼的高度为； ②在住宅楼顶端，利用无人机辅助测量，观测到椰子树顶端的俯角为； ③某一时刻太阳光下，测得住宅楼在地面的影长为，且椰子树顶端在地面的影子距住宅楼的水平距离为． 建立模型 根据调查数据，画出数学图形．如图，点，，，，在同一条直线上，，，，，．    测量工具 卷尺、测角仪器、无人机 参考数据 ，，． (1)________度，________度； (2)求椰子树的高度（结果精确到）． 7．如图1，山坡的坡角为，小明在距山脚点米的点测得山顶的仰角，请帮助小明解决下列问题：（，，，） (1)求山顶到山脚的距离． (2)如图2，若在山脚距离米处有一与地面垂直的索道，为索道的支架，在山坡上还有若干个索道支架（索道支架都与地面垂直），山坡上顶端处的支架为．已知支架之间的钢索，钢索与地面平行，米，米，求点距离地面的高度． 8．综合与实践：探究遮阳伞下的影子长度． 素材1：图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图．已知支架长为米，且垂直于地面，悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径米．当伞面完全张开时，点D、E、F始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直． 素材2：某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）参照表： 时刻 12点 13点 14点 15点 16点 17点 太阳高度角（度） 90 75 60 45 30 15 素材3：小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面距离）约为1米，如图2，小明坐的位置记为点． (1)【任务1】某一时刻测得米， ①请直接写出__________； ②请求出此时影子的长度； (2)【任务2】这天14点，小明坐在离支架3米处的点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？请你说明理由． 9．如图是吉老师为了减轻颈椎压力，购买了一个笔记本支架（如图），该支架可以进行多角度调节，从而调整笔记本电脑的高度，如图是其示意图，其中，．吉老师调整支架、笔记本，得到一个自己感觉舒适的位置．测得，，过点作直线于点，过点作直线于点，且图中所有点均在同一平面内．（参考数据：，，） (1)则__________°，_________°； (2)求点到桌面的距离的长； (3)求此时顶部边缘处离桌面的高度．（结果精确到） 10．图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头A的仰角、俯角均为，摄像头高度，识别的最远水平距离． (1)身高的小杜，头部高度为，他站在离摄像头水平距离的点C处，若要小杜能被摄像头识别，则他最少要下蹲_____； (2)身高的小若，头部高度为，踮起脚尖可以增高，但仍无法被识别．社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为（如图3），此时小若能被识别吗？请计算说明．（精确到，参考数据：sin，cos，tan，sin，cos，tan） 11．为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为5米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为4米，当太阳光线与地面的夹角为时．（参考数据：，，） (1)_____，_____； (2)求阴影的长．（结果精确到0.1米） 12．如图所示的是李亮利用无人机进行测量的示意图，点，，，在同一平面内，当无人机在离地面的高度为时，测得李亮所在位置的俯角为，楼顶的俯角为，点到大楼的水平距离为．（参考数据：，结果精确到） (1)填空：__________． (2)若无人机到李亮的距离在内是遥控器的可控范围，此时飞机是否在可控范围内？请说明理由． (3)求大楼的高． 13．如图1所示，在水平地面上，一辆皮卡车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2所示，此时测得点到所在直线的距离，；停止位置示意图如图3所示，此时测得（点，，在同一直线上，且直线与地面平行），图3中所有点在同一平面内，定滑轮半径忽略不计． (1)如图3，填空：____________度，____________度； (2)求的长； (3)求物体上升的高度．（结果精确到，参考数据：，，，）． 14．如图是某烈士陵园的一座烈士纪念碑及其竖直截面的简化示意图（图中所有点均在同一竖直平面内），为石碑，梯形为底座，位于水平地面上，，分别为斜坡，的中点，且，，某同学测得，在点处测得碑顶的仰角，米，点到水平地面的距离为米． (1)计算得______，______； (2)已知，求碑顶到水平地面的距离．（结果保留根号） 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $